Algebraiczna geometria rzutowa

(1)

Algebraiczna geometria rzutowa

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl)

Czerwiec 2003

Spis treści

1 Domknięte zbiory rzutowe 1

1.1 Przestrzeń rzutowa . . . 1

1.2 Ideały jednorodne . . . 2

1.3 Zbiory domknięte w przestrzeni rzutowej . . . 3

1.4 Ideały jednorodne postaci I_p(X) . . . 5

1.5 Operacje podnoszenia i opuszczania . . . 6

1.6 Stożek . . . 9

1.7 Rzutowe twierdzenie Hilberta o zerach . . . 10

1.8 Topologia podzbioru przestrzeni rzutowej . . . 11

1.9 Nieprzywiedlne zbiory rzutowe . . . 12

1.10 Romaitości quasi-rzutowe . . . 13

2 Płaszczyzna afiniczna i płaszczyzna rzutowa 15 2.1 Płaszczyzna afiniczna . . . 15

2.2 Płaszczyzna afiniczna k² . . . 16

2.3 Skończone płaszczyzny afiniczne . . . 17

2.4 Płaszczyzna rzutowa . . . 18

2.5 Płaszczyzna rzutowa powstała z płaszczyzny afinicznej . . . 19

2.6 Płaszczyzna afiniczna powstała z płaszczyzny rzutowej . . . 19

2.7 Płaszczyzna rzutowa P²(k) . . . 19

2.8 Płaszczyzna rzutowa i dualność . . . 20

2.9 Aksjomat Desarques’a . . . 21

2.10 Aksjomat Pappa . . . 22

2.11 Skończone płaszczyzny rzutowe . . . 22

2.12 Trójwymiarowa przestrzeń rzutowa . . . 23

3 Odwzorowania regularne podzbiorów rzutowych 25 3.1 Jednorodne funkcje wymierne . . . 25

3.2 Funkcje regularne . . . 27

3.3 Definicje odwzorowania regularnego . . . 31

3.4 Początkowe przykłady odwzorowań regularnych . . . 32

3.5 Afiniczne odwzorowania regularne . . . 34

3.6 Izomorfizm rozmaitości quasi-rzutowych . . . 35 i

(2)

ii Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 Algebraiczna geometria rzutowa

3.7 Otoczenia afiniczne . . . 36

3.8 Własności lokalne . . . 38

3.9 Dalsze własności odwzorowań regularnych . . . 39

4 Odwzorowania wymierne 41 4.1 Funkcje wymierne rozmaitości quasi-rzutowej . . . 41

4.2 Odwzorowania wymierne z X do P^m . . . 42

4.3 Odwzorowania wymierne jako funkcje częściowe . . . 43

4.4 Związek z odwzorowaniami regularnymi . . . 44

4.5 Odwzorowania wymierne z X do Y . . . 45

4.6 Odwzorowanie Veronese . . . 46

5 Produkty rozmaitości 49 5.1 Produkt podrozmaitości przestrzeni afinicznych . . . 49

5.2 Zanurzenie Segrego . . . 49

5.3 Produkt rozmaitości quasi-rzutowych . . . 50

5.4 Wielomiany jednorodne względem podzbioru zbioru zmiennych . . . 51

5.5 Zbiory domknięte w Pⁿ×P^m i Pⁿ×A^m₀ . . . 52

5.6 Wykres odwzorowania regularnego . . . 53

5.7 Rzutowania . . . 54

5.8 Zastosowanie produktów . . . 55

6 Odwzorowania skończone 56 6.1 Odwzorowania skończone rozmaitości afinicznych . . . 56

6.2 Pierścień niezmienników skończonej grupy automorfizmów . . . 57

6.3 Ilorazowa rozmaitość afiniczna . . . 58

6.4 Odwzorowania skończone rozmaitości quasi-rzutowych . . . 60

6.5 Pewna ogólna własność odwzorowań regularnych . . . 60

6.6 Rzutowania o danym środku . . . 60

7 Wymiar 62 7.1 Przykłady . . . 62

7.2 Wymiar przekroju z hiperpowierzchnią . . . 63

7.3 Twierdzenia o wymiarze włókien . . . 64

7.4 Twierdzenie Tsena . . . 65

7.5 Krzywe algebraiczne . . . 66

8 Lokalny pierścień punktu 68 8.1 Pierścień kiełków . . . 68

8.2 Lokalny pierścień punktu rozmaitości afinicznej . . . 69

8.3 Skończona generowalność i noetherowskość . . . 70

8.4 Lokalny pierścień punktu rozmaitości nieprzywiedlnej . . . 70

8.5 Przestrzenie liniowe postaci M^s/M^s+1 . . . 71

9 Przestrzeń styczna 73 9.1 Prosta styczna . . . 73

9.2 Przestrzeń styczna jako zbiór prostych stycznych . . . 74

9.3 Różniczka funkcji regularnej . . . 76

9.4 Przestrzeń styczna i lokalne derywacje . . . 78

(3)

Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 Algebraiczna geometria rzutowa iii

