_ rozwiazonie dla (lanych niezaburzonych _ rozwieranie dto danych zaburzonych
8. WYZNACZANIE ZASTĘPCZEJ POJEHNOSCI CIEPLNEJ
8.1. WSTĘP
Jednym z podstawowych problemów w obliczeniach numerycznych dotyczących krzepnięcia i stygnięcia stopów, jest właściwy dobór parametrów terraofizycznych w równaniach różniczkowych, stanowiących opis matematyczny procesu. Przegląd literatury pod tyra kątem pozwala przyjąć, źe zawarte tam dane dotyczące właściwych pojemności cieplnych, gęstości masy czy też współczynników przewodzenia ciepła dla typowych (co należy podkreślić) stopów odlewniczych są w zasadzie wyczerpujące. Fragmentaryczne i niespójne są natomiast informacje związane z opisem problemu krzepnięcia, dotyczące doboru członu źródłowego w równaniu przewodnictwa czy też wielkości tzw.
zastępczej pojemności cieplnej w interwale temperatur solidus-likwidus.
Koncepcję wprowadzenia do opisu matematycznego transportu ciepła w odlewie zastępczej pojemności cieplnej w miejsce członu źródłowego można znaleźć między innymi w pracach A.J.Yiejnika [8.28], W.Longi [8.13], I.A.Saraojlovica [8.19], L.A.Kozdoby [8.16], T.Bonisova [8.4], G.F.Balandina [8.2], B.Mochnackiego [6.14], M.C.Flemingsa [8.8] i innych. Każdy z wyżej wymienionych autorów podaje swoją hipotezę dotyczącą doboru zastępczej pojemności cieplnej. Najczęściej spotykaną w literaturze hipotezą jest zaproponowana przez 1 A.J.Yiejnika [8.28] zależność określająca zastępczą pojemność cieplną c w obszarze strefy dwufazowej, jako sumę ciepła właściwego c oraz tzw. spektralnej pojemności cieplnej c , tzn.:
gdzie
c* = Q/(TL-Ts)
przy czym Q oznacza ciepło przemiany fazowej, a i odpowiednio temperaturę likwidusu i temperaturę solidusu.
Bardziej złożone modale podają m . in. I . A. Sanaoj lovic [8.19], V.T.Borisov [8.4] i B.Mochnacki [8.14], przy czym prezentowane w ich pracach równania wynikają z pewnych fizycznych rozważań, dotyczących przebiegu wydzielania się ciepła przemiany fazowej. Brak jest zgodności między poszczególnymi modelami, zaś ilość założeń upraszczających stanowi najczęściej dość dowolną interpretację postulatów wyjściowych.
W ostatnich latach pojawiły się (również w Polsce np.[8.11, 8.24]) próby skojarzenia makroskopowych modeli symulujących krzepnięcie odlewu w formie z pewnymi obliczeniami w skali mikroskopowej (modelowanie procesu krystalizacji). Wyniki takich obliczeń są zadowalające, ale modele te są niezwykle skomplikowane w realizacji numerycznej. Wszystko to skłania do zaproponowania innego podejścia do zagadnienia symulacji procesu krzepnięcia, polegającego na sprzężeniu wyników eksperymentu z rezultatami badart symulacyjnych. To podejście wymaga do sięgnięcia po zadania odwrotne.
Przedstawiony w tym rozdziale algorytm pozwala na podstawie danych doświadczalnych wyznaczyć wraz z polem temperatury zastępczą pojemność cieplną, tzn. człon źródłowy w równaniu różniczkowym opisującym proces krzepnięcia i stygnięcia metalu w formie. Dane te mają postać dyskretnych czasowych przebiegów temperatury w jednym lub kilku wybranych punktach kontrolnych odlewu.
Wyznaczając zastępczą pojemność cieplną nie wnikano w fizyczną interpretację takiej czy innej postaci funkcji stanowiącej człon źródłowy, traktując ją jako "czarną skrzynkę" dającą na wyjściu poprawne, tzn. zgodne z doświadczeniem w sensie obranego kryterium wyniki. Nie wydaje się przy tym, aby z punktu widzenia potrzeb modelowania numerycznego taka interpretacja była potrzebna. Podobne podejście prezentuje w swoich pracach Z.Jura, np. [8.9, 8.10].
8.2. MODEL MATEMATYCZNY
Rozważać będziemy odlew w kształcie płyty, walca lub kuli o grubości lub średnicy równej 2R, wytwarzany z metalu o znanych parametrach termofizycznych i krzepnącego w przedziale temperatury <Ts,Tl>.
101
-Niestacjonarno pole temperatury w obszarze odlewu jest polem źródłowym.
W Interwale temperatur krzepnięcia <t s»Tl> wydziela się ciepło przemiany
W ostatnich równaniach x oznacza współrzędną przestrzenną, t czas, T=T(x,t) temperaturę, c=c(T) właściwą pojemność cieplną, C=C(T) zastępcze ciepło właściwe odniesione do jednostki objętości, X=X(T) współczynnik przewodzenia ciepła, y^yiT) gęstość masy, Q odniesione do jednostki objętości ciepło krzepnięcia, indeks ra określa geometrię obiektu (ra=0 płyta, ra=i walec i m=2 kula), a t oznacza rozważany interwał czasu. oprócz pola temperatury zastępcza pojemność cieplna, wówczas matematyczny opis zagadnienia będzie miał postać:
Cd T=x'"« ( A a D , 0<x<R , 0<t<t ( 8 . 4 )
t X X CO
T=T* , 1=0 , 0<x<R (8.5)
dT=0 , x=0 , 0<t<t (8.6)
X 0 0
T=f* , x=R , 0<Ł<t (8.7)
00
oraz
T(xk,tkj)3 fkJ , k=l,K-l (8.8)
gdzie f*=f*(t) jest interpolacyjną bądź wygładzającą funkcją sklejaną stopnia trzeciego zbudowaną w przedziale <0,tm > na siatce o węzłach j=0,Mk i wartościach funkcji siatkowej fkj> j=1->M Kt Pr2Y czym zgodnie z warunkami zgodności przyjmuje się, że a ^k o=^ * Metody interpolacji i wygładzania funkcji za pomocą, funkcji sklejanych mają bogatą literaturę, a gotowe algorytmy można znaleźć ra.in. w pracach [8.1, 8.5, 8.18, 8.21, 8.22, 8.27].
01
Rys.8.1. Położenie punktów kontrolnych Fig.8.i. The position of control points
Dobór postaci funkcji 4> opisującej człon źródłowy w zastępczej pojemności cieplnej C jest jednym z istotnych problemów omawianego zagadnienia. Jednakże by stworzyć realne warunki do przeprowadzenia obliczeń, zakłada się, że funkcję tę można przedstawić w postaci wielomianu uogólnionego, tzn.:
103
-=
Y
p " * " (8.9)g d z i e : s ą t o f u n k c j e b a z o w e , a s t a l e o z n a c z a j ą p o d l e g a j ą c e w y z n a c z e n i u p a r a m e t r y , p r z y c z y m m u s z ą , o n e s p e ł n i a ć d o d a t k o w y w a r u n e k o p o s t a c i :
* Tl
Z - . J
4> d T = Q ( 8 . 1 0 )J e d n ą z t a k i c h f u n k c j i j e s t f u n k c j a s c h o d k o w a — r y s . 8 . 2
N-1'
O Ć> — ó
---TM-1 t'n
T0 T1 T2
R y s . 8 . 2 . F u n k c j a s c h o d k o w a F i g . 8 . 2 . T h e s t a i r f u n c t i o n s
Na r o z w a ż a n y i n t e r w a ł t e m p e r a t u r k r z e p n i ę c i a < T S , T L> n a l e ż y n a ł o ż y ć s i a t k ę o w ę z ł a c h T ' , n = 0 , N , p r z y c z y m T = T ’ < T * < . . . T ’ < T ’ < . . . < T ’ = T i
n S O I n-1 n U L
p r z y j ą ć , ż e f u n k c j e b a z o w e <p m a j ą p o s t a ć :
« =n 1i ( T - T ’ n-l ) —m ( T —T ’ ) , n = l , Nn (8.11)
g d z i e
d • f ( , v
■ ) = \ ° ’ ( ->
l i . ( • ) )Í0
>0
W y k o r z y s t u j ą c w a r u n e k ( 8 . 1 0 ) , k t ó r y d l a t a k b u d o w a n e j f u n k c j i s p r o w a d z a s i ę
d o w a r u n k u :
Z a s t ę p u j ą c w ( 8 . 9 ) p a r a m e t r p ^ , z g o d n i e z ( 8 . 1 3 ) , o t r z y m a m y k o ń c o w ą p o s t a ć f u n k c j i <p:
g d z i e p = T f - T ' , n = l , N .
