Metody numeryczne

Pocztkowo przy wymiarowaniu konstrukcji podziemnych stosowano sposób polegajcy na wyznaczeniu si wewntrznych przy zaoeniu, e grunt stanowi jedynie obcienie. Zakadano, e konstrukcja jest poddana równomiernie rozoonemu obcieniu pionowemu, podobnie rozoonemu oddziaywaniu gruntu od spodu oraz parciu bocznemu (rysunek 2.19a). Konstrukcja miaa przy tym pen swobod odksztace. Zaoenia te podane zostay przez Hewetta [104].

Pó niej wprowadzane metody uwzgldniay ju wspóprac gruntu z konstrukcj. Przyjmowano przy tym róne schematy owej wspópracy. Dla gruntu dobierany by uproszczony, liniowo-sprysty model zastpczy. Wspópraca gruntu z konstrukcj bya realizowana przez zastosowanie schematu, w którym konstrukcja obciona zostaa przez grunt, a jednoczenie opieraa si na nim za porednictwem grupy spryn. Taki model wspópracy konstrukcji podziemnej zosta zaproponowany przez Voellmy'ego, Windeisa, Morgana, Meissnera oraz Drawskiego. Zakada on schemat statyczny bazujcy na piercieniu otoczonym przez spryny zlokalizowane po obwodzie, których reakcje symuloway zachowanie gruntu. Grunt jednoczenie peni rol czynnika obciajcego (rysunek 2.19b). W dalszych pracach zakadano, e na odcinku górnym piercienia grunt stanowi tylko obcienie, natomiast na pozostaej czci obwodu peni on rol sprystego podoa (rysunek 2.19d). Przy takim schemacie niektórzy autorzy zakadaj obcienie czynne gruntem jedynie od góry (Bugajewa, Gorelik, Rozsa, Bernvalner [35], [76], [80]), u innych natomiast grunt stanowi spryste podoe, a równoczenie by czynnikiem obcienia zewntrznego z góry, z dou i z boków (rysunek 2.19c, g) (Wokow, Schulze, Duddeck, Branicki [73], [77], [65]). Do tej grupy koncepcji wspópracy gruntu z konstrukcj podatn mona zaliczy sposób rozwizania zakadajcy odcinkowe, boczne strefy sprystego odporu gruntu, np. wg zaoe Pytowskiego (rysunek 2.19e) [71].

Rys. 2.19. Schematy statyczne wykorzystywane w Metodzie Spryn: a) wg Hewetta, b) wg Voellmy’ego, Morgana i in., c) wg Duddecka, Schulzego, Wokowa i in., d) wg Bugajewy i in.,

e) wg Pytowskiego i in. f) wg Klöppel i Glock g) wg Branickiego i anika.

Duddeck w 1970 r. dokona porównania wyników obliczenia momentów zginajcych w kluczu piercienia koowego stosujc kilka schematów [35]. Wynika z nich, e obliczenia przeprowadzone wedug Schuizego i Duddecka (rysunek 2.19c) daj bardzo zblione wyniki do wyników otrzymanych z metody Bugajewy (rysunek 2.19d), pomimo e dla tych dwóch metod wystpuj rónice w zakadanych schematach wyjciowych. Mniejsze natomiast wartoci momentów otrzymuje si z metod zakadajcych wspóprac piercienia z orodkiem gruntowym na caym obwodzie wg Voellmy, Windeisa, Morgana i in. (rysunek 2.19b). W omawianych koncepcjach istnieje moliwo uwzgldnienia skadowych stycznych parcia gruntu na ciany tunelu. Zbadano wpyw uwzgldniania lub pomijania stycznych skadowych

pionowego i poziomego parcia gruntu na wyniki oblicze momentów zginajcych. Rónice te s znaczne, wynosz przeszo 50 % wartoci tzn., e: uwzgldnienie si stycznych zwiksza wartoci momentów.

Naley wspomnie jeszcze o stosowaniu schematów statycznie wyznaczalnych, wprowadzajcych przeguby, które rozmieszczane s zwykle w górnej strefie obwodu konstrukcji. W 1970 Klöppel i Glock zaproponowali zastpienie cianki o jednostkowej dugoci czciowo podpartymi dwuwymiarowymi elementami belkowymi oraz wprowadzenie dwóch przerobów w schemat statyczny konstrukcji (rysunek 2.19f) [78]. Wspóczynnik reakcji podoa wyznaczono wg wzoru:

R

M

C 0,5

gdzie:

M – modu edometryczny gruntu, R – promie przewodu.

We wszystkich wspomnianych koncepcjach nie uwzgldniono wpywu odksztace konstrukcji na stan si wewntrznych wic zadanie sformuowane byo jako zadanie liniowo - spryste. Zaoenie to prowadzi do bdnych wyników w przypadku cienkich cian konstrukcji, natomiast jest wystarczajco dokadne w odniesieniu do rur, tuneli o masywnej, mao odksztacalnej konstrukcji [79].

