5. Analiza teoretyczna procesu ciągłego odlewania między obracające się
5.4. Model krzepnięcia nieograniczonej płyty wg A.I. Wiejnika
Jak już wspomniano w niniejszym rozdziale, przebieg procesu stygnięcia materiału od momentu początku zalewania do całkowitego ostygnięcia odlewu (tj. do momentu osiągnięcia przez odlew temperatury otaczającego go ośrodka) można podzielić na pięć następujących okresów:
- pierwszy - stygnięcie metalu podczas zalewania (praktycznie nie występuje w procesie TRC, dlatego też w rozdziale 5.1 mowa o czterech etapach),
- drugi - odprowadzenie ciepła przegrzania z metalu zalanego do krystalizatora, - trzeci - krzepnięcie metalu,
- czwarty - stygnięcie w krystalizatorze zakrzepłego materiału, - piąty - stygnięcie materiału po wyjściu z krystalizatora.
W zależności od warunków stygnięcia materiału oraz jego właściwości poszczególne okresy mogą częściowo zachodzić na siebie.
Ogólny model procesu krzepnięcia oraz stygnięcia odlewu może zostać znacznie uproszczony poprzez dokonanie analizy intensywności stygnięcia odlewu. Względna intensywność stygnięcia odlewu może być bowiem określona poprzez kryterium Biota, które można zdefiniować jako [131]:
(5.80)
gdzie:
Bi1 – kryterium Biota dla odlewu,
α1 – współczynnik wymiany ciepła pomiędzy powierzchnią odlewu a masą otaczającego odlew ośrodka,
λ1 – współczynnik przewodzenia ciepła metalu odlewu, δ1t – spadek temperatury na przekroju ścianki odlewu,
Δ1t – różnica temperatur pomiędzy powierzchnią odlewu i otaczającym ośrodkiem.
Na rysunku 5.21 ukazano w sposób schematyczny wpływ intensywności stygnięcia odlewu (wartości kryterium Biota) na rozkład temperatury na przekroju ścianki odlewu, dla przypadku gdy metal krzepnie w stałej temperaturze (ten przypadek bowiem rozpatrywany będzie na etapie analizy wyników odlewania w linii TRC)
Z rysunku ukazanego powyżej można wysunąć pewne wnioski dotyczące wpływu wartości liczby Biota na mechanizm krzepnięcia, wzajemne nachodzenie na siebie poszczególnych etapów odlewu czy rozkład temperatury w odlewie, a co za tym idzie – możliwości uproszczenia modelu procesu.
Przy małej intensywności stygnięcia odlewu (Bi1<<1) na przekroju ścianki odlewu występuje bardzo mały spadek temperatury. W wyniku tego poszczególne etapy stygnięcia odlewu zachodzą równocześnie w całej jego objętości. Odprowadzanie ciepła przegrzania z metalu rozpoczyna się i kończy praktycznie równocześnie dla całego przekroju, po nim następuje krzepnięcie metalu itd. Każdy kolejny okres rozpoczyna się dopiero po zakończeniu
102 poprzedzającego go okresu, każdy z okresów można tez rozpatrywać niezależnie od pozostałych. W przypadku gdy metal krzepnie w stałej temperaturze warstwa metalu zakrzepłego narasta od powierzchni stygnięcia, czyli zachodzi krzepnięcie liniowe.
Rys. 5.21. Schemat rozkładu temperatury na przekroju ścianki odlewu dla różnej intensywności stygnięcia, dla metalu stygnącego w stałej temperaturze [131]
Założenie o małej intensywności stygnięcia odlewu (Bi1<<1) pozwala na następujące uproszczenia ogólnego modelu stygnięcia i krzepnięcia odlewu: oddzielne rozpatrywanie poszczególnych okresów stygnięcia odlewu, przyjęcie dla całego przekroju odlewu jednej wartości temperatury, stosowanie pojęcia sprowadzonej grubości ścianki odlewu.
Gdy wartość kryterium Biota określana jest jako średnia lub duża (Bi1≈1, Bi1>>1) poszczególne okresy krzepnięcia nakładają się na siebie wzajemnie, co jest bezpośrednio związane ze znacznym spadkiem temperatury na przekroju ścianki odlewu. W momencie czasu, gdy w odlewie zakrzepła pewna warstwa metalu, dochodzi również do krzepnięcia, odprowadzanie ciepła przegrzania oraz stygnięcia zakrzepłego odlewu.