n n n-1
8 . 3 . METODA ROZWIĄZANIA
P r z y t a k s k o n s t r u o w a n y m m o d e l u m a t e m a t y c z n y m p o s t a w i o n e z a d a n i e w y z n a c z e n i a w r a z z p o l e m t e m p e r a t u r y f u n k c j i s c h o d k o w e j (p o p i s u j ą c e j c z ł o n ź r ó d ł o w y w z a s t ę p c z e j p o j e m n o ś c i c i e p l n e j m o ż n a r o z w i ą z a ć w y k o r z y s t u j ą c m e t o d y o p t y m a l i z a c y j n e . Do o p i s u m a t e m a t y c z n e g o d o ł ą c z a m y f u n k c j ę j a k o ś c i k r y t e r i u m w y b o r u n i e z n a n y c h s k ł a d o w y c h p , n = l , N - l w e k t o r a
j n
M~1 p a r a m e t r ó w ( p } j •
J a k o k r y t e r i u m mo ż e my p r z y j ą ć f u n k c j ę : N
(8.1 2)
n«t
m o ż n a w y e l i m i n o w a ć j e d e n z p a r a m e t r ó w j ą o p i s u j ą c y c h , n p . p N«
P o p r o s t y c h p r z e k s z t a ł c e n i a c h z ( 8 . 1 2 ) w y n i k a , ż e :
( 8 . 1 3 )
( 8 . 1 4 )
K-t k
F(<p>r> = T X > k, (w 2
k-t J-l(8.15)
1 0 5
K o r z y s t a j ą c n p . z a l g o r y t m u P o l a k a - R i b i e r y , z a k ł a d a s i ę p o c z ą t k o w o p r z y b l i ż e n i e d l a s k ł a d o w y c h w e k t o r a p a r a m e t r ó w { p } ” 1» t z n p k=p£0), k - l , N - l , n a s t ę p n i e p i e r w s z e p r z y b l i ż e n i e z n a j d u j e s i ę m e t o d ą g r a d i e n t u p r o s t e g o l u b m e t o d ą n a j s z y b s z e g o s p a d k u , a k o l e j n e p r z y b l i ż e n i a z n a j d u j e s i ę p o d o b n i e j a k w m e t o d z i e F l e t c h e r a - R e e v s a , t z n . :
< { p > * V - * 1 >= ( { p > J " 1) ( ° ^ ( { © } J ’ 1) ( * > , s = l , 2 , . . . ( 8 . 2 2 )
g d z i e s j e s t n u m e r e m i t e r a c j i , ( { ©} * k i e r u n k i e m p o s z u k i w a ń , a p a r a m e t r y /?* ( s t a ł e d o d a t n i e ) s ą k r o k a m i i t e r a c j i . P a r a m e t r y w y b i e r a s i ę w t e n s p o s ó b , ż e f u n k c j a F o s i ą g a w k i e r u n k u ( { 0 } ^ J) is) m i n i m u m w p u n k c i e ({ p ) * ł ) ^ * * 1 5« K i e r u n e k ( { 0 } * 1)*13* j e s t l i n i o w ą k o m b i n a c j ą w e k t o r ó w ( g r a d F ) (s> i ( { © } " " * ) <s~ł>, t z n . :
( { 0 } " ' 1) <' )= - ( g r a d F ) 0} "' *) <“ ‘1> ( 8 . 2 3 )
g d z i e p a r a m e t r 1^ w y z n a c z a s i ę z e w z o r u :
< ( g r a d F ) U ) - ( g r a d F ) ( * ' 1 \ ( g r a d F ) ( o > >
| ( g r a d F ) ^ 1 >J
j e d n o c z e ś n i e d l a s = l p r z y j m u j e S i e , ż e ( { ©} * ' ^ ^ - ( g r a d F ) <0^. R ó w n i e ż w d a l s z y c h i t e r a c j a c h , c o p e w i e n c z a s , j e s t s t o s o w a n a o d n o w a a l g o r y t m u p o l e g a j ą c a n a z a p r z e s t a n i u b u d o w y k i e r u n k ó w s p r z ę ż o n y c h i u ż y c i u k i e r u n k u n a j w i ę k s z e g o s p a d k u .
P r o c e s i t e r a c y j n y k o ń c z y m y , j e ż e l i s p e ł n i o n y j e s t j e d e n z w a r u n k ó w :
| F (e)- F <KłI>| < ( 8 . 2 4 )
| ( g r a d F ) U>| < c 2 ( 8 . 2 5 )
! < { p } J V * łl>- ( { p } ^ 1) ( s ) | < ć 3 ( 8 . 2 6 ) g d z i e F (s> i f <#+1> o z n a c z a j ą w a r t o ś c i f u n k c j i w k o l e j n y c h i t e r a c j a c h , a Cj , c2 i c3 s ą t o z a d a n e d o s t a t e c z n i e m a ł e d o d a t n i e l i c z b y .
1 07
c z ł o n ź r ó d ł o w y w z a s t ę p c z e j p o j e m n o ś c i c i e p l n e j j e s t f u n k c j ą s c h o d k o w ą o p a r a m e t r a c h p = 7 0 0 0 , p 2= 1 6 0 0 0 , p a= 3 8 7 5 z b u d o w a n ą n a s i a t c e o w ę z ł a c h o d p o w i e d n i o w p u n k t a c h T ^ = T s = 1 5 0 2 , T * = 1 5 1 0 , T 2= 1 5 2 0 , T ’ =TL= 1 5 2 8 .
R y s . 8 . 3 . S i a t k a r ó ż n i c o w a . P o ł o ż e n i e p u n k t ó w k o n t r o l n y c h F i g . 8 . 3 . D i f f e r e n t i a l m e s h . T h e p o s i t i o n o f c o n t r o l p o i n t s
Na m o d e l o w a n y o b i e k t , k t ó r y z u w a g i n a o s i o w ą s y m e t r i ę s p r o w a d z a s i ę d o p r o m i e n i a , n a ł o ż o n o s i a t k ę r ó ż n i c o w ą , z a w i e r a j ą c ą 1 1 w ę z ł ó w ( r y s . 8 . 3 ) . O b l i c z e n i a n u m e r y c z n e p r o w a d z o n o z k r o k i e m c z a s o w y m A t = 2 . 5 ( s j . W y n i k i o b l i c z e ń z a m i e s z c z o n o n a r y s . 8 . 4 .
R y s . 8 . 4 . R o z w i ą z a n i e z a d a n i a p r o s t e g o F i g . 0 . 4 . T h e s o l u t i o n o f d i r e c t p r o b l e m
109
R y s . 8 . 6 . P r z e b i e g i t e m p e r a t u r y w p u n k t a c h k o n t r o l n y c h F i g . 8 . 6 . T h e c o u r s e s o f t e m p e r a t u r © a t c o n t r o l p o i n t s
N i e t r u d n o z a u w a ż y ć , ź e b ł ą d w z g l ę d n y , j a k i p o p e ł n i o n o w w y z n a c z a n i u p a r a m e t r ó w p , n = l , 3 , j e s t n i e w i e l k i i n i e p r z e k r a c z a 85ś. W y g ł a d z o n y z o s t a ł
n
r ó w n i e ż p r z e b i e g t e m p e r a t u r y w w e w n ę t r z n y m p u n k c i e k o n t r o l n y m , a z z e s t a w i e n i a k r z y w y c h t e m p e r a t u r o w y c h ( p a t r z r y s . 8 . 6 . ) w y n i k a , ż e i t u u z y s k a n o z a d o w a l a j ą c ą z g o d n o ś ć .
P r z y k ł a d 8 . 2
D l a t a k i c h s a m y c h d a n y c h j a k w p r z y k ł a d z i e 8 . 1 , r o z w i ą z u j ą c z a g a d n i e n i e p r o s t e z a ł o ż o n o , ż e f u n k c j a 4>-<t>y g d z i e <f> j e s t f u n k c j ą k o n t r o l n ą o p o s t a c i :
0 = 3 Q ( Tl- Ts) ' 3 ( T - T s ) 2
N a t o m i a s t p r z y s t ę p u j ą c d o r o z w i ą z y w a n i a z a g a d n i e n i a o d w r o t n e g o z a ł o ż o n o , ż e p o s z u k i w a n a f u n k c j a <p j e s t f u n k c j a s c h o d k o w ą z b u d o w a n ą n a s i a t c e o w ę z ł a c h T ’ =TS= 1 5 0 2 , T * = 1 5 1 4 , V = 1 5 2 2 i T ^ = T = 1 5 2 8 .
111
-O b l i c z e n i a n u m e r y c z n o p r z e p r o w a d z o n o n a t a k i e j s a m e j j a k w p r z y k ł a d z i e 8 . 1 s i a t c e r ó ż n i c o w e j , p r z y c z y m z a ł o ż o n o , ż e s ą t r z y p u n k t y k o n t r o l n e . D o d a t k o w y t r z e c i p u n k t k o n t r o l n y p o k r y w a s i ę z s z ó s t y m w ę z ł e m s i a t k i r ó ż n i c o w e j ( r y s . 8 . 7 ) , a w p r o w a d z o n e w t y m w ę ź l e z a b u r z e n i a z m i e n i a ł y s i ę w t a k i c h s a m y c h g r a n i c a c h j a k w w ę ź l e t r z e c i m , Ł z n . £ ^ = ± 5 [ ° C J .
