METODA ROZWIĄZANIA

Konstrukcje systemów chłodzenia w urządzeniach do ciągłego odlewania pozwalają założyć, że w poszczególnych strefach chłodzenia współczynniki wymiany ciepła lub strumienie ciepła są stałe i wynoszą odpowiednio lub q^, k=l,K. Można więc przyjąć, źe funkcja p=p(z,<*>) ma postać:

P =X ! [ łJlz-2k-i)~p(z_Zk)] Pk (4.13)

gdzie zgodnie z (4.11) składowe wektora parametrów {p} ={ p^, p^, . . . , p^}

oznaczaja:

, w=l

(4.14)

!O=0

natomiast:

0 , ( ■ ) < 0

p ( • )= -^ . (4.15)

1 . ( • ) > O

37

-Przy powyższych założeniach postawione zadanie rozwiązywano wykorzystując metody optymalizacyjne. Do opisu matematycznego dołączono funkcję jakości:

.f

wtfU = a r " m< M r md U u ) , 0<r<R , z <z<Z (4.20)

Minimum funkcji F można poszukiwać jedną z metod opisanych w dodatku, przy czym wybór przybliżenia początkowego ({p}*)*°^ dla wektora parametrów {p}^ nie powinien być przypadkowy. Do jego określenia można wykorzystać metodę zaproponowaną w rozdziale trzecim.

4.4. MODEL NUMERYCZNY

W celu stworzenia praktycznej możliwości realizacji obliczeń przekształcono układ równań i warunków (4.1)+(4.10) wprowadzając nową bezwymiarową zmienną dla każdej z faz w następujący sposób:

• 39

-W przyjętym nowym układzie współrzędnych układ równań i warunków (4.1)+(4.10) przyjmie postać:

w(a T - y a ’a !a T ) =a o Zy ”d (y"a T ) , 0<y<l , 0<z<z* (4.28)

z I y l 1 y y 1

w[a T -(1-y)(R-a) 'o'a T l =

1 (4.29)

a (R-a) [y(R-a)+a] "a {[y(R-a)+alma T } , 0<y<l , 0<z<z*

2 y y 2

w 3 T = a R ' V " d ( y " d T ) , 0<y<l , z*<z<Z (4.30)

z 2 2 y y 2

T i=T , z=0 , 0<y<l (4.31)

d T =0 , y=0 , 0<z<z

y t (4.32)

ayT2=0 , y=0 , z <z<Z (4.33)

Tt (1 f z ) =T2 (0 , z ) =T , 0<zSz* (4.34)

-Xia'1ayT i(l,z)+X2(R-a)‘tdyTJ(0,z)=wy2Q o ’, 0<z<z* (4.35)

? S a(C ) . n = l ,N (4.36)

n n

-X2 (R-a) a yT 2 (l,z)=pp , 0<z<z - X 2R ' 1avT 2 (l,z)=pf> , z*<z<Z

(4.37)

Jak łatwo zauważyć, w nowym układzie współrzędnych obszary wlewka odpowiadające fazie ciekłej i fazie stałej są prostokątne. „Unieruchomiona została również granica rozdziału faz, a funkcja o = o {z) opisująca jej położenie stała się współczynnikiem równań.

Przekształceniu ulegną również i równania wraź 1iwościowe (4.18+4.26).

W nowym układzie współrzędnych mają one postać:

(4.38)

w ( a U , - ( 1 - y ) z 2 ,k ( R - o ) * V a v 2,kU ) =

=a2(R-a) 2[y(R*-a)+o) m<?y{ [y(R~a) + o ] m d ^ U 2 , 0<y<l , 0<z<z*

wali =a R \ md (y™a U ) , 0<y<l , z*<z<Z

z 21 2 V y 2Jt (4.40)

z=0 , 0<y<l (4.41)

a U =0 , y=0 , 0<z<z

» u

* (4.42)

a U =0 , y=0 , z*<z<Z

y 2,k (4.43)

UiA+eko'ła T =0 , y=l , 0<z<z* (4.44)

U +<J (R-o)"'aT=0 , y=0 , 0<z<z*

2 X k y 2 (4.45)

(4.46)

=vr3Q , 0<z<z*

41

-oraz

-X2(R-cj) 1ayU2k=pł3’U2k+f> [(j(z-zk i)-fj(z-zt) ] , y=i , 0<z<Z (4.47)

Do rozwiązywania występujących w procesie iteracyjnyra zagadnień brzegowych można wykorzystać metody różnicowe [4.9,4.17]. Dla układu równań (4.28)+(4.35),(4.37) układ rozwiązujący wyprowadza się opierając się na równaniach (4.28)+(4.34) oraz warunku (4.37), natomiast warunek (4.35) wykorzystuje się do budowy procesów iteracyjnych, w których wyznacza się wartości funkcji a określające na każdym poziomie siatki różnicowej w starym układzie współrzędnych położenie frontu krzepnięcia.

