Model zmienności przestrzennej

Koncepcja matematycznego modelu, stanowiącego podstawę two-rzenia zaprezentowanych rozkładów przestrzennych temperatury powietrza, została opracowana w ramach wspomnianego projektu badawczego MNiSW nr N N306 155038, a jego podstawy metodyczne przedstawiono w szeregu publikacji (Szymanowski, Kryza, 2009a, b, 2010, 2011a, b, c, 2012a, b). Mo-del oparty jest na systemie decyzyjnym, pozwalającym na dokonanie wyboru metody optymalnej dla każdego indywidualnego przypadku analizowanego elementu klimatu. Rozwiązanie takie wprowadzono bazując na stwierdze-niach zawartych w raporcie końcowym projektu COST 719, w którym pod-kreślono, iż: „nie ma jednej uniwersalnej metody, która mogłaby być apliko-wana do każdego zestawu danych” (COST Action 719 Final Report, 2008).

Porównywanie wyników interpolacji dla każdego przypadku, wykonanych za pomocą wielu metod, przy ogromie możliwości parametryzacji każdej z nich, jest praktycznie niewykonalne. W związku z tym zadecydowano o ograniczeniu liczby testowanych metod, bazując na teoretycznych podsta-wach procesów przestrzennych ujętych w: pierwszym prawie geografii To-blera, teorii zmiennej zregionalizowanej i systemie wyboru najlepszego nie-obciążonego liniowego predyktora (BLUP – best linear unbiased predictor), zaproponowanym przez Hengla (2007).

Z analitycznego punktu widzenia można przyjąć, że temperatura po-wietrza podlega zależnościom i interakcjom przestrzennym, które wyraża tzw. pierwsze prawo geografii (First Law of Geography), sformułowane przez Waldo Toblera (1970). Prawo to podkreśla podobieństwo cech obiek-tów położonych blisko siebie, malejące wraz z odległością pomiędzy nimi.

Wyrazem tak pojmowanych relacji przestrzennych jest dodatnia autokorela-cja przestrzenna, która stanowi podstawę efektywnego stosowania geostaty-stycznych, krigingowych technik modelowania. Z dużym prawdopodobień-stwem można przyjąć, że właściwość opisana prawem Toblera będzie cha-rakteryzować procesy przestrzenne decydujące o rozkładzie temperatury po-wietrza.

Drugą istotną cechą temperatury powietrza jest jej zależność prze-strzenna od innych czynników, które w procedurze modelowania reprezen-towane są przez środowiskowe zmienne objaśniające. Jeśli potwierdzona zostaje w danym przypadku istotna statystycznie korelacja temperatury z jedną lub większą liczbą zmiennych środowiskowych, to można przyjąć, iż metody wielowymiarowe dadzą lepsze rezultaty modelowania od jedno-wymiarowych. Wskazują na to jednoznacznie prace podsumowane w roz-dziale 3.

W analizie przestrzennej temperatura powietrza może być traktowana jako zmienna zregionalizowana, której koncepcja została zaproponowana przez Matherona (1963, 1971) dla podkreślenia pośrednich właściwości po-między zmiennymi losowymi i zmiennymi deterministycznymi. Matheron, w swojej teorii, podkreśla aspekt strukturalny i losowy zmiennej zregionali-zowanej. Koncepcja ta wyraźnie odróżnia się od podejścia klasycznych me-tod, łącznie z analizą trendów, w których struktura opisywana jest

wyraże-niem deterministycznym, a cała losowość jest zawarta w wyrażeniu błędu (Namysłowska-Wilczyńska, 2006). Zmienne zregionalizowane można uznać za klasę zmiennych losowych, które składają się z komponentów: struktural-nego, lokalnego i przypadkowego (Suchecki, 2010):

( ) ( ) ( )

gdzie:

( ) – składnik strukturalny, odzwierciedlający tendencję wielkoskalową (trend, dryft) – losowe zmiany długozasięgowe, które można modelować w sposób deterministyczny; składnik ten charakteryzuje się przestrzenną autokorelacją, wynikającą z przestrzennej ciągłości zjawiska (Zawadzki, 2011),

( ) – lokalny składnik losowy, wyrażający przestrzennie skorelowane od-chylenia od powierzchni trendu reprezentowanego przez komponent ( ); składnik ten jest zmienną losową o określonym, lokalnym rozkła-dzie prawdopodobieństwa i może być modelowany jedynie w sposób sto-chastyczny,

– składnik czysto losowy (błąd przypadkowy, szum), w którym zawarte są niezależne od lokalizacji efekty czynników niezidentyfikowanych, np.

błędy pomiarowe; odchylenia te nie są przestrzennie skorelowane.

