5. Analiza teoretyczna procesu ciągłego odlewania między obracające się
5.3. Model szacowania sił nacisku metalu na krystalizatory
W związku z koniecznością określenia zakresu występowania obszaru odkształcenia oraz krystalizacji w kotlinie procesu TRC opracowany został algorytm, na podstawie którego dokonano obliczeń prędkości odkształcenia oraz oporu plastycznego na długości kotliny (szczegółowe wyniki oraz ich analiza przedstawione zostały w rozdziale 7). Było to niezbędne w celu określenia szacunkowego obszaru odkształcenia plastycznego jako składowej całej kotliny procesu TRC, a stąd poprzez analizę wymiarów kotliny TRC i średniego nacisku jednostkowego również obciążeń działających na krystalizatory. Dopiero przy tej wiedzy można przystąpić do analizy procesu krystalizacji w omawianym procesie.
Podczas rozważań nad procesem odkształcenia w kotlinie TRC przyjęto dwa założenia upraszczające, często wykorzystywane przy tworzeniu modeli matematycznych opisujących proces walcowania. Pierwszym z nich jest założenie, iż szerokość wyrobu płaskiego pozostaje bez zmian, tzn zakłada się płaski stan odkształcenia (bez poszerzenia), a drugim, założenie, które pozwala na korzystanie z równań różniczkowych w modelach, mówiące iż płaskie przekroje przed walcowaniem po procesie również pozostają płaskie. Zagadnienie to porusza John G. Lenard w pracy [116] dodatkowo powołując się na prace Schey [115]. Temat jednorodnego odkształcenia oraz hipotezy płaskich przekrojów szeroko poruszony został również w pracy [117]. 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 C iś n ie n ie ś ci ska ją ce p ła sz cz i r d ze o kry sta liz ato ra [M Pa ]
89 Płaski stan odkształcenia
Podczas procesu walcowania pasma o szerokości i długości istotnie większej od grubości zwykle przyjmuje się dwuwymiarowy stan odkształcenia, w tym sensie, że szerokość wyrobu nie zmienia się w czasie, w porównaniu do przebiegu zmian grubości i długości, co powoduje, że istnienie płaskiego stanu odkształcenia plastycznego jest bardzo prawdopodobne.
Jednorodne odkształcenie
Na potrzeby niniejszej analizy przyjęto uproszenie zakładające istnienie jednorodnego odkształcenia w procesie walcowania. Zjawisko to badane było przez wielu autorów w sposób doświadczalny poprzez obserwację odkształcenia kołków, nitów czy śrub umieszczonych uprzednio w walcowanym materiale ze stali, co opisano np. w pracach Orowana, Metza czy Hollenberga [110].
Rys. 5.19. Schematyczne przedstawienie odkształcenia niejednorodnego (a) oraz jednorodnego (b)
Rysunek 5.19 pokazuje w części (a), że początkowo proste linie zaginają się podczas walcowania, podczas gdy w części (b) początkowo proste linie pozostają proste również po walcowaniu (planes remain planes). W drugim przypadku, odkształcenie materiału podczas walcowania jest określane jako jednorodne odkształcenie. Schey [115] rozróżnia dwie możliwości, zależnie od wielkości stosunku średniej grubości taśmy w przepuście walcowniczym hśr, a długością kotliny walcowniczej ld. Gdy stosunek hśr/ld jest większy od jedności, odkształcenie jest niejednorodne, a początkowo proste przekroje ulegają zaginaniu, jak pokazano na rysunku 5.19 a. Gdy natomiast wskaźnik ten jest mniejszy od jedności, efekt tarcia na siły i momenty walcowania jest niewielki i założenie jednorodnego odkształcenia może być z całą pewnością stosowane.