Podobnie w przypadku równań wraż 1iwościowych (4.38) + (4.47) układ rpzwiązujący tworzy się na bazie równań (4.38)+(4.45) i warunku (4.47), natomiast warunek (4.46), podobnie jak wyżej, wykorzystuje się do skonstruowania procesu iteracyjnego.

Na przekształcone obszary fazy ciekłej i fazy stałej nakłada się siatki różnicowe oj i O 2 o krokach Az=Z/J oraz Ay =1/1 i Ay =1/1

1 1 "2 2 odpowiednio, tzn. :

Równania różnicowe wyprowadza się na podstawie niejawnej gwiazdy cztero- punktowej, zgodnie z zasadami podanymi w [4.10,4.12,4.13,4.18].

Układ rozwiązujący dla zagadnienia Stefana (4.28)+(4.35),(4.37) tworzy

°i j = {.yi:yi=1Ayr j=o,j}

= { y t : y t= i A y 2 . i - o . i ^ i z :z =jAz, j = o , j }

j układów równań kolejno dla J=1,J o postaci:

i =0,Ij ( 4 . 4 8 )

( 4 . 4 9 )

t.J ^OJ

2.0 ^ . O + 2.0 ^ . 0 +

gdzie j* oznacza ten numer warstwy siatki rdZnicowej (podlegający wyzna­

czeniu), na ktdrej kortczy sie proces krzepnięcia, a ^ = a ^ s\j A z ) , T*’jS>=

43

-= tî ^ ■ i=i,-2

t‘ +

a Az

1 ’ 2 1 r 1 1

*

. ( * ) . 2 , 2

( a i ) w A y t 2 1 1 - 2

g(«> = -ai.J

XjAz

w r2 Q A y t o * “ )

(<>

32.j

X^Az w r 2Q A y 2 (R-a‘° )

a.U >=

i.J

a 2Az ( i - i ) A y2( R — a * * } )+ ° j * >

w A y2( R - a * * > ) 2 i A y2 (R-£Jj* *

*

( l - i A y 2 ) (ôj* J-J-l

2(R- O j ' ł)Ay2

2.U)

A y 2 (R-Oj* *)

.

a.U)

A y 2 (R-Oj* ’)

<« )

a2A2 ‘ ( i - i ) A y2( R - o ‘* > ) + o ' * > ■ J w A y2( R - O j“ >) 2 i A y2 (R— c / s ’l + o ' ” }

a 2Az ' { i + f ) A y2(R-cr'J'> ) + o<0 'm"

w A y2( R - ö j * ’ ) 2 i A y ^ R - a' * 5 i + o ' * ’

2 ,<«>_

" U

a 2Az ( i + i ) A y2< R - a < * )+ a < * )

w A y2( R - a * s ’ ) 2 i A y2( R - a ^ * >) + a ‘‘ )

( l - i A y2 ) (a** >- o j _ , ]

2(R- a \ m*Ay2

J 2

, i = i , r 2 - i

t.J-1

a 2Az

w A y2 ( R - C T j ' ' ) 2

i A y 2 ( R - a < “ > ) + * < * >

A y2 ( R - O j * ' i + O j ' 5

( 1 — A y 2 ) (o'" '-Oj. , )

2 ( R -0‘' )) A y2

,2,(*)

d = p «?

i3»j pr j

przy czym py=p (jAz f c*>) f natomiast:

T2» ^“>-t

12 , j 00 , €0=1

, €0=0

Rozpoczynając proces iteracyjny, przyjmujemy, ±e o^ =0^ . Proces itera-cyjny kortczyray, jeżeli:

| Oj*"1' | < c ( 4 . 5 2 )

gdzie c jest zadana dostatecznie mała liczba» a jako wynik końcowy a^ można przyjąć wynik uzyskany w ostatniej iteracji.

JeZeli kontynuując obliczenia otrzymamy dla pewnego j', Ze o*<e*, gdzie c* jest dostatecznie mała stała dodatnia, wówczas możemy przyjąć, Ze zakończyło się krzepnięcie wlewka oraz Ze głębokoSó zalegania ciekłego metalu wynosi z*=j*Az. Dalej będzie odbywało się już tylko stygnięcie wlewka i układ rozwiązujący tworzy J—J* układów równań kolejno dla j=j*+l,J postaci:

bo.j = 1H

2(m + 1 )a Az

2

w R 2A y 2

2a Az

2

— , 1=1, I -1 w R 2A y 2 2

RAy,

c0.j

2 (m+1 )a^Az wR2A y 2

1. J w R 2A y 2

2i+ l

2i

, i=l,I2-l

C .2.J = °

< 1 = > 1=0>I2-1

" ■ 2 . J = P J * J

Podobne układy rozwiązujące otrzymamy również dla równań wrażliwościowych.