R y s . 8 . 7 . S i a t k a r ó ż n i c o w a . P o ł o ż e n i e p u n k t ó w k o n t r o l n y c h F i g . 8 . 7 . D i f f e r e n t i a l m e s h . T h e p b s i t i o n o f c o n t r o l p o i n t s
R o z p o c z y n a j ą c p r o c e s i t e r a c y j n y z a ł o ż o n o , ż e p^°*=p^°*=15000, a j e d n o c z e ś n i e p * ° ^ = 3 0 B 3 3 . O s t a t e c z n i e p o p r z e p r o w a d z o n y c h o b l i c z e n i a c h o t r z y m a n o o d p o w i e d n i o >p = 2 2 0 1 4 . 9 , p 2= 1 1 2 2 0 6 . 8 i p 3= 2 1 0 4 . 7 . W y n i k i o b l i c z e ń z a m i e s z c z o n o n a r y s u n k u 8 . 8 , g d z i e j e d n o c z e ś n i e n a n i e s i o n o w a r t o ś c i ś r e d n i e ( c a ł k o w e ) f u n k c j i of> d l a p o s z c z e g ó l n y c h p ó d p r z e d z i a ł ó w < T , , T > , n = l , 3
n~X n i n t e r w a ł u t e m p e r a t u r k r z e p n i ę c i a
N i e t r u d n o j e s t z a u w a ż y ć d u ż ą z g o d n o ś ć m i ę d z y w a r t o ś c i a m i w y z n a c z o n e j f u n k c j i s c h o d k o w e j <p a w a r t o ś c i a m i ś r e d n i m i f u n k c j i 0 . P o d o b n e z j a w i s k o z a o b s e r w o w a n o we w s z y s t k i c h r o z w i ą z y w a n y c h p r z y k ł a d a c h d l a r ó ż n y c h p o s t a c i f u n k c j i 0 . S t o p i e ń z g o d n o ś c i z a l e ż a ł o d l i c z b y p u n k t ó w k o n t r o l n y c h i w i e l k o ś c i w p r o w a d z a n y c h t a m z a b u r z e ń w p r z e b i e g a c h t e m p e r a t u r .
---wartości rzeczywiste
—— war t ości odtworzone
— — — wa r t oś c i ś r e d n i e
R y s . 8 . 8 . R o z w i ą z a n i e z a g a d n i e n i a o d w r o t n e g o F i g . 8 . 8 . S o l u t i o n o f i n v e r s e p r o b l e m
P r z y k ł a d 8 . 3
J e d n y m z w i e l u o b i e k t ó w r z e c z y w i s t y c h , d l a k t ó r y c h w y k o n a n o o b l i c z e n i a , b y l o d l e w w k s z t a ł c i e p ł y t y (m=0) w y k o n a n y z e s t o p u A l C u 5 . W y m i a r y o d l e w u o r a z p o ł o ż e n i e p u n k t ó w k o n t r o l n y c h p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 8 . 9 .
2 R / 3 j 2Rs 20_____________
^ A ) - p u n k t y kontrolne
R y s . 8 . 9 . M o d e l o w a n y o b i e k t r z e c z y w i s t y F i g . 8 . 9 . T h e r e a l s h a p e o f m o d e l l e d o b j e c t
113
-R y s . 8 . 1 0 . W y n i k i p o m i a r ó w F i g . 8 . 1 0 . T h e r e s u l t s o f r a e a s u r e r a e n t s
S k ł a d c h e m i c z n y o d l e w u o r a z s p o s ó b j e g o w y k o n a n i a d e t e r m i n o w a ł p a r a m e t r y t e r m c f i z y c z n e , w t y m T * = 7 5 0 , TL= 6 4 4 , Ts = 5 5 4 , AL= 1 0 3 . 6 , AS= 2 6 1 . 7 [W/mK ] , CL= 1 2 9 0 , CS= 1 0 9 0 [ J / k g K ] , r S= 3 0 1 1 , r L= 2 6 7 6 [ k g / m 3 ] o r a z 0 = 3 8 4 . 9 [ k j / k g ) . P r z e b i e g i t e m p e r a t u r y w p u n k t a c h k o n t r o l n y c h u z y s k a n o z a p o mo c ą , o r y g i n a l n e g o m i n i k o m p u t e r o w e g o s y s t e m u z b i e r a n i a r e j e s t r a c j i i p r z e t w a r z a n i a d a n y c h w Z a k ł a d z i e O d l e w n i c t w a I n s t y t u t u T e c h n o l o g i i B e z w i ó r o w y c h n a P o l i t e c h n i c e W a r s z a w s k i e j [ 8 . 2 3 ] . U z y s k a n e w y n i k i p o m i a r ó w p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 8 . 1 0 .
W y k o r z y s t u j ą c z a p r o p o n o w a n ą m e t o d o , w y z n a c z o n o p o s t a ć f u n k c j i
115
R y s . 8 . 1 3 . P r z e b i e g i t e m p e r a t u r w w e w n ę t r z n y m p u n k c i e k o n t r o l n y m F i g . 8 . 1 3 . T h e c o u r s e s o f t e m p e r a t u r ę a t i n t e r n a l c o n t r o l p o i n t
8 . 5 . PODSUMOWANIE
W r o z d z i a l e n i n i e j s z y m p r z e d s t a w i o n o s p o s ó b w y z n a c z a n i a n a p o d s t a w i e d a n y c h d o ś w i a d c z a l n y c h c z ł o n u ź r ó d ł o w e g o w z a s t ę p c z e j p o j e m n o ś c i c i e p l n e j . D a n e d o ś w i a d c z a l n e m a j a p o s t a ć d y s k r e t n y c h c z a s o w y c h p r z e b i e g ó w t e m p e r a t u r y w k i l k u w y b r a n y c h p u n k t a c h z o b s z a r u o d l e w u .
P r e z e n t o w a n y a l g o r y t m o p a r t o n a r o z w i ą z a n i u o d w r o t n e g o n i e l i n i o w e g o z a g a d n i e n i a p a r a m e t r y c z n e g o d l a r ó w n a n i a p r z e w o d n i c t w a . R o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a o d w r o t n e g o p o s z u k u j e s i e w r a Z l i w o ś c i o w a m e t o d a o p t y m a l i z a c y j n a *
O b l i c z e n i a t e s t u j ą c e p r z e p r o w a d z o n e n a m i n i k o m p u t e r z e IBM AT p o t w i e r d z i ł y e f e k t y w n o ś ć a l g o r y t m u , w y k a z a ł y r ó w n i e ż , Z e z n a c z n i e l e p s z e j a k o ś c i o w o w y n i k i u z y s k u j e s i e , j e Z e l i l i c z b a p u n k t ó w k o n t r o l n y c h j e s t w i ę k s z a ; w ó w c z a s n a w e t z n a c z n e z a b u r z e n i a w d a n y c h w e j ś c i o w y c h p o z w a l a j a u z y s k a ć w a r t o ś c i o w e w y n i k i .
9 . LITERATURA
LI TERATURA DO ROZDZIALU DRUGIEGO
[ 2 . 1 ] A l e k s a n d r o u N . A . : An I n v e r s e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d f o r D i r e c t l y F o r m u l a t e d F r e e B o u n d a r y P r o b l e m s , I n t . J . N u m e r . M e t h o d s E n g . , 2 8 , 1 0 , 2 3 8 3 - 2 3 9 6 ( 1 9 8 9 )
[ 2 . 2 ] A l i f a n o v O . M . : I d e n t y f i k a c j a p r o c e s s o v t e p l o o b m e n a l e t a t e l n y c h a p p a r a t o v , M a s i n o s t r o e n i e , M o s k v a , 1 9 7 9
[ 2 . 3 ] A l i f a n o v O . M . : O b r a t n y e z a d a c i t e p l o o b m e n a , M a s i n o s t r o e n i e , M o s k v a , 1 9 8 8
[ 2 . 4 ] A l i f a n o v 0 . M . , A r t j u k h i n E . A . , R u m i a n c e v S . V . : E k s t r e r a a l n y e m e t o d y r e s e n i a n e k o r r e k t n y c h z a d a c , N a u k a , M o s k v a , 1 9 8 8
[ 2 . 5 ] A l —n a —J e n N . M . : On t h e s o l u t i o n o f T h r e e - D i m e n s i o n a l I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n i n F i n i t e M e d i a , I n t . J . H e a t M a s s T r a n s f e r ,
2 8 , 1 1 , 2 1 2 1 - 2 1 2 8 , ( 1 9 8 5 )
[ 2 . 6 ] B a c k s u s G . , G i l b e r t F . : U n i q u e n e s s i n t h e I n v e r s i o n o f I n a c c u r a t e G r o s s E a r t h D a t a , P h i l . T r a n s . R . S o c . L o n d o n S e r . A , 2 6 6 , 1 2 3 - 1 9 2 ( 1 9 7 0 ) [ 2 . 7 ] B a s s B . R . : A p p l i c a t i o n s o f t h e F i n i t e E l e m e n t t o t h e I n v e r s e H e a t
C o n d u c t i o n P r o b l e m U s i n g B e c k ’ s S e c o n d M e t h o d , J . E n g . I n d . , 1 0 2 , 1 6 8 - 1 7 6 , ( 1 9 8 0 )
[ 2 . 8 ] B e c k J . V . : N o n l i n e a r E s t i m a t i o n A p p l i e d t o t h e N o n l i n e a r H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m , I n t . J . H e a t M a s s T r a n s f e r , 1 3 , 7 0 3 - 7 1 6 , ( 1 9 7 0 ) [ 2 . 9 ] B e c k J . V . , A r n o l d K . J . : P a r a m e t e r E s t i m a t i o n i n E n g i n e e r i n g a n d
S c i e n c e , W i l e y , New Y o r k , 1 9 7 7
[ 2 . 1 0 ] B e c k J . V . , B l a c k w e l l B . , S t . C l a i r C . R . J r . : I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n I I I P o s e d P r o b l e m , W i l e y —I n t e r s c i e n c e , Ne w Y o r k , 1 9 8 5
[ 2 . 1 1 ] B e c k J . V . : C r i t e r i a f o r C o r a p a r i s i o n o f M e t h o d s o f S o l u t i o n o f t h e I n v e r s e H e a t C o n d u c t i o n P r o b l e m , N u c . E n g . D e s . , 5 3 , 1 1 - 2 2 ( 1 9 7 9 )
[ 2 . 1 2 ] B e c k J . V . , L i t k o u h i B. , S t . C l a i r C . R . J r . : E f f i c i e n t S e q u e n t i a l
119
i . 2 . 3 3 ] G r z y m k o w s k i R. : P r o s t a m e t o d a w y z n a c z a n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h n a
121
[ 2 . 5 3 ] I v a n o v V . K . : 0 n e k o r e k t n o p o s t a v l e n y k h z a d a c a k h , M a t . Z b o r n i k ,
123
[ 2 . 7 9 ] N i k i t e n k o N . I . : S o p r a z e n y e i c b r a t n y e z a d a c i t e p l o m a s s o p e r e n o s a ,
125
LITERATURA DO ROZDZIAŁU TRZECI EGO
127
[ 4 . 1 2 ] N i k i t e n k o N . I . : I s s l e d o v a n e n e s t a c j o n a r n y k h p r o c e s s o v t e p i d
129
[ 6 . 6 ] P a s k a n o v W . M . , . . . : Ć y s l e n n y e m e t o d y w z a d a c a k h t e p i o i r a a s s o o b r a e n a ,
/
-[ 8 . 1 4 ] M o c h n a c k i B . : Z a s t o s o w a n i e m e t o d n u m e r y c z n y c h w o b l i c z e n i a c h
iO. WNIO SK I
W p r a c y p r z e d s t a w i o n o p r z y k ł a d y z a s t o s o w a ń z a d a ń o d w r o t n y c h d o r o z w i ą z y w a n i a p e w n y c h w a ż n y c h z p u n k t u w i d z e n i a p r a k t y k i p r o b l e m ó w t e r m o d y n a m i k i p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h . J e ż e l i j a k o t e z ę p r a c y u z n a ć w y k a z a n i e p r z y d a t n o ś c i i e f e k t y w n o ś c i t a k i c h m e t o d w o d l e w n i c t w i e , t o n a l e ż y s t w i e r d z i ć , ż e t a k s f o r m u ł o w a n a t e z a z o s t a ł a u d o w o d n i o n a , p r z y c z y m r o z w a ż a n o o d w r o t n e z a d a n i a b r z e g o w e , z a d a n i a p o c z ą t k o w e , p a r a m e t r y c z n e , g e o m e t r y c z n e i m i e s z a n e .