Model opisany powyższym równaniem został nazwany przez Mathe-rona (1969) uniwersalnym modelem zmienności przestrzennej, w którym komponenty deterministyczny ( ̂( )) i stochastyczny (reszty modelu de-terministycznego – ̂( )) zmienności mogą być modelowane oddzielnie:

̂( ) ̂( ) ̂( )

Komponent deterministyczny modelu uniwersalnego może być wyrażony jako:

̂( ) ∑ ̂

( )

gdzie ̂ to estymowane współczynniki modelu deterministycznego ( ̂ – estymowany wyraz wolny), ( ) – skorelowane zmienne objaśniające.

Składowa stochastyczna modelu, będąca interpolowaną krigingowo resztą części deterministycznej, może być przedstawiona w formie:

̂( ) ∑ ( )

gdzie: to wagi krigingu wyznaczone z przestrzennych zależności reszt czę-ści deterministycznej, a ( ) – reszta w położeniu . Pełen model zmienno-ści przestrzennej może być zatem wyrażony jako:

̂( ) ̂( ) ̂( ) ∑ ̂

( ) ∑ ( )

Model ten, nazywany krigingiem resztowym (RK), jest uważany za generyczną postać modelu danych przestrzennych o charakterystyce BLUP – najefektywniejszego (o najmniejszej wariancji), liniowego, nieob-ciążonego predyktora (Stein, 1999). W rzeczywistości, inne podstawowe me-tody, jak regresja środowiskowa, kriging zwyczajny czy nawet metoda wa-żonej odwrotnej odległości mogą być uważane za jego specjalne przypadki,

gdyż struktura modelu sugeruje trzy możliwe warianty: czysty model regre-syjny, czysty kriging lub model hybrydowy – kriging resztowy (Hengl, 2007). Która z tych form zostanie wybrana, zależy to w pierwszym rzędzie od korelacji temperatury powietrza ze zmiennymi środowiskowymi. Jeśli jest ona nieistotna statystycznie, to model najprawdopodobniej przybierze formę krigingu zwyczajnego, gdyż część deterministyczna jest równa średniej wiel-kości zmiennej. Jeśli R² jest bardzo wysoki, to reszty regresji są bardzo małe, ale czysty model regresji będzie stosowany jedynie wtedy, gdy reszty regresji nie będą wykazywały przestrzennej autokorelacji. W takim przypadku mamy do czynienia z czystym efektem samorodków, a wagi krigingu dla każdego położenia przyjmują wielkość średniej reszt regresji czyli 0 (estymacja meto-dą najmniejszych kwadratów). W sytuacjach pośrednich zastosowany zosta-nie model RK, tak więc zarówno czysty kriging, jak i czysta regresja mogą być uważane za przypadki specjalne modelu uniwersalnego (Hengl i in., 2007).

Można przyjąć, iż taka koncepcja teoretyczna leżała do tej pory u podstawy wszystkich prac dotyczących modelowania pola temperatury powietrza za pomocą krigingu resztowego (rozdział 3), choć trudno znaleźć w którejkolwiek z nich analizę sprawdzającą autokorelację przestrzenną reszt, dającą podstawę do rozszerzenia modelu deterministycznego o kompo-nent krigingowy. Dodatkowo, w pracach tych przyjmowano, iż proces prze-strzenny ma charakter stacjonarny, co w uproszczeniu oznacza, że te same czynniki wpływają w taki sam sposób i z taką samą siłą na wielkość tempera-tury we wszystkich regionach obszaru badań. Można przypuszczać, że takie założenie w dużej części przypadków nie jest zgodne z przestrzenną „naturą”

temperatury powietrza, mimo, iż procesy fizyczne na ogół uważa się za prze-strzennie stacjonarne w porównaniu na przykład do procesów społecznych.