9.5 Derywacje lokalne pierścienia wielomianów . . . 81

9.6 Morfizmy przestrzeni stycznych . . . 82

9.7 Przestrzeń styczna dla rozmaitości quasi-rzutowej . . . 83

9.8 Wymiar przestrzeni stycznej i punkty proste . . . 84

9.9 Lokalny pierścień punktu prostego . . . 85

10 Wiązka styczna 87 10.1 Rodziny wektorowe i przekroje . . . 87

10.2 Definicja wiązki stycznej . . . 89

10.3 Derywacje pierścienia funkcji regularnych . . . 90

10.4 Pola wektorowe i derywacje . . . 91

10.5 Nawias Liego pól wektorowych . . . 95

11 Rozmaitości normalne 97 11.1 Normalność . . . 97

11.2 Normalizacja . . . 98

12 Dywizory 99 12.1 Podrozmaitości kowymiaru 1 . . . 99

12.2 Grupa dywizorów . . . 99

12.3 Dywizory główne . . . 100

12.4 Przestrzeń liniowa stowarzyszona z dywizorem . . . 102

Spis cytowanej literatury 105

(4)

iv Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 Algebraiczna geometria rzutowa

(5)

1 Domknięte zbiory rzutowe

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.1 Przestrzeń rzutowa

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech k będzie ciałem i n liczbą naturalną. W zbiorze kⁿ⁺¹r {0} definiujemy następującą relację ∼ typu równoważności

(x₀, . . . , x_n) ∼ (y₀, . . . , y_n) ⇐⇒ ∃

06=a∈k ∀

i∈{0,...,n}

y_i = ax_i .

Klasę abstrakcji każdego elementu (x₀, . . . , x_n) ∈ kⁿ⁺¹r{0} (względem tej relacji) oznaczamy przez (x₀ : · · · : x_n). Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Pⁿ(k) i nazywamy n- wymiarową przestrzenią rzutową nad ciałem k. Jeżeli x ∈ Pⁿ(k), to każdy ciąg (x₀, . . . , x_n) ∈ kⁿ⁺¹ r {0} taki, że x = (x0 : · · · : x_n) nazywamy ciągiem współrzędnych jednorodnych punktu x.

Niech i ∈ {0, . . . , n}. Jeśli punkt x ∈ Pⁿ(k) posiada ciąg jednorodnych współrzędnych z niezerowym elementem na i-tym miejscu, to każdy ciąg jednorodnych współrzędnych punk- tu x ma niezerowe i-te miejsce. Zbiór wszystkich punktów x ∈ Pⁿ(k) z niezerowym i-tym miejscem oznaczać będziemy przez Aⁿ_i lub Aⁿ_i(k). Jest oczywiste, że Pⁿ(k) = Aⁿ₀ ∪ · · · ∪ Aⁿ_n.

Niech µ_i: Aⁿ_i −→ kⁿ, ν_i: kⁿ−→ Aⁿ_i będą funkcjami zdefiniowanymi następująco:

(x₀: · · · : x_i : · · · : x_n) 7−→ (^µⁱ ^x_x⁰

i, . . . ,^c^x_xⁱ

i, . . . ,^x_xⁿ

i),

(x₀, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) 7−→ (x^νⁱ ₀ : · · · : x_i−1: 1 : x_i+1: · · · : x_n).

Zwróćmy uwagę, że µ_i jest dobrze określone. Funkcje te są wzajemnie odwrotne. Każde więc Aⁿi możemy interpretować jako afiniczną przestrzeń kⁿ.

Niech H_i = {(x₀ : · · · : x_n) ∈ Pⁿ(k); x_i = 0}. Zbiór H_i nazywamy hiperpłaszczyzną w nieskończoności. Bijekcja

(x₀ : · · · : x_i−1: 0 : x_i+1: · · · : x_n) 7−→ (x₀ : · · · : x_i−1: x_i+1: · · · : x_n)

pozwala interpretować H_ijako przestrzeń rzutową Pⁿ⁻¹(k), którą w tym przypadku będziemy oznaczać przez Pⁿ⁻¹_i . Zauważmy, że

Pⁿ(k) = Aⁿi ∪ Pⁿ⁻¹_i .

Przestrzeń Pⁿ(k) możemy interpretować jako zbiór wszystkich prostych w kⁿ⁺¹ przecho- dzących przez punkt (0, . . . , 0) lub równoważnie jako zbiór wszystkich jednowymiarowych podprzestrzeni przestrzeni liniowej kⁿ⁺¹.

Z równości Pⁿ(k) = Aⁿi ∪ Pⁿ⁻¹_i wynika, że n-wymiarowa przestrzeń rzutowa Pⁿ(k) jest sumą n-wymiarowej przestrzeni afinicznej kⁿi zbioru wszystkich kierunków w kⁿ. Mamy np.

P²(k) = A²₀∪P¹0. Przestrzń P²(k) jest zbiorem wszystkich prostych w k³ przechodzących przez 0. Te wszystkie proste, które leżą na płaszczyźnie 0XY tworzą jednowymiarową przestrzeń rzutową. Pozostałe proste przecinają ustaloną płaszczyznę (np. Z = 1), równoległą do płasz- czyzny 0XY. Każdy punkt tej równoległej płaszczyzny wyznacza dokładnie jedną prostą w k³

1

(6)

2 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Domknięte zbiory rzutowe

przechodzącą przez 0. Zatem P²(k), to P¹(k) plus płaszczyzna afiniczna. W podobny sposób widzimy, że P¹(k), to punkt (czyli P⁰(k)) plus prosta afiniczna.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.2 Ideały jednorodne

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech k[S] = k[S₀, . . . , S_n] będzie pierścieniem wielomianów nad ciałem k. Mówimy że wielomian f ∈ k[S] jest jednorodny stopnia m (lub, że jest formą stopnia m), jeśli f jest sumą jednomianów stopnia m. Zanotujmy dobrze znane fakty (patrz np. [Now94a] 19).

Stwierdzenie 1.2.1. Niech f ∈ k[S]. Jeżeli ciało k jest nieskończone, to następujące wa- runki są równoważne.

(1) f jest wielomianem jednorodnym stopnia m.

