Można powiedzieć, że MK dostarcza ogólnych zasad jakimi powinny się rządzić dynamiczne zależności między odpowiednimi wielkościami fizycznymi. Mamy tutaj m.in. prawo dynamiki Newtona i ogólne zasady wariacyjne.
Obrazowo mówiąc mamy aktorów – cząstki materialne, bryły sztywne lub ośrodki ciągłe, mamy scenę – czasoprzestrzeń Galileusza w przypadku nierelatywistycznym i czasoprzestrzeń Minkowskiego – w przypadku relatywistycznym ; ogólne zasady mechaniki klasycznej dostarczają niejako scenariusza dla całej akcji.
Elektrodynamika jako pierwsza teoria polowa dostarcza nowych aktorów – pola, dostarcza również pierwszego klasycznego scenariusza dla dynamiki wprowadzonych przez siebie pól E i B.
Oczywiście elektrodynamika klasyczna jest teorią makroskopową – uśredniamy pewne wielkości fizyczne tak, aby otrzymać obraz gładkiego pola wektorowego. Nie winkami w fizyczną naturę pól. Głębszego poziomu rozumienia ich pochodzenia dostarcza mechanika kwantowa, a raczej kwantowa teoria pola.
Z punktu widzenia fizyki klasycznej pole grawitacyjne również jest polem „uśrednionym” i ma ono model matematyczny bardzo zbliżony do pola elektrostatycznego. ( pole zachowawcze o potencjale skalarnym )
OTW Einsteina wprowadza modyfikacje sceny – scena jest teraz obiektem dynamicznym, mamy zatem dynamikę pól i cząstek, rozgrywającą się na dynamicznie zmieniającej się scenie (między tymi dynamikami zachodzi odpowiednia zależność – nie są one całkowicie niezależne ). Kolejnych „aktorów” dostarcza nam kwantowa teoria pola.
Okazało się przy tym, że pole grawitacyjne w istocie jest polem „tworzącym” scenę.
Jak wiadomo „dynamiką” newtonowskiego pola grawitacyjnego rządzi równanie Poissona :
( Zobacz tekst pt. „Prawo powszechnego ciążenia. Klasyczna ( newtonowska) teoria pola grawitacyjnego” )
∆U(r) = 4πG ρ(r) U(r ) – potencjał pola grawitacyjnego , ρ(r ) – przestrzenny rozkład gęstości masy.
Dla ρ(r) = 0 tj. pod nieobecność masy równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace’a :
∆U(r) = 0
Źródłem pola grawitacyjnego jest określony rozkład masy, dynamika takiego rozkładu przekłada się na dynamikę pola grawitacyjnego. Zazwyczaj jednak rozpatrujemy ustaloną i statyczną konfiguracje mas i rozważamy ruch punktów materialnych w polu grawitacyjnym wytwarzanym przez taki rozkład.
Konceptualnie pole grawitacyjne w teorii newtonowskiej jest polem wektorowym o potencjale skalarnym, koncepcja ta zmienia się radykalnie w einsteinowskiej teorii grawitacji. Pole grawitacyjne jest polem tensorowym.
( ogólnie mówiąc pole grawitacyjne reprezentuje nie jeden, a dziesięć potencjałów skalarnych, spełniających teraz, nie równanie Poissona, a równanie d’Alamberta )
Potencjały takie są składowymi tensora metrycznego czasoprzestrzeni ( CP Riemanna ). Zatem dla pola grawitacyjnego dokonało się podobne przekształcenie jak dla pól elektrodynamiki – konceptualizować powinniśmy wielkości tensorowe.
Literatura.
