Metody likwidacji maskowania błędów - Zwiększanie skuteczności analizy sygnaturowej

Niech X oznacza liczbę wielomianów pierwotnych stopnia n. Liczba ta określa jedno

4. KOMPAKCJA LINIOWA I JEJ PROBLEMY

4.3. Zwiększanie skuteczności analizy sygnaturowej

4.3.4. Metody likwidacji maskowania błędów

U sunięcie z analizy sygnaturow ej zjaw iska m askow ania błędów - to inaczej kom pakcja z tzw. "zero-aliasingiem ". T erm in ten pojaw ił się po raz pierw szy w pracy [GupPR90], a następnie w [P radG 91, P om R T 92, C hakH 93, L em pG 95], P roblem em usunięcia zjawiska m askow ania błędów zajm ow ano się jed n ak dużo w cześniej w pracy [HassM 83], a następnie w pracach [H ław i84b, H ław i84d]. W yjaśnim y obecnie, w ja k i sposób m ożna usunąć m asko

w anie błędów .

M acierze błędów pojaw iają się na w yjściu T U C w skutek rzeczyw istych uszkodzeń f.

O znaczm y takie m acierze przez E f, a ich pełny zbiór przez £f. Liczność tego zbioru

|e f | < | e | . O znaczm y przez efm = ef n £m podzbiór m acierzy E f ^ 0 odw zorow yw a

nych w sygnaturę zero w ą charakterystyczną dla m acierzy

E0

= 0. Na tej podstawie i w oparciu o 4. l a rzeczyw iste praw dopodobieństw o niew ykrycia błędów P alf(m) można określić za p om ocą następującego w yrażenia:

Z auw ażm y, że w praktyce liczność | | < | em | . U sunięcie m askow ania błędów oznacza, że = 0 . W ów czas każda m acierz błędu E f je st w ykryw ana. M ożna to uzyskać w tedy,

gdy R[ec f (x), p c (x)] 0 dla każdego uszkodzenia f. U zyskanie j £fm | = 0 zależy więc przede w szystkim od zbioru zam odelow anych uszkodzeń [Pom R T92], Z ależy ono także od kolejności, w jak iej podane zostaną testy na wejścia TU C [Pom R T92], od w ielom ianu charakterystycznego p(x) zw iązanego z kom paktorem c-M ISR -p(x) [Pom R T92] oraz od struktury c je g o sprzężenia liniow ego. D obierając którykolw iek z tych trzech param etrów , m ożna uzyskać w artość |£ t a | = 0 . W yjaśnia to przykład 4 .9 , w którym kom paktorem jest rejestr IED -M ISR -p(x). W ielom iany błędów , przy takiej strukturze rów noległego kom paktora, są niezależne od rodzaju w ielom ianu p(x). M ożna więc dobrać taki w ielom ian p(x), który nie będzie dzielnikiem żadnego z wielomianów błędów.

Przykład 4.9

Załóżm y trójw yjściow y TU C z dziew ięciom a uszkodzeniam i f = 1 ,2 ,...,9 . U szkodzenia te pobudzone testam i objaw iają się na w ejściach 0, 1 i 2 rejestru IE D -M ISR w ielom ianam i błędów e0f(x), e lf(x ), e2{<x), które dla poszczególnych uszkodzeń przyjm ują następujące

213

postaci:

f = 1; e01(x) = x5 , e n (x) = x5 , e2j(x) = x6 4- x 8 f = 2; e02(x) = 1 4- x2 e 12(x) = x3 , e22(x) = x3 f = 3; e03(x) = 1 , e 13(x) = 1 4- x , e23(x) = x2 f = 4; e04(x) = x3 4- x4 e 14(x) = x4 , e24(x) = x6 f = 5; e05(x) = 0 , e 15(x) = x5 , e25(x) = x6 4- X 10

f = 6; e06(x) = x , e 16(x) = 0 , e26 W = x3 + ^{X 4} f = 7; e07(x) = 1 4- x , e 17(x) = x 4- x2 , e j7(x) = 0 f = 8; e08(x) = x , e 18(x) = x2 , e28(x) = x4 f = 9; e09(x) = x2 4- x4 e 19(x) = 0 , e29(x) = x3 ^{4 - X 4}

N a w yjściu abstrakcyjnego przetw ornika P1IED (rys. 2.7) w schem acie zastępczym kom paktora IED -M ISR -p(x) w ielom iany te tw orzą sumę

effiDf(x) = e0f<x) + e lf(x )x + e2f(x)x2, która dla dziew ięciu przykładow ych uszkodzeń przyjm uje następujące form y:

f = 1; eIED1(x) = x 10 + x8 + x6 + x5 = x5(x4 + x3 + l)(x + 1) f = 2; etED2(x) = x^ + x4 + x2 + 1 = (x4 4- x + l)(x + 1) f = 3; effiD3(x) = x4 + x2 + x + 1 = (x3 + x2 + l)(x + 1) f = 4 ; e ffiD4(x) = x 8 + x5 4- x4 + x3 = x3(x3 4- x 4- l)(x 4- l ) 2

f = 5 eIED5(x ) = X12 + X8 + X6 = X6(X3 + X + l ) 2

f = 6 eIED6(x) = X6 + X5 + x = x(x3 + X + l)(x 2 + X + 1) f = 7 eIED7(x) = X3 + X2 + X + 1 = (X + l ) 3

f = 8 eIED8(x) = X6 + X2 + X = X(X3 + X2 + l)(x 2 + X + 1) f = 9 effiD9(x) = X6 + X5 + X4 + X2 = x2(x3 + x + l) (x + 1)

