Zjawiska fizyczne występujące w silnikach magnetoelektrycznych mają charakter polowy i są wzajemnie sprzężone [42, 154, 224]. Zachodzi potrzeba rozpatrywania zarówno stanów ustalonych i przejściowych. W drugim przypadku pełna analiza zjawisk odbywa się w dziedzinie czasu.
Pod pojęciem modelu rozumiemy matematyczny opis obiektu technicznego oraz odwzorowanie występujących w nim zjawisk fizycznych [188]. Wykorzystując stworzony opis matematyczny można modelować różne stany pracy występujące w urządzeniu. Dla potrzeb projektowania i analizy nowoczesnych silników z magnesami trwałymi o jak najlepszych parametrach funkcjonalnych konieczne jest opracowanie jak najdokładniejszego modelu występujących w nich zjawisk [28, 82, 233]. Wykonując prototyp fizycznego silnika, dla którego model został opracowany istnieje możliwość oceny przydatności modelu w procesie projektowania.
Pierwsze modele matematyczne obiektów technicznych powstawały już w XVIII wieku.
Ich twórcy byli zmuszeni do analitycznego rozwiązywania równań tworzonych modeli [232].
Wyraźny postęp w formułowaniu coraz to dokładniejszych modeli i rozwiązywania równań opisujących te modele nastąpił w XX wieku z chwilą pojawienia się techniki komputerowej.
Symulacja komputerowa to współcześnie najczęściej stosowana metoda modelowania zjawisk fizycznych.
Obecnie w obliczeniach projektowych silników magnetoelektrycznych wykorzystywane są dwie grupy modeli: o parametrach skupionych [17, 137, 159, 160] (modele obwodowe) oraz modele polowe [12, 42, 53, 224]. Zjawiska w silnikach magnetoelektrycznych mają charakter polowy, jednak w praktyce, ze względu na trudności z rozwiązywaniem równań modelu polowego do analizy stanów pracy tych urządzeń nawet współcześnie wykorzystuje się modele obwodowe lub polowo-obwodowe [107, 116, 173, 220, 260]. W modelach o parametrach skupionych zjawiska o naturze polowej rozpatrywane są w sposób uproszczony - poprzez stworzenie tzw. schematu zastępczego. Zazwyczaj modele te nie wymagają dużych nakładów obliczeniowych.
Model polowy jest zintegrowanym modelem elektrodynamicznym [42, 249]. Przy jego wykorzystaniu możliwe jest badanie w dziedzinie czasu funkcji stanu (to jest przebiegów prądów w uzwojeniach, przebiegów SEM, przebiegów prędkości wirnika oraz momentów) opisujących obiekt. Wyznaczenie parametrów funkcjonalnych odbywa się na podstawie rozkładu pola elektromagnetycznego. Powszechnie stosowana jest metoda elementów skończonych (MES). Modele te pozwalają na dokładne odwzorowanie nieliniowych właściwości materiałów ferromagnetycznych. W stanach nieustalonych pod względem
elektromagnetycznym równania pola należy połączyć z równaniami obwodów zewnętrznych – otrzymuje się wówczas tzw. model polowo-obwodowy [116, 107]. Natomiast w analizie stanów nieustalonych pod względem mechanicznym (rozruch) konieczne jest dodatkowo uwzględnienie równania bilansu momentów [104]. Uwzględnia się również zjawisko histerezy występujące w rdzeniach elektromagnetycznych oraz prądy wirowe [221, 227, 230].
Symulacja komputerowa z wykorzystaniem modeli polowych jest dokładniejsza, jednak wymaga nakładu obliczeniowego. Dlatego współcześnie nadal są wykorzystywane modele obwodowe bazujące na schemacie zastępczym.
Proces projektowania silnika często wspomagany jest przez obliczenia optymalizacyjne. Obliczenia te są współcześnie wykonywane zazwyczaj przy wykorzystaniu metod niedeterministycznych. Najczęściej stosowane są algorytmy genetyczne oraz metoda roju cząstek [53, 123, 142, 255]. W metodach tych obliczenia są wykonywane z wykorzystaniem zbioru (pokolenia) osobników (algorytm genetyczny) lub grupy współpracujących z sobą cząstek (metoda roju cząstek). Wykonanie wiarygodnych obliczeń wymaga zastosowania populacji o dużej liczbie osobników lub cząstek. W celu odwzorowania zjawisk naturalnych w procesach adaptacyjnych konieczne jest wykonanie obliczeń dla odpowiednio dużej liczby pokoleń.