1d) General relativity and relativistic astrophysics N. Straumann Springer –Verlag 1984 2d) Mathematical theory of black holes S. Chandrasekhar ; Oxford 1983
3d) Exact Space-Times in Einstein’s general relativity J. B. Griffiths, J. Podolsky ; Cambridge 2009
4d) Dynamika pól w ogólnej teorii względności N. W. Mickjewicz, A. P. Jefremow, A. I. Nesterow tłumaczenie własne ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985
5d) Exact solutions of the eisnsteins field equations D. Kramer, H. Stephani, M. Maccallum, E. Herlt, E. Schmutzer tłumaczenie rosyjskie 1982 VEB Berlin 1980
V. Konsekwencje fizyczne modeli matematycznych.
Słowa iż równania matematyczne są mądrzejsze od ich twórców, przypisuje się Hertzowi, co należy rozumieć poprzez takie stwierdzenie ?
Otóż ogólnie rzecz ujmując wyraża ono zdziwienie, z faktu iż jeżeli model matematyczny jest dobrany właściwie do postawionego zagadnienia fizycznego, to wszelkie jego następstwa matematyczne np. rozwiązanie falowa dla równań Maxwella mają realizacje fizyczną.
Weźmy jeden z najprostszych modeli – matematyczny model drgającej struny.
( Zobacz tekst pt. „Równania fizyki matematycznej” )
Rozważmy strunę tj. cienką, elastyczną nić (drut, żyłę lub coś podobnego ), w przypadku szczególnym umocowaną w sposób trwały na obu jej końcach. Pod działaniem siły ( pewnego naprężenia o ściśle określonym kierunku działania ), tak struna będzie się odchylać od swojego położenia spoczynkowego będzie się wydłużała i kurczyła w ten sposób, że zachowane będzie przy tym prawo Hooke’a, mówiące o proporcjonalności wydłużenia i naprężenia ), a po zaniknięciu tej siły, w pewien określony sposób powróci ona do położenia równowagi. Naszym zadaniem będzie wyznaczenie
matematycznego modelu procesu zaburzenia i powrotu do stanu równowagi struny.
( tj. znalezienie równania małych (liniowych) poprzecznych drgań struny ).
Parametrami ( fizycznymi ) charakteryzującymi taką strunę są : długość struny L [m] , gęstość liniowa struny ρ = const.
lub w ogólnym przypadku ρ = ρ(x) [ kg/m], wielkość działającej siły F = F(x, t) [N] ( siła F działa na strunę tylko na kierunku prostopadłym do osi Ox ), naprężenie struny T [ N/m ].
Przyjmijmy, że napięta struna w sytuacji w której nie działa na niż żadna siła pokrywa się z osią Ox, kartezjańskiego układu współrzędnych. Będziemy rozważali jedynie drgania poprzeczne tj. przyjmiemy, że struna na którą dział siła może wyginać się sprężyście tylko w płaszczyźnie ux ( wszystkie punkty struny poruszają się prostopadle do osi Ox ).
Przez u (x, t) oznaczymy odchylone od stanu równowagi, punkty struny o współrzędnej x w chwili t.
Rozpatrujemy zatem pewną funkcje dwóch zmiennych. Zmienna x przyjmuje wartości z odcinka [0, L ] ( lewy koniec struny ma współrzędne (0, 0 ), prawy (0, L) ), zmienna t ∈ ( 0, +∞ ).
Rys. 5.1
Matematycznym odpowiednikiem elastyczności struny jest warunek styczności powstałych w strunie naprężeń do chwilowego profilu struny. ( rys. 5.1 ) Warunek ten wyraża brak oporu struny na zginanie.
Rys.5.2
Będziemy rozpatrywali tylko małe poprzeczne odchylenia struny, przyjmiemy, zatem że możemy zaniedbać wielkości będące kwadratami u, oraz ∂u/∂x , jak również wielkości będące ich iloczynami tj. typu : u ∂u/∂x.
