_ rozwiazonie dla (lanych niezaburzonych _ rozwieranie dto danych zaburzonych
6.4. METODA ROZWIĄZANIA
Przy tak sformułowanym modelu matematycznym postawione zadanie — określenia grubości warstw formy zapewniających możliwie bliski podyktowanemu wymogami technologicznymi przebieg procesu krzepnięcia odlewu można próbować rozwiązać kilkoma sposobami. Zdecydowano sie wykorzystać raetode optymalizacyjną. Należy wiec do opisu matematycznego dołączyć funkcje jakości, tzn. kryterium wyboru nieznanych wielkości h^ składowych wektora { h} *={h ,...,h }. Mając na uwadze poczynione założenia jako
1 1 n
kryterium, można przyjąć funkcją:
K M
Minimum funkcji F poszukuje sie metodami gradientowymi [6.2, 6.3].
Korzystając np. z algorytmu gradientu sprzężonego (patrz Dodatek). W tyra celu należy wyznaczyć pochodne funkcji F wzglecłem poszukiwanych parametrów składowych wektora {h}^1 , przy czym warunek (6.1) pozwala zredukować liczbę
uzyskamy jawną zależność związków (6.3)+(6.10) od szukanych parametrów h^.
Otrzymamy mianowicie:
hoaJ 0 - V y ho>'",V < y ho>"ayTo] • 0<y<1 • 0<t-ta> (6.14)
81
a u ‘=0 , y=0 , 0<t<t (6.25) zagadnień brzegowych dla układów równań przewodnictwa. Ze względu, na brak praktycznie użytecznych formuł analitycznych, rozwiązań poszukiwano numerycznie, wykorzystując znane powszechnie metody przybliżonego rozwiązywania tego typu zagadnień, np. [6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.8].
W celu zbadania skuteczności metody przeprowadzono szereg obliczeń testujących. Część obliczeń prowadzono w ten sposób, że najpierw dla założonych z góry parametrów termofizycznych oraz wymiarów geometrycznych odlewu i warstw formy wyznaczano temperaturę w wybranych punktach kontrolnych k=l,K odlewu w ustalonych chwilach czasu t ^ , j = 1 , , a następnie zagadnienie odwrócono, zaburzając przy tym celowo procesem błędu niektóre z danych wejściowych.
83
-Obliczenia testujące przeprowadzone na minikomputerze IBM AT pokazały.
Ze znacznie lepsze wyniki uzyskuje sie, Jeżeli ilość informacji wejściowych o przebiegu procesu jest większa; wOwczas nawet znaczne zaburzenia w danych wejściowych pozwalają uzyskać wartościowe wyniki.
Przykład 6.1
Jako jeden z przykładów rozważano odlew staliwny o kształcie płyty i grubości 2h0=Ol [ni], odlewany w formie dwuwarstwowej o zróżnicowanych parametrach termofizycznych.
Kys.6.2. Modelowany obiekt. Siatka różnicowa Fig.6.2. Modelled object. The differential mash
Przyjęto, że T*=1540, Tl=1520, Ts=1485, ^ = 3 0 [°C], A0=35, \ = 4, A2=0.4 [W/mK], C =820, C =789, C =670 [J/kgK], y-7S00, y=2650, y = 6 2 5 [kg/m3],
0 1 2 0 1 2
a=200 [W/m^j i że a0(T) definiuje sie jak w pracy [6.4 ], przy czym przyjęto, że ciepło krystalizacji wynosi 0=264000 [J/kg] oraz że kontakt miedzy odlewem i formą jest idealny. Rozwiązując zagadnienie proste założono ponadto, że h =0.03 a h2=0.07 [raj.
Na modelowany obiekt nałożono równomierną w ramach obszaru siatkę różnicową zawierającą 5 węzłów w obszarze odlewu oraz odpowiednio 3 ł 7 węzłów w obszarach warstw formy (rys.6.2). Obliczenia numeryczne prowadzono z krokiem czasowym At=5 [s]. Wyniki obliczeń zamieszczono na rys. 6.3.
Rys.6.3. Rozwiązanie zagadnienia prostego Fig.6.3. The solution of direct probiera
Przystępując do rozwiązania zagadnienia odwrotnego jako informacje o przebiegu procesu krzepnięcia wprowadzono uzyskane w rozwiązaniu zagadnienia prostego parametry odpowiednio zaburzone procesem błędu.
Założono mianowicie, że punkt kontrolny położony jest w pobliżu powierzchni odlewu i pokrywa sie z piątym wezłem siatki różnicowej (patrz rys. 6.2) oraz że w chwilach czasu tjj=600*j, j=i,10 [s] parametry f ^ przyjmują wartości: f =1500, f =1485, f =1490, f =1490, f =1480, f =1485,
14 1*2 1,3 1,4 1,5 1,6
fj7=1480, ^^=1480, fj9=1480, f ^ Q=1370 [°C]. Założono ponadto, że gruboSci warstw formy spełniają warunek: h j+h2=0.1.
