Metoda Carlisle’a (2002, 2005)

Rys.32. Histogram różnic między ESD (wariant 3 i 3a) a wartością bezwzględną odchyłki między NMT LPIS i pomiarem referencyjnym z wpasowaną krzywą rozkładu normalnego. Wariant 3 (z lewej) nie uwzględnia, natomiast 3a (z prawej) uwzględnia błąd systematyczny modelu LPIS.

7.2. Metoda Carlisle’a (2002, 2005)

Drugą metodą przestrzennej estymacji dokładności wykorzystaną w niniejszej pracy była zaproponowana przez Carlisle’a (2002, 2005) metoda opierająca się na parametrach charakterystyki terenu, o której wspomniano już w podrozdziale 3.2. W celu jej zastosowania konieczne jest posiadanie zbioru referencyjnych danych pomiarowych, równomiernie rozmieszczonych na całym obszarze badań. Do analiz użyto pierwszy zbiór danych referencyjnych pochodzący z pomiaru bezpośredniego GPS.

Metodyka przyjęta przez Carlisle’a została przez niego zaimplementowana jako rozszerzenie DEM Quality and Uncertainty Modelling oprogramowania ArcView GIS w wersji 3.3. Do poprawnego działania konieczne jest posiadanie dwóch kolejnych rozszerzeń: Spatial Analyst oraz Hydrologic Modelling. Po wczytaniu NMT w formacie ArcInfo ASCII oraz danych pomiarowych w formie punktowego pliku Shape File (SHP) rozpoczęto procedurę obliczenia błędów NMT oraz 73 parametrów terenu. Ich podstawę stanowi 11 następujących podstawowych parametrów (w nawiasach przedstawiono ich oznaczenia):

• wysokość (Z),

• gradient (GD oraz GP – mierzony odpowiednio w stopniach oraz procentach) – pierwsza pochodna wysokości, znana również pod pojęciem nachylenia, reprezentująca największą zmianę wysokości,

• ekspozycja (AX oraz AY – składowa wektora ekspozycji odpowiednio w kierunku wschodnim oraz północnym) – azymut kierunku największego nachylenia,

• krzywizna tangencjalna (CH) – składowa pozioma drugiej pochodnej wysokości, reprezentująca stopień zmiany ekspozycji,

• krzywizna profilowa (CP) – składowa pionowa drugiej pochodnej wysokości, reprezentująca stopień zmiany nachylenia,

• krzywizna całkowita (C) – druga pochodna wysokości, reprezentująca stopień wypukłości lub wklęsłości powierzchni terenu,

• względny relief (REL) – zakres wartości wysokości punktów modelu w określonym otoczeniu analizowanego punktu pomiarowego,

• tekstura (TEXT oraz TEXTP – mierzona odpowiednio w stopniach oraz procentach) – zakres wartości nachylenia punktów modelu w określonym otoczeniu analizowanego punktu pomiarowego,

• średnia skrajność (AVEX) – różnica wysokości punktu pomiarowego ze średnią wysokością punktów modelu w określonym otoczeniu,

80

• minimalna skrajność (MINEX) – różnica wysokości punktu pomiarowego z najmniejszą wysokością spośród punktów modelu w określonym otoczeniu (wartość bliska zero wskazywałaby na położenie analizowanego punktu w dolinie),

• maksymalna skrajność (MAXEX) – różnica wysokości punktu pomiarowego z największą wysokością spośród punktów modelu w określonym otoczeniu (wartość bliska zero wskazywałaby na położenie analizowanego punktu na szczycie).

W swoich badaniach Carlisle używa jeszcze jednego parametru związanego z warstwicami, na podstawie których zbudowano NMT. Żaden z wykorzystanych w niniejszej pracy modeli nie powstał metodą kartograficzną, zatem parametr ten pominięto.

Każdy z wymienionych podstawowych parametrów obliczono dla otoczenia 5, 10 oraz 20 oczek siatki NMT (oznaczane w nazwach 5, 10 oraz 20). Dla wysokości (Z), gradientu (GD, GP), ekspozycji (AX, AY), krzywizny całkowitej (C), tangencjalnej (CH) i profilowej (CV) wykorzystano wartość średnią (AV) i odchylenie standardowe (SD) otoczenia. Razem daje to liczbę 73 parametrów. Dodatkowo przedstawiano je również w drugiej i trzeciej potędze (w nazwach oznaczane odpowiednio 2 oraz 3), co razem daje sumaryczną liczbę 219 parametrów terenu. Ich lista znajduje się w pracy doktorskiej (Carlisle, 2002).

