Podstawowe kierunki dynamiki

Rys. 2.2c Ruch na sferze jako przykład ruchu z więzami stałymi w czasie – rozmaitością jest tutaj sfera.

Jak wiadomo oprócz rozmaitości konfiguracyjnej M ( rozmaitości gładkiej ) – jako areny zdarzeń dla układu

mechanicznego, wprowadza się jeszcze ważniejszą przestrzeń – przestrzeń styczną do rozmaitości M w punkcie p - Tp(M ) Jest to oczywiście przestrzeń wektorowa. Dla mechaniki hamiltonowskiej odpowiednią przestrzenią jest przestrzeń kostyczna.

Słowo wstępne z monografii :

„Introduction to the modern theory of dynaical systems” A. Katok, B. Hassenblat ; Cambridge 1998

1. Podstawowe kierunki dynamiki

Najogólniejsze i nieco nieokreślone pojęcie układu dynamicznego zawiera następujące składowe : i) „przestrzeń fazowa” X, której elementy ( punkty) reprezentują sobą możliwe stany układu.

ii) „Czas”, który może być dyskretny lub ciągły. Czas może rozciągać się albo tylko w przyszłość

(procesy nieodwracalne ), albo i w przeszłość i w przyszłość ( procesy odwracalne). Łańcuch chwil czasu dla procesu odwracalnego z czasem dyskretnym znajduje się w relacji odpowiedniości ze zbiorem liczb całkowitych; nieodwracalność odpowiada rozpatrywaniu tylko liczb nieujemnych, całkowitych. Analogicznie dla procesu z czasem ciągłym, czas reprezentowany jest przez zbiór liczb rzeczywistych w przypadku odwracalnym i zbiorem nieujemnych liczb rzeczywistych dla przypadku nieodwracalnego.

iii) Prawo ewolucji układu. W najogólniejszym sformułowaniu, jest to taka zasada, która pozwala nam określić stany układu w każdej chwili czasu t, znając stany we wszystkich chwilach poprzednich. Zatem najogólniejsze prawo ewolucji układu może zależeć od czasu t i posiadać nieskończoną pamięć. W niniejszej książce będziemy rozpatrywali tylko takie prawa ewolucji, które pozwalają nam całkowicie stany przyszłe ( a dla procesów odwracalnych również i przeszłość ) znając stan w dowolnej podanej chwili czasu. oprócz tego przyjmiemy, ze prawa ewolucji same w sobie nie zmieniają się w czasie. Innymi słowy wynik ewolucji układu będzie zależny tylko od stanu początkowego i od czasu ewolucji, ale nie od chwili w której stan układu został pierwotnie określony. Zatem, jeśli nasz układ był pierwotnie w stanie x ∈ X, w czasie t przejdzie on w nowy stan, który jest jednoznacznie określony przez wartości x i t i dlatego można przyjąć go jako pewną funkcje dwóch zmiennych F(x, t). Ustalając t, otrzymujemy przekształcenie ϕt : x → F(x, t) przestrzeni fazowej w siebie.

Takie przekształcenia dla różnych t związane są ze sobą wzajemnie. A dokładniej ewolucja stanu x w ciągu czasu s + t może być również znaleziona za pośrednictwem zastosowania na początku przekształcenia ϕt do x a następnie zastosowania ϕs do nowego stanu ϕs(x). Zatem, F(x, t + s) = F(ϕ’(x), s) lub co równoważne, przekształcenie ϕt+s jest równe złożeniu przekształceń ϕt i ϕs. Innymi słowy, przekształcenia ϕt tworzą półgrupę. Dla układu odwracalnego przekształcenia ϕt określone są zarówno dla ujemnych jak i dodatnich wartości t i każde przekształcenie ϕt jest

odwracalne. Zatem odwracalny układ dynamiczny z czasem dyskretnym może być reprezentowany przez grupę cykliczną { Fn = (ϕt )n | n ∈ Z } wzajemnie jednoznacznych przekształceń przestrzeni fazowej w siebie. Analogicznie, odwracalny układ dynamiczny z czasem ciągłym określa jednoparametrową grupę { ϕt | t ∈ R }wzajemnie jednoznacznych

przekształceń X w siebie”

Jak widać układ dynamiczny to już nie tylko odpowiedni układ równań – to cała struktura matematyczna ( w pełnym matematycznym tego pojęcia rozumieniu ), w której ruch sprowadza się do określonego odwzorowania przestrzeni w siebie ( automorfizmów ) lub w inną przestrzeń ( np. przestrzeń styczną ) – dyfeomorfizmu.