Przypuszczenie istnienia niestacjonarności w procesie przestrzennym jest

kluczowe z punktu widzenia doboru optymalnej metody interpolacyjnej, jeśli wszystkie podstawowe założenia metodyczne stosowanego algorytmu mają być dochowane. W ścisłym znaczeniu pojęcie stacjonarności odnosi się do zmiennych losowych i jest rozważane po odjęciu od zmiennej komponen-tu deterministycznego (trendu, dryfkomponen-tu). Przykładowo, stacjonarność drugiego rzędu oraz rozkład normalny danych są wymaganymi założeniami implemen-tacji krigingu zwyczajnego (Namysłowska-Wilczyńska, 2006). W niniejszym opracowaniu pojęcie stacjonarności jest traktowane nieco szerzej – jako ce-cha procesu, która skutkuje zmiennymi lokalnie relacjami przestrzennymi (Fotheringham i in., 2002). Podstawowym problemem z punktu widzenia wyboru metody modelowania jest to, że stacjonarności nie można traktować jako właściwości danych obserwacyjnych. Jest to właściwość modelu funkcji losowej ( ), w związku z czym stacjonarności nie można utożsamiać z jed-norodnością populacji danych i nie może ona być testowana na ich podsta-wie. W przypadku zagadnienia predykcji przestrzennej, decyzja o uznaniu procesu za stacjonarny lub nie, może być podjęta poprzez ocenę rezultatów modelowania – precyzji oszacowania (Lloyd, 2007). Dotychczasowe zasto-sowania krigingu resztowego bazowały na wykorzystaniu w części determi-nistycznej globalnego modelu regresji, najczęściej wieloczynnikowej regresji liniowej, MLR. W celu rozwiązania problemu potencjalnej niestacjonarności procesu, uwzględniono w systemie selekcji optymalnego predyktora lokalną odmianę regresji wieloczynnikowej, jaką jest regresja ważona geograficznie (GWR – geographically weighted regression; Fotheringham i in., 2002).

W tej metodzie, warunkowana niestacjonarnością procesu heterogeniczność danych, jest uwzględniona w modelu poprzez założenie zmienności prze-strzennej parametrów regresji. GWR jest de facto sekwencją lokalnie dopa-sowywanych, liniowych modeli regresji z dodatkowym uwzględnieniem

re-lacji odległościowych (schematów ważenia), wyrażających spadające z odle-głością podobieństwo atrybutu (prawo Toblera).

Model liniowej regresji wieloczynnikowej (MLR) w lokalizacji dla n obserwacji i p zmiennych objaśniających można przedstawić w po-staci:

( ) ∑

( ) ( )

gdzie: to zmienna objaśniana (zależna), ..., to zmienne objaśniają-ce, ..., – parametry modelu (współczynniki regresji), a to składnik losowy.

Zbiór potencjalnych predyktorów w opracowaniu obejmował 3 gru-py, łącznie 11 podstawowych zmiennych środowiskowych, z których część przygotowana była w kilku wariantach, uwzględniających relacje odległo-ściowe i wielkość sąsiedztwa filtrowania (rozdział 2). Zmienne X, Y, SDI i SLP występowały w jednym wariancie, DEM w czterech (oryginalny o roz-dzielczości 250 m i trzy wersje uśredniane w ruchomym oknie), CCI, IT, AS i NS w trzech, a FI w sześciu odmianach dla danej zmiennej temperatury powietrza. Dodatkowo, na poziomach agregacji 4 (średnia miesięczna) i 5 (średnia dobowa) dochodziła jednowariantowa zmienna NDVI. W sumie zbiór potencjalnych predyktorów dla każdej zmiennej temperatury powietrza wynosił 26, a na poziomach 4 i 5 – 27. Do finalnego modelu weszła jedynie część zmiennych w związku z nałożeniem kilku ograniczeń metodycznych:

 w związku z oczekiwaną współliniowością części zmiennych, np. warian-tów podstawowej zmiennej, wprowadzono ograniczenie za pomocą współczynnika inflacji wariancji (VIF), który pozwala ocenić stopień za-kłócenia wyników estymacji, wynikający z występowania w modelu

zmiennych objaśniających mocno skorelowanych między sobą. Wielkość współczynnika dopuszczającą wejście zmiennej do modelu określono na VIF  10.

 zmienna wchodząca do modelu powinna być statystycznie istotna na po-ziomie ufności 95% (p < 0,05). W szczególnych przypadkach, pozwa-lających na istotne poprawienie całego modelu, dopuszczano zmienne o p < 0,1.

 założono, że ogólna liczba zmiennych objaśniających wchodzących do modelu nie powinna przekraczać ośmiu. Ograniczenie to nie było spo-wodowane przez wymogi modelu MLR (przy liczbie obserwacji n = 250 dla każdej zmiennej temperatury), ale modelu lokalnego GWR, budowa-nego w oparciu o te same zmienne objaśniające – szersze wyjaśnienie tego założenia poniżej.

 założono podejście czysto deterministyczne do modelu, co oznacza pełną zgodność wyjaśnianego regresyjnie procesu ze znanymi prawami fizyki i relacjami środowiskowymi, nawet kosztem najlepszego dopasowania sta-tystycznego. W założeniu tym parametry regresji ( ̂) powinny mieć znak (zwrot) zgodny z zakładaną korelacją zmiennej objaśniającej z temperatu-rą powietrza.

