1.1. Poziom podstawowy
Arkusz egzaminacyjny z matematyki dla poziomu podstawowego (czas trwania egzaminu 170 minut) zawierał 34 zadania, w tym 25 zadań zamkniętych, 6 zadań krótkiej odpowiedzi oraz 3 zadania rozszerzonej odpowiedzi.
Zadania zamknięte badały przede wszystkim znajomość i rozumienie podstawowych pojęć matematycznych, definicji i twierdzeń oraz umiejętność posługiwania się tą wiedzą w praktyce.
Zadania otwarte sprawdzały umiejętność analizowania i interpretowania problemów matematycznych oraz formułowania opisu matematycznego danej sytuacji.
Tematyka zadań egzaminacyjnych w arkuszu dla poziomu podstawowego obejmowała większość treści z podstawy programowej. Za rozwiązanie zadań zdający mógł otrzymać 50 pkt.
1.2. Poziom rozszerzony
Arkusz dla poziomu rozszerzonego (czas trwania egzaminu 180 minut) zawierał 11 zadań otwartych. Sprawdzały one wiadomości i umiejętności określone w standardach wymagań egzaminacyjnych dla poziomu rozszerzonego. Zadania egzaminacyjne badały przede wszystkim umiejętność poprawnego interpretowania tekstu matematycznego, analizowania sytuacji problemowych i podawania do nich opisu matematycznego oraz argumentowania i prowadzenia matematycznego rozumowania. Za rozwiązanie zadań zdający mógł otrzymać 50 pkt.
2. Wyniki egzaminu 2.1. Poziom podstawowy
Wykres 1. Rozkład wyników na poziomie podstawowym
76 Tabela 1. Wyniki egzaminu – parametry statystyczne
Liczba
zdających Minimum Maksimum Mediana Średnia Odchylenie standardowe
Odsetek sukcesów
361679 0 100 60 58,52 23,48 87
Parametry statystyczne wyliczono dla wyników wyrażonych w procentach.
Wykres 2. Średnie wyniki w różnych typach szkół
Średni wynik egzaminu był najwyższy wśród absolwentów liceów ogólnokształcących.
Dla absolwentów pozostałych typów szkół arkusz dla poziomu podstawowego okazał się trudny.
Tabela 2. Poziom wykonania zadań i ich moc różnicująca Nr
zad. Obszar standardów Sprawdzana umiejętność Poziom wykonania
zadania
Moc różnicująca
1
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie interpretacji
geometrycznej wartości bezwzględnej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu x a
− ≥
b0,66 0,49
2 Modelowanie
matematyczne Wykonanie obliczeń procentowych 0,73 0,46
3 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Wykorzystanie w obliczeniach praw
działań na potęgach 0,94 0,33
4 Użycie i tworzenie
strategii Obliczenie sumy logarytmów 0,70 0,57
5 Wykorzystanie
i tworzenie informacji Wykonanie dodawania wielomianów 0,90 0,43 6 Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Rozwiązanie prostego równania wymiernego, prowadzącego do równania liniowego
0,82 0,54
77 7
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności
kwadratowej 0,90 0,40
8
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji
kwadratowej 0,67 0,46
9
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Zinterpretowanie współczynników
we wzorze funkcji liniowej 0,76 0,53
10
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Odczytanie wartości funkcji z jej
wykresu 0,70 0,41
11 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Wyznaczenie wyrazów ciągu
arytmetycznego 0,86 0,38
12 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Wyznaczenie wyrazów ciągu
geometrycznego 0,78 0,54
13
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie liczby przekątnych
wielokąta 0,51 0,30
14
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Zastosowanie związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia
0,73 0,56
15 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Wyznaczenie długości boku kwadratu
wpisanego w okrąg 0,64 0,50
16 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wysokości trójkąta
równoramiennego 0,86 0,44
17 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Posługiwanie się własnościami figur podobnych do obliczania długości
odcinków 0,52 0,54
18 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Korzystanie ze związków między kątem wpisanym i środkowym do
obliczenia miary kąta 0,90 0,37
19
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie pola figury płaskiej z zastosowaniem funkcji
trygonometrycznych 0,55 0,39
20
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Wskazanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej
do danej prostej 0,75 0,49
21
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Wskazanie równania okręgu o podanej