1 . O d w r o t n e z a g a d n i e n i a b r z e g o w e
O d w r o t n e z a g a d n i e n i a b r z e g o w e z d a n i e m a u t o r a p r a c y s t a n o w i ą j e d n ą z n a j b a r d z i e j p r z y d a t n y c h w t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h g r u p z a d a ń o d w r o t n y c h . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o d w a p r z y k ł a d y z a d a ń b r z e g o w y c h , a w s z c z e g ó l n o ś c i o d t w o r z e n i e w a r u n k ó w w y m i a n y c i e p ł a n a p o w i e r z c h n i w l e w k a c i ą g ł e g o o r a z w y z n a c z e n i e o p o r u p r z e p ł y w u c i e p ł a n a s t y k u o d l e w u i f o r m y . I d e n t y f i k a c j ę w a r u n k ó w b r z e g o w y c h n a p o w i e r z c h n i w l e w k a c i ą g ł e g o r e a l i z o w a n o d wo ma s p o s o b a m i . W p r z y p a d k u p i e r w s z y m d o d a t k o w y z b i ó r i n f o r m a c j i o p r z e b i e g u p r o c e s u c i e p l n e g o s t a n o w i ł y w a r t o ś c i t e m p e r a t u r w w y b r a n y c h p u n k t a c h z o b s z a r u w l e w k a , a w d r u g i m p o s t u l o w a n y p r z e b i e g f r o n t u k r z e p n i ę c i a . N a l e ż y s t w i e r d z i ć , ż e p i e r w s z e z e s f o r m u ł o w a ń j e s t l e p i e j u w a r u n k o w a n e i z a p e w n i a b a r d z i e j d o k ł a d n ą r e k o n s t r u k c j ę w a r u n k ó w b r z e g o w y c h . N a t o m i a s t z a ł o ż e n i e p r z e b i e g u f r o n t u k r z e p n i ę c i a p r o w a d z i d o n i e c o g o r s z y c h w y n i k ó w .
W t y p o w y c h r o z w i ą z a n i a c h d o t y c z ą c y c h k r z e p n i ę c i a o d l e w ó w w f o r m a c h p i a s k o w y c h p r z y j m u j e s i ę z r e g u ł y w a r u n k i i d e a l n e g o k o n t a k t u c i e p l n e g o n a z e w n ę t r z n e j p o w i e r z e n i o d l e w u . P r z e d s t a w i o n e w p r a c y r o z w i ą z a n i e b a z u j ą c e n a p o m i a r a c h r z e c z y w i s t y c h p ó l t e m p e r a t u r y ( r o z d z i a ł 7 ) p o k a z u j e , ż e z a ł o ż e n i e i d e a l n e g o k o n t a k t u n i e j e s t u z a s a d n i o n e i w w a r u n k u b r z g o w y m o p i s u j ą c y m w y m i a n ę c i e p ł a m i ę d z y o d l e w e m a f o r m ą n a l e ż y p r z y j ą ć o k r e ś l o n y
o p ó r p r z e p ł y w u c i e p ł a , c o w i ę c e j - o p ó r t e n d o ś ć i s t o t n i e z m i e n i a s i ę w
135
-e f -e k t y w n o ś ć p r o p o n o w a n e j m e t o d y r o z w i ą z a n i a t y p o w e g o z a g a d n i e n i a m i e s z a n e g o . Z a p r o p o n o w a n y w p r a c y a l g o r y t m m o ż n a w y k o r z y s t a ć b e z p o ś r e d n i o p r z y p r o j e k t o w a n i u t e c h n o l o g i i w y t w a r z a n i a w l e w k ó w c i ą g ł y c h .
Z p u n k t u w i d z e n i a p r a k t y k i z b i ó r d a n y c h u z u p e ł n i a j ą c y c h n i e z b ę d n y c h d o r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a o d w r o t n e g o s p r o w a d z a s i ę n a j c z ę ś c i e j d o i n f o r m a c j i o c z a s o p r z e s t r z e n n y c h p r z e b i e g a c h p ó l t e m p e r a t u r y w o b s z a r z e o d l e w u i f o r m y . R o z p a t r u j e s i ę p r z y t y r a z a g a d n i e n i a p r o j e k t o w e i i d e n t y f i k a c y j n e . W p r z y p a d k u p i e r w s z y m p o l a t e m p e r a t u r y w y n i k a j ą z z a ł o ż o ń p r o j e k t o w y c h , m o ż n a w i ę c p r z y j ą ć , ż e d a n e w e j ś c i o w e n i e s ą o b a r c z o n e b ł ę d a m i , n a t o m i a s t w p r y p a d k u d r u g i m k o r z y s t a s i ę z w y n i k ó w e k s p e r y m e n t ó w . P o j a w i a s i ę w i ę c p r o b l e m w m i a r ę d o k ł a d n y c h t e c h n i k p o m i a r u p ó l t e m p e r a t u r y w k r z e p n ą c y c h o d l e w a c h . J e s t t o o d d z i e l n e z a g a d n i e n i e , k t ó r e n i e b y ł o p r z e d m i o t e m r o z w a ż a ń p r e z e n t o w a n y c h w n i n i e j s z e j p r a c y .
METODY M I N I M A L I Z A C J I F UNKC J I
Z a d a n i a m i n i m a l i z a c j i f u n k c j i b e z o g r a n i c z e ń p o l e g a j ą n a p o s z u k i w a n i u w p r z e s t r z e n i Rn e l e m e n t u { p} ” d l a k t ó r e g o f u n k c j a F : Rn-> R o s i ą g a m i n i m u m , t z n . :
F ( { p } " = r a i n F ( { p } ” ) ( D . l )
{ p }
p r z y c z y m z a k ł a d a s i ę , ż e f u n k c j a F j e s t o g r a n i c z o n a z d o ł u .