W tym przypadku nie można pominąć spadku temperatury na przekroju ścianki odlewu i zastąpić go jedną wartością temperatury [131].
Pole temperatur w stygnącym odlewie i w formie odlewniczej jest określone poprzez kryterium Fouriera [131]:
103 gdzie:
FO – kryterium Fouriera dla odlewu,
a1 – współczynnik przewodzenia temperatury metalu odlewu oraz materiału formy odlewniczej,
η – czas trwania procesu stygnięcia odlewu,
X1 – charakterystyczny wymiar odlewu (połowa grubości nieograniczonej płyty).
Do jednej z klasycznych prac przedstawiających rozwiązania w zakresie obliczania krzepnięcia odlewów można zaliczyć model krystalizacji opracowany przez A.I. Wiejnika. Rozwiązania A.I. Wiejnika dotyczą prostych kształtów, takich jak: nieograniczona płyta (nieskończenie długa i szeroka), nieograniczony walec (nieskończenie długi) krzepnący z zewnętrznej powierzchni oraz nieograniczony wydrążony walec (tuleja) krzepnący od wewnętrznej powierzchni, kula wydrążona krzepnąca od zewnętrznej powierzchni oraz od wewnątrz.
W rozważaniach A.I. Wiejnika przyjęte zostało założenie, że metal krzepnie w ośrodku o stałej temperaturze ts i przy stałej wartości współczynnika wymiany ciepła między powierzchnią odlewu a ośrodkiem otaczającym odlew a1. Metal odlewu krzepnie również w stałej temperaturze odpowiadającej stanowi równowagi. Pominięty zostaję również aspekt przechłodzenia metalu, gdyż zachodzi nierówność:
(5.82)
gdzie:
Δt – przechłodzenie metalu,
tkr – temperatura krystalizacji metalu.
Nierówność ta wskazuje na fakt, iż przechłodzenie fazy ciekłej jest bardzo małe w stosunku do temperatury krystalizacji metalu i praktycznie można je pominąć. Rozwiązania A.I. Wiejnika obejmują proces krzepnięcia odlewu, który rozpoczyna się w tym momencie, gdy ciepło przegrzania zostało już odprowadzone przez formę i w całej objętości odlewu jest jedna temperatura, równa temperaturze krzepnięcia metalu (podczas odprowadzania ciepła przegrzania w odlewie mogła zakrzepnąć pewna warstwa metalu, co jednak zostało uwzględnione przez A.I. Wiejnika w warunkach brzegowych). Proces kończy się natomiast w momencie odprowadzenia całego ciepła krzepnięcia.
Do rozwiązania modelu A.I. Wiejnik zastosował metodę polegającą na zmniejszeniu ilości zmiennych niezależnych poprzez założenie, że pole temperatur odpowiada równaniu paraboli n-tego stopnia. Parabola taka ma następującą postać:
104 gdzie:
y – współrzędna liczona od powierzchni krzepnięcia w kierunku powierzchni odlewu, n – wykładnik, którego wartość dobiera się w zależności od kształtu odlewu i warunków
stygnięcia.
Zamiast współrzędnej y można zastosować współrzędną x, która liczona jest od powierzchni odlewu. Wówczas równanie przyjmuje postać:
( ) ( ) (5.84) gdzie:
(5.85)
Na rysunku 5.22 przedstawiony został schemat rozkładu temperatury na przekroju odlewu w momencie czasu η oraz η+dη [131].
Rys. 5.22. Schemat rozkładu temperatury na przekroju odlewu w momencie czasu τ oraz τ+dτ (linia przerywana)[131]
105 Równania opisujące proces krzepnięcia płyty nieograniczonej
Równanie wiążące grubość warstwy zakrzepłej w funkcji czasu, po przekształceniu do postaci bezwymiarowej wygląda w sposób następujący [131]:
( ) ( ) (5.86) (5.87) ( * (5.88) ( * (5.89) (5.90) ( ) (5.91) gdzie:
FO2 – kryterium Fouriera dla pierwszych dwu okresów stygnięcia odlewu, tkr – temperatura krzepnięcia,
ts – temperatura ośrodka otaczającego odlew, ρ1 – ciepło krystalizacji,
δ – względna grubość zakrzepłej warstwy metalu w odlewie,
δ2 – względna grubość zakrzepłej warstwy metalu w dwu pierwszych okresach stygnięcia odlewu.