W tym przypadku :
∂u/∂x = tg(α) ≈ sin(α) ≈ α 1 + ( ∂u/∂x )2 ≈ 1
cos(α) = 1/ sqrt[ 1 + tg2(α) ] ≈ 1
sin(α) = tg(α) / sqrt[ 1 + tg2 (α) ] = (∂u/∂x) / sqrt[ 1 + (∂u/∂x)2 ] ≈ ∂u/∂x
Przyjęcie warunku niewielkich wychyleń struny prowadzi do tego, że długość pewnego dowolnie wybranego odcinka struny ( x1 , x2 ) w danej chwili jest równa :
x2
L’ =
∫
sqrt[ 1 + ( ∂u/∂x )2 ] dx ≈ x2 − x1 = L x1To oznacza, że w procesie małych drgań możemy zaniedbać przyrost długości drgającej struny ( tj. możemy zaniedbać wzrost długości struny ). Wielkość naprężenia T powstałego w odchylonej strunie może być obliczona z prawa Hooke’a.
Wielkość naprężenia T na mocy tego prawa, nie jest zależna od czasu. Można pokazać, że T nie jest zależne również od x.
Mianowicie, dla drgań poprzecznych suma rzutów na oś Ox, sił naprężenia, działających na końcach odcinka ( M1 , M2 ) wygiętej struny są równe zeru ( rys. 5.3) :
− T( x1) cos(α(x1) ) + T( x2) cos(α (x2) ) = 0
gdzie : α(x) kąt między styczną do struny i osią Ox, w pewnej chwili t.
Rys. 5.3
Ponieważ dla małych drgań cos(α(x1) ) ≈ cos(α(x2) ) = 1 , to T( x1) = T( x2). Można zatem przyjąć, że T = T0 = const. dla wszystkich wartości x, t.
U podstaw rozważanego modelu leży II prawo dynamiki Newtona ( lub ogólniejsza zasada Hamiltona ) :
dp /dt = F (2.1.1)
Rozważmy dowolny, wydzielony odcinek struny ( x1, x2 ), będzie to w pewnym sensie analog układu mechanicznego, którego ruch będziemy opisywali. Przyjmując, że ruch tego odcinak zachodzi tylko w kierunku prostopadłym do osi Ox równanie wektorowe (2.1.1) możemy zapisać jako rzut na oś Ou.
Składowa pędu na osi Ou jest następująca :
Rzut siły zewnętrznej składa się z dwóch składowych, jedna z nich uwzględnia działanie siły naprężenia na końcach wydzielonego odcinka struny, druga – siłę zewnętrzną działającą na strunę.
Wielkości te są odpowiednio równe( zobacz rys. 2.1.3) : F1 = T0 sin(α2) − T0sin(α1) = T0 [ (∂u/∂x) |x2 − (∂u/∂x) |x1 ]
Równanie dynamiki (2.1.1) rozważanej struny ma zatem postać : x2 x2
Ponieważ odcinek ( x1 , x2 ) wybraliśmy dowolnie, to w dowolnym punkcie struny, w dowolnej chwili czasu wyrażenie podcałkowe powinno być równe zeru, tj. :
ρ(x) (∂2u/∂t2 ) − T0 (∂2u/∂x2 ) − F(x, t) = 0
Otrzymane równanie jest to rrc drugiego rzędu o stałych współczynnikach o ogólnej postaci : A(x, t) utt – B(x, t) uxx = F(x, t) , u = u(x, t)
Równanie takie jest szczególną postacią równania falowego niejednorodnego. Jest to równanie typu hiperbolicznego.
Jeżeli ρ = ρ0 = const możemy przyjąć a = sqrt( T0 / ρ0 ) oraz f(x, t) = F(x, t)/ ρ0 i zapisać :
∂2u/∂t2 = a2 ( ∂2u/∂x2 ) + f(x, t) (2.1.5a)
utt = a2uxx + f(x, t) (2.15b)
Jest to równanie wymuszonych poprzecznych drgań struny. Jeżeli siła zewnętrzna zanika tj. f(x, t) = 0, to dochodzimy do następującego równania :
parametr v0 jest prędkością fali. Zatem, dla fal poprzecznych, biegnących po napiętej strunie, prędkość v0 takich fal jest równa :
v0 = sqrt( T0/ρ0 ) (2.1.7)
Czym więc większe napięcie lub im lżejsza struna, tym szybciej biegną fale.
