Równoważność wymiernych (X, m)-ciągów jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich wymiernych (X, m)-ciągów

Dowód.Sprawdźmy przechodniość. Niech F = (F0, . . . , F_m), G = (G0, . . . , G_m) i H = (H0, . . . , H_m) będą wymiernymi (X, m)-ciągami takimi, że F ∼ G i G ∼ H. Niech i, j, p ∈ {0, . . . , m}. Załóżmy, że G_p6∈ Ip(X). Mamy wtedy:

FiHjGp≡ FpHjGi≡ FpHiGj≡ FjHiGp(mod Ip(X)),

czyli (FiH_j−FjH_i)Gp∈ Ip(X). Ale Gp6∈ Ip(X) i Ip(X) jest ideałem pierwszym. Zatem FiH_j−FjH_i∈ Ip(X), czyli F ∼ H.

Definicja 4.2.4. Klasę abstrakcji wymiernego (X, m)-ciągu F = (F₀, . . . , Fm) względem relacji ∼ oznaczamy przez [F ] i nazywamy odwzorowaniem wymiernym z X do P^m.

Jeśli F = (F₀, . . . , Fm) jest wymiernym (X, m)-ciągiem, to przez V_p(F ) oznaczmy dom-knięty zbiór rzutowy w Pⁿ określony przez wielomiany F₀, . . . , F_m tzn.,

V_p(F ) = V_p(F₀, . . . , F_m).

Definicja 4.2.5. Dziedziną odwzorowania wymiernego [F ] z X do P^m nazywamy zbiór D_{[F ]} zdefiniowany następująco:

D_{[F ]}= ^[

G∈[F ]

X ∩ (Pⁿr Vp(G)) = X ∩ (Pⁿr

\

G∈[F ]

V_p(G)).

Zauważmy, że powyższa definicja dziedziny jest poprawna; nie zależy od wyboru wymier-nego (X, m)-ciągu F . Jeśli F ∼ G, to [F ] = [G] oraz D_{[F ]} = D_[G].

Stwierdzenie 4.2.6. Dziedzina D_{[F ]} jest niepustym i otwartym podzbiorem w X.

Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 4. Odwzorowania wymierne 43

Dowód. Z definicji wymiernego (X, m)-ciągu F = (F0, . . . , Fm) wiemy, że co najmniej jeden z wielomianów F₀, . . . , F_m, powiedzmy F₀, nie należy do ideału I_p(X). Oznacza to, że istnieje x ∈ X takie, że x 6∈ Vp(F0) ⊇ Vp(F0, . . . , Fm) = Vp(F ), czyli x 6∈ Vp(F ). Zbiór X ∩ (Pⁿr Vp(F )) nie jest więc pusty. Zatem D_{[F ]}6= ∅. Otwartość zbioru D_{[F ]}wynika z Definicji 4.2.5. 

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 4.3 Odwzorowania wymierne jako funkcje częściowe

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech, tak jak w poprzednim podrozdziale, X ⊆ Pⁿ będzie nieprzywiedlną rozmaitością quasi-rzutową i niech m będzie liczbą naturalną.

Lemat 4.3.1. Niech G, H będą (X, m)-ciągami i niech x ∈ X. Jeżeli G ∼ H oraz ciągi (G₀(x), . . . , G_m(x)), (H₀(x), . . . , H_m(x)) nie są zerowe, to

(G₀(x) : · · · : G_m(x)) = (H₀(x) : · · · : H_m(x)).

Dowód. Załóżmy, że Gp(x) 6= 0, Hq(x) 6= 0. Wtedy Gq(x)Hp(x) = Gp(x)Hq(x) 6= 0 więc Gq(x) 6= 0 i mamy:

(G₀(x) : · · · : G_m(x)) = (H_q(x)G₀(x) : · · · : H_q(x)G_m(x))

= (H0(x)Gq(x) : · · · : Hm(x)Gq(x))

= (H0(x) : · · · : Hm(x)).

Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do P^mi niech x ∈ D_{[F ]}. Z definicji zbioru D_{[F ]} wynika, że istnieje (X, m)-ciąg G ∈ [F ] taki, że x 6∈ V_p(G). Ciąg (G₀(x), . . . , G_m(x)) nie jest wtedy ciągiem zerowym. Istnieje zatem punkt (G₀(x) : · · · : G_m(x)) należący do P^m. Punkt ten (na mocy powyższego lematu) nie zależy od wyboru ciągu G należącego do [F ].