P oszukiw any je s t taki pierw otny w ielom ian p(x) zw iązany z kom apktorem IED -M ISR -p(x), który nie będzie dzielnikiem pow yższych w ielom ianów błędów . W ielom iany pierw otne P i(x) = X + 1, p 2(x) = x 2+ X + 1, p 3(x) = X3 + X + 1, p 4(x) = X3 + X2 + 1, p 5(x) = x4 + x 3 + 1, p 6(x) = x4 + x + 1 są dzielnikam i w ielom ianów błędów w ym u

szonych odpow iednio następującym i zbioram i uszkodzeń: { 1 ,2 ,4 ,7 ,9 ,1 0 } , {6,8}, { 4,5,6,9}, {3,8}, {1}, {2}. W szystkie w ielom iany pierw otne do stopnia n = 4 są podzielnikam i.

N atom iast nie m a w śród podzielników w ielom ianów pierw otnych stopnia 5. M ożna więc w ybrać na przy k ład w ielom ian pierw otny pa(x) = x5 + x3 + 1. U m ożliw a on realizację sprzężenia rejestru IE D -M IS R gw arantującego zlikw idow anie m askow ania błędów dla zawo

żonego zbioru błędów .

A utorzy pracy [H assM 83], chcąc uzyskać dokładny opis w ielom ianów błędów zw iąza

nych z uszkodzeniam i w układach P L A , najpierw określili postać w ielom ianów opisujących ciągi pojaw iające się na w yjściu źródła testów pseudoprzypadkow ych generow anych przez rejestr L FS R . N astępnie p rzyjęli m odel uszkodzeń typu sklejenie s-z-0 oraz s-z-1 i na tej podstaw ie określili dokładną postać w ielom ianow ą błędów zależnych. Po czym zbadali ich podzielność przez w ielom ian charakterystyczny związany z rejestrem IED -M ISR -p(x) i w ybrali taki w ielom ian p(x), który gw arantow ał w ykrycie w szystkich m odelow anych uszkodzeń. W pracy [Jou95] zastosow ano identyczną technikę, ale przy założeniu genera

tora testów determ inistycznych. Rów nież w [NagvK92] zastosow ano podobną technikę do analizy sygnaturow ej błędów na w yjściu dw upoziom ow ych układów logicznych A N D -O R lub A N D -X O R z w ew nątrzukładow ym testerem w postaci generatora testów LFSR-p(x) i kom paktora M ISR -p(x) z identycznym w ielom ianem charakterystycznym p(x).

Podobne podejście zastosow ano także w pracach [Hław i84b, H ław i84d] do zbadania m ożliw ości likw idacji m askow ania błędów w analizie sygnaturow ej m agistrali adresowej podczas testu typu "free ru n ". W celu uproszczenia rozw ażań znacznie zaw ężono model uszkodzeń, ograniczając go do sklejeń pojedynczych linii tej m agistrali. W pracach tych opisano za p om ocą w ielom ianów ciągi testów generow anych na i-tych w yjściach k-bitow ego

licznika binarnego (licznika program u). N astępnie określono w ielom iany błędów generowa

nych na i-tych w yjściach licznika w obecności uszkodzenia s-z-0 lub s-z-1. Ich postaci odpow iednio d la s-z-0 oraz s-z-1 przedstaw iają poniższe w yrażenia

e ld0(x) = x “ ( l + x)< * -» > -P -0 e u l (x) = (! + *)<*-»M*-i>

W [H ław i84b, H ław i84d] w ykazano, że reszty R[eki0(x), p(x)] oraz R [ekil(x), p(x)] są różne od zera ju ż dla każdego w ielom ianu pierw otnego p(x) stopnia n > 2. Podobnie w [Hław i84d] udow odniono, że kom paktor IED -M ISR -p(x) z w ielom ianem pierw otnym p(x) stopnia n = k w ykryw a podczas testu "free run" każde z założonych na m agistrali adresowej uszkodzeń s-z-0 oraz s-z-1.

