Rys. 2.8 Zależność zmiennych dynamicznych od czasu, otrzymane przez całkowanie numeryczne równań układu Lorentza.
Rys. 2.9 Portret fazowy dla układu Lorentza – atraktor Lorentza
Mechanika w ujęciu Lagrange’a i Hamiltona.
( Przedstawiony materiał omówiony jest dokładniej w tekście pt. Wprowadzenie do mechaniki analitycznej ) Sformułowanie mechaniki podane przez Newtona nie jest oczywiście ani jedynym ani zbyt eleganckim. Głębszym z matematycznego punktu widzenia jest ujecie podane przez Lagrange’a i Hamiltona.
Wprowadźmy współrzędne uogólnione : Q(t ) = ( q1(t ), ... qn(t) ) ,
Prędkości i pędy uogólnione :
vi ≡ q•i = dqi /dt , pi = mi q•i , i = 1, … , n
Zdefiniujmy energię kinetyczna układu n cząstek : K = ½ ΣΣΣΣ mi || q•i ||2 , || q•i || = q•i q•i
Równanie dynamiki we współrzędnych uogólnionych ma postać : mi q••i = − ∂U/∂ qi dla układu potencjalnego
Potencjał newtonowski :
U(q•i ) = ΣΣΣΣ { − G ( mi mj / || qi − qj || ) } i, j
Podejście Lagrange’a
Zdefiniujmy pewną funkcje współrzędnych uogólnionych, prędkości uogólnionych i czasu ( oczywiście dla przypadku ogólnego ), funkcja ta jest jedna i zadana dla każdego układu mechanicznego osobno ( chociaż istnieją układy o podobnych lub identycznych takich funkcjach. Ogólne zasady doboru takich funkcji nie są sformalizowane, podlegają jednakże określonym zasadom )
L = L( q , q• , t )
Funkcje taką jak wiadomo z mechaniki analitycznej nazywamy lagranżjanem. Wychodząc z zasady wariacyjnej
Równanie dynamiki Newtona dla układu potencjalnego ma jak wiemy postać : d/dt (m q• ) + ∂U/∂q = 0
Można dowieść, że równania ruchu powyższego układu mechanicznego pokrywają się z ekstremalami funkcjonału : t1
S =
∫
L dt , L = K − U , S – działanie t0Z równania E-L możemy otrzymać równanie ruchu Newtona. Mamy zatem inne – bardziej eleganckie matematycznie sformułowanie mechaniki klasycznej. Wykorzystujemy tutaj przestrzeń konfiguracyjną ( uogólnioną przestrzeń z metryką Euklidesa ) oraz zasady rachunku wariacyjnego. Sformułowanie to jest elastyczniejsze od sformułowania Newtona, w tym sensie, że możemy nim w sposób jednolity objąć szerszą klasę układów mechanicznych.
Definicja 2.1 Naturalnym układem mechanicznym nazywamy trójkę ( M, K, U ), M – rozmaitość gładka ( przestrzeń konfiguracyjna układu ), K – metryka na M ( energia kinetyczna ), U – pewna funkcja gładka na M ( potencjał pola sił ) Ruch takiego układu pokrywa się z ekstremalnymi działania S ( określonego powyżej )
Podejście Hamiltona.
Stan układu mechanicznego zadany jest poprzez punkt w przestrzeni fazowej ( jest to prawie że ta sama przestrzeń fazowa która występowała w teorii rrz ) ( q, p ), charakteryzowany przez N-wymiarowe wektory q = ( q1, ... qn ) , p = ( p1, ... pn ) ( Mówimy, że układ mechaniczny ma N stopni swobody, a jego przestrzeń fazowa jest 2N wymiarowa )
Zmiana stanu w czasie t prowadzi do przemieszczenia się punktu (q, p) w przestrzeni fazowej. W mechanice
newtonowskiej mieliśmy zmianę punktu (układu punktów ) w przestrzeni Euklidesa, zmiana taka nie charakteryzowała oczywiście całkowicie danego układu mechanicznego. Zmianę położenia punktu w przestrzeni fazowej możemy scharakteryzować wprowadzając operator ewolucji T^ , przeprowadzający układ z jednego stanu w chwili t = 0 w drugi stan w chwili t :
( q(t), p(t)) = T^( q(0) , p(0) )
operator ten nazywamy potokiem fazowym. Zazwyczaj potok fazowy zadajemy za pomocą układu równań różniczkowych q• = Q(q, p, t ) , p• = Q(q, p, t )
ich rozwiązaniem jest trajektoria – krzywa fazowa. Przy określonych warunkach operator T^ realizuje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przestrzeni fazowej w siebie.