W celu specyfikacji modelu MLR wykorzystano procedurę pomocni-czą budowy modelu regresyjnego – regresję krokową postępującą (np. Sta-nisz, 2007). Zakłada ona kolejne, krokowe dołączanie do listy zmiennych uwzględnionych w modelu tych zmiennych, które mają najistotniejszy wpływ na zmienną zależną, aż do uzyskania „najlepszego” modelu. Model kształtowany w procedurze regresji krokowej był analizowany w każdym kroku i w razie konieczności korygowany tak, aby opisane powyżej założenia były dotrzymane.

Największe zastrzeżenia odnośnie modelu MLR w kontekście danych przestrzennych budzi fakt, iż położenie punktów w przestrzeni geograficznej jest tu ignorowane, zarówno podczas kalibracji modelu, jak i predykcji.

W konsekwencji, ignorowane są także możliwe ważne zróżnicowania lokal-ne, decydujące o niestacjonarności procesu oraz nie jest uwzględniana, zmie-niająca się z odległością, wielkość korelacji predyktora ze zmienną estymo-waną w danym położeniu. Czynniki te uwzględniono w modelu regresji wa-żonej geograficznie, GWR, którego koncepcja została opracowana i rozwi-nięta przez C. Brunsdona, M. Charltona i A.S. Fotheringhama (m.in. Bruns-don i in., 1996, 1998, 1999; Fotheringham i in., 1998, 2002).

Model GWR w lokalizacji dla n obserwacji i p zmiennych obja-śniających jest rozszerzeniem modelu MLR i przybiera postać:

( ) ∑

( ) ( ) ( )

gdzie ( ) oznacza realizację ciągłej funkcji ( ) w położeniu , a więc parametry regresji nie są wyznaczone jednoznacznie dla całej dziedziny prze-strzennej, ale zmieniają się w zależności od lokalizacji. Oznacza to, że przy założeniu niezmiennych wielkości parametrów w przestrzeni model MLR może być uważany za szczególny przypadek modelu GWR (Suchecki, 2010).

Estymacja parametrów regresji odbywa się lokalnie z zastosowaniem metody ważonych najmniejszych kwadratów. Schematy ważenia w rucho-mych oknach GWR konstruowane są w taki sposób, aby waga spadała wraz z odległością punktu estymacji od punktu obserwacji (pomiaru temperatury).

Wykorzystywane są dwa podstawowe schematy ważenia: stały (fixed ker-nels) i adaptacyjny (adaptive kerker-nels). Stała wielkość macierzy wag

stosowa-na jest z reguły przy równomiernym rozmieszczeniu punktów w przestrzeni i definiowana maksymalną odległością punktów danych od punktu regresji, na podstawie których określany jest model lokalny. W przypadku nieregular-nej sieci punktów jej użycie skutkowałoby dużą wariancją lokalnych estyma-torów (przy małej gęstości punktów) lub zamaskowaniem lokalnej zmienno-ści interpolowanego elementu (przy dużej gęstozmienno-ści). Macierz o zmiennej wielkości dopasowuje się do przestrzennego rozmieszczenia punktów danych pomiarowych. Definiuje się ją liczbą punktów każdorazowo służących do kalibracji lokalnego modelu, co w rzeczywistości oznacza odległość od punktu estymacji do najbardziej odległego punktu lokalnego sąsiedztwa.

Tę stałą lub zmienną, w zależności od przyjętego schematu, odległość określa się jako wielkość (zasięg) okna (bandwidth).