W wyniku działania funkcji obliczania błędów NMT oraz parametrów terenu powstaje tabela, w której wiersze reprezentują poszczególne punkty pomiarowe, a kolumny określają wartości poszczególnych parametrów. Obliczono dla każdego z nich współczynniki korelacji z błędem modelu i uzyskano znaczną liczbę parametrów o korelacji na poziomie istotności 0.05, a nawet 0.01, ale tylko dla NMT LPIS (Tab. 14). Błąd NMT ISOK wykazał niewielką korelację z parametrami charakteryzującymi teren. Poziom istotności p jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która stwierdza, że obserwowany efekt jest dziełem przypadku.

Tab. 14. Najbardziej istotne korelacje oraz liczba istotnych korelacji spośród 219 parametrów terenu z błędem modelu dla NMT ISOK i NMT LPIS

NMT Współczynnik najbardziej znaczącej korelacji Nazwa parametru o najbardziej znaczącej korelacji Liczba parametrów o korelacji na poziomie istotności 0.05 Liczba parametrów o korelacji na poziomie istotności 0.01 ISOK 0.327 AX3 13 8 LPIS -0.423 C_AV203 101 45

Kolejnym krokiem było przeprowadzenie krokowej regresji liniowej w oprogramowaniu Statistica 10 z wykorzystaniem obliczonych wartości parametrów terenu. Celem było określenie kombinacji maksymalnie 20 parametrów, które w jak najlepszy sposób estymują błąd NMT. Stopień przydatności modelu składającego się z określonej kombinacji liniowej parametrów mierzony jest za pomocą współczynnika regresji w postaci skorygowanego R2. Określa on jaka część danych (w tym przypadku błąd NMT) zostanie prawidłowo oszacowana przy użyciu obliczonego równania regresji. Próg 20 czynników został przyjęty przez Carlisle’a, gdyż dowiódł on braku istotnej zmiany skorygowanego R2 dla większej ich liczby. Krokowa regresja liniowa przebiega etapami. W każdym z nich do modelu dodawany jest jeden parametr, którego prawdopodobieństwo wprowadzenia p1 jest mniejsze od ustalonej wartości progowej. Analogicznie w każdym kroku może zostać usunięty parametr, którego prawdopodobieństwo usunięcia p2 jest większe od ustalonego progu. Kolejne kroki wykonywane są dopóki znajdują się zmienne, które można dodać lub usunąć z modelu lub gdy zadana maksymalna liczba kroków zostanie osiągnięta. Przyjęcie niskiej wartości prawdopodobieństwa zapewnia małą liczbę zmiennych w modelu. Wysokie prawdopodobieństwo natomiast powoduje włączenie dużej ilości parametrów. Próg na poziomie 0.2 powodował włączenie do modelu około 20 parametrów. Wyniki przedstawiono w Tab. 15. Dla NMT ISOK uzyskano bardzo niski poziom skorygowanego R2. Potwierdza to niewielką korelację tego modelu z charakterystyką terenu. W przypadku modelu LPIS wpływ parametrów terenu jest znacznie większy i zgodnie z teorią, biorąc

81

pod uwagę wartość skorygowanego R2, ok. 66 % punktów modelu powinno mieć prawidłowo oszacowany błąd wysokości. Wyniki krokowej regresji liniowej dla obydwu NMT przedstawiono w Tab. 16. Zestawiono w niej parametry wraz z współczynnikami równania regresji oraz ich poziomem istotności p. Współczynniki te wraz z nazwami parametrów, których dotyczą posłużyły jako dane wejściowe do rozszerzenia DEM Quality and Uncertainty Modelling w celu wygenerowania czterech map końcowych (w nawiasach podano ich oznaczenia):

• mapy błędu (E),

• mapy odchylenia standardowego błędu (ESD), • mapy uśrednionego błędu (E20),

• mapy odchylenia standardowego uśrednionego błędu (E20SD).