I s t n i e j e w i e l e a l g o r y t m ó w , z n a j d u j ą c y c h r o z w i ą z a n i e t e g o z a d a n i a , p r z y c z y m p r z e z a l g o r y t m r o z u m i e ć b ę d z i e m y r e k u r e n c y j n y p r o c e s o b l i c z e n i o w y , k t ó r y n a p o d s t a w i e z n a j o m o ś c i b i e l ą c e g o e l e m e n t u ( { p } " ) ^ S> g e n e r u j e e l e m e n t n a s t ę p n y ( { p } " ) * * * 1*, w r e z u l t a c i e c z e g o s t a r t u j ą c z p u n k t u ( { p } ” )*°*
z o s t a j e u t w o r z o n y c i ą g { ( { p} “ ) U>} " , g d z i e s e N U { 0 } . W c e l u o k r e ś l e n i a
1 s«o
k o l e j n e g o p u n k t u ( { p } " ) <K>, w n a j p r o s t s z y m p r z y p a d k u m o ż e m y p o s ł u g i w a ć s i ę f u n k c j ą A : R n-» CD. W ó w c z a s c i ą g { ( p ) ” ) *s)}°° „ b ę d z i e t w o r z o n y w m y ś l w z o r u :
1 s=0
( { p ) " ) <,H1>= A[ ( { p } “ ) <* >] , s = 0 , l , 2 , . . . ( D . 2 )
U ż y t a t u f u n k c j a n o s i n a z w ę o d w z o r o w a n i a a l g o r y t m i c z n e g o . P o s ł u g i w a n i e s i e j e d n a k o d w z o r o w a n i a m i a l g o r y t m i c z n y m i m a j ą c y m i p o s t a ć f u n k c j i n i e j e s t w y s t a r c z a j ą c e p r z y s y n t e z i e i a n a l i z i e m e t o d o b l i c z e n i o w y c h m i n i m a l i z a c j i . W r z e c z y w i s t o ś c i b o w i e m mamy d o c z y n i e n i a z b a r d z i e j z ł o ż o n y m i o d w z o r o w a n i a m i a l g o r y t m i c z n y m i , k t ó r e p o d p o r z ą d k o w u j ą p o j e d y n c z e m u p u n k t o w i ( { p } ” ) <s* z b i ó r m o ż l i w y c h p u n k t ó w n a s t ę p n y c h , a n i e p o j e d y n c z y p u n k t
n (ą n )
( t p } t ) . O d w z o r o w a n i a t a k i e n a z y w a m y o d w z o r o w a n i a m i p u n k t u w z b i ó r l u b i n a c z e j o d w z o r o w a n i a m i w i e l o w a r t o ś c i o w y m i . W o g ó l n y m w i ę c p r z y p a d k u p r z e z
D . l . WSTĘP
137
-a l g o r y t m r o z u m i e ć b ę d z i e m y p r o c e s i t e r a c y j n y s k ł a d a j ą c y s i ę z c i ą g u o d w z o r o w a ń p u n k t u w z b i ń r As : { - } " e R n-> P ( { - } " ) e R n c i ą g p u n k t ó w
g e n e r u j e m y r e k u r e n c y j n i e w m y ś l f o r m u ł y :
( { p } " ) <Sł1>e A j ( { p } " ) <s>] , s = 0 , l , 2 , . . . ( D . 3 J
t z n . d o w o l n y p u n k t n a l e l ą c y d o z b i o r u A j ( { p } " ) <K>] m o ż e b y ć w y b r a n y j a k o p u n k t n a s t ę p n y ( { p } . ) ^ S l *. O d w z o r o w a n i e A n o s i n a z w ę o d w z o r o w a n i a
i s
a l g o r y t m i c z n e g o . W p r z y p a d k u g d y A ^ = A d l a w s z y s t k i c h s > 0 , t o a l g o r y t m n a z y w a m y a l g o r y t m e m p o d s t a w o w y m . W p r z e c i w n y m r a z i e a l g o r y t m j e s t a l g o r y t m e m m i e s z a n y m , z w a n y m t e ż a l g o r y t m e m z p a m i ę c i ą . J e ż e l i p r z e z Y o z n a c z y m y z b i ó r r o z w i ą z a ń ( m o ż e t o b y ć z b i ó r n p . p u n k t ó w s p e ł n i a j ą c y c h w a r u n k i k o n i e c z n e i s t n i e n i a m i n i m u m ) , t o o g ó l n y m o d e l a l g o r y t m u i t e r a c y j n e g o ma p o s t a ć :
( 1 ) W y z n a c z ( { p } ” )*°*. P o d s t a w s = 0 .
( 2 ) O b l i c z ( { p } " ) (s+° e A j ( { p } " ) (s>] .
( 3 ) J e ż e l i ( { p } ") , t o s t o p ; w p r z e c i w n y m r a z i e p r z e j d ź d o ( 4 ) .
( 4 ) P o d s t a w s : = s + l i p r z e j d ź d o ( 2 ) .
P r z e z i t e r a c j ę r o z u m i e m y w y k o n a n i e k r o k ó w ( 2 ) , ( 3 ) i ( 4 ) . P u n k t ( { p } " ) * 0*
n a z y w a m y p u n k t e m s t a r t o w y m , a k r y t e r i u m , w e d ł u g k t ó r e g o s p r a w d z a m y w k r o k u ( 3 ) , c z y b i e ż ą c y p u n k t ( { p } ” )^**1* n a l e ż y d o z b i o r u r o z w i ą z a ń Y, n a z y w a m y k r y t e r i u m s t o p u .
D . 2 . KLASYFIKACJA METOD MI NI MALI ZACJ I
Z p u n k t u w i d z e n i a u ż y t k o w e g o m e t o d y m i n i m a l i z a c j i f u n k c j i b e z o g r a n i c z e ń m o ż n a p o d z i e l i ć n a d w i e z a s a d n i c z e g r u p y . P i e r w s z ą g r u p ę s t a n o w i ą m e t o d y b e z g r a d i e n t o w e , c z y l i b e z p o ś r e d n i e , w k t ó r y c h w k a ż d e j
i t e r a c j i s ą w y k o r z y s t y w a n e i n f o r m a c j e t y l k o o w a r t o ś c i a c h f u n k c j i c e l u F . D r u g ą g r u p ę t w o r z ą m e t o d y g r a d i e n t o w e , t z n . m e t o d y , w k t ó r y c h w k a ż d e j i t e r a c j i s ą w y k o r z y s t y w a n e i n f o r m a c j e z a r ó w n o o w a r t o ś c i a c h g r a d i e n t u ( g r a d F ) t e j f u n k c j i , a t a k ż e w n i e k t ó r y c h m e t o d a c h i n f o r m a c j e o w a r t o ś c i a c h h e s j a n u .
P o n i e w a ż w p r a c y n i e k o r z y s t a n o z m e t o d n a l e ż ą c y c h d o p i e r w s z e j g r u p y , n i e b ę d ą o n e b l i ż e j o m a w i a n e , p o z a t y m ż e d z i e l ą s i ę n a d w a r o d z a j e , t j . m e t o d y p o s z u k i w a ń p r o s t y c h , w k t ó r y c h w k a ż d e j i t e r a c j i b a d a s i ę w a r t o ś c i f u n k c j i w k i l k u p u n k t a c h l e ż ą c y c h w o t o c z e n i u p u n k t u ( { p } " ) * S* i n a t e j p o d s t a w i e o k r e ś l a s i ę p u n k t ( { p } j ) * S+1* o r a z m e t o d y z m i n i m a l i z a c j ą w k i e r u n k u , z w a n e t e ż m e t o d a m i p o p r a w y , w k t ó r y c h g e n e r o w a n i e c i ą g u { ( ( p ) ") m 0 p o l e g a n a c y k l i c z n y m o k r e ś l a n i u k i e r u n k ó w p o s z u k i w a ń i w y z n a c z a n i u m i n i m u m f u n k c j i w t y c h k i e r u n k a c h .
Z a s a d n i c z y m e l e m e n t e m m e t o d p o p r a w y j e s t o p e r a c j a m i n i m a l i z a c j i w k i e r u n k u , k t ó r a p r z y z a d a n y m p u n k c i e ( { p } " ) i k i e r u n k u ( { 0 } ^ ) o k r e ś l a p u n k t :
(p*>" = ( p } " + " ( D. 4 I
w t a k i s p o s ó b , ż e :
F ( { p V ) = m i n F ( { p} ” + f i { Q } n ) ( D . 5 )
/?€R
O z n a c z a t o p o s z u k i w a n i e t a k i e j w a r t o ś c i p a r a m e t r u f i *, k t ó r a m i n i m a l i z u j e f u n k c j ę j e d n e j z m i e n n e j fi.
P r a w i e w s z y s t k i e m e t o d y g r a d i e n t o w e s ą m e t o d a m i p o p r a w y , a w i ę c o k r e ś l a j ą k i e r u n k i p o s z u k i w a ń i s t o s u j ą m i n i m a l i z a c j ę w k i e r u n k u . K i e r u n k i t e s ą d o d a t k o w o k i e r u n k a m i p o p r a w y , t z n . w p u n k c i e ( { p } " ) * S* j e s t g e n e r o w a n y k i e r u n e k ( { 0 } ” )*s * t a k i , ż e :
I D . 6 )
139
-g d z i e < - , - > o z n a c z a i l o c z y n s k a l a r n y w e k t o r ó w . Z t e g o w z g l ę d u m e t o d y g r a d i e n t o w e n a z y w a n e s ą m e t o d a m i k i e r u n k ó w p o p r a w y . O g ó l n i e o d w z o r o w a n i a a l g o r y t m ó w m e t o d p o p r a w y m o ż n a w y r a z i ć j a k o z ł o ż e n i e d w ó c h l u b w i ę k s z e j l i c z b y w y s t ę p u j ą c y c h n a p r z e m i a n o d w z o r o w a ń , p r z y c z y m p i e r w s z e p o l e g a na w y z n a c z e n i u k i e r u n k u p o s z u k i w a ń (w p r z y p a d k u m e t o d g r a d i e n t o w y c h - k i e r u n k u p o p r a w y ) , a d r u g i e n a m i n i m a l i z a c j i w k i e r u n k u . W y z n a c z e n i e k i e r u n k u p o p r a w y o k r e ś l a o d w z o r o w a n i e D : Rn-> P ( R nx R n ) , p r z y c z y m :
s
Ds t ( { p } ^ <s)] c | ( ( { p } ^ ) (s>, ( { 0 } ” ) <s>) : < g r a d F [ ({ p} " ) <s>] , ({ 0} J ) (s)> < o j ( D . 7 )
g d z i e ( { p } n ) i s *«= R j e s t p u n k t e m p o c z ą t k o w y m s - t e j i t e r a c j i , n a t o m i a s t
1 n
( { © } " ) Rn j e s t w y z n a c z o n y m k i e r u n k i e m p o p r a w y w t e j i t e r a c j i . W w y n i k u d z i a ł a n i a t e g o o d w z o r o w a n i a o k r e ś l o n a z o s t a j e p a r a ( ( { p ) ( { ©} " ) *s))«eD_.