(2) f (au₀, . . . , aun) = a^mf (u0, . . . , un), dla wszystkich u₀, . . . , un∈ k oraz a ∈ k r {0}.

(3) W pierścieniu wielomianów k[t][S₀, . . . , S_n] zachodzi równość f (tS₀, . . . , tS_n) = t^mf (S₀, . . . , S_n).

Stwierdzenie 1.2.2. Niech f ∈ k[S]. Jeżeli k jest ciałem charakterystki zero, to następujące warunki są równoważne.

(1) f jest wielomianem jednorodnym stopnia m.

(4) (Tożsamość Eulera) S₀_∂S^∂f

0 + · · · + S_n_∂S^∂f

n = mf .

Stwierdzenie 1.2.3. Jeśli iloczyn niezerowych wielomianów f, g ∈ k[S] jest wielomianem jednorodnym, to wielomiany f, g są jednorodne.

Każdy wielomian f ∈ k[S] ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci^P_if_i, gdzie każde fi jest wielomianem jednorodnym stopnia i. W tym przypadku wielomiany f_i nazywamy składowymi jednorodnymi wielomianu f .

Mówimy, że ideał A ⊆ k[S] jest jednorodny, jeśli z tego, że f ∈ A wynika, że każda składowa jednorodna wielomianu f należy do A. Ideały 0 i k[S] są oczywiście jednorodne.

Łatwo wykazać następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 1.2.4. Niech A ⊆ k[S] będzie ideałem w k[S]. Wtedy A jest ideałem jednorod- nym ⇐⇒ ideał A jest generowany przez zbiór wielomianów jednorodnych.

Dowód następnego stwierdzenia można znaleźć np. w [ZarSam] t2 str. 152.

Stwierdzenie 1.2.5.

(1) Sumy, przekroje i iloczyny ideałów jednorodnych są ideałami jednorodnymi.

(2) Jeżeli A, B są ideałami jednorodnymi, to ideał A : B też jest jednorodny.

(3) Jeżeli A jest ideałem jednorodnym, to radykał√

A jest też ideałem jednorodnym.

(4) Każdy jednorodny ideał A posiada nieskracalny rozkład prymarny A = Q₁∩ · · · ∩ Q_r, w którym ideały prymarne Q₁, . . . , Q_r są jednorodne.

(5) Ideały pierwsze, stowarzyszone z ideałem jednorodnym, są ideałami jednorodnymi.

(7)

Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 1. Domknięte zbiory rzutowe 3

Stwierdzenie 1.2.6. Niech A będzie jednorodnym ideałem w k[S] różnym od k[S]. Następu- jące warunki są równoważne.

(1) A jest ideałem pierwszym.

(2) Jeśli f, g ∈ k[S] są jednorodnymi wielomianami takimi, że f g ∈ A, to f ∈ A lub g ∈ A.

Dowód. Implikacja (1) ⇒ (2) jest oczywista. Dla dowodu implikacji (2) ⇒ (1) załóżmy, że f, g są dowolnymi wielomianami z k[S] takimi, że f g ∈ A. Niech f = fr+ · · · + f0, g = gs+ · · · + g0

będą rozkładami na składowe jednorodne. Przypuśćmy, że f 6∈ A oraz g 6∈ A. Istnieją wtedy liczby p i q takie, że fp 6∈ A, gq 6∈ A. Załóżmy, że liczby p, q są największe z możliwych. Oznaczmy:

F = fp+ · · · + f0, G = gq + · · · + g0, a = fr+ · · · + fp+1, b = gs+ · · · + gq+1. Wtedy f = a + F , g = b + G oraz a, b ∈ A. Z tego, że f g ∈ A wynika, że F G ∈ A. Ponieważ ideał A jest jednorodny, więc każda składowa jednorodna wielomianu F G należy do A. W szczególności do tego ideału należy wielomian fpgq (gdyż jest to składowa jednorodna wielomianu F G najwyższego stopnia). Teraz z (2) wynika, że f_p∈ A lub g_q∈ A, ale to jest sprzecznością.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.3 Zbiory domknięte w przestrzeni rzutowej

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech k[S] = k[S₀, . . . , S_n] będzie pierścieniem wielomianów nad nieskończonym ciałem k.

Definicja 1.3.1. Mówimy, że punkt x ∈ Pⁿ(k) jest zerem wielomianu f ∈ k[S], jeśli f (x0, . . . , xn) = 0,

dla każdego ciągu (x₀, . . . , x_n) jednorodnych współrzędnych punktu x.

Przykład 1.3.2. Niech n = 2, k[S] = k[S₀, S₁, S₂]. Punkt (1 : 0 : 0) ∈ P²(k) jest zerem wielomianu f = 2S₁ − 3S₂ ∈ k[S]. Punkt (0 : 3 : 2) ∈ P²(k) jest zerem wielomianu g = S₀² + 2S₁ − 3S₂ ∈ k[S]. Natomiast punkt (0 : 3 : 6) ∈ P²(k) nie jest zerem wielomianu h = S₀² + 2S₁² − 3S₂ ∈ k[S]. Mamy tu h(0, 3, 6) = 0 jednakże (0 : 3 : 6) = (0 : 1 : 2) i h(0, 1, 2) = −4 6= 0 (przy założeniu, że char(k) 6= 2).

Lemat 1.3.3. Punkt x ∈ Pⁿ(k) jest zerem wielomianu f ∈ k[S] wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zerem każdej składowej jednorodnej wielomianu f .