Równania Hamiltona mają postać :
q• = ∂H/∂p , p• = − ∂H/∂q gdzie H(p, q) = p q•(q, p) − L(q, q•(q, p) ) Można dowieść, że układ ten jest równoważny równaniu E-L
Generalnie rozpatrywane w MK zasady wariacyjne i wynikające z nich równania ( głównie zasada d’Alemberta oraz równania Lagrange’a I rodzaju ), wiążą ze sobą zdarzenia czasoprzestrzenne w infinitezymalnie sąsiadujących ze sobą punktach przestrzeni konfiguracyjnej i o infinitezymalnym interwale czasowym. Wynika to z ich różniczkowego charakteru – rozpatrujemy równania zawierające pochodne współrzędnych punktów układu mechanicznego względem czasu. Wiążą one konfiguracje tego układu w chwili t z konfiguracją układu w chwili t + dt. W tym kontekście mówimy o przyczynowym ujmowaniu zjawisk przyrody. ( kauzalistycznym )
Wprowadzone się również zasady całkowe, w przeciwieństwie do poprzednio omówionych, charakteryzują ruch w całym, skończonym przedziale czasu, żądając zwykle aby pewne całki ( w rozpatrywanym przedziale czasu ) miały dla ruchu rzeczywistego ekstrema ( najczęściej minima ) w porównaniu z wartościami dla pewnej klasy ruchów porównawczych.
Wśród zasad całkowych największa rolę odgrywają tzw. „zasady najmniejszego ( poprawniej - stacjonarnego ) działania”.
Rozważmy dalej ruch układu materialnego skrępowanego więzami holonomicznymi o k stopniach swobody, opisywanego w przestrzeni konfiguracyjnej przez współrzędne uogólnione : qi , ... , qk. Ruch ten będziemy geometrycznie badali w przestrzeni zdarzeń k+1 wymiarowej. Rozważmy chwile t1 i t2 dla których położenie układu określone jest
współrzędnymi q1 i q2 ( ze względów poglądowych nie tracąc na ogólności, rozpatrywać będziemy przestrzeń zdarzeń dwuwymiarową ). Niech chwilom t1 i t2 w rozpatrywanej przestrzeni odpowiadają dwa różne punkty :
A(t1, q1 ) i B( t2 , q2 ).
Rys. 2.7 Trajektorie w przestrzeni zdarzeń.
Podczas ruchu rzeczywistego układ przemieści się z punktu A do B wzdłuż pewnej trajektorii , niech będzie to krzywa M.
( trajektoria bezpośrednia ). Możemy jednak rozpatrywać również inne trajektorie ( zgodne z nałożonymi więzami ) np.
krzywe 2, 3 ( trajektorie wariacyjne ). Wprowadzimy teraz kryterium pozwalające wyróżnić właśnie ta krzywą M po której układ porusza się w ruchu rzeczywistym. Aby go wyprowadzić zdefiniujmy funkcjonał o postaci :
t2
S [ qi, qi•, t ] =
∫
L dt t1Funkcjonał ten nazywamy „działaniem w sensie Hamiltona” ; L = T – V – funkcja Lagrange’a ; zmienne : ( qi, qi•, t ) – to zmienne Lagrange’a.
Zasada Hamiltona. Rzeczywisty ruch układu mechanicznego w polu sił potencjalnych , przy przejściu z punktu A do B przebiega w taki sposób, że działanie S, obliczone wzdłuż trajektorii tego ruchu ma wartość stacjonarną w porównaniu z wartościami które przybiera działanie S wzdłuż dróg wariacyjnych.
Zatem dla trajektorii bezpośredniej spełnione jest równanie wariacyjne δS = 0.
Zasada sformułowana w ten sposób została wyprowadzona w oparciu o zasadę d’Alemberta przyjętą jako postulat. Można jednak postąpić odwrotnie. Zaleta zasady Hamiltona jest jej niezmienniczość względem wyboru układu odniesienia ( w szczególności od wyboru układu współrzędnych ). Ponadto pozwala ona formułować w sposób jednolity prawa odnoszące się do rozmaitych dziedzin fizyki np. elektrodynamiki, hydrodynamiki, optyki i tym samym stwarza możliwość rozwijania wielu analogii i uogólnień.