Ogólne rozwiązanie równania (4.6) ma postać :
y( t, x ) = h+ ( x − v0t ) + h− ( x − v0t ) (2.1.8)
gdzie : h+ ,h− - dowolne funkcje jednej zmiennej.
Rozwiązanie jak widać stanowi superpozycje dwóch fal : fali h+ biegnącej na prawo i fali h− biegnącej na lewo.
Ponieważ równanie (2.1.6) jest równaniem różniczkowym o pochodnych cząstkowych, zawierającym pochodne po współrzędnej przestrzennej i czasie, po to aby ustalić rozwiązania, powinniśmy w przypadku ogólnym zadać zarówno warunki początkowe jak i brzegowe. Najogólniejszymi typami warunków brzegowych są warunki Dirichleta i Neumanna.
Dla rozpatrywanej przez nas struny warunki brzegowe Dirichleta zadają położenia końców struny. Przykładowo, jeśli przyczepimy każdy koniec struny do ścianki ( rys. 5.4 , po lewej ), to nałożymy warunki brzegowe Dirichleta :
y( t, x = 0 ) = y( t, x = a ) = 0 (2.1.9) Jeśli zaś przyczepimy nieważką pętle do każdego końca struny i pozwolimy pętlom ślizgać się bez tarcia na prętach to nałożymy warunki brzegowe Neumanna.
Rys. 5.4 Po lewej – struna, na końce której nałożono warunki brzegowe Dirichleta. Po prawej – struna na którą nałożono warunki brzegowe Neumanna. ( Pętelki obejmują osie x, y, tak że końce struny mogą swobodnie przemieszczać wzdłuż tych osi, „pręty” symbolizują właśnie te osie )
Dla rozpatrywanej przez nas struny warunki brzegowe Neumanna zadają wartości pochodnej ∂y/∂x na końcach struny.
Ponieważ pętle są nieważkie i ślizgają się po prętach bez tarcia, to pochodna ∂y/∂x powinna zerować się w punktach x = 0, x = a ( rys. 5.4 po prawej )
Jeśli by tak nie było, to nachylenie struny w stosunku do prętów było by równe różne od zera i składowa naprężenia struny skierowałaby pętelki w kierunku osi y.
Ponieważ każda pętelka jest nieważka ich przyspieszenie było by nieskończenie duże. Jest to oczywiście niemożliwe, dlatego nakładamy warunki brzegowe Neumanna :
∂y/∂x(t, x = 0 ) = ∂y/∂x( t, x = a ) = 0 (2.1.10) Takie warunki stosowane są do strun, których punkty końcowe mogą swobodnie poruszać się w kierunku y.
Przy warunkach brzegowych Dirichleta mamy następujące nietrywialne rozwiązania równania falowego :
yn(x) = Ansin( πnx/a ) , n = 1, 2, ... (2.1.11) gdzie An – dowolne stałe. Wartość n = 0 jest wykluczona, ponieważ odpowiada jej struna w spoczynku.
Podstawiając yn(x) do równania falowego, znajdujemy dozwolone częstości :
ωn = sqrt( µ0 /T0) (nπ/a ) , n = 1, 2, ... (2.1.12) Takie są częstości drgań w przypadku struny z warunkami Dirichleta. Struny skrzypiec są właśnie takimi strunami.
Aby nastroić strunę skrzypiec na prawidłową częstość, należy ją odpowiednio naprężyć. Im większe naprężenie, tym wyższa jest częstość tonu, co właśnie przewiduje wzór (2.1.12).