Równanie wiążące grubość warstwy zakrzepłej w funkcji czasu, po przekształceniu do postaci bezwymiarowej oraz zróżniczkowaniu daje wzór na bezwymiarową liniową szybkość krzepnięcia [131]:
(5.92)
106 (5.93) (5.94) gdzie: λ – przewodność cieplna, cp – ciepło właściwe, γ – gęstość, n – wykładnik,
X1 – charakterystyczny wymiar odlewu (połowa grubości nieograniczonej płyty), ε – grubość warstwy metalu zakrzepłego w odlewie.
Współczynnik paraboli n dla płyty i stałej temperatury krzepnięcia można powiązać zależnością [132]:
(5.95)
gdzie [2]:
( ) (5.96)
Ogólne równania opisujące proces krzepnięcia płyty nieograniczonej można uprościć dla granicznych intensywności stygnięcia odlewu (zależnych od liczby Biota) [2,131].
W przypadku, gdy Bi1>>1 mamy do czynienia z dużą intensywnością stygnięcia, a zależność na FO-FO2 upraszcza się do:
( ) (5.97)
Dla dużej intensywności stygnięcia zależność opisująca liniową szybkość krzepnięcia wygląda następująco:
(
)
(5.98)
Dla małej intensywności stygnięcia (Bi1<<1) ogólne równanie FO-FO2 można uprościć do postaci:
107
( ) (5.99)
Zależność opisująca liniową szybkość krzepnięcia przyjmuje wówczas następującą postać:
( )
(5.100)
Średnia intensywność stygnięcia może być opisana zależnością Bi1≈1. W tym przypadku, po odpowiednich uproszczeniach równanie FO-FO2 można zapisać w postaci:
( ) (
* ( ) (5.101) Liniową szybkość krzepnięcia zatem można obliczyć z zależności:
( ) (5.102)
Opracowany powyżej model pozwala obliczyć liniową szybkość krzepnięcia dla płyty nieograniczonej, co w istocie umożliwia określenie zmiany grubości fazy ciekłej i stałej w czasie. Adaptacja tego rozwiązania do modelowania zjawiska krzepnięcia w procesie TRC polega na przełożeniu liniowej szybkości krzepnięcia na równania opisujące w przybliżeniu nieruchomy w przestrzeni front krystalizacji.
Dysponując wartościami szybkości krystalizacji występującymi na grubości odlewu (u) oraz odległościami od krawędzi zakrzepłego odlewu (ε) można obliczyć drogę krzepnięcia potrzebną w rozpatrywanych przypadkach do skrystalizowania odlewu na całej grubości (dopiero bowiem wtedy może rozpocząć się proces walcowania). W pierwszej kolejności jednak należy obliczyć czas potrzebny do skrzepnięcia odpowiedniej grubości odlewu przy określonej prędkości krzepnięcia z zależności:
(5.103)
Następnie znając prędkość odlewania możliwe jest obliczenie drogi krzepnięcia (s) na grubości odlewu według zależności:
(5.104)
Przystępując więc do analizy procesu krzepnięcia odlewu uproszczonego do kształtu płyty nieograniczonej niezbędne jest ustalenie szybkości stygnięcia odlewu (liczby Biota).
Dodatkowo w omawianym modelu krystalizacji metalu w kotlinie procesu TRC, poza równaniami A.I. Wiejnika zastosowane zostały pewne uproszczenia:
108 - brak odbioru ciepła odlewu w kierunku wzdłużnym odlewu (w rzeczywistym procesie TRC, odbiór ciepła występuje bowiem zarówno w kierunku poprzecznym jak i wzdłużnym),
- pominięcie ciepła przegrzania (na podstawie analizy teoretycznej ustalono bowiem, iż ciepło przegrzania stanowi niewielką ilość w stosunku do całości ciepła, którą należy odebrać podczas procesu TRC),
- uproszczenie kształtu materiału znajdującego się w kotlinie walcowniczej do kształtu płyty nieograniczonej (według rysunku 5.23).
Rys. 5.23. Schemat uproszczenia obszaru krystalizacji w kotlinie procesu TRC do płyty nieograniczonej (obszar koloru czerwonego)
Zaproponowany model określenia obszaru odkształcenia oraz krystalizacji umożliwił poznanie zakresów ich występowania w kotlinie procesu TRC. Procedurę przeprowadzenia badań oraz analizę wyników przedstawiono szczegółowo w kolejnych rozdziałach pracy.
obszar kontaktu metalu
z walcami – krystalizatorami 26,5mm
(wymiar układu zalewowego + cofnięcie układu)
l
d– obszar walcowania
m
ak
syma
lna
grub
ośd
109