R ó ż n i c e , j a k i e w y s t ę p u j ą m i ę d z y s p o t y k a n y m i a l g o r y t m a m i g r a d i e n t o w y m i , p o l e g a j ą g ł ó w n i e n a o d m i e n n y m s p o s o b i e o k r e ś l a n i a z b i o r u D^.
M i n i m a l i z a c j a k i e r u n k o w a j e s t o k r e ś l a n a n a t o m i a s t p r z e z o d w z o r o w a n i e o p o s t a c i T : R nx R % P ( R n) :
T ({ p} ” , { 0 } * ) = { { p*> { p*> n = { p} 0} " } ( D . 8 )
g d z i e ( ł o k r e ś l a w a r u n e k ( D . S ) , t z n . j e s t t ą w a r t o ś c i ą p a r a m e t r u (i, dla k t ó r e j f u n k c j a F ( { p } " + ^ { 0 } " ) o s i ą g a m i n i m u m .
M a j ą c d a n ą p a r o ( ( { p } " ) ^ S>. ( { 0 } j ) <S' ) > p u n k t ( i P } t ) ^ * o k r e ś l a m y p r z e z z a s t o s o w a n i e o p e r a c j i T . Z a t e m d o w o l n ą g r a d i e n t o w ą m e t o d ę m i n i m a l i z a c j i b e z o g r a n i c z e ń m o ż n a p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i ( D . 3 ) , t z n . :
( { p } " ) ( s ł l U E[ ( { p > ^ ) (s>] ( 0 . 9 )
g d z i e A =TD .
J a k j u t w s p o m n i a n o w r o z d z i a l e p o p r z e d n i m , m i n i m a l i z a c j a k i e r u n k o w a p o l e g a n a o k r e ś l e n i u m i n i m u m f u n k c j i w z d ł u ż k i e r u n k u w m y ś l z a s a d y , k t ó r ą m o ż e m y z a p i s a ć :
( { p } " ) U * 1>e T ( { { p } " ) (s>. ( { © } " ) (I>) ( D . 1 0 )
g d z i e o d w z o r o w a n i e ma p o s t a ć ( D . 8 ) , c o j e s t r ó w n o w a ż n e z a g a d n i e n i u m i n i m a l i z a c j i b e z o g r a n i c z e ń f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j , m a j ą c e m u p o s t a ć :
m m [ f ( p ) = F ( { p > % ^ ( 0 } ” ) ] ( D . l l )
( t e R
T a k z d e f i n i o w a n e z a d a n i e p o d w z g l ę d e m n u m e r y c z n y m r ó ż n i s i ę w s p o s ó b w y r a ź n y o d z a g a d n i e n i a p o s z u k i w a n i a m i n i m u m f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j . D l a t e g o t e ż w p r z y p a d k u m i n i m a l i z a c j i k i e r u n k o w e j s t o s u j e s i ę b a r d z i e j z ł o ż o n e m e t o d y , a m i a n o w i c i e :
a ) m e t o d y g e o m e t r y c z n e ( z ł o t e g o p o d z i a ł u o d c i n k a , l o g a r y t m i c z n e g o z ł o t e g o p o d z i a ł u o d c i n k a ) ;
b ) m e t o d y a p r o k s y m a c y j n e ( a p r o k s y m a c j a k w a d r a t o w a , d w u p u n k t o w a , t r ó j p u n k t o w a , a p r o k s y m a c j a s z e ś c i e n n a ) ;
c ) m e t o d y m i e s z a n e - w y k o r z y s t u j ą c e m e t o d y ( a ) i ( b ) .
P o n i e w a ż w p r a c y k o r z y s t a n o t y l k o z m e t o d g r a d i e n t o w y c h , d o t e j w i ę c g r u p y n a l e ż a ł y r ó w n i e ż i m e t o d y m i n i m a l i z a c j i k i e r u n k o w e j , w t y r a n a s t ę p u j ą c e a l g o r y t m y :
( 1 ) e k s p a n s j a i k o n t r a k c j a g e o m e t r y c z n a z t e s t e r a j e d n o s k o ś n y m ;
( 2 ) l o g a r y t m i c z n y z ł o t y p o d z i a ł o d c i n k a z e w s t ę p n ą e k s p a n s j ą l u b k o n t r a k c j ą g e o m e t r y c z n ą ;
( 3 ) a p r o k s y m a c j a p a r a b o l i c z n a d w u p u n k t o w a z t e s t e r a j e d n o s k o ś n y m ; ( 4 ) a p r o k s y m a c j a p a r a b o l i c z n a z t e s t e r a d w u s k o ś n y r a .
W y m i e n i o n e a l g o r y t m y z o s t a n ą o m ó w i o n e ł ą c z n i e , p r z y j ę t o p r z y t y m n a s t ę p u j ą c e o z n a c z e n i a :
D.3. METOD Y P O S Z U K I W A N I A M I N K U M W K I E R U N K U
141
Czytej:f0 ; V B oJr;?;DI{DK;A f:»f0;Bï«OîJ:»
0;k:=
0;l:*
0je:»
0;ei*
0;B:«Bo
ZEZ
R y s . D . i . S i e ć d z i a ł a ń m e t o d y p o s z u k i w a n i a m i n i m u m w k i e r u n k u - e k s p a n s j a l u b k o n t r a k c j a g e o m e t r y c z n a z t e s t e m j e d n o s k o ś n y m
F i g . D . l . T h e m e t h o d o f s e a r c h i n g o f m i n i m u m i n d i r e c t i o n - e x p a n s i o n o r g e o m e t r i c a l c o n t r a c t i o n w i t h t h e t e s t
Na r y s . D . 2 p r z e d s t a w i o n o s i e ć d z i a ł a ń d l a a l g o r y t m u ( 2 ) . Z b i ó r d a n y c h w e j ś c i o w y c h j e s t t a k i s a m j a k w a l g o r y t m i e p o p r z e d n i m . R e a l i z a c j a a l g o r y t m u p r z e b i e g a w t e n s p o s ó b , ż e w f a z i e w s t ę p n e j n a s t ę p u j e r - k r o t n a e k s p a n s j a l u b k o n t r a k c j a , j e ś l i z a c h o d z ą w a r u n k i o r a z f < f Q+ 0 . 5 / ? ^ f ^ , f (/? ) > f + 0 . 5 / ? f * n a s t ę p u j ę z ł o t y p o d z i a ł o d c i n k a </?.»/?;> w s k a l i
2 0 2 0 \ £
l o g a r y t m i c z n e j . Z a t r z y m a n i e n a s t ę p u j ę p o o s i ą g n i ę c i u p o ż ą d a n e j d o k ł a d n o ś c i w z g l ę d n e j S
143
-E y s . D . 2 . S i e ć d z i a ł a ń m e t o d y p o s z u k i w a n i a m i n i m u m w k i e r u n k u - l o g a r y t m i c z n y z ł o t y p o d z i a ł o d c i n k a z e w s t ę p n a e k s p a n s j a l u b k o n t r a k c j a g e o m e t r y c z n a F i g . D . 2 . T b e m e t h o d o f s e a r c h i n g o f m i n i m u m i n d i r e c t i o n - l o g a r i t h m i c
g o l d d i v i s i o n o f s e g m e n t w i t h p r e l i m i n a r y e x p a n s i o n o r g e o m e t r i c a l
R y s -D
CtytaJ:f0¡£^iDn ¡DK¡BI i A
k+XBK
K o n i e c ( d r u k i t p )
. 3 . S i e ć d z i a ł a ń m e t o d y p o s z u k i w a n i a m i n i m u m w k i e r u n k u - a p r o k s y m a c j a p a r a b o l i c z n a d w u p u n k t o w a z t e s t e r a j e d n o s k o ś n y m .
F i g . D . 3 . T h e m e t h o d o f s e a r c h i n g i n d i r e c t i o n - a p p r o x i m a t i o n p a r a b o l i c , t w o - p o i n t s
14 5
-f:=f0;B:=0;j:=0;k:=0;l:«0;c:=0;e:*flo Czy ta j :fQ ; Qq ; Bm ;T; ?;JJI ;DK; A
R y s . D . 4 . S i e ć d z i a ł a ń m e t o d y p o s z u k i w a n i a m i n i m u m - a p r o k s y m a c j a p a r a b o l i c z n a z t e s t e r a d w u s k o ś n y r a .
F i g . D . 4 . T h e m e t h o d o f m i n i m u m s e a r c h i n g - a p p r o x i m a t i o n w i t h t w o - o b l i q u e t e s t
Na r y s u n k u D . 3 p r z e d s t a w i o n o s i e ć d z i a ł a ń d l a a l g o r y t m u ( 3 ) . Z b i ó r
w o s t a t n i m W y w o ł a n i u p r o c e d u r y f ( f i ) , c z y t o ż ( i * f i* i t r z e b a n a n o w o o b l i c z y ć
< { p } " ) tEłl).
Z a m i e s z c z o n e n a r y s u n k a c h D . l + D . 4 s i e c i d z i a ł a ń p r z e w i d u j ą s y g n a l i z a c j e b ł ę d ó w .
B ł ą d 1 . A l g o r y t m w y k o n a ł DK n i e k o r z y s t n y c h o b l i c z e r t w a r t o ś c i f u n k c j i t a k i c h , ż e f ( / ? ) > f o. W s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k u m o ż e t o o z n a c z a ć , ż e — w z w i ą z k u z n i e k o r z y s t n y m d o b o r e m l i c z b a DK z o s t a ł a w y b r a n a z a m a ł a .