W przypadku warunków brzegowych Neumanna, otrzymujemy rozwiązania przestrzenne :
yn(x) = Ancos( πnx/a ) , n = 0, 1, 2, ... (2.1.13) W tym przypadku rozwiązanie dla n = 0 jest mniej trywialne: struna nie drga, a przemieszcza się jako całość do położenia y(t, x ) = A0 Częstości drgań, są takie same jak w poprzednim przypadku. Przypadek Neumanna dopuszcza jedno dodatkowe rozwiązanie, nie zawarte w ogólnym wzorze - struna może przemieszczać się ze stałą prędkością.
W rzeczywistości bowiem rozwiązanie postaci y(t, x) = at + b o stałych współczynnikach a, b spełnia zarówno warunki brzegowe jak i wejściowe równanie falowe.
Mamy zatem postawione odpowiednie zagadnienie fizyczne strunę fizyczną, mogąc drgać w określonej płaszczyźnie zbudowaną z odpowiedniego materiału pobudzaną odpowiednią siłą. Dla takiego zagadnienia poszukujemy odpowiedniego modelu matematycznego, jak się okazuje jest nim rrc (2.1.6). Teraz możemy sparafrazować słowa Hertza – skąd to równanie wie, że jego rozwiązaniami ( szczególnymi ) są funkcje harmoniczne i skąd wie, że im większe naprężenie, tym wyższa będzie częstość tonu ?
Oczywiście pytanie jest źle postawione – równanie jest tylko równaniem, które z samych matematycznych własności posiada takie rozwiązania i takie cechy. Model jest zgodny z rzeczywistością zatem jest odpowiedni, gdyby taki nie był tj.
gdyby jego matematyczne następstwa były niezgodne z rzeczywistością ( chociażby w pewnym obszarze ) to taki model byłby nieprawidłowy lub po prostu nieadekwatny do akurat takiego zagadnienia fizycznego. Model zły nie jest modelem.
Rozwiązanie falowe przysługuje m.in. równaniom Maxwella – czy natura mogłaby go nie realizować ? Gdyby go nie realizowała to raczej model przedstawiony przez Maxwella nie byłby adekwatny.
Podobne pytanie dotyczy równań Einsteina – czy natura realizuje rozwiązanie w postaci fal grawitacyjnych ? Gdyby go nie realizowała to model przedstawiony przez Einsteina byłby nieadekwatny – rozwiązania falowe są tylko konsekwencja pewnej struktury logicznej danego modelu. Gdyby doświadczenie pokazało iż fale grawitacyjne nie są wzbudzane model Einsteina musiał by być, oczywiście zmodyfikowany.
Równania są więc nie tyle mądre, co konsekwentne logicznie, a natura nie musi wcale słuchać naszych równań.
Zatem czy jest tak, że w dobrze postawionym modelu realizuje się fizycznie wszystko to co jest realizowalne matematycznie ?
Zazwyczaj tak, ale nie zawsze – przykładowo w modelu newtonowskim mechaniki nie ma matematycznych ograniczeń co do prędkości maksymalnej, dlaczego więc w naturze istnieje takie ograniczenie ?
Istnieje ponieważ wiemy, ze model ten jest modelem ograniczonym.
Przykład drugi ,obecnie wiemy, że neutrina wbrew strukturze modelu standardowego cząstek elementarnych mają nie zerową masę spoczynkową. Tutaj akurat natura też nie chce słuchać odpowiednich równań – zatem model ten ( jego matematyczna struktura ) wymaga przedefiniowania [ 1e , dodatek B, C ].
Widać więc jak ważna jest empiryczna weryfikacja modeli fizycznych – natura ma zawsze decydujący głos, ponieważ nie zawsze rzeczywistość chce dopasować do naszych modeli i wyobrażeń.
Literatura.
1e) Wprowadzenie do teorii wczesnego Wszechświata. D. S. Gorbunow, W. A. Rubakow Teoria gorącego wielkiego wybuchu World Scientific 2011