Tab. 15. Wartości współczynnika regresji (skorygowane R2) oraz ilość parametrów wykorzystanych w równaniu regresji dla NMT ISOK i NMT LPIS

NMT Skorygowane R2 Ilość parametrów równania regresji

ISOK 0.384 19

LPIS 0.657 20

Tab. 16. Parametry i współczynniki równania regresji wraz z poziomem istotności p dla NMT ISOK i NMT LPIS (w kolejności od najbardziej do najmniej znaczącego)

NMT ISOK NMT LPIS L.p. Nazwa parametru Współczynnik równania regresji Poziom istotności p Nazwa parametru Współczynnik równania regresji Poziom istotności p 0 ^Wyraz wolny ^{-0.131615 0.00190497} Wyraz wolny ^{2.414634 0.00028678} 1 TEXT203 -0.000044 0.00000035 C_AV203 -38.574373 0.00000025 2 MAXEX52 0.068640 0.00000046 AX 5.328843 0.00000036 3 CH 0.007215 0.00000184 AX_AV5 -7.738787 0.00000174 4 TEXTP202 0.000365 0.00000293 CH_AV103 -27.880894 0.00000272 5 GD_SD203 0.000414 0.00000882 AX2 -6.563559 0.00001383 6 Z_SD20 -0.405710 0.00002236 CV_AV20 -2.560293 0.00003568 7 AX_AV53 -21.333268 0.00002357 AX3 -22.717773 0.00010950 8 AX3 12.421986 0.00002466 CV -0.066301 0.00014619 9 Z_SD10 -0.850966 0.00021577 Z_AV5 -0.010499 0.00015203 10 AX_SD202 8.511609 0.00083415 CH_SD203 0.088055 0.00029824 11 AX_SD5 2.117671 0.00088730 C3 -0.000166 0.00047880 12 MINEX20 0.043043 0.00096337 MAXEX102 0.002792 0.00050433 13 C_AV203 -0.050106 0.00317738 Z_SD53 0.329229 0.00052742 14 AX_AV203 25.991631 0.00649820 AX_AV53 143.229569 0.00054240 15 CV_SD20 0.016975 0.00951011 GD_SD102 -0.016401 0.00075017 16 C2 0.000063 0.01196354 CV_SD5 0.162336 0.00078331 17 REL103 -0.000243 0.04407961 CH_AV202 24.058341 0.01185276 18 CH_SD102 -0.000789 0.05184794 Z_SD5 -0.703073 0.01389554 19 AY_SD202 4.650334 0.12590469 CH_SD103 -0.034739 0.02909502 20 – – – AY_AV53 -13.725858 0.03583402 Z – wysokość,

82 AX – składowa wschodnia wektora ekspozycji, AY – składowa północna wektora ekspozycji, CH – krzywizna tangencjalna,

CV – krzywizna profilowa, C – krzywizna całkowita, AVEX – średnia skrajność,

MAXEX – maksymalna skrajność, MINEX – minimalna skrajność,

TEXT – tekstura mierzona w stopniach, TEXTP – tekstura mierzona w procentach, REL – względny relief,

AV – średnia wartość otoczenia,

SD – odchylenie standardowe otoczenia,

5, 10, 20 – promień otoczenia wyrażony w ilości oczek siatki NMT, 2, 3 – parametr odpowiednio w drugiej i trzeciej potędze.

W wyniku działania procedury Carlisle’a powstaje mapa błędu NMT (E) oraz mapa jego odchylenia standardowego (ESD). Wyestymowany przestrzenny błąd modelu zawiera pewną liczbę skrajnych wartości (NMT ISOK: wartość minimalna -4.43 m, a maksymalna 15.87 m; NMT LPIS: wartość minimalna -10.26 m, a maksymalna 3.73 m). Z tego też względu rozszerzenie DEM Quality and Uncertainty Modelling wykorzystując filtr uśredniający o promieniu 20 oczek siatki generuje mapę średniego błędu (E20) oraz mapę jego odchylenia standardowego (E20SD), które pozbawione są tych lokalnych ekstremów. Powstałe mapy błędów można odjąć od NMT w celu jego poprawienia i usunięcia wpływu ewentualnego błędu systematycznego. Przeanalizowano różne konfiguracje w sposób analogiczny jak w podrozdziale 7.1 w celu wyboru optymalnego zestawu dla każdego z analizowanych NMT.