Można pokazać, że dla dostatecznie małego przedziału czasu ∆t = t2 – t1 funkcjonał S przybiera na trajektorii bezpośredniej wartość minimalną, stad zasada Hamiltona bywa nazywana „zasadą najmniejszego działania”
( zobacz pewne komentarze dotyczące minimum funkcjonału w tekście pt. „Podstawy rachunku wariacyjnego” )
Metoda Lagrange’a pozwala sprowadzić problem ruchu do zagadnienia całkowania układu k ( k- liczba stopni swobody ) rrz drugiego rzędu. Hamilton wskazał drugi sposób rozwiązywania zagadnień dynamicznych , który prowadzi do całkowania układu 2k równań rrz pierwszego rzędu. Równania te dzięki swojej prostocie i symetrii zostały nazwane
„równaniami kanonicznymi”. Formalizm Lagrange’a i formalizm Hamiltona stanowią podstawę dla formułowania prawie wszystkich równań fizyki teoretycznej. Nie można twierdzić, że formalizm Lagrange’a jest dogodniejszy od formalizmu Hamiltona lub odwrotnie, konkretne wykorzystanie zależy bowiem od rodzaju rozwiązywanego problemu ruchu.
Podejście Jakobiego-Hamiltona.
Metody całkowania równań ruchu w sposób istotny zależy od postaci rozważanego układu równań. Równaniom tym możemy nadać różną formę, różną – zależną od wyboru funkcji charakterystycznej, za pomocą której zostały one zbudowane.
Do tej pory rozpatrywaliśmy dwie metody : metodę Lagrange’a i metodę Hamiltona. W dalszej kolejności rozpatrzymy trzecią metodę, znana jako metodę Hamiltona-Jakobiego ( H-J). Za pomocą tej metody zagadnienie mechaniczne sprowadza się do całkowania jednego równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych , postaci :
(∂S/∂t) + H(t, qi , ∂S/∂qi ) = 0
gdzie : H – funkcja Hamiltona, S – główna funkcja Hamiltona.
Główna funkcja Hamiltona
Rozpatrzmy ruch układu holonomicznego o k stopniach swobody, którego stan określony jest w każdej chwili t przez współrzędne uogólnione qi ; i= 1, ... ,k . Rozpatrzmy dwa stany układu mechanicznego odpowiadające dwóm różnym chwilom czasu t1 i t2 i niech tym dwóm stanom w przestrzeni konfiguracyjnej odpowiadają dwa punkty A i B.
Rozważmy działanie w sensie Hamiltona : t2
S =
∫
L(t, qi , qi• ) dt (20.1) t1Wartość tego funkcjonału możemy obliczy np. z równania Lagrange’a II rodzaju, dostaniemy wtedy pewne funkcje : qi = qi ( t, C1, ... , C2k ) ; qi• = qi• ( t, C1, ... , C2k )
Podstawiając te funkcje do wzoru (20.1) otrzymamy po scałkowaniu : S = S( t1, t2, C1, ... , C2k )
Mając do dyspozycji zadane współrzędne punktów A i B wyznaczamy wartości stałych C1, ... , C2k . Mamy zatem : S* = S*( t1, t2, q1A, ... , qkA, q1B, … , qkB )
Gdzie q1A, ... , qkA – współrzędne punktu A ; q1B, ... , qkB – współrzędne punktu B
Teraz osłabimy warunki nałożone na trajektorię bezpośrednią i wariacyjne przyjmując , że chwila końcowa t2 nie jest ustalona ale zmienna .
Zatem : t
S =
∫
L(t, qi , qi• ) dt = S [ t, q1(t), ... , qk(t), t1, q1A, ... , qkA ] (20.2) t1tj. rozpatrujemy funkcjonał zmiennych t, zmiennych q1(t), ... , qk(t) oraz pewnych stałych parametrów t1, q1A, ... , qkA Wielkość określona wzorem (20.2) nazywamy „główną funkcją Hamiltona”.
Równanie różniczkowe Hamiltona-Jakobiego.
Obliczmy teraz pochodną zupełną po czasie : dS/dt = d/dt ∫ L(t, qi , qi• ) dt = L
ale jest jednocześnie, jeśli działanie rozpatrywać w formie funkcji Hamiltona postaci : S [ t, q1(t), ... , qk(t), t1, q1A, ... , qkA ]
dS/dt = ∂S/∂t + ΣΣΣΣ (∂S/∂qi)qi• (20.3) ( czas t wchodzi do funkcjonału (20.2) zarówno w formie jawnej jak i nie jawnej poprzez współrzędne uogólnione qi = qi(t) ) Jest to szukane równanie różniczkowe H-L, o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, nieliniowe. Funkcją
niewiadomą jest w nim główna funkcja Hamiltona S.
Uwaga! Równanie H-L posiada nietrywialną analogię z równaniem falowym ( analogia mechanika falowa i mechanika klasyczna ) w tym kontekście porównuje się prędkość fazową fali i prędkość „fali działania mechanicznego”.