W podobny sposób m ożna badać rów nież realną skuteczność analizy sygnaturowej połączeń m iędzy układam i A SIC w yposażonych w brzegową ścieżkę sterująco-obserw acyjną z w budow anym w eń kom paktorem liniowym typu IED -M ISR . Zarów no struktura logiczna takich połączeń, ja k rów nież m odele uszkodzeń np. typu sklejenie lub m odel AND dla zw arć pozw alają na w yprow adzanie ogólniejszych wniosków. Przykładem je st zw arcie wielu linii zasilanych testem w postaci kroczącej jedynki. Z ałóżm y, że bram ka AN D jest m odelem tego uszkodzenia. Tego typu zw arcie ilustruje rys. 4 .1 2 , na którym , pracujący jako rejestr przesuw ający, brzegow y rejestr wyjściowy OBR (O utput Boundary Register) z układu A SIC 1 generuje test kroczącej jedynki. Odpowiedzi testow anych połączeń w pro

w adzane są do układu A SIC 2 do jego wejściowego rejestru brzegowego IBR (Input Boundary R egister) skonfigurow anego w rejestr IED -M ISR -p(x). Z w arcie pow oduje, że na w ejściach 0, j , j + 1, r kom paktora IED -M ISR -p(x) pojawiają się odpow iednio następujące w ielom iany błędów x \ x \ xi+k, x i+v. W efekcie proces kom pakcji tych błędów można opisać następującym dzieleniem

( x ‘ +

xl

x> + x i+ k x-i+1 + x i+ v x r ) / p ( x ) = x ‘ ( l + xJ + x k + -»+1 + x v + r ) / p ( x ) .

Gdy w ielom ian p(x) je s t w ielom ianem pierw szym , a d e g p ( x ) > v + r , wówczas R[x> ( l + xj + xk+J+1 + xv+r), P(x)] iA 0. Tak więc każde zw arcie linii w yprow adzonych z w yjść rejestru OBR odległych od siebie nie więcej niż o v i w prow adzonych do wejść rejestru IED -M ISR -p(x) odległych od siebie nie więcej niż o r zostanie w ykryte, jeżeli jest realizow any test kroczącej jedynki i jeżeli stopień w ielom ianu pierw szego p(x), deg p(x), je st w iększy od v + r .

215

= 5; e ffiD 5 (x ) = X12 + X8 + X6 = x 6 ( x 3 + X + l ) 2

= 6 ; e I E D 6 ( x ) = X6 + X5 + x = x ( x 3 + X + l ) ( x 2 + X + 1 )

= 7; e I E D 7 ( x ) = X3 + X2 + X + 1 = (X + l ) 3

= 8 ; e I E D 8 ( x ) = X6 + X2 + x = x ( x 3 + X2 + l ) ( x 2 + X + 1 )

= 9; e E E D 9 (x ) = X6 + X5 + X4 + X2 = x 2 ( x 3 + X + l ) ( x + 1 )

P oszukiw any je s t taki pierw otny w ielom ian p(x) zw iązany z kom apktorem IED -M ISR -p(x), który nie będzie dzielnikiem pow yższych w ielom ianów błędów . W ielom iany pierw otne P j(x) = x + 1, p 2(x) = x2 + x + 1, p 3(x) = x3 + x + 1, p4(x) = x 3 + x2 + 1, p5(x) = x4 + x3 + 1, p 6(x) = x4 + x + 1 są dzielnikam i w ielom ianów błędów w ym u

szonych odpow iednio następującym i zbioram i uszkodzeń: { 1 ,2 ,4 ,7 ,9 ,1 0 } , {6,8}, {4,5,6,9}, {3,8}, {1}, {2}. W szystkie w ielom iany pierw otne do stopnia n = 4 są podzielnikam i.

N atom iast nie m a w śród podzielników w ielom ianów pierw otnych stopnia 5. M ożna więc w ybrać na p rzykład w ielom ian pierw otny pa(x) = x5 + x3 + 1. U m ożliw a on realizację sprzężenia rejestru IE D -M IS R gw arantującego zlikw idow anie m askow ania błędów dla zało

żonego zbioru błędów .

A utorzy p racy [H assM 83], chcąc uzyskać dokładny opis w ielom ianów błędów zw iąza

nych z uszkodzeniam i w układach P LA , najpierw określili postać w ielom ianów opisujących ciągi pojaw iające się n a w yjściu źródła testów pseudoprzypadkow ych generow anych przez rejestr L FS R . N astępnie przy jęli m odel uszkodzeń typu sklejenie s-z-0 oraz s-z-1 i na tej podstaw ie określili dokładną postać w ielom ianow ą błędów zależnych. Po czym zbadali ich podzielność p rzez w ielom ian charakterystyczny zw iązany z rejestrem IED -M ISR -p(x) i w ybrali taki w ielom ian p(x), który gw arantow ał w ykrycie w szystkich m odelow anych uszkodzeń. W pracy [Jou95] zastosow ano identyczną technikę, ale przy założeniu genera