B ł ą d 2 . A l g o r y t m n i e z n a l a z ł w a r t o ś c i f u n k c j i m n i e j s z e j n i ż p o c z ą t k o w a , c h o ć z n a j d o w a ł w a r t o ś c i r ó w n e p o c z ą t k o w e j . Z a z w y c z a j o z n a c z a t o , ż e b ł e d n i e p r z y j ę t o s k a l e w a r t o ś c i f u n k c j i - j e s t o n a z b y t p ł a s k a i n i e r o z r ó ż n i a l n a d l a o b l i c z e r t c y f r o w y c h . N a l e ż y w ó w c z a s z w i ę k s z y ć d o k ł a d n o ś ć o b l i c z e r t , l i c z ą c n p . z p o d w ó j n ą p r e c y z j ą .
B ł ą d 3 . A l g o r y t m z n a l a z ł z b y t m a ł y w s p ó ł c z y n n i k k r o k u , g r o ż ą c y b ł ę d a m i z a o k r ą g l e ń n u m e r y c z n y c h .
D . 4 . METODY KIERUNKÓW POPRAWY
O p i s a n e w t y r a p u n k c i e m e t o d y w y z n a c z a j ą r o z w i ą z a n i e z a d a n i a ( D . l ) , d o k o n u j ą c p o s z u k i w a n i a p r z e s t r z e n i w k i e r u n k a c h p o p r a w y f u n k c j i F , t z n . k i e r u n k a c h s p e ł n i a j ą c y c h ( D . 6 ) . W y z n a c z e n i e t a k i c h k i e r u n k ó w j e s t m o ż l i w e d z i ę k i z n a j o m o ś c i w a r t o ś c i ( g r a d F ) ^ s *= g r a d F ( ( { p } " ) * 8*] w k o l e j n y c h p u n k t a c h ( { p } " ) * a * g e n e r o w a n y c h p r z e z a l g o r y t m . M e t o d y k i e r u n k ó w p o p r a w y n a l e ż ą d o n a j e f e k t y w n i e j s z y c h m e t o d m i n i m a l i z a c j i b e z o g r a n i c z e ń .
D . 4 . 1 . M e t o d a n a j w i ę k s z e g o s p a d k u
W m e t o d z i e t e j j a k o k i e r u n e k p o s z u k i w a ń w p u n k c i e ( { p } " ) ^ p r z y j m u j e s i e k i e r u n e k - ( g r a d F ) ( s ) , p r z e c i w n y d o g r a d i e n t u f u n k c j i F w t y m p u n k c i e , b ę d ą c y k i e r u n k i e m n a j w i ę k s z e g o s p a d k u f u n k c j i F w p u n k c i e ( { p } ” )*
K r y t e r i u m s t o p u d l a t e j m e t o d y p o l e g a n a s p r a w d z e n i u j e d n e g o z t r z e c h w a r u n k ó w ;
¡| ( g r a d F ) (s> ( < e 2 ( D . 1 5 )
149
( 1 ) P o d s t a w s : = 0 i j : = 1 .
( 2 ) W y z n a c z ( { 0 } *s *=- ( g r a d F ) * s * ( k i e r u n e k o d n o w y ) i p r z e j d ź d o ( 4 ) . ( 3 ) O b l i c z k i e r u n e k s p r z ę ż o n y :
( { 0 } " ) 0 0 = - ( g r a d F ) (s)+ l s ( { 0 > " ) (s> ( D . 1 8 ) g d z i e :
< ( g r a d F ) < s ) , ( g r a d F ) ( s > - ( g r a d F ) * * ' 1 *>
1 ‘ | ( g r a d F ) ‘ 1
( 4 ) W y z n a c z p u n k t ( { p } " ) <s+1>e T C ( { p } " ) <s\ < { 0 } " ) (s>] .
( 5 ) J e ż e l i s p e ł n i o n e s ą w a r u n k i s t o p u , t o k o n i e c o b l i c z e ń ; w p r z e c i w n y m r a z i e p r z e j d ź d o ( 6 ) .
( 6 ) J e ś l i j < n , t o p o d s t a w j : = j + i , s : = s + l i p r z e j d ź d o ( 3 ) ; w p r z e c i w n y m r a z i e p o d s t a w j : = 1 , s : = s + l i p r z e j d ź d o ( 2 ) .
P r z e b i e g a l g o r y t m u w m e t o d z i e P o l a k a - R i b i e r y j e s t i d e n t y c z n y z p o w y ż e j p r z e d s t a w i o n y m , j e d y n i e i n a c z e j w y z n a c z a s i ę p a r a m e t r 1 , a m i a n o w i c i e :
< ( g r a d F ) ( , > - ( g r a d F ) ( * " 1 \ ( g r a d F ) ^ 1
| ( g r a d F ) * “ " 1 } | 2 ( ° - 1 9 )
0 . 4 . 4 . M e t o d y z m i e n n e j m e t r y k i
P o d s t a w o w ą i d e ą t y c h m e t o d j e s t k o n s t r u k c j a c i ą g u m a c i e r z y s t a n o w i ą c y c h p r z y b l i ż e n i a o d w r o t n o ś c i m a c i e r z y d r u g i c h p o c h o d n y c h IHC ( { p } ” ) *s>] f u n k c j i c e l u F w k o l e j n y c h p u n k t a c h ( { p } ^ ) ^ S*. M a c i e r z e t e w y z n a c z a s i ę n a p o d s t a w i e z n a j o m o ś c i z m i a n g r a d i e n t u f u n k c j i c e l u w p o p r z e d n i c h i t e r a c j a c h m e t o d y . P r z e z p o d o b i e ń s t w o d o m e t o d y N e w t o n a , w k t ó r e j w k a ż d e j i t e r a c j i o b l i c z a s i ę d o k ł a d n ą w a r t o ś ć o d w r o t n o ś c i H e s j a n u 1H[ ( { P ) ") ^**3» m e t o d y z m i e n n e j m e t r y k i s ą t e ż n a z y w a n e m e t o d a m i q u a s i - n e w t o n o w s k i m i .
K a ż d a i t e r a c j a m e t o d z m i e n n e j m e t r y k i p o l e g a n a t y r a , ź e m a j ą c d a n y p u n k t ( { p } " ) <s) g e n e r u j e s i ę k i e r u n e k ( { 0 } " ) (s>= f c M g r a d F ) (s>, a n a s t ę p n i e
151
-w y k o n u j e s i o m i n i m a l i z a c j e w t y m k i e r u n k u . W p i e r w s z e j i t e r a c j i j e s t s t o s o w a n a m a c i e r z W0= E ( E - m a c i e r z j e d n o s t k o w a ) . W k o l e j n y c h i t e r a c j a c h m a c i e r z e s a o b l i c z a n e w e d ł u g n a s t ę p u j ą c e g o s c h e m a t u .
N a j p i e r w w y z n a c z a s i e w e k t o r y :
< { P „ } " ) U>= ( { p } J > fa)- < { p } ^ ° ( D . 2 0 )
( { © } " ) U>= ( g r a d F ) (s>- ( g r a d F ) ' * - 0 ( D . 2 1 )
a n a s t ę p n i e o b l i c z a s i ę n o w ą m a c i e r z z g o d n i e z e w z o r e m :
W = V + AV ( D. 2 2 )
f »”1 8
p r z y c z y m p o p r a w k a Aty^ m o ż e b y ć o b l i c z a n a w i e l o m a r ó ż n y m i s p o s o b a m i . Od n a z w i s k a u t o r ó w p r o p o n u j ą c y c h s p o s ó b o b l i c z a n i a p o p r a w k i p o c h o d z ą n a z w y p o s z c z e g ó l n y c h a l g o r y t m ó w . N a j c z ę ś c i e j s t o s o w a n e t o m e t o d a D a v i d o n a - - F l e t c h e r a —P o w e l a , w k t ó r e j :
• <{p0} " ) U > [({p0} " ) (s>JT V ,
= ---i— ! --- i — ?____________ - ______ _ ______ _ ________ : ______ _ * ' 1 ( D . 2 3 )
* ( { p 0> “ ) ( ‘ ’ [ ( { « o 0} “ ) <3! ) ] T [ « “ 0 > " ) <' ) ] I V <I. 1 ( { « 0} " ) ( * >
i m e t o d a B r o y d e n a - F l e t c h e r a - G o l d f a r b a - S h a n n o , g d z i e :
Ał, _ l
[
i+
n < Wo > : ) ( ‘ >] I v‘ » y . 1
1 ( < “ o > : > <" > i]
h p0> : , < * >[ ( {p0> : ) (i >]ti t( {p0} ”) ( ‘ >] T({«0>“) c' ) j
C ( { p 0} " ) <‘, , ] T ({co0> ^ ( , , ) V s . l +Wi . t ( { to0} " ) ( , i ) C ( { p 0} “ ) <,‘ ł ] T
( D . 2 4 )
( ( { p 0} " ) ( * >] T ( {t o0 ) p <’ >
P o d o b n i e j a k w p r z y p a d k u m e t o d y g r a d i e n t u s p r z ę ż o n e g o , w a ż n y m e l e m e n t e m m e t o d z m i e n n e j m e t r y k i j e s t o d n o w a , r o z u m i a n a j a k o p o d s t a w i e n i e c o p r o w a d z i d o u ż y c i a k i e r u n k u n a j w i ę k s z e g o s p a d k u ( { © } ” )***=— ( g r a d F ) * s *.