Równanie dynamiki stanowi generator takiego odwzorowania, a grupa jego symetrii stanowi o symetriach dyfeomorfizmów. Naturalnym wydaje się tutaj język geometryczny – rozmaitości i wiązek, koneksji i tensorów.

To niewątpliwie stwarza okazje do unifikacji z innymi zgeometryzowanymi teoriami fizycznymi np. OTW lub teorią Yanga-Millsa. Istnieje dalsza pokusa, aby wszystkie te teorie wyrazić poprzez strukturę o postaci :

ogólna przestrzeń konfiguracyjna → odwzorowanie = dynamika → inna lub ta sama przestrzeń konfiguracyjna

Badanie grupy symetrii samej przestrzeni lub równań dynamiki stanowiłoby główne zadanie dla badacza.

Kolejnym krokiem jest odpowiednie uogólnienie „areny” - rozmaitości konfiguracyjnej. Z punktu widzenia fizyki jednym z takich uogólnień jest wprowadzenie pojęcia Superrozmaitości – rozmaitości na której działają oprócz liczb zwykłych liczby ( lub operatory ) niekomutujace wzajemnie – liczby Grassmanna. Oczywiście niejako naturalnymi są rozszerzenia polegające na zwiększeniu liczby wymiarów rozmaitości gładkiej lub wprowadzeniu rozmaitości zespolonych. Wszystkie takie uogólnienia są oczywiście stosowane w fizyce teoretycznej.

Superrozmaitości.

„Pojęcia wprowadzające. Rozmaitości są jednymi z podstawowych obiektów współczesnej matematyki. Analogiczną rolę w supermatematyce odgrywają superozmaitości. Przypomnijmy, że rozmaitością M nazywamy przestrzeń topologiczną, której każdy punkt ma otoczenie dopuszczające odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne i wzajemnie ciągłe na kulę w przestrzeni Euklidesa Rn o ustalonym wymiarze n. Liczbę n nazywamy wymiarem M, n = dim M ; wymienione otoczenia nazywamy współrzędnościowymi, ponieważ z pomocą odwzorowanie na kulę możemy na nie przenieść współrzędne euklidesowe zdefiniowane w Rn. Otrzymane w ten sposób współrzędne nazywają się lokalnymi.

Niech U, V – będą dwoma otoczeniami ; xi , yi – współrzędne lokalne odpowiednio na U i V. Na przecięciu U ∩ V jedne z nich są funkcjami drugich, np. :

yi = fi ( xi , … , yi )

W przypadku, kiedy funkcje fi są k razy różniczkowalne, rozmaitość nazywa się k razy różniczkowalną, przy k = ∞ - jest ona nieskończenie różniczkowalna.

Superrozmaitość jest uogólnieniem nieskończenie różniczkowalnej rozmaitości. ( w dalszym ciągu pod pojęciem rozmaitość rozumiemy rozmaitość nieskończenie różniczkowalną )

Niech U ⊂ M – będzie zbiorem otwartym, przez A(U) oznaczymy komutatywną algebrę, złożoną z nieskończenie różniczkowalnych funkcji na U ze standardowymi operacjami złożenia i mnożenia funkcji. W przypadku jeśli U jest otoczeniem współrzędnościowym, A(U) można przyjmować jako algebrę z n generatorami, którymi są współrzędne w U.

W przypadku jeśli U, V są dwoma zbiorami otwartymi i U ⊂ V, to przez : ρV

U : A(V) → A(U)

oznaczamy operator przyporządkowujący każdej funkcji f ∈ A(V) jego ograniczenie na U. Operator ten jest homomorfizmem algebr :

Zbiór algebr A(U) i homomorfizmów ρV

U jest przykładem obiektu, nazywanego we współczesnej matematyce pękiem.

Jest to tzw. strukturalny pęk rozmaitości M, oznaczamy go O(M).

Niech M będzie rozmaitością ; dim M = p. Każdemu podzbiorowi otwartemu U ⊂ M przyporządkujemy pewną algebrę ℑ(U). W przypadku, jeśli U, V są zbiorami otwartymi i V ⊂ U, załóżmy, że istnieje homomorfizm ρU

V : ℑ(U ) → ℑ(V), spełniającym warunki :

1) ρU

U = 1 – izomorfizm tożsamościowy.