2.2.2.2.9.2. Metoda Elementów Skoczonych (MES)

W wielu opracowaniach podaje si nazwisko Couranta, który jako matematyk w 1942 roku opublikowa pioniersk prac w tej dziedzinie oraz M. J. Tunera, który w 1956 r. wraz ze swoim zespoem badawczym napisa obszern prac powicon tej metodzie. Zasadniczy rozwój Metody Elementów Skoczonych (MES) przypada na lata szedziesite, m.in. dziki pracom Przemienieckiego i Zienkiewicza. Drugim okresem rozwojowym MES jest pojawienie si komputerów osobistych. Pod koniec lat 80-tych wiele renomowanych systemów, takich jak np.: ABAQUS, CANDE, ANSYS, PLAXIS oraz COSMOS/M, zostao przystosowanych do pracy na PC [14].

Sama metoda nie powstaa niezalenie od metod istniejcych. MES jest metod konsekwentnego poszukiwania przyblionych rozwiza problemów brzegowych. Cech zasadnicz metod przyblionych jest zastpowanie ukadu o nieskoczonej liczbie stopni swobody ukadem o liczbie skoczonej. Przy modelowaniu ukadu rzeczywistego bardzo wanym etapem jest przejcie od modelu fizycznego do dyskretnego tak, aby model dyskretny dostatecznie dokadnie odzwierciedla zjawiska zachodzce w modelu fizycznym.

Koncepcja MES zakada, e kad wielko (np. przemieszczenie, naprenie), opisan za pomoc funkcji cigej (pierwotnej) w danym obszarze (fragmencie cigym modelu fizycznego), aproksymuje si modelem dyskretnym. Model dyskretny jest zoony ze zbioru funkcji cigych okrelonych w skoczonej liczbie podobszarów, zwanych elementami, na jakie podzielono rozpatrywany obszar, który mona przedstawi w postaci równania [14]:

¦:

:

Poszczególne funkcje cige z podobszarów definiuje si przez wartoci funkcji pierwotnej w skoczonej liczbie punktów z wntrza rozwaanego obszaru, zwanych wzami. W celu otrzymania modelu dyskretnego naley zatem w cigym fragmencie modelu fizycznego:

a) wyróni skoczon liczb wzów,

b) okreli w wzach wielkoci fizyczne (wzowe), których wartoci si aproksymuje (np. przemieszczenie, naprenie),

c) podzieli rozpatrywany obszar na skoczon liczb elementów (elementy cz si ze sob we wspólnych wzach, a ich zbiór musi pokrywa cay obszar),

d) aproksymowa wielkoci fizyczne w kadym elemencie za pomoc funkcji aproksymujcych (np. wielomianów, szeregów itp.) przez wielkoci wzowe. Dla kadego elementu mona przyj inn funkcj wielomianu, ale wszystkie naley obiera w taki sposób, aby zachowa moliwie dobr cigo midzy poszczególnymi funkcjami na brzegach elementów.

Jeeli w elemencie jest rozpatrywana jedna wielko fizyczna opisywana funkcj cig, np. przemieszczenie w kierunku osi z u_z = (x, y, z, t), to okrela si j przez wielkoci wzowe przedstawione na rysunku 2.21 za pomoc zwizku:

¦

t N x y z u t

u

)

(

)

,

,

(

)

(

IE – liczba wzów opisujcych element skoczony, N_n(x,y,z) – funkcja ksztatu elementu n,

u_zn (t) – wielkoci wzowe np. przemieszczenia.

Rys. 2.21. Aproksymacja wielkoci fizycznej we wntrzu elementu skoczonego [14].

Niezbdnym warunkiem otrzymania danej dokadnoci w MES jest przyjcie funkcji ksztatu dostatecznie dokadnie odwzorowujcych rzeczywiste wielkoci fizyczne w elemencie. Przy spenieniu tego warunku i coraz gstszym podziale obszaru na elementy, otrzymane wartoci np. przemieszczenia mog zblia si do rozwizania dokadnego. Zblianie to osiga si wtedy, gdy funkcje ksztatu zapewniaj:

a) cigo przemieszcze wewntrz elementu oraz ich zgodno na granicach elementów, b) moliwo opisywania staych przemieszcze elementu, a wic jego ruchu jako ciaa

sztywnego,

c) moliwo opisania stanu staych odksztace (a tym samym napre) wewntrz elementu, wystpujcego przy odpowiednich przemieszczeniach wzów.

Elementy, w których funkcje ksztatu speniaj pierwszy z podanych warunków (a), nazywa si elementami zgodnymi (dostosowanymi). Natomiast elementy, które speniaj tylko warunek drugi i trzeci (b i c), nazywa si elementami zupenymi (niedostosowanymi) [14].

Rys. 2.22. Wpyw liczby elementów skoczonych na warto dyskretyzowanej wielkoci fizycznej {u} [14].

Przyjcie do dyskretyzacji elementów zgodnych zapewnia zbieno rozwizania modelu dyskretnego od dou, co pokazano na rysunku 2.22.

Zalet MES jest moliwo uwzgldnienia indywidualnych cech przepustu takich, jak: a) geometria konstrukcji,

b) nieliniowe waciwoci materiau jakim jest grunt, c) etapowy charakter budowy,

d) zmienne obcienia.

W komputerowych systemach wykorzystujcych MES, takich jak COSMOS czy PLAXIS, do modelowania gruntu przyjmuje si model Coulomba – Mahra lub sprysto-idealnie plastyczny nieliniowy model opisany w 1952 roku przez Druckera i Pragera [84].

Uyte w niniejszej rozprawie elementy MES i modele zostay dokadnie przedstawione w punkcie 4 „Wyznaczenie wytenia przepustu metod elementów skoczonych”.