Podobne podejście zastosow ano także w pracach [H ław i84b, H ław i84d] do zbadania m ożliw ości likw idacji m askow ania błędów w analizie sygnaturow ej m agistrali adresowej podczas testu typu "free ru n ". W celu uproszczenia rozw ażań znacznie zaw ężono model uszkodzeń, o graniczając go do sklejeń pojedynczych linii tej m agistrali. W pracach tych opisano za pom ocą w ielom ianów ciągi testów generow anych na i-tych w yjściach k-bitow ego

licznika binarnego (licznika program u). N astępnie określono w ielom iany błędów generowa

nych na i-tych w yjściach licznika w obecności uszkodzenia s-z-0 lub s-z-1. Ich postaci odpow iednio dla s-z-0 oraz s-z-1 przedstaw iają poniższe w yrażenia

e H0(x) = x 2 i( l + x )(2k- 2H 2M ) e H1(x) = (1 ♦ x )< * -2M * - »

W [H ław i84b, H ław i84d] w ykazano, że reszty R[eki0(x), p(x)] oraz R [ekil(x), p(x)] są różne od zera ju ż dla każdego w ielom ianu pierw otnego p(x) stopnia n > 2. Podobnie w [Hław i84d] udow odniono, że kom paktor IED-M ISR-p(x) z w ielom ianem pierw otnym p(x) stopnia n = k w ykryw a podczas testu "free run" każde z założonych na m agistrali adresowej uszkodzeń s-z-0 oraz s-z-1.

W podobny sposób m ożna badać również realną skuteczność analizy sygnaturowej połączeń m iędzy układam i A SIC w yposażonych w brzegow ą ścieżkę sterująco-obserw acyjną z w budow anym w eń kom paktorem liniowym typu IED -M ISR . Zarów no struktura logiczna takich połączeń, ja k rów nież m odele uszkodzeń np. typu sklejenie lub m odel AND dla zw arć pozw alają na w yprow adzanie ogólniejszych wniosków. P rzykładem je st zwarcie w ielu linii zasilanych testem w postaci kroczącej jedynki. Z ałóżm y, że bram ka AND jest m odelem tego uszkodzenia. Tego typu zw arcie ilustruje rys. 4 .12, na którym , pracujący jako rejestr przesuw ający, brzegow y rejestr wyjściowy OBR (O utput Boundary Register) z układu A SIC 1 generuje test kroczącej jedynki. Odpow iedzi testow anych połączeń w pro

wadzane są do układu A SIC 2 do jego wejściowego rejestru brzegow ego IBR (Input Boundary R egister) skonfigurow anego w rejestr IED -M ISR -p(x). Zw arcie pow oduje, że na w ejściach 0 , j , j + 1, r kom paktora IED -M ISR -p(x) pojawiają się odpow iednio następujące wielom iany błędów x \ x \ xi+k, x i+v. W efekcie proces kom pakcji tych błędów można opisać następującym dzieleniem

(x‘ + x* xi + xi+k x-i+1 + xi+v xr )/p(x) = xs ( l + xJ + xk+i +1 + xv + r )/p(x).

Gdy w ielom ian p(x) je st w ielom ianem pierw szym , a d e g p ( x ) > v + r , wówczas R [ x '( l + x> + xk+j +1 + xv+r), p(x)] ^ 0. Tak więc każde zw arcie linii w yprow adzonych z w yjść rejestru OBR odległych od siebie nie więcej niż o v i w prow adzonych do wejść rejestru IED -M ISR -p(x) odległych od siebie nie więcej niż o r zostanie w ykryte, jeżeli jest realizow any test kroczącej jedynki i jeżeli stopień w ielom ianu pierw szego p(x), deg p(x), je st w iększy od v + r .

U zyskany pow yżej w ynik - dotąd nie opublikow any - je st tylko cząstkow ym rozw iąza

niem p roblem u elim inacji m askow ania błędów spow odow anych uszkodzeniam i w sieciach połączeń pom iędzy układam i A SIC . Zagadnienie to nadal oczekuje całkow itego rozw ią

zania.

OBR IBS

“ — ~ — — —

-i + 1 1

“ —

i+k _J

J + l

---

-ASIC ¹

Rys. 4.12. Przykład zwarcia linii łączących układ ASIC 1 z układem ASIC 2

Fig. 4.12. An example of a short circuit in the lines connecting circuit ASIC 1 with circuit ASIC 2

O m ów ione dotąd techniki elim inacji m askow ania błędów dotyczyły prostych TU C i m ałego zbioru zam odelow anych uszkodzeń. Polegały one głów nie na takim doborze źródła testów , aby w ielom ianow y opis błędów , zależnych od uszkodzeń T U C i w ym uszonych tymi testam i, był u niw ersalny i na tyle prosty, aby um ożliw iał w yprow adzanie ogólnych w niosków o je g o podzielności przez w ielom iany pierw otne p(x) bez konieczności określania niezerow ych w spółczynników p ( w ielom ianów p(x). To podejście n atrafia jednak na pow ażne tru d n o ści p rzy zastosow aniu go do badania skuteczności analizy sygnaturowej w ew nątrz w spółczesnych układów A SIC . Podstaw ow ą przyczyną je st duża liczba różnych uszkodzeń, któ re należałoby zam odelow ać i dla których należałoby dobrać takie źródło testów , aby m ożliw e było form ułow anie ogólnych w niosków zw iązanych z podzielnością w ielom ianów błędów .