Po dokonaniu analizy wyników dla NMT ISOK i NMT LPIS stwierdzić można niedoszacowanie odchylenia standardowego dla uśrednionego błędu (E20SD). Pozostałe warianty (1, 2, 3) prezentują zbliżone wyniki. Dla modelu ISOK najlepszy rezultat oceny dokładności osiągnięto wykorzystując jedynie mapę odchylenia standardowego (ESD) (wariant 1), natomiast dla NMT LPIS znacznie lepiej jest dodatkowo poprawić model za pomocą mapy błędu uśrednionego (E20) (wariant 3). Wyniki dla modelu ISOK zestawiono w Tab. 17, natomiast dla NMT LPIS w Tab. 18. Wykres rozrzutu 3D poszczególnych wariantów dla obydwu modeli umieszczono na Rys.34. Histogramy różnic między ESD a wartością bezwzględną odchyłki między NMT i pomiarem referencyjnym zilustrowano na Rys.33. Dla NMT LPIS model został dodatkowo poprawiony o uśredniony błąd (E20). Wpasowana krzywa Gaussa ma wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zgodne z danymi w Tab. 17 i Tab. 18 odpowiednio dla modeli ISOK i LPIS.

Tab. 17. Porównanie wariantów map błędów i ich odchylenia standardowego wykonanych metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT ISOK

Wariant ^Wykorzystane _mapy μ [m] ^Wynik _(μ) σ [m] ^Wynik _(σ)

Liczba punktów n Wynik (n) Suma Wyników 1 ESD 0.0233 42 0.1401 2 84 184 227 2 E, ESD -0.0315 39 0.1250 12 62 136 187 3 E20, ESD -0.0049 48 0.1339 6 71 155 210 4 E20SD -0.0848 20 0.0935 34 20 44 98 5 E, E20SD -0.1395 0 0.1424 0 8 18 18 6 E20, E20SD -0.1130 9 0.0967 32 7 15 57

83

Tab. 18. Porównanie wariantów map błędów i ich odchylenia standardowego wykonanych metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT LPIS

Wariant ^Wykorzystane _mapy μ [m] ^Wynik _(μ) σ [m] ^Wynik _(σ)

Liczba punktów n Wynik (n) Suma Wyników 1 ESD -0.0889 37 0.4144 0 55 120 158 2 E, ESD -0.1072 35 0.3432 17 55 120 172 3 E20, ESD -0.0382 44 0.32 23 72 158 225 4 E20SD -0.3279 3 0.4023 3 13 28 34 5 E, E20SD -0.3461 0 0.3931 5 10 22 27 6 E20, E20SD -0.2771 10 0.3302 20 16 35 65

Rys.33. Histogram różnic między ESD a wartością bezwzględną odchyłki między NMT i pomiarem referencyjnym z wpasowaną krzywą rozkładu normalnego. Dla modelu ISOK (z lewej) najlepszy

rezultat osiągnął wariant 1, dla modelu LPIS (z prawej) wariant 3.

Rys.34. Wykres rozrzutu dla poszczególnych wariantów map błędu i ich odchylenia standardowego wykonanych metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT ISOK oraz NMT LPIS. Liczby przy