W szczególności dla j = l tJ* i k=i71c mamy:

IJc.taty.U.ł tj l-lj i,j i,j

tk.(.) ltk.U) .tjc.<«> — r CM UI*1J * i=0r I,

(4.54)

47

-2,k,<«> 2,k,<«) -2,k,<«> 2,k, (a )

l . J *-t.J l.J l.J

(4.55)

jk'<^> =ok-<“> +g k'(s)fu1’t'(“>+3U1-k'<*>-4U1-k’(*

i

J

l

I,-2.J It,j IM .j

J

k.is) f 2J..U) 2 « B>1 k.(S)

2.J [ 1.J

0,1 2,1

J S 0,j

(4 .5 6 )

i odpowiednio dla j=j +1,J oraz k=l,K:

U i Z +bU ° U +CM C = • 1=0'I2 <4 -5 7 >

gdzie U*JJ'(!’,=U*S* (iAy^, j Az ) , e=l,2 , ©k,<*>=6**>( j A z ) , s jest numerem iteracji, a współczynniki odpowiednio wynoszą:

a * * ™ = 0 o.j

- a Az 2Ł-1 m i(o -o )..

h H — b H ■

a - . , = 0

2 (m + 1 ) a Az b>*.(.>= 1+ L _

0,J wOjAy2

2a t Az

’ 1=1-1 ,-1 w o jA y i

1 1

OJ 2 2

w o jA y i

r V , a i „

I",

^{“ ” ' ^ - ’ 1}

I 2 A 2

L a w A y 1i 2 i J l a ,

J

d! T m>

- u!j-> 1=0-I r 1

e k,(e) Q 1

V

---X A z W «)

i j ---a J&---amp;y tvf'2o

X A z

,k.(«)

2 . J

---(R-oj)Ay2w r 2Q

^ X 2A z ó ^ < 0 t

( R - a ()2wy

^ U>= °

49

-2Jś,(s)_

a l.J

2,k,0=>

a Az

2 ■ ( i - i j A y ^ R - O j J + a j ' ( l - i A y 2 ) [ o } - o ¡ t )' w A y2( R - ö j )

2

i A y2( R - o

j

)+aj 2 ( R - a j ) A y2

2,k,(s>

A y J ( R - o j )

b0 j - 1

a Az

1.J " 1+-w A y

2 - r ( i 4 )Äy2(R- ö j )+aji" +

“ (R-cr i ) 2 L lAy^R-e-jł+Oj J

wAy

L2Ai r ii+7 ) A y 2 ( R _ a j , + a jl’,1 ____

|(R-Ö j ) 2 [ l A y ^ R - O j i + O j J I

-1

2,k.(«>_

A y 2 (R-Oj) - p p ł

vr s

_ŁM*>=

'O.j

a 2Az (i+i-)Ay2( R - o J ) + o J (1— iA y2)(°j-°j-j) w A y2( R - ö j) 2 i A y2( R - ö j )+ oj Z { R - a ^ y \

,(* > D IT 2 ,2i,(*> J ° ' J

d # J

-R-CTj

d,k

2

2Jc.<«>_ u 2,k .-— --di.J - ’ 1=1

J(S>= PJp ( j A z - z k_1)-fj(JAz-zk)j

d la J < j \ przy czym dV j=< ^ T (iAy#I j A z ), 0*1^=* T <iAy#t J A * > , e=l,2

*>’ - d*c>(T2 )/dT oraz:

J 12J 2

a 2,k= O o,J

a 2Az 2i-l *

w R 2 A y 2 [ 2i J

2,k

RAy,

2(m+l)a Az

„ « = 1 + L _

°'J w R 2A y 2

2a^Az bf* *

l+-r--4»J wR Ay

" 1 7 7 ~ pjt;

SI

-.24c -o.j

2 ( m + 1 ) a 2 Az

vR2Ay2

a 2Az 2i+l »

°ij =

_{,J wR2Ay‘}

i ~ ---

_{l 2 i J} 1 *

^{1=1 ’V 1}

d!.J =

C <

’ 1=0'I 2~1

= PJp ( j A z - z k i)-p(jAz-zk)

dla j>j'

4.5* PRZYKŁADY OBLICZEŃ

W celu zbadania skuteczności metody przeprowadzono szereg obliczeń testujących. W pierwszej kolejności testowano zaproponowaną metodę przybliżonego rozwiązywania zagadnień prostych Stefana, gdyż tylko poprawne funkcjonowanie metody rozwiązywania zagadnień prostych pozwalało oczekiwać wartościowych wyników przy rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych. Polegało to na porównywaniu rozwiązań przybliżonych z rozwiązaniami analitycznymi

(przykład 4.1). Dalsze obliczenia testujące dotyczyły już zagadnień odwrotnych (przykłady 4.2 i 4.3), gdzie szczególną uwagę zwrócono na wrażliwość uzyskiwanych rozwiązań na zaburzenia w danych wejściowych.