Dowód. Niech x = (x0: · · · : xn) i niech f = fm+ · · · + fr będzie rozkładem wielomianu f na jednorodne składowe. Wtedy

0 = f (ax0, . . . , axn) = a^mfm(x0, . . . , xn) + · · · + a^rfr(x0, . . . , xn),

dla każdego a ∈ k r {0}. Stąd wynika, że fⁱ(x0, . . . , xn) = 0, dla wszystkich i = m, . . . , r (gdyż ciało k jest nieskończone), a zatem x jest zerem każdej formy fm, . . . , fr.

Definicja 1.3.4. Jeżeli F ⊆ k[S] jest podzbiorem, to oznaczmy:

V_p(F ) = {x ∈ Pⁿ(k); x jest zerem każdego wielomianu f ∈ F }.

Każdy podzbiór w Pⁿ(k) postaci V_p(F ) nazywamy rzutowym zbiorem algebraicznym lub rzu- towym zbiorem domkniętym.

(8)

Stwierdzenie 1.3.5. Jeśli F ⊆ k[S] jest podzbiorem, to V_p(F ) = V_p((F )) = V_p(A) = V_p(

√ A),

gdzie A jest najmniejszym ideałem jednorodnym w k[S] zawierającym zbiór F .

Jest oczywiste, że dla każdego zbioru F ⊆ k[S] istnieje najmniejszy ideał jednorodny zawie- rający F . Zbiór jednorodnych ideałów zawierających F jest bowiem niepusty (cały pierścień k[S]

jest takim ideałem jednorodnym). Przekrój ideałów jednorodnych jest ideałem jednorodnym. Zatem przekrój wszystkich jednorodnych ideałów zawierających F jest najmniejszym ideałem jednorodnym zawierającym F .

Najmniejszy ideał jednorodny zawierający zbiór F jest zwykłym ideałem generowanym przez wszystkie składowe jednorodne wszystkich wielomianów ze zbioru F .

Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika:

Stwierdzenie 1.3.6. Każdy rzutowy zbiór algebraiczny w Pⁿ(k) jest postaci V_p(F ), gdzie F jest skończonym zbiorem jednorodnych wielomianów w k[S].

Operacja V_p ma podobne własności co operacja V w sytuacji afinicznej.

(1) ∅ = V_p({1}) = V_p(k[S]), Pⁿ(k) = V_p(0), (2)^T_αV_p(F_α) = V_p(^S_αFα) = V_p(^P_α(F_α)),

(3) Jeśli A i B są jednorodnymi ideałami w k[S], to

V_p(A) ∪ V_p(B) = V_p(A ∩ B) = V_p(AB).

Zbiory postaci V_p(F ) zadają więc na przestrzeni rzutowej Pⁿ(k) pewną topologię. Nazy- wamy ją topologią Zariskiego na Pⁿ(k).

Stwierdzenie 1.3.8. Każdy zbiór jednoelementowy {x} ⊂ Pⁿ(k) jest rzutowym zbiorem al- gebraicznym.

Dowód.Niech (x0, . . . , xn) ∈ kⁿ⁺¹r {0} będzie ciągiem jednorodnych współrzędnych punktu x.

Istnieje wtedy i ∈ {0, . . . , n} takie, że x_i6= 0. Załóżmy, że x06= 0 i rozpatrzmy jednorodny ideał A w k[S] generowany przez wszystkie wielomiany postaci xiS0− x0Si, dla i = 0, . . . , n. Jest oczywiste, że {x} = Vp(A).

Oznacza to, że topologia Zariskiego na Pⁿ(k) jest T₁-topologią.

Stwierdzenie 1.3.9. Każdy domknięty zbiór rzutowy w P¹(k) jest albo całą przestrzenią P¹(k) albo zbiorem skończonym.

Dowód. Niech X ⊆ P¹(k) będzie domkniętym zbiorem rzutowym różnym od P¹(k). Wtedy X = Vp(f1, . . . , fr), gdzie f1, . . . , frsą pewnymi niezerowymi wielomianami jednorodnymi należącymi do k[S] = k[S0, S1]. Oczywiście X ⊂ Vp(f1). Wystarczy zatem pokazać, że Vp(f1) jest zbiorem skończonym.

Ponieważ f₁jest niezerowym wielomianem jednorodnym, więc

f₁= a0S₀^m+ a1S^m−1₀ S₁+ · · · + am−1S¹₀S₁^m−1+ amS^m₁ , gdzie a0, . . . , amsą elementami ciała k, z których co najmniej jeden jest niezerowy.

(9)

Niech x = (x0 : x1) będzie zerem wielomianu f1. Jeśli x0 = 0, to x1 6= 0 i wtedy x = (0 : x1) = (0 : 1). Wielomian f1 zeruje się więc w conajwyżej jednym takim punkcie z x0= 0. Dalej załóżmy, że x06= 0. Wtedy x = (x0: x1) = (1 : ^x_x¹

0). Z tego, że f1(x0, x1) = 0 wynika, że 0 = a0+ a1

 x1

x0

¹ + a2

 x1

x0

²

+ · · · + am

 x1

x0

^m ,

to znaczy, że ^x_x¹

0 jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu a0+ a1t + · · · + amt^m∈ k[t]. Pierwiastków takich jest oczywiście co najwyżej m, a więc skończenie wiele.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.4 Ideały jednorodne postaci I_p(X)

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Wszystkie fakty podane w tym podrozdziale są podobne do odpowiednich faktów z geo- metrii afinicznej. Zakładamy, tak jak poprzednio, że k jest ciałem nieskończonym.