Pełen proces optymalizacji wymaga wywołania (tj. obliczenia) funkcji celu wiele tysięcy razy. Zastosowanie modelu polowego (a w szczególności polowo-obwodowego) do obliczenia funkcji celu prowadzi do wielogodzinnych obliczeń optymalizacyjnych [179].
Dlatego na wstępnym etapie optymalizacji uzasadnione jest wykorzystanie modeli uproszczonych – o parametrach skupionych [222].
3.2. Modele obwodowe silników PMSM
Model matematyczny silnika PMSM jest zbliżony do modelu maszyny synchronicznej o wzbudzeniu elektromagnetycznym. W analizie tego typu maszyn najbardziej popularny jest klasyczny model dwuosiowy [11, 19, 135, 213, 224]. Zasilanie maszyny układem napięć trójfazowych umożliwia pracę silnika z kątem obciążenia 90° [118]. Stabilna praca silnika przy takiej wartości kąta powoduje wytworzenie maksymalnego momentu przy danym prądzie. W praktyce oznacza to, że prąd stojana ma składową tylko w osi q (isd 0) [259]. Na rys. 3.1 przedstawiono model fizyczny silnika PMSM z zaznaczeniem osi d i q dla wirnika.
Rys. 3.1. Model silnika PMSM zasilanego z sieci trójfazowej
W przypadku silnika o wzbudzeniu magnetoelektrycznym w opisie matematycznym pomijane są składowe równań uzwojenia wirnika. Równania modelu dwuosiowego mają postać [194, 235]: strumienia skojarzonego, – strumień wytworzony przez magnesy trwałe [135]. m
W analizach dynamicznych stanów pracy równania napięciowe (3.1) należy rozwiązywać łącznie z równaniem momentów [42, 166]:
J t elektromagnetyczny silnika pisuje zależność [224]:
Jeżeli można założyć Lsd Lsq[80] to:
W celu przekształcenia wielkości charakteryzujących nieruchomy stojan maszyny skojarzony z osiami uzwojeń a, b, c do układu osi d, q, 0 związanego z wirującym wirnikiem stosuje się transformację Park’a – Blondel’a [79]:
Omówiony powyżej model matematyczny silnika synchronicznego z magnesami trwałymi jest modelem uproszczonym, nie uwzględnia wielu złożonych zjawisk występujących w tego typu maszynach. W celu zwiększenia przydatności modelu o parametrach skupionych wprowadzane są różne modyfikacje [34, 36, 80, 219]. W pracy [36] w modelu matematycznym uwzględniono kształt krzywej odmagnesowania i pola magnetycznego twornika maszyny. Zależność ta jest szczególnie ważna przy rozpatrywaniu stanów przejściowych. Zastosowanie interdyscyplinarnej metody wariacyjnej umożliwiło przestawienie modelu matematycznego układu napędowego z silnikiem PMSM bez potrzeby dekompozycji zintegrowanego układu elektromechanicznego [27, 36].
Wartości przybliżonych parametrów skupionych maszyn synchronicznych w przypadku dużych obiektów są szacowane na podstawie danych konstrukcyjnych [80]. Takie podejście jest niedokładne i prowadzi do rozbieżności pomiędzy wynikami obliczeń symulacyjnych i wynikami pomiarów. Dlatego stosuję się metody wyznaczania parametrów elektromagnetycznych (indukcyjności, rezystancji, stałych czasowych) dla dwuosiowych modeli przy wykorzystaniu rozkładów dwuwymiarowych pól magnetycznych w przekroju poprzecznym maszyny statycznych i quasi-statycznych [80].
W celu uzyskania wiarygodnych wyników badań symulacyjnych konieczne jest również uwzględnienie w modelu zjawiska nasycenia się obwodu magnetycznego w osiach d i q [34, 219] oraz uwzględnienie wzajemnych oraz własnych sprzężeń pomiędzy umieszczonymi na nich uzwojeniami. Dlatego w tym przypadku parametry schematu zastępczego wyznaczane są na podstawie trójwymiarowych rozkładów pola [118].
3.3. Modele obwodowe silników BLDC
Przy zapisie matematycznym modelu silnika BLDC przyjęto, że w stojanie znajdują się trzy skupione uzwojenia pasmowe. Źródłem pola magnetycznego w wirniku są magnesy
naklejone na jego powierzchni. Strukturę silnika BLDC z komutatorem elektronicznym przedstawiono na rys. 3.2.