długości promienia 0,84 0,48
22
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie odległości punktów na
płaszczyźnie 0,65 0,46
23 Wykorzystanie i tworzenie informacji
Obliczenie pola powierzchni
wielościanu 0,82 0,43
24 Wykorzystanie
i tworzenie informacji Obliczenie liczby krawędzi wielościanu 0,69 0,49 25 Wykorzystanie
i tworzenie informacji Obliczenie średniej arytmetycznej 0,93 0,33
78 26
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązanie nierówności kwadratowej 0,60 0,69
27 Wykorzystanie
i tworzenie informacji Rozwiązanie równania wielomianowego 0,61 0,69 28 Rozumowania
i argumentacji
Przeprowadzenie dowodu geometrycznego składającego się
z niewielkiej liczby kroków 0,08 0,44
29 Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczenie wartości funkcji
trygonometrycznych kąta ostrego 0,57 0,62 30 Rozumowania
i argumentacji Wykazanie prawdziwości nierówności 0,16 0,57 31 Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Wykorzystanie związków miarowych
w trójkącie prostokątnym i równobocznym 0,46 0,67 32 Użycie i tworzenie
strategii Obliczenie objętości wielościanu 0,47 0,77
33 Modelowanie matematyczne
Obliczenie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji
prawdopodobieństwa 0,34 0,64
34 Modelowanie matematyczne
Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym
prowadzącego do równania kwadratowego
0,44 0,82
Wskaźnik łatwości zadań mieścił się w przedziale 0,08–0,94. Najtrudniejszymi okazały się zadania, w których zdający mieli się wykazać umiejętnością przeprowadzenia rozumowania składającego się z niewielkiej liczby kroków (zadania 28, 30) – standard V. Zdający w zadaniu 28.
mieli przeprowadzić krótki dowód geometryczny, a w zadaniu 30. wykazać prawdziwość nierówności.
Tabela 3. Rozkład wyników zdających na skali staninowej Klasa
(stanin) Wyniki na świadectwie (przedziały procentowe)
Procent zdających w kraju, którzy uzyskali wyniki w poszczególnych przedziałach (procenty podano w przybliżeniu)
1 0−16 4
Wyrażone w procentach zakresy odpowiadające klasom wyników są zależne od osiągnięć całej populacji. Zdający, których wyniki znalazły się w klasie średniej, uzyskali w tym roku 51–66%
punktów. Aby wynik został zaliczony do klasy najwyższej zdający musiał uzyskać co najmniej 95%
punktów.
79 2.2. Poziom rozszerzony
Wykres 3. Rozkład wyników egzaminu na poziomie rozszerzonym Tabela 4. Wyniki egzaminu – parametry statystyczne
Liczba
zdających Minimum Maksimum Mediana Średnia Odchylenie standardowe
54235 0 100 50 49,32 25,24
Parametry statystyczne wyliczono dla wyników wyrażonych w procentach.
Wykres 4. Średnie wyniki w różnych typach szkół
80
Najwyższy średni wynik na poziomie rozszerzonym uzyskali absolwenci liceów ogólnokształcących.
Tabela 5. Poziom wykonania zadań i ich moc różnicująca Nr
zad. Obszar standardów Sprawdzana umiejętność Poziom wykonania
zadania
Moc różnicująca 1 Użycie i tworzenie
strategii
Rozwiązanie nierówności z wartością
bezwzględną 0,59 0,75
2 Użycie i tworzenie strategii
Rozwiązanie równania
trygonometrycznego 0,71 0,72
3 Użycie i tworzenie strategii
Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej
0,34 0,71
4 Użycie i tworzenie strategii
Zastosowanie twierdzenia o reszcie
z dzielenia wielomianów przez dwumian 0,71 0,70 5 Modelowanie
matematyczne
Wykorzystanie własności ciągu
arytmetycznego i ciągu geometrycznego 0,79 0,67 6 Użycie i tworzenie
strategii
Przeprowadzenie dyskusji trójmianu
kwadratowego z parametrem 0,61 0,80
7 Użycie i tworzenie strategii
Zastosowanie równań i nierówności do opisania zależności w prostokątnym układzie współrzędnych
0,40 0,70
8 Rozumowania
i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego 0,25 0,72 9 Rozumowania
i argumentacji
Przeprowadzenie dowodu
geometrycznego 0,57 0,65
10 Modelowanie matematyczne
Obliczenie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa
0,29 0,47
11 Użycie i tworzenie strategii
Obliczenie objętości wielościanu
z wykorzystaniem trygonometrii 0,23 0,69 Wskaźnik łatwości zadań mieścił się w przedziale 0,23–0,79. Najtrudniejsze okazały się zadania, do rozwiązania których zdający musiał wykazać się umiejętnością tworzenia i użycia strategii rozwiązania problemu (zadanie 3, 11), oraz umiejętnością rozumowania, w trakcie którego tworzył łańcuch argumentów i uzasadniał jego poprawność (zad. 8).