Rozpatrując proces walcowania zarówno na zimno jak i na gorąco można stwierdzić, iż założenie istnienia płaskich przekrojów jest bardzo zbliżone do rzeczywistości z jednym możliwym wyjątkiem. Dotyczy to płynięcia metalu w pierwszych przepustach materiału podczas konwencjonalnego walcowania na gorąco, gdzie grubość taśmy jest rzędu 200-300 mm, a średnica walców roboczych może wynosić 1000 mm lub więcej. Prowadzi do powstania stosunku średnicy walca do grubości walcowanego pasma wynoszącego 3-5.
90 Podczas dalszych przepustów walcowniczych stosunek ten znacznie wzrasta, a założenie płaskiego stanu odkształcenia staje się dopuszczalne [116].
Podczas rozpatrywania procesu walcowania w którym średnica walca roboczego w stosunku do grubości początkowej walcowanego pasma jest większa od jedności, co również potwierdzają również informacje zawarte w pracy [118] oraz dodatkowo występuję wysoki stosunek grubości do szerokości walcowanego pasma można stosować założenie jednorodnego odkształcenia (hipotezy płaskich przekrojów) wraz z założeniem płaskiego stanu odkształcenia materiału w kotlinie walcowniczej.
Algorytm bazujący na hipotezie płaskich przekrojów
Prędkość odkształcenia materiału w różnych punktach w kotliny walcowniczej jest różna. Zaproponowano model bazujący na hipotezie płaskich przekrojów, umożliwiający obliczenie tej wartości na długości kotliny. Schemat modelu ukazano na rys. 5.20. Procedurę obliczeniową zaprezentowano w tabeli 7.6 oraz 7.11, w rozdziale 7 poświęconym analizie wyników.
Obliczenia rozpoczęto od znajomości następujących wartości: S – wyprzedzenia,
vw – prędkości walców,
h1 – grubości końcowej pasma, R – średnicy walców.
Kolejnym etapem było rozpatrzenie trójkąta prostokątnego widocznego na rysunku 5.20, a konkretnie: R – a/2 – R-(Δh)/2. Powstanie skończonej ilości obszarów (elementów) w kotlinie walcowniczej było możliwe dzięki zmianie wartości kąta α/2.
Pierwszym etapem było obliczenie odcinka (Δh)/2 z zależności:
(5.31) co po przekształceniu daje: ( ) (5.32)
Następnie należało ustalić zależność opisującą odcinek a/2, co dokonano z zależności:
(5.33)
co po przekształceniu daje:
91 Znajomość zależności opisującej (Δh)/2, pozwoliła na obliczenie poszczególnych wartości grubości pasma h z zakresu do h0 do h1, które można zapisać jako:
(5.35)
Rys. 5.20. Schemat modelu wyznaczania prędkości odkształcenia w kotlinie walcowniczej procesu TRC
a także wartości wydłużenia całkowitego pasma w poszczególnych obszarach kotliny:
h
0h
1a/2
a/2
(Δh)/2
α/2
v
m, ε
j, t
j, έ
92
(5.36)
jak i odkształcenia rzeczywistego rozumianego jako:
(5.37)
Dokonano również obliczenia gniotu względnego zgodnie z zależnością:
(5.38)
Kolejne obliczenia dotyczyły już poszczególnych konkretnych obszarów kotliny walcowniczej. Dla danego obszaru (przykładowo zaznaczonego na rysunku 5.20 kolorem żółtym) dokonano obliczeń, wartości takich jak:
vm – prędkości materiału w danym obszarze,
εj – odkształcenia jednostkowego w danym obszarze,
tj – czasu miedzy położeniem początkowym a końcowym danego obszaru έ – prędkości odkształcenia materiału w danym obszarze.
Posłużono się następującymi zależnościami:
(5.39)
gdzie, vk – prędkość końcowa materiału to:
( ) (5.40)
(5.41)
Dla poprawności przeprowadzonych obliczeń odkształcenie jednostkowe przeliczono również na wartości rzeczywiste (tylko odkształcenie rzeczywiste jest bowiem addytywne), według zależności:
( ) (5.42)
(5.43)
93 Badanie prędkości odkształcenia w kotlinie procesu TRC
Określenie prędkości odkształcenia w danym obszarze (έ) zostało poprzedzone obliczeniem średnich prędkości odkształcenia mogących występować w kotlinie procesu TRC. Następnie wartości te zestawiono w celu weryfikacji poprawności założonego algorytmu. W tym celu skorzystano z czterech różnych zależności analitycznych, opisujących tę wielkość [119].