84

Na Rys.35 przedstawiono mapę uśrednionego błędu (E20) dla modelu ISOK. Wariant 3 wykorzystujący oprócz mapy odchylenia standardowego (ESD) właśnie mapę uśrednionego błędu uzyskał nieznacznie gorszy rezultat punktowy. Model ISOK posiada niewielki błąd systematyczny, stąd nie zachodzi konieczność poprawiania modelu mapą błędu (E20). Można zauważyć pewną zależność związaną z występowaniem skrajnych wartości błędu. Pokrywają się one z obszarami o dużym nachyleniu i krzywiźnie terenu. Pomimo niskiej wartości współczynnika regresji (skorygowane R²), którego wartość oscylowała na poziomie szumu, udało się stosunkowo dobrze zamodelować błąd NMT. Odchylenie standardowe błędu (Rys.36) również wykazuje korelację ze zmiennością terenu. Jego skrajne wartości umiejscowione są w okolicach dróg gruntowych i utwardzonych przebiegających w wykopach lub na nasypach. Duże wartości występują również u podnóża porośniętego lasem wzniesienia znajdującego się we wschodniej części obszaru badań. Analizując mapę uśrednionego błędu (Rys.37) dla modelu LPIS można zauważyć, że zawiera ona niedoszacowane wysokości. Na całym obszarze przyjmuje wartość ujemną, co potwierdza wnioski wysnute w podrozdziale 5.1 związane z występowaniem błędu systematycznego. Dodatkowo można zwrócić uwagę na fakt, iż występowanie skrajnego błędu związane jest obecnością pokrywy leśnej. Dane źródłowe, które posłużyły do budowy modelu mają na tych obszarach niższą dokładność wysokościową (Rys.19). Mapa odchylenia standardowego (Rys.38) również przyjmuje wysokie wartości dla tych obszarów.

Rys.35. Mapa uśrednionego błędu (E20) wygenerowana metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT ISOK

85

Rys.36. Mapa odchylenia standardowego (ESD, wariant 1) wygenerowana metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT ISOK

Rys.37. Mapa uśrednionego błędu (E20, wariant 3) wygenerowana metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT LPIS

86

Rys.38. Mapa odchylenia standardowego (ESD, wariant 3) wygenerowana metodą Carlisle’a (2002, 2005) dla NMT LPIS

7.3. Podejście geostatystyczne

Trzecia metoda jaką użyto do określenia przestrzennej dokładności NMT opiera się o geostatystykę. Przeprowadzony przegląd literatury w podrozdziale 3.3 wykazał bardzo dużą liczbę zastosowanych metod i algorytmów na przestrzeni lat. Niniejsza praca dotyczy porównania metod estymacji przestrzennego rozkładu błędu z kilku odrębnych gałęzi tematycznych. Z tego względu należało wybrać jedną, reprezentatywną metodę wykorzystującą podejście geostatystyczne. Zespoły badawcze wykorzystywały różne podejścia mające na celu wprowadzenie do analiz przestrzennej autokorelacji wykorzystując różnorakie oprogramowanie (zostało to omówione w podrozdziale 3.3.1). Badania literaturowe wykazały jednak, że najczęściej stosowana była sekwencyjna symulacja Gaussa (SGS) zaimplementowana w bibliotece GSTAT (GSTAT, 2012) matematycznego pakietu obliczeniowego R (CRAN, 2012). Z tego względu zdecydowano się przyjąć do obliczeń map błędu i odchylenia standardowego właśnie tę metodę. Aby zapewnić regionalizację rozkładu błędu użyto SGS w postaci uwarunkowanej. Zaletą środowiska R jest objęcie go licencją wolnego oprogramowania GPL, która umożliwia darmowe korzystanie i dowolną modyfikację kodu programu. GSTAT do działania wymaga zainstalowania kilku dodatkowych bibliotek (sp, spacetime, xts, zoo), które również są dostępne bezpłatnie. Do obliczenia map błędów i odchylenia standardowego wykorzystano najczęściej wykorzystywaną metodę Monte Carlo.

Stosując uwarunkowaną metodę SGS wraz z metodą Monte Carlo konieczne jest posiadanie informacji o błędzie NMT w określonych lokalizacjach. Powinny być one w miarę możliwości równomiernie rozmieszczone na obszarze całego modelu. Do tego celu wykorzystano pierwszy zbiór danych referencyjnych GPS. Odchyłki między NMT a punktami pomiarowymi oraz sam model stanowiły zestaw danych wejściowych koniecznych do uruchomienia procedury. Model wykorzystany jest tylko w celu ustalenia parametrów map wyjściowych (georeferencja, liczba wierszy i kolumn, wielkość piksela). Pierwszym krokiem było obliczenie semiwariogramu empirycznego i parametrów anizotropii, a następnie dopasowaniu modelu teoretycznego. Do obliczenia semiwariogramu empirycznego przyjęto wartość 400 m jako maksymalną odległość, powyżej której pary punktów nie biorą udziału w estymacji semiwariancji oraz 25 m jako szerokość poszczególnych klas odległości, do