Do minimalizacji funkcji F wykorzystano raetode Fletchera-Reevsa (patrz Dodatek). Przyjmując, że, h^°*=0.05 i h2*0>=0.05 [ra], po przeprowadzonych omawianą w pracy metodą obliczeniach otrzymano po 73 iteracjach, że h ^O.033 a h2=0.067 [ra]. Nietrudno zauważyć, że błąd względny, jaki popełniono przy wyznaczeniu h^ i h2, jest niewielki i nie przekracza 8%. Na rys. 6.4 porównano przebiegi temperatury w punkcie kontrolnym. Z zestawienia krzywych wynika, że i tu uzyskano zadowalającą zgodność.
85
Jako dane wejściowe w obliczeniach wykorzystano dane eksperymentalne [6.7], uzyskane za pomocą oryginalnego minikomputerowego systemu zbierania, rejestracji i przetwarzania danych. Badanym obiektem rzeczywistym był odlew o kształcie walca, wykonany ze stopu ZnAl i krzepnący w formie dwuwarstwowej. Wymiary odlewu i formy oraz położenie punktów kontrolnych przedstawiono na rys. 6.5, a uzyskane wyniki pomiarów na rys.6.6.
Przedstawione na rys.6.6. wyniki pomiarów wykorzystano jako dane wejściowe przy rozwiązywaniu omawianą metodą zagadnienia odwrotnego, polegającego na wyznaczeniu grubości warstw formy. Skład chemiczny odlewu l
K materiałów formy determinował parametry termofizyczne, w tyra T =450, T =400, T =382, T =30 [°C], V"=113 dla fazy ciekłej, A®=57 dla ciała
L S OD 0 v
stałego, X »1,2, 1^=0,35 [W/mK] i odpowiednio C^=523, C®=426, C=700, C.=800 [J/kgK ], yjj=654,5, >-*=698,5, ^=2500, r2=1600 [kg/m3] oraz 0=115540 [J/kg].
009
o ) a - odlew o
b ) s c h e m a t
h 0 /4 Y
A I
X1 % * 7 x3
>>>
x4
/ / / / / * / / / ’/ y / f / * / '/i
' / / ' / / / / / / ' / ' A/ t / z / / / f / / / t / ł / t / f i X
0 V / / / / / / / z '/ ,o • X
1 i
' / ' / ' Z ' * ?2 h 0 . 5 ? h*jr 6.5 h j z 26 7 ,5
Rys.6,5. Modelowy obiekt rzeczywisty Fig.6.5. The shape of real object
87
Na modelowany obiekt nałożono siatkę różnicową zawierającą w obszarze odlewu 6 węzłów oraz odpowiednio 2 i 8 węzłów w zmieniających swoje wymiary w trakcie procesu obliczeniowego warstwach formy, przy czym punkty kontrolne pokrywały sie z węzłami o indeksach 1,2,4 i 6 (rys.6.7). Założono
Przy powyższych założeniach, przyjmując, że hj0)=O.Ol [m], po przeprowadzonych omawianą w pracy metodą obliczeniach otrzymano po 56 iteracjach, że h^O.0061 (m). Nietrudno zauważyć, że błąd względny, jaki popełniono w wyznaczeniu hjf jest niewielki i nie przekracza 75£.
Z zestawienia krzywych temperaturowych w punktach kontrolnych uzyskanych w procesie obliczeniowym z wynikami pomiarów (rys. 6.8) wynika, że i tu uzyskano zadowalającą zgodność.
x ~ p rzeb ieg i o d tw o rz o n e
Rys.6.8. Przebiegi temperatury w punktach kontrolnych Fig.6.8. The courses of temperaturę at control points
6.6 POSUMOWANIE
W rozdziale 6 przedstawiono pewien algorytm obliczeń, prowadzący do wyznaczenia grubości warstw formy wielowarstwowej zapewniającej możliwie bliski podyktowanemu wymogami technologicznymi przebieg procesu krzepnięcia (dla obiektów typu płyta, walec, kula). Algorytm bazuje na rozwiązaniu geometrycznego zagadnienia odwrotnego dla równania przewodnictwa ciepła.
Wykorzystano przy tym wraźliwościową metodę optymalizacyjną, co wymagało dołączenia do opisu matematycznego funkcjonału jakości, kryterium wyboru poszukiwanych parametrów, który minimalizowano. Minimum funkcjonału poszukiwano metodą gradientową (algorytm Fletchera-Reevsa). Przeprowadzono obliczenia testujące potwierdziły zadowalającą dokładność i skuteczność algorytmu.