2) jeśli W ⊂ V ⊂ U, to ρU W = ρV

W ρU V 3) jeśli U = ∪ Uα , f1 , f2 ∈ ℑ(U) i ρU

Uα f1 = ρU

Uα f2 przy wszystkich α, to f1 = f2

4) jeśli U = ∪ Uα , fα ∈ ℑ(Uα ) przy czym ρUαUα∩ Uβ fα = ρUβUα∩ Uβ fβ , to istnieje taki element f ∈ℑ(U) , że fα = ρUU ∩ f

Układ algebr ℑ(U) i homomorfizmów ρU

U o powyższych własnościach pękiem algebr. Rozmaitość M wraz z pękiem algebr ℑ(U) nazywamy superrozmaitością.

Cytat z monografii :

„Wprowadzenie w algebrę i analizę zmiennych antykomutujących” – F. A. Berezin , od str. 10

Podstawową strukturą matematyczną stosowaną we współczesnej fizyce jest odpowiednia przestrzeń – rozmaitość – superrozmaitość. Te podstawowe struktury są wyposażane w różne podstruktury np. koneksje, lub algebrę z gradacją.

Struktury te mogą być łatwo uogólniane i unifikowane z innymi strukturami – algebraicznymi lub geometrycznymi.

Rys. 2.3 Przykłady portretów fazowych

( Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria jakościowa z zastosowaniami - D. K. Arrowsmith, C. M. Palace )

Rys. 2.4 Portret fazowy dla wahadła matematycznego – nie tłumionego.

Rys. 2.5 Portret fazowy dla wahadła matematycznego – tłumionego.

Rys. 2.6 Przykłady typowych obrazów fazowych – a) stabilne centrum, b) stabilne ognisko , c) stabilny węzeł, d) sidło, e) niestabilne ognisko f) niestabilny węzeł ( rysunek – prawy dół )

Powracając do modeli z użyciem rrz należy zauważyć, że bardzo ważne z punktu widzenia takiego modelowania jest pojęcie tzw. stabilności strukturalnej danego modelu. Mianowicie :

[2b, str. 86]

W pierwszej kolejności należy sprawdzić stabilność rozwiązań ze względu na warunki początkowe. Może się bowiem zdarzyć tak ( dotyczy to głownie nieliniowych układów dynamicznych o własnościach chaotycznych ), że zachowanie rozwiązania zależy bardzo mocno od warunków początkowych. ( tutaj nieocenionym jest zastosowanie odpowiedniego kryterium stabilności np. kryterium Lapunowa )

W drugiej kolejności należy sprawdzić stabilność rozwiązań ze względu na wartości występujących w danym równaniu parametrów. Jednym z najważniejszych założeń fizyki jest przyjmowanie asymptotycznej stabilności strukturalnej praw fizyki – prawa fizyki (przyrody ) nie zmieniają się ( w przestrzeni i czasie ), a jeśli już się zmieniają to jest to proces ewolucyjny, a nie rewolucyjny. Można oczywiście założyć, że np. prawo powszechnego ciążenia zmienia się skokowo ( np. w postaci zmiany wykładnika potęgi r ) powiedzmy od odległości 100 [Mpc], ale po pierwsze trzeba to potwierdzić empirycznie, a po drugie ( co najważniejsze ) jedną z elementarnych zasad przyrody jest ciągłość zmienności ( jeśli już ).

Oczywiście istnieje wiele zjawisk przyrody opisywanych modelami bifurkacyjnymi, w pierwszym przybliżeniu zawsze jednak staramy się ( zwłaszcza dla teorii makroskopowych – uśrednianych ) stosować modele o parametrach ciągłych.

Klasycznym już układem przejawiającym zachowanie chaotyczne jest układ Lorentza. Układ ten opisywany jest przez rrz postaci :

dx/dt = σ ( y − x ) dy/dt = rx − y − xz dz/dt = xy − bz

gdzie : σ, r, b – pewne parametry, których interpretacja zależna jest od konkretnego zjawiska opisywanego przez powyższy układ.

Układ taki może bowiem opisywać dynamikę wielu procesów fizycznych – np. konwekcje płynu w komórce, działanie lasera jednomodowego. W swojej fundamentalnej pracy „Deterministic nonperiodic flow” (1962 ) E. N. Lorentz wykazał, ze dla pewnych wartości parametrów ( np. σ = 10, b = 8/3, r = 28 ) przebieg rozwiązań x(t), y(t), z(t) jest niezwykle czuły, na drobną zmianę ich wartości początkowych.

Rys. 2.7 Przykładowy przebieg rozwiązań układu Lorentza w czasie, dla dwóch nieznacznie różniących się wartości początkowych.

Rys. 2.8 Zależność zmiennych dynamicznych od czasu, otrzymane przez całkowanie numeryczne równań układu Lorentza.

Rys. 2.9 Portret fazowy dla układu Lorentza – atraktor Lorentza