Pierwsza z opisanych zależności, to równanie którego autorami są Ford i Alexander:
̇
√ ( ) √ (5.45)
Drugą z nich zaproponował Sims:
̇
√ ( * (5.46)
Trzecia została opisana przez Orowana i Pascoe:
̇ √
(
* (5.47)
Twórcą czwartej ch był natomiast Wusatowski:
̇
√ √(
) (5.48)
gdzie:
N – prędkość obrotowa walców, R – promień walców,
h0 – grubość początkowa pasma, ε – gniot względny.
Zagadnienie prędkości odkształcenia w procesie walcowania, które można w sposób bezpośredni przenieść do procesu TRC zostało w sposób kompleksowy poruszone w pracy [120]. Zostały w niej przedstawione następujące wzory na średnią prędkość odkształcenia w kotlinie procesu walcowania:
94 Wzór Ekelunda: ̇ √ (5.49) Wzór Trinksa i Wusatowskiego: ̇ √ (5.50) Wzór Orowana: ̇ √ ( ) (5.51) Wzór Krejndlina: ̇ √ ( * (5.52)
Wzór Larke, Celikowa i Mierenkowa:
̇ √ (5.53)
Wzór Larke, Korolewa i Cooka:
̇ √ (5.54) Wzór Wusatowskiego II: ̇ (5.55) Wzór Mierenkowa:
95 ̇ √ ( * (5.56) Wzór Koncewicza I: ̇ √ (5.57) Wzór Koncewicza II: ̇ √ (5.58) gdzie:
vw – prędkość obwodowa walców, D – średnica walców,
h1 – grubość końcowa pasma, Δh – gniot względny,
S – wyprzedzenie, α – kąt chwytu,
λ – współczynnik wydłużenia, k – wykładnik potęgowy Wydrina.
Badanie wartości współczynnika tarcia
Podczas rozważań procesu walcowania na gorąco, jak i odlewania w linii TRC niezbędna była znajomość wartości współczynnika tarcia.
Istnieje szereg metod wyznaczania współczynnika tarcia, takich jak: metoda Pawłowa, metoda wzorów odwróconych, metoda granicznego kąta chwytu czy pomiar współczynnika tarcia na podstawie powiązania go z wyprzedzeniem w procesie walcowania. Powstały również dedykowane konstrukcje czujników dających możliwość bezpośredniego i dokładnego pomiaru współczynnika tarcia podczas walcowania. Pierwszym rodzajem czujników są tzw. „line contact sensors”, które umieszczone są w beczce walca roboczego i dokonują pomiaru siły normalnej oraz siły tarcia. Druga grupa czujników to tzw. „pin
sensors”, ostatni omówiony czujnik to tzw. „portal frame sensor”. Ogólna zasada pomiaru za
pomocą czujników polega na oddzieleniu siły tarcia od nacisku metalu na walec roboczy z sygnału rejestrowanego przez czujnik [121].
Najpopularniejszą i bardzo dokładną metodą doświadczalnego wyznaczania współczynnika tarcia podczas procesu walcowania jest metoda granicznego kąta chwytu. W metodzie tej przy zetknięciu metalu z walcami działają bowiem siły normalne N nacisku metalu na walec skierowane promieniowo, oraz siła tarcia T, skierowana stycznie. Siła tarcia wciąga metal w szczelinę walców, normalna zaś go wypycha. Uchwycenie metalu nastąpi
96 wtedy, gdy składowa pozioma siły normalnej będzie równa składowej siły tarcia poziomej lub od niej mniejsza. W praktyce określenie współczynnika tarcia następuje poprzez doprowadzenie próbki w kształcie prostopadłościanu do walców, które posiadają taką nastawę, aby nie było możliwości chwytu. Następnie należy podnosić górny walec, tak aby chwyt nastąpił [108]. Pomimo, iż jest to dokładna i uniwersalna metoda, nie można było jej zastosować, ze względu na fakt, iż w procesie walcowania na gorąco badany materiał był podgrzany do temperatury 630°C (aby jak najlepiej oddać warunki panujące w kotlinie procesu TRC). Podczas stosunkowo długiego kontaktu z walcami, w momencie gdy następowało unoszenie górnego walca, próbka była intensywnie chłodzona, a dodatkowo niski opór plastyczny aluminium w badanym zakresie temperatur powodował stępienie ostrych krawędzi próbki, co za tym idzie – zafałszowanie otrzymanego wyniku.