Definiujemy zatem element [F ](x) ∈ P^m, zwany wartością odwzorowania wymiernego [F ] w punkcie x ∈ D_{[F ]}, przyjmując

[F ](x) = (G₀(x) : · · · : G_m(x)), gdzie G jest takie, jak powyżej.

W ten sposób każde odwzorowanie wymierne [F ] z X do P^m staje się funkcją częściową [F ] : X −→◦ P^m, której dziedziną jest zbiór D_{[F ]}.

Stwierdzenie 4.3.2. Niech F, G będą (X, m)-ciągami. Jeśli istnieje niepusty zbiór otwarty U ⊆ X taki, że U ⊆ D_{[F ]}∩ D_[G] oraz [F ] | U = [G] | U , to [F ] = [G].

Dowód. Ponieważ U 6= ∅ więc istnieje u ∈ U . Wtedy u ∈ D_{[F ]} oraz u ∈ D_[G]. Istnieją zatem jednorodne wielomiany F⁰ ∈ [F ], G⁰ ∈ [G] takie, że u 6∈ V_p(F⁰), u 6∈ V_p(G⁰). Niech U₁ = X ∩ (Pⁿr Vp(F⁰)), U₂= X ∩ (Pⁿr Vp(G⁰)). Zbiory U₁, U₂ są otwarte w X i zawierają punkt u. Zatem U0= U ∩ U1∩ U2 jest niepustym i otwartym podzbiorem w X zawartym w U . Dla wszystkich y ∈ U0

ciągi (F₀⁰(y), . . . , F_m⁰ (y)), (G⁰₀(y), . . . , G⁰_m(y) są oczywiście niezerowe i (G⁰₀(y) : · · · : G⁰_m(y)) = (F₀⁰(y) : · · · : F_m⁰ (y)),

ponieważ [F ] | U0= [G] | U0. Dla każdego więc y ∈ U0 istnieje ay∈ k r {0} takie, że F_i⁰(y) = a_yG⁰_i(y), dla i = 0, . . . , m.

Wtedy, dla wszystkich i, j ∈ {0, . . . , m} mamy:

F_i⁰(y)G⁰_j(y) − F_j⁰(y)G⁰_i(y) = ayG⁰_i(y)G⁰_j(y) − ayG⁰_j(y)G⁰_i(y) = 0,

44 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 4. Odwzorowania wymierne

czyli F_i⁰G⁰_j− F_j⁰G⁰_i∈ Ip(U0) = Ip(X). To oznacza, że F⁰∼ G⁰. Zatem [F ] = [F⁰] = [G⁰] = [G]. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 4.4 Związek z odwzorowaniami regularnymi

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Definicja odwzorowania wymiernego jest podobna do definicji odzworowania regularne-go (patrz Stwierdzenie 3.3.3). Spójrzmy jeszcze raz na Przykład 3.4.4 i przedstawmy regularne-go w następujący, nieco inny, sposób.

Przykład 4.4.1. Niech X = V_p(S₁² + S₂² − S₀²) ∩ A²0, gdzie char(k) 6= 2 i niech m = 1.

Rozpatrzmy wielomiany

F0 = S₁− S₀, F1 = S₂.

Ze Stwierdzenia 1.5.12 oraz z rzutowego twierdzenia Hilberta o zerach wynika, że I_p(X) = I_p(X) = I_pV_p((S₁²+ S₂²− S₀²)) = (S₁²+ S₂²− S₀²).

Widzimy więc, że F₀ 6∈ I_p(X) (tę samą własność ma wielomian F₁, ale to nie jest tutaj istotne). Zatem F = (F₀, F₁) jest (X, 1)-ciągiem. Mamy więc odwzorowanie wymierne [F ] z X do P¹. Spójrzmy na to odwzorowanie jako na funkcję częściową z X do P¹. W tym celu zbadajmy najpierw dziedzinę D_{[F ]}. Niech x = (x₀ : x₁ : x₂) ∈ X. Wtedy x₀ 6= 0 oraz x²₁+ x²₂ = x²₀. Jest oczywiste, że jesśli x₀ 6= x₁, to ciąg (F₍x), F₁(x)) jest niezerowy. Każdy więc punkt x ∈ X z warunkiem x₀ 6= x₁ należy do zbioru D_{[F ]}. Podobnie, gdy x₂ 6= 0. Takie punkty też należą do D_{[F ]}. Zostaje tylko jeden punkt należący do X, o którym jeszcze nie wiemy, czy należy do D_{[F ]}. Punktem tym jest a = (1 : 1 : 0). Niech G = (G₀, G₁), gdzie

G0= −S₂, G1 = S₁+ S₀.