Tabela 6. Rozkład wyników zdających na skali staninowej Klasa
(stanin) Wyniki na świadectwie (przedziały procentowe)
Procent zdających w kraju, którzy uzyskali wyniki w poszczególnych przedziałach (procenty podano w przybliżeniu)
1 0−6 4
Zdający, których wyniki znalazły się w klasie średniej, uzyskali w tym roku 45–56% punktów.
Aby znaleźć się w klasie najwyższych wyników zdający musiał uzyskać co najmniej 91% punktów.
W tym staninie znalazło się 2051 osób.
81 Komentarz
1. Status i forma egzaminu
Rok 2010 przyniósł znaczącą zmianę w polskim systemie egzaminacyjnym: po dwudziestu pięciu latach nieobecności matematyka ponownie stała się przedmiotem, który maturzyści zdają obowiązkowo na maturze. W efekcie ostatecznie ukształtował się naturalny rdzeń egzaminu maturalnego w postaci: język ojczysty, język obcy nowożytny oraz matematyka – język przyrody.
Podobnie jak w poprzednich latach, Centralna Komisja Egzaminacyjna przygotowała dwa arkusze egzaminacyjne: dla poziomu podstawowego i dla poziomu rozszerzonego. Do ubiegłego roku maturzysta mógł albo wybrać jeden z tych arkuszy, albo nawet całkowicie zrezygnować ze zdawania matematyki. W bieżącym roku każdy maturzysta miał obowiązek przystąpić do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym – przez 170 minut rozwiązywał zadania z arkusza na tym poziomie. Część maturzystów wybrała także matematykę jako przedmiot dodatkowy – po przerwie, w ciągu dodatkowych 180 minut, rozwiązywali zadania z arkusza dla poziomu rozszerzonego.
Wszystkich zdających maturę było w tym roku 361679. Arkusz z matematyki na poziomie rozszerzonym wybrało 54235 maturzystów, czyli niemal 15% wszystkich zdających.
2. Opis arkuszy
W arkuszach egzaminacyjnych występowały zadania zamknięte oraz zadania otwarte dwóch typów:
zadania krótkiej odpowiedzi i zadania rozszerzonej odpowiedzi. W zadaniach zamkniętych zdający wybierał jedną z zaproponowanych odpowiedzi. W zadaniach otwartych zdający przedstawiał swoje własne rozwiązanie. W zadaniach rozszerzonej odpowiedzi wymagana jest wypowiedź bardziej rozbudowana, niż w zadaniach krótkiej odpowiedzi.
W bieżącym roku arkusz dla poziomu podstawowego zawierał 34 zadania, w tym:
• 25 zadań zamkniętych
• 6 zadań otwartych krótkiej odpowiedzi
• 3 zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi.
Arkusz na poziomie rozszerzonym zawierał 11 zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi.
3. Ocenianie zadań
Za rozwiązania zadań z każdego arkusza można było uzyskać maksymalnie 50 punktów. Punktacja pojedynczych zadań wahała się od 1 do 6 punktów – była podana obok zadania.
Za każde zadanie zamknięte zdający mógł otrzymać 1 punkt. Za zadanie krótkiej odpowiedzi – 2 punkty, zaś za zadanie rozszerzonej odpowiedzi – od 4 do 6 punktów.
Ocena zadań zamkniętych jest – ze swej natury – prosta, gdyż czysto mechaniczna.
Ogólna zasada oceniania zadań otwartych począwszy od matury 2010 roku jest inna niż do tej pory.
Przyjęty system, zwany systemem holistycznym, polega na spojrzeniu całościowym na rozwiązanie i jest bliższy sposobowi, w jaki nauczyciele oceniają rozwiązania uczniowskie w szkole. Każdy nauczyciel matematyki oceniając rozwiązanie zadania, potrafi odpowiedzieć na pytanie, czy zadanie zostało w istocie rozwiązane przez ucznia. Obecnie stosowana metoda oceny otwartych zadań egzaminacyjnych wywodzi się z tej idei. Polega ona na tym, że ocena zależy przede wszystkim od tego, jak daleko zdający doprowadził swoje rozwiązanie. Tę metodę oceniania przetestowano przy ocenianiu matury próbnej z matematyki w listopadzie ubiegłego roku.
W zadaniach krótkiej odpowiedzi (0-2 pkt) zdający otrzymuje 1 punkt za rozwiązanie, którego nie doprowadził do końca lub w którym popełnił pewne błędy; określone jest jednak minimum, które w tym rozwiązaniu musi być osiągnięte, by ten jeden punkt otrzymać.