Definicja 1.4.1. Jeżeli X ⊆ Pⁿ(k) jest podzbiorem, to oznaczmy:

I_p(X) = {f ∈ k[S]; każdy punkt x ∈ X jest zerem wielomianu f }.

W szczególności I_p(∅) = k[S].

(1) I_p(X) jest radykalnym ideałem jednorodnym w k[S].

(2) Jeżeli X ⊆ Y , to I_p(Y ) ⊆ I_p(X).

(3) Jeżeli X ⊆ Pⁿ(k), to X ⊆ V_pI_p(X).

(4) Jeżeli F ⊆ k[S], to F ⊆ I_pV_p(F ).

(5) V_pI_pV_p = V_p. (6) I_pV_pI_p= I_p.

Jeżeli X ⊆ Pⁿ(k) jest podzbiorem, to przezX oznaczamy domknięcie zbioru X w topologii Zariskiego na Pⁿ(k).

Stwierdzenie 1.4.3. X = VpI_p(X).

Dowód. Z 1.4.2(3) widzimy, że VpIp(X) jest zbiorem domkniętym zawierającym X. Niech W = Vp(F ), gdzie F ⊆ k[S], będzie dowolnym zbiorem domkniętym zawierającym X. Wtedy X ⊆ W więc I_p(W ) ⊆ I_p(X), więc X ⊆ V_pI_p(X) ⊆ V_pI_p(W ) = V_pI_pV_p(F ) = V_p(F ) = W. Zatem każdy zbiór domknięty zawierający X zawiera zbiór VpIp(X).

Stwierdzenie 1.4.4. Jeżeli X ⊆ Pⁿ(k) jest podzbiorem, to I_p(X) = I_p(X).

Dowód. Wiemy, że X = VpIp(X). Zatem Ip(X) = IpVpIp(X) = Ip(X).

Stwierdzenie 1.4.5. Niech X ⊆ Pⁿ(k) będzie podzbiorem. Wtedy I_p(X) = 0 ⇐⇒ X = Pⁿ(k).

(10)

Dowód. Jeśli Ip(X) = 0, to z 1.4.3 mamy: Pⁿ(k) = Vp(0) = VpIp(X) = X. Niech Pⁿ(k) = X.

Wtedy (na mocy Stwierdzenia 1.4.4 oraz założenia o nieskończoności ciała k) I_p(X) = I_p(X) = Ip(Pⁿ(k)) = 0.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5 Operacje podnoszenia i opuszczania

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Wprowadziliśmy (dla każdego i ∈ {0, . . . , n}) dwa, wzajemnie odwrotne, odwzorowania µi : Aⁿi −→ kⁿ, ν_i : kⁿ−→ Aⁿi,

(x₀ : · · · : x_i: · · · : x_n) 7−→ (^µⁱ ^x_x⁰

i, . . . ,^c^x_xⁱ

i, . . . ,^x_xⁿ

i),

(x₀, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) 7−→ (x^νⁱ ₀ : · · · : x_i−1: 1 : x_i+1: · · · : x_n).

Jeśli i = 0, to odwzorowania te będziemy oznaczać przy pomocy symbolu , pisanego od- powiednio u dołu i u góry. Jeśli x = (x₀ : · · · : x_n) ∈ Pⁿ(k) jest punktem należącym do Aⁿ0, to x jest punktem afinicznej przestrzeni kⁿ równym punktowi (^x_x¹

0, . . . ,^x_xⁿ

0). Jeśli natomiast y = (y₁, . . . , y_n) ∈ kⁿ, to y = (1 : y₁ : · · · : y_n) ∈ Aⁿ0. Zachodzą następujące równości:

(x)= x, dla x ∈ Aⁿ0 oraz (y) = y, dla y ∈ kⁿ. Podobne oznaczenia stosować będziemy dla podzbiorów.

X = {x; x ∈ X}, gdy X ⊆ Aⁿ0 oraz Y= {y; y ∈ Y }, gdy Y ⊆ kⁿ. Wtedy (X)= X i (Y)= Y . W szczególności (Aⁿ₀) = kⁿ oraz (kⁿ) = Aⁿ₀.

Wprowadzimy teraz podobne oznaczenia dla wielomianów. Niech k[T ] = k[T₁, . . . , T_n], k[S] = k[S0, . . . , Sn] będą pierścieniami wielomianów. Przez Form_k[S] = Form_k[S₀, . . . , Sn] oznaczmy zbiór wszystkich jednorodnych wielomianów należących do k[S].

Definicja 1.5.1. Jeżeli F ∈ Formk[S] i G ∈ k[T ], to przez Fi Goznaczmy wielomiany, należące odpowiednio do k[T ] i Form_k[S], określone następująco:

F(T₁, . . . , Tn) = F (1, T1, . . . , Tn), G(S₀, . . . , S_n) = S₀^{deg G}G(^S_S¹

0, . . . ,^S_Sⁿ

0), gdy G 6= 0 i G= 0 dla G = 0.

Przykład 1.5.2.

(1) Dla F (S₀, S₁, S₂) = S₁²S₂+ S₀²S₁+ S₀S₁S₂+ S₀³∈ k[S₀, S₁, S₂], mamy:

F(T₁, T₂) = T₁²T₂+ T₁T₂+ T₁+ 1.

(2) Jeśli G = 2T₁T2+ T₂+ 3 ∈ k[T₁, T2], to G(S₀, S1, S2) = 2S₁S2+ S₀S2+ 3S₀². Podamy teraz podstawowe własności wielomianów postaci F i G.

Stwierdzenie 1.5.3. Niech F ∈ Form_k[S]. Wtedy:

(1) deg F 6 deg F ;

(2) jeśli S₀- F , to deg F= deg F ; (3) jeśli S₀- F , to (F)= F .