87

których pary punktów są włączane podczas estymacji. Zapewniło to wystarczająco dobre wygładzenie semiwariogramu w celu wpasowania modelu teoretycznego. GSTAT nie posiada funkcjonalności obliczania anizotropii, dlatego wykorzystano do tego celu oprogramowanie Surfer 8. Wyniki zestawiono w Tab. 19, natomiast wykresy semiwariogramów teoretycznych na tle empirycznych na Rys.39. Dla obydwu NMT autokorelacja przestrzenna błędu istnieje tylko dla punktów oddalonych od siebie o około 100 m. Powyżej tej wartości autokorelacja przestaje występować.

Rys.39. Model semiwariogramu teoretycznego na tle empirycznego dla NMT ISOK (z lewej) oraz NMT LPIS (z prawej)

Tab. 19. Parametry semiwariogramu teoretycznego dla NMT ISOK i NMT LPIS

NMT ^Model semiwariogramu Efekt samorodków C0 [m2] Próg C [m2] Zasięg ω [m] Azymut kierunku maksymalnej anizotropii [˚] Współczynnik anizotropii ISOK Sferyczny 0.007 0.013 145 48.5 2.000 LPIS Sferyczny 0.048 0.065 129 317 1.958

Posiadając teoretyczny model semiwariogramu można przystąpić do kolejnego kroku jakim jest symulacja metodą Monte Carlo. W środowisku GSTAT realizowana jest ona za pomocą funkcji krige, której parametrami są: wartość błędu w punktach pomiarowych, NMT, model semiwariogramu teoretycznego, liczba symulacji oraz wielkość otoczenia. Wartość tego ostatniego powinna być większa od 3, przy czym wartości większe od 25 nie wpływają w sposób istotny na wynik analiz (za Myers, 1991; cytowanym przez Olea, 1999). Goovaerts (1997) ustala minimalną wartość na poziomie 10. W niniejszej pracy przyjęto wielkość otoczenia na poziomie 20, aby nie generować zbyt dużej złożoności obliczeniowej spełniając obydwa kryteria.

Zespoły badawcze, które wykorzystywały metodę Monte Carlo przyjmowały różną liczbę powtórzeń. Ich zakres wahał się od 50 do nawet 1000. Każda dodatkowa symulacja wiąże się z dużym obciążeniem obliczeniowym, zatem liczba ta powinna być jak najmniejsza. Jednocześnie musi być ona na tyle duża aby zapewnić poprawność uzyskanej końcowej mapy błędu (E) i jego odchylenia standardowego (ESD). W niniejszej pracy wykorzystano podejście zaproponowane w publikacji (Raaflaub i Collins, 2006) opisane w podrozdziale 3.3, polegające na obliczeniu odchylenia standardowego każdej z map odchylenia standardowego wykonanej dla 25, 50, 75, 100, 150, 200, 300 i 500 symulacji. Wyniki zilustrowano w formie wykresu na Rys.40. Powyżej 100 realizacji spadek odchylenia standardowego jest nieznaczny, a przy tym wiąże się z dużym wzrostem złożoności obliczeniowej. W celu potwierdzenia tego podejścia mającego na celu ustalenie liczby koniecznych realizacji dla NMT ISOK wykonano metodę Monte Carlo dwukrotnie, dla 100 i 200 symulacji.

88

Wyniki przedstawione w Tab. 20. jednoznacznie dowodzą, iż wykonanie dodatkowych 100 realizacji błędu nie przynosi wymiernych efektów. Z tego względu w dalszej części pracy przyjęto liczbę symulacji na poziomie 100.