Ponieważ G₀ 6∈ I_p(X), więc G jest (X, 1)-ciągiem. Ponadto G ∼ F . Istotnie, F0G1− F₁G0 = (S₁− S₀)(S₁+ S₀) + S₂² = S₁²+ S₂²− S₀² ∈ I_p(X).

Zatem [F ] = [G]. Ciąg (G₀(a), G₁(a)) = (0, 2) jest niezerowy, więc punkt a również należy do D_{[F ]}.

Wykazaliśmy, że D_{[F ]} = X. Odwzorowanie wymierne [F ] jest więc zwykłą funkcją (tzn.

nie częściową) z X do P¹. Jest to dokładnie ta sama funkcja, która badana była w Przykładzie 3.4.4. Zatem [F ] jest odwzorowaniem regularnym z X do P¹.

Ze Stwierdzenia 3.3.3 oraz z definicji podanych w tym podrozdziale wynika:

Stwierdzenie 4.4.2. Niech [F ] : X −→◦ P^m będzie odwzorowaniem wymiernym. Następują-ce warunki są równoważne.

(1) [F ] jest odwzorowaniem regularnym z X do P^m. (2) D_{[F ]}= X. 

W szczególności każde odwzorowanie regularne z X do P^m jest odwzorowaniem wymier-nym. Poniższy przykład pokazuje, że stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi.

Przykład 4.4.3. Niech X = P² i niech

F0= S₁S2, F1 = S₀S2, F2= S₀S1.

Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 4. Odwzorowania wymierne 45

Wtedy I_p(X) = I_p(P²) = 0, więc F = (F₀, F₁, F₂) jest (P², 2)-ciągiem (tutaj nawet każdy wie-lomian F₀, F₁, F₂nie należy do I_p(X)). Mamy zatem odwzorowanie wymierne [F ] : P² −→◦ P². Pokażemy, że odwzorowanie to nie jest regularne.

Przypuśćmy, że jest. Wtedy D_{[F ]} = P², a zatem w szczególności punkt a = (0 : 0 : 1) należy do D_{[F ]}. Istnieje więc (P², 2)-ciąg G = (G₀, G₁, G₂) taki, że G ∼ F oraz

(G₀(a), G₁(a), G₂(a)) 6= (0, 0, 0).

Mamy wtedy równości:

G0S0S2 = G0F1 = G1F0 = G1S1S2

G0S0S1 = G0F2 = G2F0 = G2S1S2,

z których wynika, że S₁ | G₀, S₀| G₁ oraz S₀ | G₂. To implikuje, że (G₀(a), G₁(a), G₂(a)) = (0, 0, 0), co jest sprzecznością.

Stwierdzenie 4.4.4. Niech U będzie niepustym i otwartym podzbiorem w X. Jeśli f : U −→

P^m jest odwzorowaniem regularnym, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie wymierne [F ] z X do P^m takie, że U ⊆ D_{[F ]} oraz f = [F ] | U .

Dowód. Niech x ∈ U . Wtedy (na mocy Stwierdzenia 3.3.3) istnieje zbiór otwarty Ux ⊂ U zawierający x i istnieją jednorodne wielomiany F0, . . . , Fm∈ k[S] = k[S0, . . . , n] tego samego stopnia takie, że

f (y) = (F₀(y) : · · · : F_m(y)), dla wszystkich y ∈ U_x.

Stąd wynika, że co najmniej jeden z wielomianów F0, . . . , Fmnie należy do ideału Ip(Ux) = Ip(X). Dla każdego więc x ∈ U mamy (X, m)-ciąg Fx= (F0, . . . , F_m) taki, że Ux⊆ D[F_x] oraz [Fx] | Ux= f | Ux. Jeśli x, y ∈ U , to U_x⊆ D[F_x], U_y⊆ D[F_y] oraz

[Fx] | (Ux∩ Uy) = f | (Ux∩ Uy) = [Fy] | (Ux∩ Uy).

Ustalmy jedno x ∈ X i niech F = Fx. Ze Stwierdzenia 4.3.2 (i powyższych równości) wynika, że [F ] = [Fy], dla wszystkich y ∈ U . Zatem U ⊆ D[F ]oraz f = [F ] | U . Jednoznaczność jest konsekwencją Stwierdzenia 4.3.2.