(11)

Stwierdzenie 1.5.4. Niech G ∈ k[T ]. Wtedy:

(1) deg G= deg G;

(2) (G) = G;

(3) jeśli G 6= 0, to S₀ - G.

Stwierdzenie 1.5.5. Jeśli F₁, F₂ ∈ Form_k[S], to F₁F₂ ∈ Form_k[S] i (F₁F₂) = F₁F₂. Jeśli G₁, G2 ∈ k[T ], to (G₁G2)= G₁G₂.

Stwierdzenie 1.5.6. Niech F₁, F₂ ∈ Form_k[S] oraz G₁, G₂ ∈ k[T ]. Jeśli formy F₁ i F₂ są tego samego stopnia, to F₁ + F₂ ∈ Form_k[S] i (F₁ + F₂) = F₁+ F₂. Jeśli wielomiany G₁, G₂ oraz G₁+ G₂ są tego samego stopnia, to (G₁+ G₂) = G₁ + G₂.

Stwierdzenie 1.5.7. Niech F ∈ Formk[S], G ∈ k[T ], F 6∈ k, G 6∈ k oraz S₀- F . (1) F jest formą nierozkładalną ⇐⇒ F jest wielomianem nierozkładalnym.

(2) G jest wielomianem nierozkładalnym ⇐⇒ G jest formą nierozkładalną.

Dowód. Załóżmy, że G jest wielomianem nierozkładalnym i przypuśćmy, że G = F₁F₂, gdzie F1, F2 ∈ k[S] r k. Wtedy F1, F2 ∈ Formk[S]. Ponieważ S0 - G (Stwierdzenie 1.5.4), formy F1 i F2

nie są podzielne przez S0. Zatem G = (G) = (F1F2) = (F1)(F2) oraz (F1)6∈ k i (F2) 6∈ k.

Otrzymaliśmy sprzeczność z nierozkładalnością wielomianu G. Podobnie wykazujemy pozostałe części tego stwierdzenia.

Z powyższych stwierdzeń wynika:

Stwierdzenie 1.5.8. Niech F ∈ Form_k[S], F 6∈ k, S₀ - F , G ∈ k[T ], G 6∈ k.

(1) Jeśli F = F₁· · · F_r jest rozkładem formy F na czynniki nierozkładalne, to F = F₁· · · F_r jest rozkładem wielomianu F na czynniki nierozkładalne.

(2) Jeśli G = G₁· · · G_r jest rozkładem wielomianu G na czynniki nierozkładalne, to G= G₁ · · · G_r jest rozkładem formy G na czynniki nierozkładalne.

Jeśli A ⊆ k[T ] jest podzbiorem, to afiniczny zbiór domknięty V(A) będziemy teraz ozna- czać przez V_a(A). Ideały pierścienia k[T ] postaci I(X) oznaczać będziemy przez I_a(X).

(1) Jeśli F₁, . . . , F_r∈ Form_k[S], to V_p(F₁, . . . , F_r) ∩ Aⁿ₀ = V_a(F₁, . . . , F_r). (2) Jeśli G₁, . . . , G_r ∈ k[T ], to V_a(G₁, . . . , G_r)= V_p(G₁, . . . , G_r) ∩ Aⁿ0. Stwierdzenie 1.5.10. Niech X ⊆ Aⁿ0, F ∈ Form_k[S] oraz G ∈ k[T ]. Wtedy:

(1) F∈ I_a(X) ⇐⇒ F ∈ I_p(X);

(2) G ∈ I_a(X) ⇐⇒ G∈ I_p(X).

Dowód. Dla wielomianów zerowych jest to oczywiste. Załóżmy, że F 6= 0 i G 6= 0.

Niech x = (x0: · · · : xn) ∈ X. Wtedy x06= 0 oraz F (x) = F (x0, . . . , xn) = x^{deg F}₀ F (1,^x_x¹

0, . . . ,^x_xⁿ

0) = x^{deg F}₀ F(^x_x¹

0, . . . ,^x_xⁿ

0) = x^{deg F}₀ F(x).

Stąd wynika, że F (x) = 0 ⇐⇒ F(x) = 0. Mamy więc własność (1). Własność (2) wynika z równości G(x) = G(x₀, . . . , x_n) = x^{deg G}₀ G(^x_x¹

0, . . . ,^x_xⁿ

0) = x^{deg G}₀ G(x).

(12)

Stwierdzenie 1.5.11. Jeśli X jest niepustym zbiorem zawartym w Aⁿ0, następujące warunki są równoważne.

(1) I_a(X) jest ideałem pierwszym w k[T ].

(2) I_p(X) jest ideałem pierwszym w k[S].

Dowód. Ponieważ X 6= ∅, więc Ia(X) 6= k[T ] i Ip(X) 6= k[S].

(1) ⇒ (2). Niech P, Q ∈ Formk[S]. Załóżmy, że P Q ∈ Ip(X). Wtedy (Stwierdzenie 1.5.10) PQ∈ Ia(X), a zatem P ∈ Ia(X) lub Q ∈ Ia(X). To implikuje (na mocy Stwierdzenia 1.5.10), że P ∈ I_p(X) lub Q ∈ I_p(X). Ze Stwierdzenia 1.2.6 wynika więc, że I_p(X) jest ideałem pierwszym.

Implikacja (2) ⇒ (1) jest prostą konsekwencją Stwierdzenia 1.5.10.

Stwierdzenie 1.5.12. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte. Niech F ∈ Form_k[S], S0 - F i niech

X = Vp(F ) ∩ Aⁿ0.