Rys. 3.2. Silnik BLDC z komutatorem
Układ równań napięciowych silnika trójpasmowego zapisujemy w postaci:
wytwarzane przez magnesy trwałe skojarzone z uzwojeniami.
Rozkład pola magnetycznego pochodzący od magnesów trwałych zależy od położenia
wirnika. Strumień skojarzony z poszczególnymi skupionymi uzwojeniami wytwarzany przez magnesy trwałe jest zapisywany z wykorzystaniem bezwymiarowej funkcji okresowej
zdefiniowanej w pracy [259]:
pApB pC
T
m
m
120
m
120
(3.8) gdzie – amplituda strumienia „skojarzonego” wytworzonego przez magnesy trwałe [259]. mJeżeli rdzeń stojana jest symetryczny to LAB=LAC=LBA=LBC=LCA=LCB=M [126, 149], wówczas:
W przypadku uzwojenia połączonego w gwiazdę bez przewodu zerowego, równania napięciowe upraszczają się. Równanie dla pasma A przyjmuje postać:
AA
A pAA L M i
(3.10)
a zależność (3.9) można zapisać w następującej zwartej postaci:
pPełny układ równań napięciowych silnika BLDC przyjmuje wówczas postać:
p
i m
pZakładając, że moc elektryczna wydzielona w każdym paśmie zamieniana jest na moc mechaniczną, moment silnika można opisać wyrażeniem [46, 259]:
eAiA eBiB eCiC
T
(3.13)
gdzie e , A e , B e – wartości SEM w poszczególnych pasmach. C
Przedstawiony powyżej model jest najprostszym odwzorowaniem zjawisk fizycznych występujących w silnikach BLDC. Tak sformułowane modele są stosowane do analizy wpływu poszczególnych strategii sterowania na właściwości ruchowe silników [46]. Znajdują również zastosowanie w obliczeniach projektowo-optymalizacyjnych silników do napędu elektrycznego pojazdów [164]. Bardzo często wykorzystywane są przy tworzeniu modeli symulacyjno-komputerowych w programie Matlab [177] oraz podczas rozwiązywania problemów dydaktycznych [10, 148].
Wyznaczenie rozkładu pola w szczelinie silnika BLDC można wykonywać również przy wykorzystaniu modeli analitycznych [129]. Oprócz rozkładu pola w szczelinie, modele te pozwalają na wyznaczanie przebiegów: momentu zaczepowego, sił elektromotorycznych rotacji (SEM) w pasmach oraz strat w rdzeniu. W pracy [129] wykazano, że maksymalne różnice pomiędzy momentem zaczepowym wyznaczonym analitycznie a momentem obliczonym z wykorzystaniem MES są rzędu 7 % .
W modelowaniu maszyn elektrycznych [226], w tym również silników BLDC [242]
często stosowana jest metoda schematów zastępczych. W tym przypadku określa się kontur
przez który przepływa strumień magnetyczny wytworzony przez uzwojenie. Elementami schematu zastępczego są reluktancje reprezentujące poszczególne fragmenty konturu.
3.4. Uproszczona metoda obliczania obwodów z magnesami trwałymi
Przybliżone obliczenia maszyn magnetoelektrycznych, w których magnesy trwałe umieszczone są na powierzchni wirnika mogą być wykonane na podstawie modeli o parametrach skupionych. Ośrodki badawcze zajmujące się projektowaniem i produkcją maszyn magnetoelektrycznych w Polsce dokładność tak wykonanych obliczeń szacują na około 5 % [21].