Rys.40. Odchylenie standardowe mapy odchylenia standardowego w funkcji liczby realizacji w metodzie Monte Carlo dla NMT ISOK

Różnica pomiędzy poszczególnymi wariantami w przypadku NMT ISOK jest bardzo niewielka (Tab. 20). Potwierdziły się również rozważania na temat koniecznej liczby symulacji w metodzie Monte Carlo. Wykonanie dodatkowych 100 realizacji błędu nie przyniosło żadnych wymiernych efektów. Do dalszych porównań wybrano wariant 1 wykonany dla 100 symulacji wykorzystujący tylko mapę odchylenia standardowego błędu NMT. Inaczej sytuacja wygląda w przypadku modelu LPIS. Tutaj widać bardzo dużą różnicę między wariantami, co wskazuje zasadność poprawienia NMT przy pomocy mapy błędu (E) (Tab. 21). Wynika to z faktu występowania błędu niedoszacowania wysokości dla tego modelu. Istnieje tutaj pewna analogia do metody Carlisle’a (2002, 2005) opisanej w podrozdziale 7.2. Podczas analiz wykonanych tamtą metodą również najlepszym wariantem okazał się ten, który wykorzystywał zarówno mapę błędu jak i mapę odchylenia standardowego błędu. Wartości różnic między ESD a wartością bezwzględną odchyłki między NMT i pomiarem referencyjnym zilustrowano w postaci histogramów na Rys.41. Modelu LPIS został dodatkowo poprawiony przy użyciu mapy błędu (E). Wykres rozrzutu 3D poszczególnych wariantów dla obu modeli umieszczono na Rys.42. Mapę błędów i ich odchylenia standardowego dla modelu ISOK przedstawiono odpowiednio na Rys.43 i Rys.44, natomiast dla NMT LPIS odpowiednio na Rys.45 i Rys.46. Porównując obie mapy błędu z obrazem różnic między modelami a pomiarem referencyjnym (Rys.24) widać korelację lokalnych ekstremów błędu z położeniem punktów pomiarowych. Dzieje się tak, ponieważ metoda geostatystyczna opiera swoje działanie tylko o wzajemne położenie punktów i ich odchyłkę od NMT. Na mapach błędu można też zauważyć wpływ parametru anizotropii co przejawia się wydłużonym, eliptycznym kształtem błędu w jej kierunku maksymalnym.

Tab. 20. Porównanie wariantów map błędów (E) i ich odchylenia standardowego (ESD) wykonanych metodą Monte Carlo dla NMT ISOK

Wariant Liczba symulacji, wykorzystane mapy μ [m] ^Wynik _(μ) σ [m] ^Wynik _(σ) Liczba punktów n Wynik (n) Suma Wyników 1 100, ESD 0.0304 0 0.0938 0 99 217 217 2 100, E, ESD 0.0280 4 0.0940 0 93 204 208 3 200, ESD 0.0305 0 0.0933 1 99 217 218 4 200, E, ESD 0.0273 5 0.0924 2 91 199 206

89

Tab. 21. Porównanie wariantów map błędów (E) i ich odchylenia standardowego (ESD) wykonanych metodą Monte Carlo dla NMT LPIS

Wariant Liczba symulacji, wykorzystane mapy μ [m] ^Wynik _(μ) σ [m] ^Wynik _(σ) Liczba punktów n Wynik (n) Suma Wyników 1 100, ESD -0.0667 0 0.4224 0 77 169 169 2 100, E, ESD -0.0025 48 0.3822 10 96 210 268

Rys.41. Histogram różnic między ESD a wartością bezwzględną odchyłki miedzy NMT i pomiarem referencyjnym z wpasowaną krzywą rozkładu normalnego. Dla modelu ISOK (z lewej) najlepszy

rezultat osiągnął wariant 1, dla modelu LPIS (z prawej) wariant 2. W obu przypadkach liczba symulacji wynosiła 100.

Rys.42. Wykres rozrzutu dla poszczególnych wariantów map błędu i ich odchylenia standardowego wykonanych metodą Monte Carlo dla NMT ISOK i NMT LPIS. Liczby przy punktach

90

Rys.43. Mapa błędu (E) wygenerowana metodą geostatystyczną dla NMT ISOK

Rys.44. Mapa odchylenia standardowego (ESD, wariant 1) wygenerowana metodą Monte Carlo dla NMT ISOK

91

Rys.45. Mapa błędu (E, wariant 2) wygenerowana metodą Monte Carlo dla NMT LPIS

Rys.46. Mapa odchylenia standardowego (ESD, wariant 2) wygenerowana metodą Monte Carlo dla NMT LPIS

92