Jeśli X 6= ∅, to X = V_p(F ), gdzie X jest domknięciem zbioru X w Pⁿ(k).

Dowód.Ponieważ Vp(F ) jest zbiorem domkniętym zawierającym X, więc X ⊆ Vp(F ). Udowod- nimy inkluzję w przeciwnym kierunku. W tym celu załóżmy, że X = Vp(G1, . . . , Gr), gdzie G1, . . . , Gr

są pewnymi jednorodnymi wielomianami z k[S]rk. Rozpatrzmy wielomian G¹. Ponieważ każdy punkt x ∈ X jest zerem wielomianu G1, więc wielomian ten nie jest postaci aS₀^p, gdzie a ∈ k r {0}, p > 0.

Załóżmy, że G1= S^p₀H, gdzie p > 0, H ∈ Formk[S], S0- H , deg H > 1.

Niech y = (y1, . . . , yn) ∈ kⁿ będzie takim punktem, że F(y) = 0. Pokażemy, że H(y) = 0.

Zauważmy najpierw, że F (y) = 0. Istotnie, ponieważ y = (1 : y1: · · · : yn) więc F (1, y1, . . . , yn) = F(y1, . . . , yn) = F(y) = 0.

Zatem y ∈ X. To implikuje, że G1(y) = 0, czyli H(y) = 0 (bo G1= S₀^pH). Ale H = (H), więc 0 = (H)(y) = 1^{deg H}H(y) = H(y).

Wykazaliśmy zatem, że wielomian H zeruje się we wszystkich takich punktach y ∈ kⁿ, w których zeruje się wielomian F. Z afinicznego twierdzenia Hilberta o zerach wynika więc, że wielomian H należy do radykału ideału (F). Zatem

(H)^q= P F, gdzie q > 0, P ∈ k[T ].

Stąd wynika, że

H^q = ((H))^q = ((H)^q)= (P F)= P(F) = PF,

a zatem H należy do radykału ideału (F ) pierścienia k[S]. Stąd dalej wynika, że G1 = S₀^pH należy też do tego radykału. W ten sam sposób pokazujemy, że wszystkie wielomiany G1, . . . , Gr należą do radykału ideału (F ). Mamy więc:

(G1, . . . , Gr) ⊆p (F ), a zatem X = Vp(G1, . . . , Gr) ⊇ Vp(F ).

Poniższy przykład pokazuje, że założenie ”S₀ - F ”, występujące w Stwierdzeniu 1.5.12, jest istotne.

Przykład 1.5.13. Niech F = S₀S₁ i niech X = V_p(F ) ∩ A¹₀. Wtedy V_p(F ) = {(1 : 0), (0 : 1)} oraz X = {(1 : 0)}. Zatem X = X 6= V_p(F ).

(13)

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.6 Stożek

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Z każdym podzbiorem X ⊆ Pⁿ(k) możemy stowarzyszyć podzbiór cone(X) ⊆ kⁿ⁺¹, zwany stożkiem nad X, zdefiniowany następująco:

cone(X) = {(x₀, . . . , x_n) ∈ kⁿ⁺¹; (x₀, . . . , x_n) = (0, . . . , 0) lub (x₀ : · · · : x_n) ∈ X}.

Przykład 1.6.1. Niech X = {(2 : 5)} ⊂ P¹(k). Wówczas

cone(X) = {(0, 0)} ∪ {(2r, 5r); 0 6= r ∈ k} = {(2r, 5r); r ∈ k}, czyli cone(X) jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) ∈ k² takich, że

( x = 2r, y = 5r,

gdzie r ∈ k. Jest to więc prosta w k² przechodząca przez punkty (0, 0) i (2, 5).

Przykład 1.6.2. Niech X = V_p(S₁² + S₂² − S₀²). Wtedy cone(X) jest zbiorem wszystkich punktów w k³leżących na prostych postaci l_(x,y), gdzie l_(x,y)oznacza prostą w k³przechodzącą przez punkty (0, 0, 0) i (1, x, y), przy czym x²+ y² = 1. W tym przypadku cone(X) jest więc zwykłym stożkiem w k³.

Stwierdzenie 1.6.3 ([Fult78] 90).

(1) Jeśli X jest niepustym podzbiorem w Pⁿ(k), to I_a(cone(X)) = I_p(X).

(2) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S] takim, że V_p(A) 6= ∅, to cone(V_p(A)) = V_a(A).

Dowód.(1). Niech f ∈ Ia(cone(X)). Pokażemy, że f ∈ Ip(X). Niech x będzie dowolnym punktem należącym do X i niech (x0, . . . , xn) będzie dowolnym ciągiem jednorodnych współrzędnych punktu x. Wtedy (x0, . . . , xn) ∈ cone(X), a więc f (x0, . . . , xn) = 0. Oznacza to, że punkt x jest zerem wielomianu f . Każdy więc punkt x ∈ X jest zerem wielomianu f . Zatem f ∈ Ip(X).

Załóżmy teraz, że f ∈ Ip(X). Ponieważ X 6= ∅, więc wielomian f nie ma wyrazu stałego. Zatem f ((0, . . . , 0)) = 0. Niech (x0, . . . , xn) będzie punktem w kⁿ⁺¹, różnym od punktu zerowego, takim, że (x0 : · · · : xn) ∈ X. Wtedy f (x0, . . . , xn) = 0 (bo f ∈ Ip(X)). Wielomian f zeruje się więc w każdym punkcie (x0, . . . , x_n) należącym do cone(X). Zatem f ∈ Ia(cone(X)).