W specyfikacji GWR wprowadzano do modelu dokładnie te same zmienne objaśniające, co do MLR dla danego przypadku temperatury powie-trza. Ze względu na zmienną gęstość rozmieszczenia punktów danych obser-wacyjnych, zdecydowano o zastosowaniu adaptacyjnego schematu ważenia, z funkcją wagową drugiego stopnia (bi-square). Wielkość okna, choć nie jest parametrem GWR, ale jest także uwzględniana w strategii kalibracyjnej mo-delu. Dobór wielkości okna może być przeprowadzony na podstawie obiek-tywnych kryteriów (np. minimalizacja kryterium informacyjnego Akaike – AIC) lub przyjętych założeń, co do ogólnej koncepcji modelu. Ze względu na znaną właściwość GWR, nazywaną kompromisem wariancji i obciążenia (Fotheringham i in., 2002), która objawia się tym, iż wraz ze zmniejszaniem rozmiaru okna rośnie ogólny poziom dopasowania, ale powiększa się prze-strzenne zróżnicowanie estymowanych parametrów regresji oraz ich błąd, zdecydowano, że wielkość okna powinna być jak najmniejsza, ale taka, dla której w całej domenie przestrzennej nie jest obserwowana zmiana znaku żadnego parametru regresji (utrata możliwości interpretacji fizycznych

zależ-ności). Dodatkowo, ze względu na ogólne założenia regresji, według których liczba danych powinna być znacznie większa od liczby zmiennych niezależ-nych, przyjęto, że przy dobieranych maksymalnie ośmiu zmienniezależ-nych, wiel-kość adaptacyjnej macierzy sąsiedztwa nie powinna być mniejsza niż 25 punktów.

Decyzja, który model regresji zostanie wybrany dla przybliżenia de-terministycznej części modelu uniwersalnego, powinna zostać podjęta na podstawie odpowiedzi na pytanie o możliwość założenia stacjonarności procesu przestrzennego. Zgodnie z wcześniejszymi uwagami, odpowiedź ta może być w praktyce udzielona jedynie na podstawie poziomu dopasowania modelu do danych obserwacyjnych, co przeprowadzono na podstawie miar dopasowania modelu, takich jak: suma kwadratów reszt, błąd standardowy estymacji, skorygowany współczynnik determinacji, skorygowane kryterium informacyjne Akaike (AICc) oraz na podstawie analizy wariancji (ANOVA) dla reszt modelu regresji. Za pomocą ANOVA sprawdzono, czy poprawa dopasowania modelu, wyrażająca się zmniejszeniem sumy kwadratów reszt modelu jest istotna statystycznie (Szymanowski, Kryza, 2012a).

Ogólne założenia krigingu resztowego, jako uniwersalnego modelu zmienności przestrzennej, zostały przedstawione na początku rozdziału.

Technika ta jest procedurą dwuetapową, w której, po wyjaśnieniu metodą regresji komponentu deterministycznego, reszty regresji, przy spełnieniu określonych założeń, są modelowane za pomocą krigingu zwyczajnego.

W niniejszym opracowaniu kriging resztowy (RK) jest zastosowany w dwóch wariantach. W pierwszym, część deterministyczna modelowana jest za pomocą globalnego modelu liniowej regresji wielokrotnej (MLR) – ten model krigingu resztowego został oznaczony jako MLRK. W drugim przy-padku, komponent deterministyczny jest modelowany za pomocą lokalnego modelu regresji ważonej geograficznie (GWR). Ten wariant krigingu

reszto-wego został oznaczony akronimem GWRK (geographically weighted re-gression kriging) i może być zapisany jako:

̂( ) ∑ ̂ ( )

( ) ∑ ( )

gdzie ( ) oznacza realizację ciągłej funkcji ( ) w położeniu , ( ) – skorelowane zmienne objaśniające, – wagi krigingu wyznaczone z przestrzennych zależności reszt części deterministycznej, ( ) – reszta w położeniu . Koncepcja i nazwa metody z akronimem GWRK była autor-ską propozycją, przedstawioną w publikacjach związanych z realizacją pro-jektu badawczego (Szymanowski, Kryza, 2009b, 2010, 2011abc, 2012ab).

W roku 2010, ukazała się publikacja Harrisa et al. (2010), której współauto-rami byli jedni z głównych twórców metody GWR – Stewart Fotheringham i Martin Charlton. W opracowaniu tym, dla krigingu resztowego opartego na modelu regresji GWR, przyjęto także, w sposób niezależny, nazwę GWR-kriging z akronimem GWRK.