Zanotujmy jeszcze następującą konsekwencję Stwierdzenia 3.3.3.

Wniosek 4.4.5. Jeśli [F ] jest odwzorowaniem wymiernym z X do P^m, to zwykła funkcja [F ] | D_{[F ]}: D_{[F ]}−→ P^m

jest odwzorowaniem regularnym z D_{[F ]} do P^m.  Stąd i ze Stwierdzenia 3.9.2 otrzymujemy:

Wniosek 4.4.6. Jeśli [F ] jest odwzorowaniem wymiernym z X do P^m, to [F ] | D_{[F ]} jest funkcją ciągłą. 

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 4.5 Odwzorowania wymierne z X do Y

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Załóżmy, że X ⊆ Pⁿ, Y ⊆ P^m są nieprzywiedlnymi rozmaitościami quasi-rzutowymi.

46 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 4. Odwzorowania wymierne

Definicja 4.5.1. Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do P^m. Mówimy, że [F ] jest odwzorowaniem wymiernym z X do Y jeśli istnieje niepusty zbiór otwarty U w X taki, że U ⊆ D_{[F ]} oraz [F ](U ) ⊆ Y .

Z tego, że istnieje niepusty zbiór otwarty U , taki jak w powyższej definicji, nie wynika, że każdy zbiór otwarty U⁰ zawarty w D_{[F ]} ma własność [F ](U⁰) ⊆ Y .

Przykład 4.5.2. Niech X = Vp(S₁²+ S₂²− S₀²) ∩ A²0, gdzie char(k) 6= 2 i niech m = 1 (patrz Przykład 4.4.1). Niech F = (F₀, F1), gdzie

F0 = S₁− S₀, F1 = S₂.

Wiemy, że D_{[F ]}= X. Rozpatrzmy (nieprzywiedlną) rozmaitość quasi-rzutową Y = A¹₀. Niech U = X ∩ (P²r Vp(S₁− S₀)). Wtedy U jest oczywiście zbiorem otwartym w X = D_{[F ]}. Jest to zbiór niepusty, bo (5 : 3 : 4) ∈ U . Jeśli x ∈ U , to F₀(x) 6= 0, więc [F ](U ) ⊆ Y .

Zbiorem otwartym zawartym w D_{[F ]} jest również zbiór U⁰= X ∩ (P²r Vp(S₀+ S₁)). Ten zbiór też jest niepusty gdyż a = (1 : 1 : 0) ∈ U⁰. Z Przykładu 4.4.1 wiemy, że [F ](a) = (0 : 2).

Zatem [F ](a) 6∈ Y , a więc zbiór [F ](U⁰) nie jest zawarty w Y .

Niech [F ] będzie odwzorowaniem wymiernym z X do Y . Z powższego przykładu wynika, że zbiór [F ](D_{[F ]}) nie musi być podzbiorem zbioru Y . Sumę mnogościową ˜U , wszystkich zbiorów otwartych U ⊆ X takich, że U ⊆ D_{[F ]} oraz [F ](U ) ⊆ Y , nazywamy dziedziną regularności odwzorowania [F ]. ˜U jest niepustym i otwartym podzbiorem w X. Zbiór [F ]( ˜U ) nazywamy obrazem odwzorowania [F ].

Tak jak w przypadku afinicznym, jeśli obraz wymiernego odwzorowania [F ] z X do Y jest zbiorem gęstym w Y , to określony jest k-homomorfizm ciał F^∗ : k(Y ) −→ k(X). Jeśli odwzorowanie wymierne [F ] (z X do Y ) posiada odwrotne odwzorowanie wymierne, to [F ] nazywamy biwymiernym izomorfizmem. Mówimy wtedy, że rozmaitości quasi-rzutowe X i Y są biwymiernie izomorficzne. W tym przypadku włożenie F^∗ : k(Y ) −→ k(X) jest k-izomorfizmem ciał. Można udowodnić następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 4.5.3 ([Szaf88]69). Jeśli X i Y są nieprzywiedlnymi rozmaitościami qua-si-rzutowymi, to następujące warunki są równoważne.

(1) Rozmaitości X i Y są biwymiernie izomorficzne.

(2) Istnieją otwarte zbiory U w X oraz U⁰ w Y , które są regularnie izomorficzne.  oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 4.6 Odwzorowanie Veronese

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech n, m będą liczbami naturalnymi i niech

d_n,m = n + m m

!