(2). Niech (x0, . . . , xn) ∈ kⁿ⁺¹będzie punktem należącym do Va(A). Jeśli (x0, . . . , xn) = (0, . . . , 0), to oczywiście (x0, . . . , xn) ∈ cone(Vp(A)). Niech więc (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0). Pokażemy, że wtedy (x0 : · · · : xn) ∈ Vp(A). W tym celu rozpatrzmy dowolny wielomian f ∈ A. Ponieważ (x0, . . . , xn) ∈ Va(A), więc f (x0, . . . , xn) = 0. Z jednorodności ideału A wynika zatem, że f (ax0, . . . , axn) = 0, dla wszystkich a ∈ k r {0}. To oznacza, że punkt (x⁰ : · · · : xn) jest zerem wielomianu f i tak jest dla każdego f ∈ A. Zatem (x0 : · · · : xn) ∈ Vp(A), czyli (x0, . . . , xn) ∈ cone(Vp(A)). W ten sposób pokazaliśmy, że Va(A) ⊆ cone(Vp(A)).

Niech teraz, że (x0, . . . , xn) ∈ cone(Vp(A)). Z tego, że Vp(A) 6= ∅ wynika, że A 6= k[S] i stąd wynika, że A ⊂ (S₀, . . . , S_n) (bo ideał A jest jednorodny). Zatem (0, . . . , 0) ∈ V_a(A). Możemy więc założyć, że (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0). Wtedy (x0: · · · : xn) ∈ Vp(A), więc (x0, . . . , xn) ∈ Va(A).

(14)

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.7 Rzutowe twierdzenie Hilberta o zerach

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Jeżeli s jest liczbą naturalną, to przez J_s oznaczamy ideał w k[S] = k[S₀, . . . , S_n] gene- rowany przez wszystkie jednomiany w k[S] stopnia > s. Ideał ten zawiera w szczególności wszystkie jednomiany S₀^s, . . . , S_n^s. Jego radykałem√

J_s jest ideał (S₀, . . . , S_n). Zauważmy, że J_s= (S₀, S₁, . . . , S_n)^s. Jest oczywiste, że V_p(J_s) = ∅.

Poniższe twierdzenie jest rzutową wersją twierdzenia Hilberta o zerach.

Twierdzenie 1.7.1. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte.

(1) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S], to V_p(A) = ∅ ⇐⇒ ∃

s>1J_s⊆ A.

(2) Jeśli A jest jednorodnym ideałem w k[S] takim, że V_p(A) 6= ∅, to I_pV_p(A) =√ A.

(3) Operacje V_p, I_p ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rzutowymi zbiorami domkniętymi w Pⁿ(k), a jednorodnymi ideałami radykalnymi w k[S], różnymi od (S₀, . . . , S_n).

Dowód. (1). Wiemy już, że jeśli J_s⊆ A, to V_p(A) = ∅. Załóżmy teraz, że A jest jednorodnym ideałem w k[S] takim, że Vp(A) = ∅. Niech F1, . . . , Fr∈ Formk[S] będą generatorami ideału A. Roz- patrzmy wielomiany f1= F₁, . . . , fr= F_r należące do pierścienia k[T ] = k[T1, . . . , Tn]. Zauważmy, że Va(f1, . . . , fr) = ∅. Wynika to ze Stwierdzenia 1.5.9:

Va(f1, . . . , fr) = (Vp(F1, . . . , Fr) ∩ Aⁿ0) = (∅ ∩ Aⁿ0)= ∅.

Z afinicznej wersji twierdzenia Hilberta o zerach wynika więc, że 1 ∈ (f1, . . . , fr). Istnieją zatem wielomiany g1, . . . , gr∈ k[T ] takie, że

1 = g1f₁+ · · · + grf_r.

Podstawiając do tej równości T_i= S_i/S₀, dla i = 1, . . . , n, oraz mnożąc stronami przez odpowiednią potegę zmiennej S₀ stwierdzamy, że istnieje liczba naturalna p₀ taka, że S₀^p⁰ ∈ A.

W ten sam sposób dowodzimy, że dla każdego i = 1, . . . , n istnieje liczba naturalna p_i taka, że S_i^pⁱ ∈ A. Stąd łatwo wynika, że Js⊆ A, dla s = p0+ · · · + pn.

(2). Wynika to ze stwierdzenia 1.6.3 i afinicznego twierdzenia Hilberta o zerach. Mamy bowiem:

IpVp(A) = Ia(cone(Vp(A))) = IaVa(A) =√ A.

(3). Niech X będzie domkniętym zbiorem rzutowym w Pⁿ(k). Wtedy X = Vp(A), dla pewnego ideału A ⊆ k[S] i mamy:

VpIp(X) = VpIpVp(A) = Vp(A) = X.

Niech A będzie radykalnym ideałem jednorodnym w k[S], różnym od (S0, . . . , Sn). Jeśli A = k[S], to IpVp(A) = IpVp(k[S]) = Ip(∅) = k[S] = A. Załóżmy, że A 6= k[S]. Wtedy nie istnieje żadna liczba naturalna s taka, że Js ⊆ A, a zatem (na mocy (1)) Vp(A) 6= ∅ i stąd, korzystając z (2), mamy:

IpVp(A) =√

A = A.

Zanotujmy prosty wniosek wynikający z rzutowego Twierdzenia Hilberta o zerach.

Stwierdzenie 1.7.2. Załóżmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte. Jeśli Q ∈ k[S] jest jednorodnym wielomianem takim, że V_p(Q) = ∅, to Q jest niezerową stałą (należącą do k).