R ozw iązanie tego problem u niezależne od rodzaju źródła testów i nie w ym agające ograniczania zbioru zam odelow anych uszkodzeń zostanie opisane poniżej przy użyciu w ielo

m ianów błędów podanych w przykładzie 4.9 . Rezultaty uzyskane w tym przykładzie są

efektem dośw iadczenia badacza. Te same wyniki m ożna rów nież uzyskać, stosując pewną określoną m etodę postępow ania. W celu w yjaśnienia jej ogólnej idei załóżm y, że wszystkie wielom iany pierw otne i-tego stopnia oznaczać będziem y tą sam ą literą alfabetu z indeksem liczbow ym rozróżniającym je m iędzy sobą. Załóżm y także, że w ielom iany pierwotne stopnia i + k , gdzie k = 1 ,2 ,... j oznaczane będą innymi najlepiej kolejnym i literam i alfa

betu rów nież z indeksam i liczbow ym i. W związku z tym w szystkie w ielom iany pierwotne na przykład stopnia n < 5 m ożna oznaczyć w następujący sposób:

a! = (x + 1), b j = (x2 + x + 1), c t = (x3 + x + 1), Cj = (x3 + x2 + 1),

di = (x4 + x + 1), d2 = (x4 + x3 + 1), g! = (x5 + x3 + 1), g2 = (x5 + x2 + 1), g3 = (x5 + x4 + x3 + x2 + 1), g4 = (x5 + x3 + x2 + x + 1),

g5 = (x5 + X4 + X2 + X + 1), g6 = (x5 + X4 + X3 + X + 1).

O znaczm y ich zbiór przez P n = '{ a1,b 1,c 1,c2,d 1,d2,g i,g 2,g3,g4,g 5,g6}» a i°h iloczyn przez P n(x) = a 1b 1c 1c2d 1d2g 1g2g3g4g5g6 (deg P n(x) = 47 dla n = 5). N atom iast zbiór wszystkich w ielom ianów pierw otnych stopnia n < 4 oznaczm y przez P n_j = {a1,b 1,c 1,c2,d 1,d2}. Ich iloczyn P n. 1(x) = a 1b 1c 1c2d 1d2, a stopień deg P n. 1(x) = 17 dla n-1 = 4. W ykorzystując te same oznaczenia, m ożna w ielom iany błędów podane w przykładzie 4 .9 zapisać w następu

jący sposób:

e I E D l( x ) = X5 a l d 2 ; e ffiD 2 (x ) = a l d b e IE D 3 (x ) = a l ° 2 ’ e IE D 4 (x ) = x \ 2C i;

e iE D 5 (x ) = x 6 c i 2 ; e ffiD 6 ( x ) = X c j b ! ; eIED7(x) = a j 3 ; e ffiDg(x) = x b , ^

eiED9(x) = x2aic

i-Iloczyn w szystkich przykładow ych w ielom ianów błędów przedstaw ia wielomian x 18l f (x), gdzie Ef (x) = a ^ b j2 q 5 c / d { d2; deg E f (x) = 42 dla f = 9. Ponieważ speł

niona je st nierów ność deg P n4(x) < deg Ef (x) < deg P n(x), dlatego też tylko w zbiorze P n istnieje co najm niej je d en w ielom ian p(x) stopnia n < 5, który nie je st podzielnikiem w szystkich w ielom ianów błędów .

O becnie przedstaw im y technikę określania niepodzielników w zbiorze P n. Dzieląc pierw szy w ielom ian błędów effiD1(x) = x5 ajd 2 przez w ielom iany pierw otne pobierane kolejno ze zbioru P n, znajdujem y te wielom iany, które są podzielnikam i. W ielom iany te usuw am y ze zbioru P n. Zredukow any w ten sposób zbiór oznaczam y przez P1. Następnie w ybieram y d ru g i w ielom ian błędów . Opisany proces pow tarzam y w ybierając dzielniki ze zbioru P 1. T e z nich, które były podzielnikam i, usuw am y z tego zbioru. W efekcie otrzy

217

m ujem y zbiór P n . T en proces je s t pow tarzany dla każdego kolejnego w ielom ianu błędów.

Po podzieleniu tą m etodą ostatniego, czyli dziew iątego w ielom ianu błędów , otrzym ujemy zbiór P K zaw ierający tylko takie w ielom iany pierw otne, które nie są podzielnikam i żadnego z przykładow ych w ielom ianów błędów . Proces ten zilustrow ano poniżej

e i E D i ( x ) = x 5a 1d 2; P1 - {-»t)1,C1,C2,di,-,gi,g2»g3»S4»g5»S6}

e IE D 2 (x ) = a l d l 1

p n »g2’g3’S4’g5’S6}

e IE D 3 (x ) = a l c 2 i ^{p D 3} — { ” » ^ 1 »^1 >” »"»“ »gl »g2’g3’g4’g5»g6}

e ffiD 4 (x ) = x 3 a i 2 c 1 ; ^{p I V} { “ » ^ 1 » ” »” »” »“ »gl łg2’g3,S4,S5’S6}