Przykład 4.1

Jako jeden z przykładów rozważano obiekt o wymiarach R=Z=i, w którym położenie granicy rozdziału faz opisuje funkcja:

a — r 1-0.52

natomiast pola temperatur w obszarach odpowiednio funkcje

T = 300(r3+O.5rz-r )+500 or a z ;

T2 = 250 (r3+0.5rz—r )+500

Tak dobrane funkcje spełniają, równania (4.1) + (4.3) i warunki Stefana (4.7) + (4.8), gdy ra=0, w=i, T*=500, Xt=200, X2=100, a ^ a ^ l / 1 2 , r2= l , a 0=2800001^ (i~0.5z)3 . Nietrudno zauważyć, że funkcje te spełniają również warunki brzegowe:

T t=T** . r=0 , 0<z<Z

-X 3 T = a(T —T ) , r=R , 0<z<Z 2 r 2 2 03

oraz warunek początkowy:

1^=300 (r3-r) +500 , 0<r<R

gdy T**=500, a=-100 a T =0.

CD

Na przekształcone zgodnie z (4.27) prostokątne obszary odpowiadające poszczególnym fazom nakładano siatki różnicowe o różnej liczbie węzłów. Dla każdej pary siatek poszukiwano rozwiązania przybliżonego (pole temperatury, położenie granicy rozdziału faz) i porównywano z rozwiązaniem analitycznym.

Na rysunku 4.2 przedstawiono rozwiązanie rzeczywiste i wyniki, jakie uzyskano dla trzech różnych par siatek różnicowych, w tym dla ^510 *

°5.to’ n \ox 1 oraz " k « 1 nk « ’ przy czym rozwiązanie to dotyczy położenia granicy rozdziału faz.

53

0,95

-6 = Vi - 0.25 z '

25 M ' 15,40

Rys.4.2. Wyniki obliczeń Fig.4.2. The results of computations

Porównując uzyskane rozwiązania z rozwiązaniem analitycznym, zauważamy, te dokładność wzrast« wraz z zagęszczaniem podziału siatkowego.

Ta prawidłowość potwierdzała sie w każdym z rozważanych przykładów.

Największa trudność polega na tym, żo z góry nie jest wiadomo, jaka liczba wgzłów bedzle wystarczająca, by uzyskać zadowalającą dokładność. Jedną z możliwości Jest porównywanie wg określonego kryterium rozwiązań, jakie uzyskuje sie dla ciągu zagęszczanych siatek.

Przykład 4.2

Dla takich samych danych Jak w przykładzie 4.1 rozwiązując zagadnienie odwrotne założono, że droga chłodzenia została podzielona na trzy sektory (K=3) o długościach odpowiednioi z ^ z ^ O . 2 5 , z^-z^O.25 i z3~z =O.D.

Założono ponadto, że jest sześćdziesiąt punktów kontrolnych (N=60), których położenie wyznaczają przyjęto w modelu numerycznym siatki różnicowe fi1 i Ci2 . Położenie frontu krzepnięcia w punktach kontrolnych

2y ,60 20,60

określano na podstawie rozwiązania analitycznego zakłóconego procesem błędu, przy czym pierwsze obliczenia przeprowadzono przy niezaburzony®

położeniu frontu krzepnięcia. W tym przypadku po przeprowadzonych omawianą w pracy metodą obliczeniach otrzymano, że współczynniki wymiany ciepła w poszczególnych sektorach wynoszą odpowiednio = -96.6, ct2 = -104.6 i cx^ = —95.1, a odpowiadające tym wartościom odtworzone położenie frontu krzepnięcia jest zbliżone do postulowanego (rys.4.3). Błędy w określeniu współczynników wymiany ciepła i położenia frontu krzepnięcia w punktach kontrolnych nie przekraczają odpowiednio 55i i 45< (Afi^l*J"*x=4.9f A.r^',**x= 3 .4) .

0 ,60 0 ,60

-100-110 4. -8 0

I_ 00

Rys.4.3. Rozwiązania zagadnienia odwrotnego Fig.4.3. Solution of inverse problem

W dokumencie Zagadnienia odwrotne w termodynamice procesów odlewniczych (Stron 36-54)