W omawianym procesie współczynnik tarcia można wyznaczyć również na podstawie wyprzedzenia. Zjawisko to polega na tym, iż prędkość metalu opuszczającego walce jest wyższa od składowej poziomej prędkości odwodowej walców. Wyprzedzenie zależy od kąta chwytu, średnicy walców oraz współczynnika tarcia. Tak więc znając wyprzedzenie, kąt chwytu oraz średnicę walców można określić współczynnik tarcia w procesie walcowania [108].
Wyprzedzenie w procesie walcowania można opisać następującym równaniem:
(5.59)
gdzie:
S – wyprzedzenie, vh – prędkość pasma, vw – prędkość walców.
Doświadczalnie natomiast wyprzedzenie można wyznaczyć wykonując na obwodzie walca wgłębienie (marker), które podczas walcowania pozostawi na powierzchni pasma ślad w postaci wgłębienia. Odległość między dwoma sąsiednimi wgłębieniami można zatem powiązać zależnością:
( ) (5.60)
gdzie:
Lh – odległość między sąsiednimi wgłębieniami, Lw – podległość wynikająca z obwodu walców,
t – czas potrzebny na wykonanie jednego obrotu przez walec.
Wartość współczynnika tarcia obliczono z wykorzystaniem trzech wzorów analitycznych: Simsa, Ekelunda oraz Blanda i Forda.
97 Wzór Simsa pozwala na obliczenie współczynnika tarcia (μ) poprzez powiązanie go z wyprzedzeniem (S), gniotem względnym (r=Δh/h0), promieniem walców (R’) oraz grubością końcową walcowanego pasma (h1) [116].
√ * √ ( *+ (5.61) gdzie: √ (5.62)
Wzór Ekelunda określa współczynnik tarcia jako zależność kąta chwytu (α), promienia walców (R) oraz grubości końcowej walcowanego pasma (h1) w sposób następujący [116]:
( )
√ (5.63)
Bland i Ford użyli podobnych danych, w celu opisania zależności współczynnika tarcia jako [116]:
√ ( ) √ (5.64)
Otrzymaną wartość współczynnika tarcia wykorzystano podczas obliczeń sił nacisku metalu na krystalizatory w trakcie walcowania na gorąco oraz odlewania w linii TRC.
Opór plastyczny materiału w kotlinie procesu TRC
Jak wynika z poprzednich rozważań teoretycznych, podczas procesu ciągłego odlewania i walcowania metodą Twin Roll Casting, w kotlinie procesu następuje zmiana takich parametrów jak temperatura, prędkość odkształcenia oraz tym samym opór plastyczny odlewanego materiału. W związku z tym należało wyznaczyć zastępczy opór plastyczny, będący funkcją zarówno temperatury jak i prędkości odkształcenia. W tym celu posłużono się zależnością, którą w swej pracy zaproponowali Altan, Bougler oraz Semiatin [122,123]:
̇ (5.65)
98 έ – prędkość odkształcenia,
C – współczynnik równania, m – wykładnik równania.
Dokładne równanie zostało uzyskane na podstawie danych materiałowych otrzymanych podczas próby jednoosiowego rozciągania aluminium, której procedurę opisano w rozdziale 6.3.2, a wyniki w rozdziale 7.2. Zaproponowaną zależność można było określić również na podstawie danych otrzymanych w próbie ściskania, jednak w tym przypadku duży wpływ na własności ma tarcie, sztywność maszyny, a dokładność pomiaru przemieszczenia trawersy maszyny jest zdecydowanie mniejsza.