eiED5(x) = x 6 c i 2 ; P V »"»"»"»"»gl »g2»g3»g4’g5’g6l eiEDóW = x c i b i ;

p V I

{ > » » > » » g l » g 2 ’ g 3 ’ g 4 ’ g 5 5g ó } e f f i D 7 ( x ) = a i 3 ;

p V H

{ > » » > j »g 1 » g 2 ’ g 3 , g 4 » g 5 , g ó } e EED8(x ) = x b l C2 ’

p V f f l

{ » » » » » >gi> g 2 > g 3 ’ § 4 , g 5 , & 6 } e f f i D 9 ( x ) = x 2 a i c i ;

pi x

{ > » » » » »g l » g 2 » g 3 ’ g 4 ’ g 5 ’ g 6 }

K ażdy w ielom ian ze zbioru { g i,g 2,g 3,g4,g5,g6} nie je s t podzielnikiem w ielom ianów błędów i m oże być w ykorzystany do budow y kom paktora IED -M ISR . Ten sam rezultat można uzyskać dzieląc P n(x) przez E f (x). W yjaśnia to poniższe wyrażenie

P n(x)/Ef(x) = a 1b 1c 1c2d 1d2g 1g2g3g4g5g6/ a 19b 12c 15c22d 1d2 = g 1g2g 3g4g5g6/ a 18b 1c 14c2.

D zieląc przez E f (x) w ielom ian P n„i(x), którego stopień deg P n_i(x) < deg E f (x), otrzym u

je m y zero w liczniku, co potw ierdza, że w arunkiem znalezienia co najm niej jednego niepo- dzielnika je s t deg E f (x) < deg P n(x).

N iepodzielniki ze zbioru { g i,g 2,g3,g4,g5,g6} są w ielom ianam i piątego stopnia.

W efekcie pięciobitow y rejestr IE D -M ISR zbudow any w oparciu o je d en z tych w ielom ia

nów będzie o dw a p rzerzutniki za duży w stosunku do potrzeb w ynikających z założonej w przykładzie 4 .9 liczby w yjść T U C . Tańsze rozw iązanie m ożna znaleźć w śród rejestrów IE D T -M IS R . S próbujm y w ięc zastosow ać opisaną m etodę do poszukiw ania niepodzielników w śród w ielom ianów pierw otnych p(x) zw iązanych z takim i rejestram i. Jest to m ożliw e tylko w tedy, gdy w ystępujące na w yjściu abstrakcyjnego przetw ornika P1IEDT w ielom iany błędów

n-1 r-1

e i E D w ( x ) = E ® e r f ( x ) P i E D T r ( x ) P n W x ) = I I ( k j + x ) > P e d t o M = 1

r=0 j=0

będą niezależne od rodzaju zastosow anego w ielom ianu charakterystycznego p(x). Efekt ten m ożna uzyskać w przypadku takich rejestrów IED T-M ISR -p(x), które niezależnie od zw iązanego z nim i w ielom ianu charakterystycznego p(x) posiadają kom órki ® ’ I > ( T ) um iejscow ione stale w tych sam ych stopniach rejestru. Optym alne w śród nich są te, które zaw ierają tylko je d n ą kom órkę ® ’i> (t ) ulokow aną stale, np. w zerow ym stopniu rejestru. W ów czas każdy w ielom ian charakterystyczny p(x) o nieparzystej liczbie niezero- w ych w spółczynników pj m ożna przekształcić w postać p(x) = 1 + xa( l + x)d(x) =

= 1 + xa( l + x ) [ l + xb[ l + xc[ l + . . . + xJ[l + . . . + xs[ l + xw] .]]], której odpowiada rejestr o strukturze t , 'Dae l>be l&ce . . . ffi !> > $ ...e D se ifow (zob. rozdział 2 .2 ). Ponieważ w takich rejestrach tylko w spółczynnik ko = 1, dlatego też w ielom iany związane z w ejściam i tych rejestrów przyjm ują postać Pedty (x) = O + x) xr_1 (zob. tab. 2.1).

W efekcie w ielom iany błędów e Tpn Tf (x) posiadają stałą postać

W f ( x ) = e o f ( x ) + ( ! + X ) E ® e r . i , f ( x ) x r ( 4 ' 2 0 )

r=0

niezależnie od rodzaju w ielom ianu p(x). Podobnie je st w przypadku, w którym komórka znajduje się nie w zerow ym stopniu, ale stale w pierw szym stopniu rejestru IED T -M ISR . W ów czas w spółczynnik kj = 1, natom iast pozostałe w spółczynniki k r są rów ne zeru. W efekcie w ielom iany błędów eIEDTf(x), niezależnie od rodzaju wielomianu p(x), posiadają następującą niezm ieniającą się form ę

n-2

e IE D T f ( X ) = e 0 f ( X ) + e i f ( X ) X + + X ) E ® e i + 1 , f ( X ) X ( 4 - 2 1 )

i=l

Zastosow anie w yrażenia 4.21 lub 4 .2 0 w procesie poszukiw ania niepodzielników zilustru

jem y w poniższym przykładzie.