W rozwiązaniach zadań rozszerzonej odpowiedzi (0-4, 0-5 lub 0-6 pkt) zostaje wyróżniona najważniejsza faza, nazywana pokonaniem zasadniczych trudności zadania. Przyjęto zasadę, że za pokonanie zasadniczych trudności zadania przyznaje się co najmniej połowę punktów, jakie zdający otrzymałby za bezbłędne rozwiązanie tego zadania. Tak więc w zadaniu za 4 punkty, za pokonanie zasadniczych trudności przyznajemy, zależnie od zadania, 2 lub 3 punkty. W zadaniu za 5 punktów, za pokonanie zasadniczych trudności zadania na ogół przyznajemy 3 punkty.
W zadaniach za 6 punktów – na ogół 3 lub 4 punkty.
82
Wyróżnienie w rozwiązaniu zadania rozszerzonej odpowiedzi fazy pokonania zasadniczych trudności zadania powoduje następnie wyróżnienie kilku innych faz pośrednich. Przed pokonaniem zasadniczych trudności zadania możemy wyróżnić jeszcze jedną lub dwie fazy je poprzedzające:
dokonanie niewielkiego postępu, który jednak jest konieczny dla rozwiązania zadania oraz dokonanie istotnego postępu w rozwiązaniu zadania. Zdający, który pokonał zasadnicze trudności zadania mógł na tym poprzestać lub mógł kontynuować rozwiązanie. Wyróżniamy ważną kategorię rozwiązań, w których zdający pokonał zasadnicze trudności zadania i kontynuował rozwiązanie do końca, jednak w rozwiązaniu popełnił błędy niewpływające na poprawność całego rozumowania, np. nieistotne dla całego rozumowania błędy rachunkowe lub niektóre błędy nieuwagi. Analogicznie wyróżniamy kategorię pokonania zasadniczych trudności z nieistotnymi błędami. W każdym przypadku, w schemacie oceniania określana jest liczba punktów przyznawana za rozwiązania w każdej (lub niektórych) z powyższych kategorii. Należy podkreślić, że schemat oceniania rozwiązania jest traktowany jako integralna część zadania; na ogół schemat ten uwzględnia wszystkie typowe sposoby rozwiązania i czasami również niektóre nietypowe.
Podsumowując: w rozwiązaniach zadań krótkiej odpowiedzi wyróżniamy następujące trzy fazy:
1. rozwiązanie, w którym nie zostały pokonane zasadnicze trudności zadania 0 pkt 2. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale rozwiązanie zawiera błędy 1 pkt
3. zdający podał pełne rozwiązanie zadania 2 pkt
Pokażemy teraz kilka przykładowych sposobów przydziału punktów za poszczególne fazy rozwiązania zadań rozszerzonej odpowiedzi. Najprostszy podział punktów za rozwiązanie zadania za 4 punkty wygląda następująco:
1. rozwiązanie, w którym nie ma istotnego postępu 0 pkt
2.
został dokonany istotny postęp w rozwiązaniu zadania, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudności zadania
lub
zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, rozwiązanie zadania nie zostało doprowadzone do końca, ale w trakcie pokonywania zasadniczych trudności zadania zostały popełnione błędy, usterki
1 pkt
3. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania i zdający na tym poprzestał lub
błędnie kontynuował rozwiązanie 2 pkt
4. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, zdający doprowadził rozwiązanie
do końca, ale rozwiązanie zadania zawiera błędy, usterki 3 pkt
5. zdający podał pełne rozwiązanie zadania 4 pkt
Przykładowy przydział punktów za rozwiązanie zadania za 5 punktów może przedstawiać się następująco:
1. rozwiązanie, w którym nie ma istotnego postępu 0 pkt
2. został dokonany istotny postęp w rozwiązaniu zadania, ale nie zostały pokonane
zasadnicze trudności zadania 1 pkt
3. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania
zostały popełnione błędy, usterki 2 pkt
4. zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie i zdający na tym
poprzestał lub błędnie kontynuował rozwiązanie 3 pkt
5.
zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, zdający doprowadził rozwiązanie do końca, jednak rozwiązanie zadania zawiera usterki (błędy rachunkowe, zgubienie rozwiązań, brak wyboru właściwych rozwiązań itp.)
4 pkt
6. zdający podał pełne rozwiązanie zadania 5 pkt
83
A oto inny przydział punktów w zadaniu za 5 punktów oraz przykładowy sposób przydziału punktów w zadaniu za 6 punktów:
1. rozwiązanie, w którym nie ma istotnego postępu 0 pkt
2. rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt
3.