− 1.

Podamy przykład różnowartościowego odwzorowania regularnego ν_m : Pⁿ−→ P^dn,m takiego, że:

(a) obraz ν_m(Pⁿ) jest zbiorem domkniętym w P^dn,m,

(b) odwzorowanie odwrotne, z ν_m(Pⁿ) do Pⁿ, jest regularne.

Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 4. Odwzorowania wymierne 47

Przed zdefiniowaniem tego odwzorowania oznaczmy przez L(n, m) zbiór wszystkich cią-gów α = (α₀, . . . , α_n) nieujemnych liczb całkowitych takich, że α₀+ · · · + α_n = m. Dobrze wiadomo, że zbiór ten ma dokładnie d_n,m+ 1 = ^n+m_m
elementów. Współrzędne jednorodne punktów przestrzeni rzutowej P^dn,m możemy zatem indeksować elementami zbioru L(n, m).

Każdy więc punkt u ∈ P^dn,m jest klasą abstrakcji niezerowego ciągu (u_α)_α∈L(n,m) elementów z k.

Każdemu ciągowi α ∈ L(n, m) odpowiada dokładnie jeden jednomian Fα ∈ k[S₀, . . . , S_n] stopnia m zdefiniowany wzorem:

Fα = S₀^α0· · · S_n^αn.

Wielomiany postaci F_αsą oczywiście niezerowe. Nie należą więc do ideału I_p(Pⁿ) = 0. Mamy zatem wymierny (Pⁿ, dn,m)-ciąg

F = (F_α)_α∈L(n,m),

który określa odwzorowanie wymierne [F ] z Pⁿdo P^dn,m. Odwzorowanie to oznaczać będziemy przez ν_m i nazywać odwzorowaniem Veronese.

Ponieważ w zbiorze {F_α; α ∈ L(n, m)} są wszystkie jednomiany S₀^m, S₁^m, . . . , S_n^m, więc ciąg (F_α(x)) jest niezerowy, dla każdego x ∈ Pⁿ. Oznacza to, że dziedziną odwzorowania Veronese ν_m jest cały zbiór Pⁿ. Zatem ν_m: Pⁿ−→ P^dn,m jest odwzorowaniem regularnym.

Stwierdzenie 4.6.1. (1) Odwzorowanie ν_m jest różnowartościowe.

(2) Obraz ν_m(Pⁿ) jest rzutowym zbiorem domkniętym w P^dn,m. Dokładniej:

ν_m(Pⁿ) = V_p(A),

gdzie A jest jednorodnym ideałem w k[Z] = k[Z_α; α ∈ L(n, m)] generowanym przez wszystkie wielomiany postaci

Z_αZ_β− Z_γZ_δ, α, β, γ, δ ∈ L(n, m), α + β = γ + δ. (4.1) (3) Odwzorowanie odwrotne ν_m(Pⁿ) −→ Pⁿ jest regularne.

Dowód. (1). Załóżmy, że a = (a0 : · · · : an), b = (b0 : · · · : bn) ∈ Pⁿ i νm(a) = νm(b). jednorodnych współrzędnych punktu u. Co najmniej jeden z elementów postaci uα jest oczywiście różny od zera. Ponieważ punkt u jest zerem każdego wielomianu postaci (4.1), więc nie jest trudno zauważyć, że co najmniej jeden z elementów

u(m,0,...,0), u(0,m,...,0), . . . , u(0,0,...,m)

48 Andrzej Nowicki, 2003 4. Odwzorowania wymierne rozmaitości quasi-rzutowych

jest różny od zera. Dla ustalenia uwagi niech u(m,0,...,0) 6= 0. Przyjmujemy wtedy:

a0= u(m,0,0,...,0, a1= u(m−1,1,0,...,0), a2= u(m−1,0,1,...,0), . . . , an = u(m−1,0,0,...,1). Łatwo sprawdzić, że wtedy u = νm(a), gdzie a = (a0: a1: · · · : an). Zatem Vp(A) ⊆ νm(Pⁿ).

(3). Regularność odwzorowania odwrotnego µ : ν_m(Pⁿ) = V_p(A) −→ Pⁿ wynika z dowodu wła-sności (2). Odwzorowanie µ obcięte do zbioru postaci Vp(A) ∩ A^dαn,m jest bowiem odpowiednim rzu-towaniem. 

Przykład 4.6.2. Powtórzmy dowód własności (2) powyższego stwierdzenia w przypadku,