Przykład 4.10

W ykorzystując w yrażenie 4.21 i podane w przykładzie 4 .9 w ielom iany błędów e0f(x), e lf(x), e2t(x) określim y obecnie zbiór dziew ięciu wielom ianów błędów e ’IEDTf (x) występu

jących w schem acie zastępczym kom paktora IEDT-M ISR-p(x) na w yjściu abstrakcyjnego p r z e tw o rn ik a P 1iEDt- W ie lo m ia n y e0f(x ), e lf(x ), e 2f(x) tw o rz ą sum ę e ’iEDTf (x) = e0f<x) + e if<x) x + e2f<x) ( 1 + x), która dla dziew ięciu przykładow ych uszko

dzeń przyjm uje następujące form y:

f = 1; e ’ffiDT1(x) = x 10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 = x5 (x2 + x + l ) 2( x + l ) = x5a !b j2

f = 2; e ’IEDT2(x) = x5 + x + 1 — g2

220

= 3; e ’jEp j 3(x) = x4 4- x 3 4- x2 4- x 4- 1 (w ielom ian pierw szy) = d 3

= 4; e ’IEDT4(x) = x 8 4- x 7 4- x5 4- x44- x3 = x3(x5 4- x4 4- x2 4- X 4- 1) ₌x3g5

= 5; e ’rEDT5(x) = x 124-x114- x 84- x 74- x6 ₌x6(x64- x54- x2 4- x 4 1) II Xo\ J=r

= 6 ; e ’lEDT6(x) = x6 + x 4 + x = x(x5 4- x34- 1) ₌Xg[

= 7; e ’jĘDT7(x) = x3 4- x2 4- x 4- 1 = (X + l ) 3 - a 3- aj

= 8 ; e ’j£DTg(x) = x6 4- x54- x3 4- x = x(x4 4- x 4- l ) ( x 4- 1) = x a ] d j

= 9 ; e ’lEDT9(x) = x6 4- X2 = x 2 ( x 4 - 1 ) 4 = x 2 a ! 4

Zauw ażm y, że iloczyn w szystkich dziew ięciu w ielom ianów e ’ffiDTf(x) przyjm uje postać w ielom ianu X 18 E f (x), w którym E f (x) = a 19b 12d 1d3g 1g2g5h 1 (deg E f (x) = 42). Ponieważ deg E f (x) < deg P n(x) dla n = 5, dlatego m ożna zastosow ać technikę dzielenia P n(x) przez Ef(x). W efekcie otrzym ujem y P n(x )/E f (x) =

= a 1b 1c 1c2d 1d 2g 1g2g3g4g5g6/ a 19b 12d 1d 3g 1g2g5h 1 = c 1c2d2g3g4g6/ a 18b 1d 3h 1. N iepodzielnikam i są w ięc w szystkie w ielom iany pierw otne, które pozostały w liczniku. Są to wielom iany c , = x3 + x + 1, Cj = x3 + x2 + 1, d 2 = x4 + x3 + 1,

g3 = (x5 + x4 + x 3 + x2 + 1), g4 = (x5 + x3 + x2 + x + 1) oraz

g6 = (x5 + x4 + x3 + x + 1) zw iązane odpow iednio z następującym i rejestram i IED T-M ISR :

D(®’ D)e D, D(©’ D)D, D(©’D)DD, D(©’D)De DD, D(©-D)e DDe D, D(© ’ i>)e D© m lub DTe D, DTD, DTDD, DTD© DD, W , DD© D DTe b

⁹

DD

O statecznie do analizy sygnaturow ej w ybieram y trójw ejściow y najtańszy z punktu widzenia sprzętu rejstr D ( © ’ D ) D lub D T D związany z w ielom ianem pierw otnym C2 = Pb(x) = x3 + x2 + 1.

N iepodzielniki m ożna rów nież znaleźć w śród w ielom ianów redukow alnych. Spróbujm y je odnaleźć w śród w ielom ianów zw iązanych z rejestram i IED -M ISR . U w agę naszą ograni

czym y tylko do rejestrów stopnia n < 4 zaw artych w zbiorze R = { a j b ^ a ^ . a ^ } . Stosując identyczną do poprzedniej technikę poszukiw ania niepodzielników , otrzym ujem y zredukow any po dziew iątym kroku zbiór R IX = { a ^ , - , - } . Proces poszukiw ania zilustro

w ano poniżej

e i E D i ( x ) = x5aid 2; R 1 = {a it>i , a 1c 1,a 1c2}

eiED2(x) = a id i; R n = { a ib j.a ^ ^ a jC j}

eiED3(x) = a iC2; R ffl = { ajb j.ajC j, - } eiED4(x) = x3ai2C!; R IV = { ą b j , - , - }

eIED5(x) = X6Cl2; Rv 1! ^cd" ^l - } effiDó(x) = x Cl ^ l ; RVi ^II _ji^r ⁱ _{- }} eIED7(x) = a l3’ ^rYH

= { a ^ j , - - } elED8(x) = x R vm = { aib j, - - } eiED9(x) = x2ai c i; ^rK = {aib j, - - }

U zyskany niepodzielnik a xb x je st rozkładalnym wielom ianem

pc(x) = x3 + 1 = (x2 + x 4- l) (x + 1). Koszt realizacji rejestru IED -M ISR związanego z w ielom ianem pc(x) je st podobny do kosztu sprzętu rejestru IED T -M IS R -pb(x).