Rozszerzenie modelu o komponent geostatystyczny nie jest procedu-rą następującą automatycznie po specyfikacji równania regresji. Ma ona sens jedynie, gdy stwierdzona zostanie przestrzenna autokorelacja reszt części deterministycznej. W przeciwnym razie, przy braku autokorelacji, wariogram przyjmuje formę czystego efektu samorodków, a co za tym idzie, predykcja w każdym punkcie obszaru badań jest równa średniej z reszt regresji, która z założenia w modelu MLR jest równa zero. W modelu GWR, który nie spełnia kryterium nieobciążoności, średnia reszt jest różna, ale na tyle bliska zera (Fotheringham i in., 2002), iż można przyjąć, że modyfikacja predykcji przez kriging reszt jest zaniedbywalna przy braku autokorelacji.

Autokorelacja przestrzenna jest matematycznym wyrazem relacji przestrzennych opisanych pierwszym prawem geografii Toblera (1970), czyli malejącego podobieństwa cech obiektów geograficznych wraz z rosnącą od-ległością pomiędzy nimi. Opisuje ona stopień skorelowania wartości zmien-nej w dazmien-nej lokalizacji z wartością tej samej zmienzmien-nej w inzmien-nej lokalizacji, co oznacza, iż wartości badanej zmiennej determinują i jednocześnie są de-terminowane przez realizacje tej zmiennej w innych położeniach. Konse-kwencją takich zależności jest przestrzenne skupianie się wartości podob-nych, co określamy mianem autokorelacji dodatniej. Decyzję o istnieniu au-tokorelacji dodatniej podejmowano na podstawie statystyki I Morana (Mo-ran, 1950), przy założeniu jej istotności statystycznej na poziomie p < 0,05.

Modelowanie wariogramu dla przypadków reszt regresji z autokore-lacją dodatnią, po szeregu prób, zdecydowano się przeprowadzić techniką manualną. Użycie automatycznych bądź półautomatycznych procedur opty-malizacji parametrów wariogramu było nieskuteczne w wielu przypadkach, w związku z występowaniem braku struktury lub wręcz zmniejszaniem się semiwariancji dla początkowych klas odstępu. W przypadku temperatury powietrza tendencja ta wydaje się naturalna dla obszarów górskich, gdzie w niewielkich odległościach (metryka euklidesowa) położone są stacje o znacznie odmiennych wielkościach temperatury. Model deterministyczny, estymowany metodą najmniejszych kwadratów, może nie być wystarczająco efektywny w takich przypadkach, w związku z czym możliwe jest wystąpie-nie reszt o przeciwnych znakach i dużych wielkościach bezwzględnych w bliskim sąsiedztwie. Wariogram empiryczny w większości analizowanych przypadków modelowany był za pomocą funkcji eksponencjalnej, rzadziej sferycznej lub gaussowskiej, z uwzględnieniem struktury efektu samorod-ków.

Reasumując powyższe rozważania można stwierdzić, iż procedura modelowania temperatury powietrza wymaga odpowiedzi na sekwencję py-tań, do których należy zaliczyć:

 czy zmienna jest istotnie skorelowana ze zmiennymi środowiskowymi, które mogą być wykorzystane jako objaśniające w procedurze modelowa-nia?

 czy zmienna charakteryzuje się autokorelacją wynikającą z ciągłości prze-strzennej i długozasięgowych tendencji?

 czy można założyć, że proces decydujący o zmienności przestrzennej ana-lizowanej zmiennej ma charakter stacjonarny czy też jest niestacjonarny?

 czy składnik losowy charakteryzuje się dodatnią autokorelacją, umożli-wiającą konstrukcję modelu stochastycznego?

Gdyby odpowiedź na pierwsze z pytań była negatywna, to zgodnie z drzewem decyzji Hengla (2007) odpowiedź na drugie pytanie pozwala na wybór optymalnej metody pomiędzy metodą czysto deterministyczną (np.

IDW), a czysto geostatystyczną (OK). Ponieważ w niniejszym opracowaniu dla każdego analizowanego przypadku stwierdzono istotną statystycznie ko-relację ze zmiennymi środowiskowymi, system selekcji został ograniczony do wyboru pomiędzy czterema metodami w zależności od odpowiedzi na dwa ostatnie pytania z sekwencji przedstawionej powyżej (ryc. 1).

Ryc. 1. Schemat decyzji przy wyborze optymalnej metody interpolacji dla zmiennych zdeterminowanych przez czynniki środowiskowe (za: Hengl, 2007, zmodyfikowany)

Fig. 1. Decision tree for selecting a suitable spatial prediction model under assumption of existing environmental correlation (after Hengl, 2007, modified)