Na podstawie krzywych rozciągania otrzymanych w wyniku realizacji badań opisanych w rozdziale 7.2.2. dokonano również opisu oporu plastycznego materiału w temperaturze poniżej 300°C, a więc w tych przypadkach, w których obserwuje się wyraźne umocnienie odkształceniowe materiału.
Wykorzystano do tego celu równanie krzywych umocnienia zaproponowane przez Hollomona [124,125,137]: (5.66) gdzie: ε – odkształcenie rzeczywiste, C – współczynnik równania, n – wykładnik umocnienia.
Średni nacisk jednostkowy i siła walcowania
Kolejnym etapem algorytmu było obliczenie wartości średniego nacisku jednostkowego w procesie TRC dla założonych wielkości odkształcenia.
Istnieje szereg metod obliczania nacisków walców podczas walcowania. W większości bazują one na teorii Karmana, którą to zaproponował w 1925 r [108].
Pierwszym z nich jest wzór na nacisk zaproponowany przez Celikowa, który ma następującą postać [110,126]: ( )( * (( * + (5.67) gdzie: (5.68) √ (5.69)
99 √ (5.70) ( √( ( ) ( *) ) (5.71) (5.72)
A – rzut powierzchni styku, ld – rzut łuku styku,
Δh – gniot bezwzględny, D – średnica walców, μ – współczynnik tarcia,
hp – wysokość w płaszczyźnie podziałowej, ζpl – opór plastyczny materiału.
Dla procesu walcowania na gorąco Ekelund wyprowadził następujący wzór opisujący nacisk walców [110,126]: ( √ ( ) ( ) + ( √ ) (5.73) gdzie: η – ciągliwość metalu,
vśr – średnia prędkość walcowania.
Kolejną zależnością pozwalającą na określenie nacisku walców jest metoda przybliżona zaproponowana przez Orowana wraz ze współpracą z Pascoe. Należy jednak zaznaczyć, iż wyniki bliskie rzeczywistości można otrzymać w przypadku, gdy współczynnik tarcia jest większy od 0,4, wyniki są średnio dokładne dla współczynnika tarcia z zakresu 0,3-0,4 i wreszcie mało dokładne dla μ=0,2-0,3. Zaproponowana przez wspomnianych autorów zależność opisana została następująco [110]:
(
100 Nacisk walców można również określić dzięki znajomości bezpośrednich zależności odpisujących średni nacisk jednostkowy. Pierwszym z nich jest wzór zaproponowany przez Robertsa [127,128]: (5.75) gdzie: (5.76)
Zależność na średni nacisk jednostkowy została również zaproponowana przez Avitzura/Stone’a [129,130]. Stone opisał tę zależność jako:
√ (5.77)
Avitzur wprowadził natomiast wpływ naciągu oraz przeciwciągu, przekształcając niniejszą zależność do postaci: √ ( √ , (5.78)
Podczas obliczeń wykorzystujących parametry siłowe zarejestrowane w procesie walcowania na gorąco można skorzystać ze znanej zależności na średni nacisk jednostkowy, rozumiany jako stosunek siły (F) nacisku materiału na walce do powierzchni (A) na którą siła działa (w przypadku weryfikacji algorytmu z rzeczywistymi parametrami siłowymi otrzymanymi podczas walcowania na gorąco).
(5.79)
Siłę nacisku metalu na krystalizatory w kotlinie procesu TRC obliczono z tej samej zależności, jednak w tym przypadku skorzystano z metody odwrotnej – znając średni nacisk jednostkowy obliczona została siła walcowania, którą to zestawiono z rzeczywistymi wartościami sił nacisku metalu na krystalizatory zarejestrowanymi podczas procesu TRC.
Zestawienie wartości otrzymanych sił w funkcji długości kotliny walcowniczej ld
101