SZCZELIN Y NA STYKU ODLEWU I FORMY
7.1, WSTĘP
Warunek ciągłości strumienia ciepła na styku odlewu i formy nazywany jest warunkiem brzegowym IV rodzaju, przy czym można rozróżnić przepływ ciepła przy kontakcie idealnym oraz przypadek dodatkowego oporu cieplnego na powierzchni granicznej. W termodynamice procesów odlewniczych z reguły analizuje się drugą z wymienionych możliwości, w której podstawowym dla warunków wymiany ciepła parametrem jest opór szczeliny gazowej generującej się między odlewem a formą. Mechanizm powstawania szczeliny nie jest dokładnie zbadany, a znajomość oporu cieplnego jest nieodzowna, gdy chce się wykorzystać modele matematyczne symulujące krzepnięcie i stygnięcie odlewów, przy czym jedyną możliwością efektywnego i poprawnego oszacowania oporu cieplnego są badania eksperymentalne i sprzężenie wyników eksperymentu z rezultatami badan symulacyjnych. Takie podejście wymaga wykorzystania metody zadać odwrotnych.
Przedstawiony w rozdziale niniejszym algorytm pozwala na podstawie danych doświadczalnych, mających postać czasowych przebiegów temperatury w kilku wybranych punktach kontrolnych z obszaru odlewu i formy, wyznaczyć wraz z polem t e ^ e r a t u r y opór cieplny na styku odlewu z formą.
7.2. Założenia
Rozważać będziemy odlew w kształcie płyty, walca lub kuli. krzepnącv w formie wielowarstwowej. Załóżmy, że odlew raa grubość lub średnicę rowr.ą 21
o i wytwarzany jest z metalu krzepnącego w przedziale tenperaturv ^Ts . T >
(^-temperatura solidusu, 7, -temperatura likwidusu), który wlewany do formy ma temperaturę T , T >T^>Ts, natomiast forma składa się z będących w idealnym kontakcie cieplnym ze sobą N warstw wykonanych z różnych
9 1
-raateriałbw o grubościach hn, n=l,N i w chwili wypełniania jej metalem ma temperaturę T >T * (T -temperatura otoczenia).
CD CD
Załóżmy ponadto, że znane są zmierzone wartości temperatury odpowiadające punktom kontrolnym xfc, k=i,K i chwilom czasu t^, j = l fMfc odpowiednio oraz wszystkie parametry termofizyczne rozważanego układu odlew—fo r m a .
kontrolne
Rys.7.1. Obszary modelowanego obiektu Fig.7.1. The sub-areas of modelled object
7.3. MODEL MATEMATYCZNY
Zorientujmy w przestrzeni modelowany obiekt jak na rys.7.1. Wówczas położenie powierzchni brzegowych rozgraniczających poszczególne warstwy opisują współrzędne:
n
x = )^ h , n=0,N
n Z- n
1=0
Przy tych założeniach opis matematyczny zagadnienia ma postać:
S T = a x ' ‘s (*,« T l , 0<x<x , 0<t<t (7.1)
t> 0 0 X X 0 O CO
a
T =a x'"<?(Kma
T)
, x <x<x , 0<tSt , o=I7n (7.2)i n n x x r> n - i n OD
T * T * , 0<x<x , t^O (7.3)
o o
T =T , x <x<x , t=0 , n=l,N (7.4)
x współrzędną przestrzenną, t czas, aQ=aQ(T) jest zastępczą dyfuzyjnością cieplną uwzględniającą efekt wydzielania się ciepła przemiany fazowej (7.5), a^=const, n=l,N oznaczają współczynniki przewodzenia temperatury, X =const, n=0,N współczynniki przewodzenia ciepła, a=a(T ) jest
n N
współczynnikiem wymiany ciepła, parametr ra określa geometrię odlewu (ra=0 płyta, m=l walec i m=2 kula), a ’P oznacza poszukiwany opór cieplny
93
-Przy tak sformułowanym modelu matematycznym postawione zadanie wyznaczenia oporu cieplnego szczeliny gazowej można rozwiązać wykorzystując metody optymalizacyjne.
Do opisu matematycznego dołączamy funkcjonał jakości, kryterium wyboru nieznanych składowych wektora parametrów {p}|j={pQ, p^, . . . p^} . Jako kryter ium możemy przyjąć funkcje:
7.4. METODA ROZWIĄZANIA
Minimum funkcji F poszukiwać będziemy metodami gradientowymi [7.1, 7.8, 7.12]. Z (7.11) wynika, że składowe gradientu mają postać:
sie układ równań (7.1)+(7.8). Różniczkując układ równań (7.1)+(7.8) kolejne
K H
( 7 . 1 1 ) k = l J-l
którą minimalizujemy.
Wyżej Tk y=T(xk> tfc j? { p} ¡J) oznaczają odpowiednie rozwiązania zagadnienia brzegowego (7.l)+(7.8) przy danym wektorze parametrów {p}^» a j są to parametry wagowe, determinujące wiarygodność informacji o pomiarze temperatur f
k»J
K M,
(7.12) k»l J»1
k,J • k k,J
po p^, 1=0,L otrzymuje sie L+l liniowych zagadnień brzegowych o postaci:
o 0<t<t
co (7.13)
(7.14)
U l= 0 , 0 < x < x ft , t = 0
) 95 )