K r y t e r i u m s t o p u j e s t a n a l o g i c z n e j a k w a l g o r y t m a c h p o p r z e d n i c h , a d a n y m i
153
-[ D . 9 ] R u s z c z y r t s k i R . , S z y m a n o w s k i J . : P r o g r a m o w a n i e m a t e m a t y c z n e , / W : / P o r a d n i k I n ż y n i e r a - M a t e m a t y k a t . 2 , WNT, W a r s z a w a , 1 9 8 7
[ D . 1 0 ] S e i d l e r J . , B a d a c h D . , M o l i s z W. : M e t o d y r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń o p t y m a l i z a c j i , WNT, W a r s z a w a , 1 9 8 0
[ D . l l ] S h o p u I . E . : A P r a c t i c a l G u i d e t o C o m p u t e r M e t h o d s f o r E n g i n e e r s , P r e n t i c e - H a l l , I n c . , E n g l e w o o d G l i f f s , N . J . , 1 9 7 9
[ D . 1 2 ] V a s i l i e v F . P . : M e t o d y r e s e n i a e k s t r e m a l n y k h z a d a ć . N a u k a , M o s k v a , 1 9 8 1
[ D . 1 3 ] W i l d e D . J . , B e i g h t l e r C . S . : F u n d a t i o n s o f O p t i m i z a t i o n , E n g l e w o o d C l i f f s , P r e n t i c e - H a l l , N . J . , 1 9 6 7
C I E P Ł A W PROCESACH ODLEWNICZYCH
S t r e s z c z e n i e
P r a c a d o t y c z y r ó ż n y c h a s p e k t ó w z a s t o s o w a n i a t z w . z a d a r t o d w r o t n y c h p r z e p ł y w u c i e p ł a w t e r m o d y n a m i c e p r o c e s ó w o d l e w n i c z y c h . M e t o d y r o z w i ą z y w a n i a z a d a r t o d w r o t n y c h p o z w a l a j ą n a i d e n t y f i k a c j e p e w n y c h e l e m e n t ó w d e t e r m i n u j ą c y c h p r o c e s y p r z e p ł y w u c i e p ł a w a n a l i z o w a n y c h o b i e k t a c h . E l e m e n t a m i t a k i m i m o g ą b y ć m i e d z y i n n y m i p a r a m e t r y t e r m o f i z y c z n e m a t e r i a ł u ( o d w r o t n e z a g a d n i e n i e p a r a m e t r y c z n e ) , w s p ó ł c z y n n i k i d e t e r m i n u j ą c e w y m i a n ę c i e p ł a n a p o w i e r z c h n i a c h g r a n i c z n y c h ( o d w r o t n e z a g a d n i e n i a b r z e g o w e ) , p o l e t e m p e r a t u r y w c h w i l i p o c z ą t k u j ą c e j p r o c e s ( o d w r o t n e z a g a d n i e n i e p o c z ą t k o w e ) i p e w n e c e c h y g e o m e t r y c z n e o b s z a r u ( z a g a d n i e n i a g e o m e t r y c z n e ) . Mo ż n a r ó w n i e ż r o z w a ż a ć z a g a d n i e n i a m i e s z a n e p o l e g a j ą c e n a p o s z u k i w a n i u c e c h r ó ż n y c h t y p ó w .
W y z n a c z e n i e t y c h w i e l k o ś c i w y m a g a d o d a t k o w y c h i n f o r m a c j i o p r z e b i e g u p r o c e s ó w c i e p l n y c h w u k ł a d z i e . N a j c z ę ś c i e j s ą t o d a n e d o t y c z ą c e p ó l t e m p e r a t u r y w w y b r a n y c h p u n k t a c h o b s z a r u .
I s t n i e j e w i e l e m e t o d r o z w i ą z y w a n i a t e g o r o d z a j u z a g a d n i e ń . W p r a c y b a z o w a n o p r z e d e w s z y s t k i m n a e k s t r e m a l n y c h s f o r m u ł o w a n i a c h z a g a d n i e ń o d w r o t n y c h , k t ó r y c h r o z w i ą z a ń p o s z u k i w a n o m e t o d a m i g r a d i e n t o w y m i s k o j a r z o n y m i z m e t o d a m i n u m e r y c z n y m i .
W p r a c y r o z w i ą z y w a n o n a s t ę p u j ą c e z a g a d n i e n i a :
- o d t w o r z e n i e w a r u n k ó w w y m i a n y c i e p ł a n a p o w i e r z c h n i w l e w k a c i ą g ł e g o , - w y z n a c z e n i e p r ę d k o ś c i w y c i ą g a n i a i t e m p e r a t u r y z a l e w a n i a w p r o c e s i e
c i ą g ł e g o o d l e w a n i a ,
- o p t y m a l i z a c j a g r u b o ś c i f o r m y w i e l o w a r s t w o w e j ,
- w y z n a c z a n i e o p o r u c i e p l n e g o s z c z e l i n y m i ę d z y o d l e w e m i f o r m ą , - o k r e ś l a n i e z a s t ę p c z e j p o j e m n o ś c i c i e p l n e j s t r e f y d w u f a z o w e j
k r z e p n ą c e g o m e t a l u .
155
-W s z y s t k i e r o z w a ż a n i a t e o r e t y c z n e z i l u s t r o w a n o p r z y k ł a d a m i . P r a c e u z u p e ł n i a d o d a t e k , w k t ó r y m d o S ó p r z e d s t a w i o n o w y k o r z y s t y w a n e w n i e j m e t o d y g r a d i e n t o w e .
o d p o w i e d n i m i s z c z e g ó ł o w o
I N THE THERMAL THEORY OF FOUNDRY
S u m m a r y
P r e s e n t e d m o n o g r a p h c o n c e r n s t h e d i f f e r e n t a s p e c t s o f s o c a l l e d i n v o r s o p r o b l e m s u t i l i z a t i o n i n t h o t h e r m a l t h e o r y o f f o u n d r y . T h e m e t h o d s o f i n v e r s e p r o b l e m s s o l u t i o n a l l o w t o i d e n t i f y t h e c e r t a i n e l e m e n t s d e t e r m i n i n g t h e h e a t t r a n s f e r p r o c e s s e s i n t h e v o l u m e o f c o n s i d e r e d o b j e c t .
H e r e c a n b e a m o n g o t h e r s m e n t i o n e d t h e t h e r m o p h y s i c a l p a r a m e t e r s o f m a t e r i a l . ( p a r a m e t r i c a l i n v e r s e p r o b l e m s ) , t h e c o e f f i c i e n t d e t e r m i n i n g a h e a t e x c h a n g e o n t h e o u t e r s u r f a c e s o f t h e s y s t e m ( i n v e r s e b o u n d a r y p r o b l e m s ) , i n i t i a l t e m p e r a t u r e f i e l d ( i n v e r s e i n i t i a l p r o b l e m s ) a n d a l s o t h e c e r t a i n g e o m e t r i c a l f e a t u r e s o f t h e a r e a ( i n v e r s e g e o m e t r i c a l p r o b l e m s ) . O n e c a n c o n s i d e r t h e m i x e d p r o b l e m s d e p e n d i n g o n t h e s e a r c h i n g o f d i f f e r e n t t y p e s f e a t u r e s . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s e q u a n t i t i e s r e q u i r e s t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c o u r s e o f t h e t h e r m a l p r o c e s s e s i n t h e s y s t e m . As a r u l e t h e y a r e t h e d a t a c o n c e r n i n g t h e t e m p e r a t u r e f i e l d s i n t h e s e l e c t e d p o i n t s o f t h e c o n s i d e r e d a r e a .
O n e c a n d i s t i n g u i s h a l o t o f s o l u t i o n m e t h o d s o f t h e s e t y p e p r o b l e m s . I n t h i s w o r k t h e e x t r e m a l f o r m u l a t i o n s o f i n v e r s e p r o b l e m s h a v e b e e n u s e d a n d t h o s o l u t i o n s h a v e b e e n o b t a i n e d o n t h e b a s i s o f g r a d i e n t m e t h o d c o u p l e d w i t h t h o n u m e r i c a l m e t h o d s ( F D M ) .
I n t h e m o n o g r a p h t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s h a v e b e e n s o l v e d :
- t h e r e c o n s t r u c t i o n o f h e a t t r a n s f e r c o n d i t i o n s o n t h o s u r f a c e o f c o n t i n u o u s c a s t i n g ,
- t h e d e t e r m i n a t i o n o f p u l l i n g r a t e a n d p o u r i n g t e m p e r a t u r e i n t h e c o n t i - c a s t i n g p r o c e s s ,
- t h e o p t i m i z a t i o n o f m u l t i - l a y e r m o u l d t h i c k n e s s e s ,
- t h e i d e n t i f i c a t i o n o f t h e r m a l r e s i s t a n c e o n t h e c a s t i n g —m o u l d c o n t a c t s u r f a c e ,
157
-- t h e d e t e r m i n a t i o n o f s u b s t i t u t e t h e r m a l c a p a c i t y f o r t h e m e t a l s o l i d i f y i n g i n a n i n t e r v a l o f t e m p e r a t u r e .
T h e a l l t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d b y t h e a d e q u a t e e x a m p l e s . T h e m o n o g r a p h i s c o m p l e t e d b y t h e S u p p l e m e n t i n w h i c h t h e p r o b l e m s o f g r a d i e n t m e t h o d s ( u t i l i z e d i n t h i s b o o k ) a r e d e t a i l y p r e s e n t e d .
P e 3 io M e