Zauw ażm y, że iloczyn dw óch w ielom ianów pierw otnych o nieparzystej liczbie niezero- w ych w spółczynników rów nież zaw iera nieparzystą liczbę niezerow ych współczynników . W yjaśnia to następujący przykład:

(x2 + x + l) (x 3 + x + 1) = (x5 + x4 4- 1) = 1 + x4( l + x) = D T D D D .

W zw iązku z tym rów nież w przypadku stosowania kom paktorów IE D T -M IS R z kom ór

kam i © ’ D ( T ) ulokow anym i w zerow ym albo w pierw szym stopniu tych rejestrów można poszukiw ać niepodzielników w postaci takich iloczynów.

Znając liczbę m określającą długość testu oraz liczbę w określającą ilość w yjść TU C , m ożna określić ja k o s = m + w - 1 (zob. wyrażenie 2.1) m aksym alny m ożliwy do uzyskania stopień w ielom ianu błędów effiDf(x) lub eIEDTf(x). Z ałóżm y, że TU C posiada f uszkodzeń. P rzyjm ijm y rów nież, że deg eIEDf (x) = s (deg eIEDTf (x) = s) dla każdego f.

W ów czas m aksym alny m ożliw y do uzyskania stopień w ielom ianu Ef(x) równy jest degmax E f (x) = f(m + w - 1). Jeżeli deg Pn. I(x) < deg E f (x) < deg P n(x), wówczas w śród w ielom ianów pierw otnych zaw artych w iloczynie P n(x) m ożna znaleźć co najmniej jed en w ielom ian pierw otny stopnia deg p(x) < n um ożliw iający konstrukcję rejestru IED -M ISR -p(x) lub IED T -M ISR -p(x) w ykryw ającego w szystkie f m acierze błędów, które pojaw ią się na w w yjściach TU C zasilanego ciągiem m testów.

W [Lem pG95] stw ierdzono, że iloczyn liczby uszkodzeń oraz liczby określającej ilość w ektorów testow ych podaw anych w czasie testowania obecnie produkow anych układów scalonych je s t zaw sze m niejszy od liczby M = 1.4 x 1016. W tej samej pracy udow odniono, że w śród w ielom ianów pierw otnych stopnia n < 53 zaw sze m ożna znaleźć w ielom ian um ożliw iający zbudow anie rejestru IED -M ISR gw arantującego likwidację m askow ania błędów . W ynik ten potw ierdza następujące rozum ow anie. W oparciu o podane w [Golom82] tablice określające liczności zbiorów w szystkich w ielom ianów pierw otnych

danego stopnia n m ożna obliczyć, że deg P n(x) > M dla n = 53. Z akładając, że iloczyn f ( m + w - l) < M , otrzym ujem y w arunek deg P n(x) < d e g ^ E f (x) < M < deg P n(x), który je s t spełniony dla n = 53.

W oparciu o opisaną m etodę poszukiw ania niepodzielników m ożna opracow ać program y kom puterow e do określan ia w ielom ianów pierw otnych p(x) najniższego stopnia gw arantują

cych likw idację m askow ania błędów zależnych od założonego zbioru m odelow anych uszko

dzeń. W pracy [Lem pG 95] przedstaw iono specjalne procedury przyśpieszające proces poszukiw ań niepodzielników . P rocedury te m ożna stosować niezależnie od rodzaju źródła testów i liczby m odelow anych uszkodzeń. M ożna je stosow ać w przypadku wszystkich rejestrów c-S IS R n iezależnie od ich struktury. C hociaż były one tw orzone z m yślą o proje

ktow aniu sp rzężeń liniow ych tylko dla rejestrów IED -M ISR , to m ożna je rów nież stosować w przypadku rejestrów IE D T -M IS R . D zięki tem u pow stała nieznana dotąd m ożliw ość badania podzieln o ści co najm niej trzech różnych zbiorów w ielom ianów błędów { e ^ f (x)}, {eiEDTf 0 0 } (4-20) oraz {e’IEDTf(x)} (4.21) bez konieczności zm iany źródła testów.

Pozw ala to p o szukiw ać takiego niepodzielnika, który gw arantuje najtańsze rozw iązanie w zbiorze rejestrów IE D -M IS R i IE D T -M IS R przy raz dobranej sekw encji testów.

W dokumencie Rejestry liniowe - analiza, synteza i zastosowania w testowaniu układów cyfrowych (Stron 109-115)