Postulowana zastępcza długość l magnesu lub magnesów tworzących jedną parę m biegunów (licząc w kierunku namagnesowania) wynika z reluktancji obwodu zewnętrznego – wielkości maksymalnego przepływy rozmagnesowującego. Właściwości materiałów magnetycznie twardych charakteryzuje tzw. krzywa odmagnesowania, tj. krzywa znajdująca się w 2-giej ćwiartce układu współrzędnych H-B, a więc ograniczona punktami
0,Br
oraz
0,Hc
.W celu wyznaczenia punktu pracy magnesu trwałego dogodnie jest opisywać jego stany we układzie współrzędnych: V Hlm oraz B Sm, przy czym S jest powierzchnią m przekroju poprzecznego magnesu. Przy braku zewnętrznego przepływu odmagnesowującego punkt pracy magnesu jest punktem przecięcia charakterystyki odmagnesowani magnesu i zwierciadlanego odbicia charakterystyki magnesowania obwodu zewnętrznego f
V . Natomiast w przypadku występowania zewnętrznego przepływu odmagnesowującego z należy uwzględnić charakterystykę przesuniętą f
Vz
– rys. 3.3.Rys. 3.3. Wyznaczenie punktu pracy magnesu trwałego z zewnętrznym przepływem odmagnesowującym
Główną cześć reluktancji obwodu magnetycznego silnika (zewnętrznego w stosunku do magnesu) stanowi reluktancja R szczeliny głównej o długości . Wykonując wstępne obliczenia można więc założyć liniowość obwodu magnetycznego, a spadki napięć na ferromagnetycznych częściach rdzenia uwzględnić poprzez tzw. współczynniki nasycenia:
Takie podejście sprowadza się do zastąpienia całego magnetowodu części stojanowej (z uwzględnieniem żłobkowania stojana) i części wirnika ekwiwalentną szczeliną o poprzecznym polu powierzchni S Sm i zastępczej długości [38]:
' 2kckns (3.15)
przy czym k – jest tzw. współczynnikiem Cartera, za pomocą którego uwzględnia się c pozorne powiększenie szczeliny wynikające z żłobkowania stojana.
Przyjmując zatem zastępczą, uproszczoną strukturę magnetowodu maszyny jak na rys. 3.4 otrzymuje się dla 0 współrzędne przecięcia charakterystyk, tj. współrzędne
w którym – względna przenikalność materiału magnesu. w
Uwzględniając dodatkowo rozmagnesowujący przepływ zewnętrzny otrzymuje się: z
'
Dzieląc zależności (3.17) i (3.19) przez S otrzymuje się wyrażenia opisujące średnią m indukcję w magnesie:
Na tej podstawie można wstępnie oszacować długość l magnesu gdy postulowana jest m indukcja o wartości B. W przypadku obwodu bez zewnętrznego przepływu:
Zwykle średnia indukcja w szczelinie maszyny wzbudzanej magnesami trwałymi (rys. 3.4) jest w stanie jałowym rzędu 80÷85% indukcji remanentu B [62]. Zatem w przypadku r magnesów neodymowych lm
45
' [171].Uwzględniając typowe wartości współczynnika korekcyjnego kckns 1,151,30 otrzymuje się
9 13
lm .
Rys. 3.4. Ilustracja obwodu magnetycznego z zaznaczoną drogą dla strumienia
3.5. Metody odwzorowywania pętli histerezy
Właściwości magnesów trwałych związane są z zjawiskiem histerezy magnetycznej.
Zjawisko histerezy występuje również w ferromagnetykach miękkich z których wykonane są rdzenie przetworników elektromagnetycznych. W tym przypadku histereza magnetyczna jest
niekorzystna. Zjawisko histerezy powoduje straty w rdzeniu (histerezowe) oraz przyczynia się do odkształcenia przebiegów prądów [221]. W większości prac zjawisko histerezy jest pomijane [62, 119].
W literaturze przedstawiane są różne modele opisujące zjawisko histerezy magnetycznej [24, 32, 123, 128]. Do odwzorowania właściwości magnetycznych materiałów ferromagnetycznych najczęściej jednak wykorzystywane są modele Praisacha oraz Jilesa-Athertona [224, 237].
3.5.1. Model Preisacha
Model Praisacha można przedstawić jako nieskończony zbiór elementarnych operatorów histerezy ˆ [128, 153, 221]. Operator taki jest opisany jako prostokątna pętla histerezy w której symbole oraz określają „górną” oraz „dolną” wartość natężenia pola przy których następuje zmiana stanu wyjścia operatora [221]. Przykład takiej pętli histerezy przedstawiono na rys. 3.5. Elementarny operator ˆ może przyjmować dwie wartości: +1 oraz – 1. Jeżeli sygnał wejściowy jest monotonicznie rosnący wówczas wartość sygnału wyjściowego zmienia dla wartości na wartość +1, natomiast jeżeli wartość natężenia pola magnetycznego jest monotonicznie malejąca wartość operatora ˆ zmienia się na – 1 w punkcie .
Wartość wyjściową elementarnego operatora jest mnożona przez funkcję wagi
,
nazywaną również funkcją Preisacha [221]. Model można opisać za pomocą wzoru:
d ˆ d
, H t t
B (3.23)
Rys. 3.5. Przykład elementarnego operatora histerezy
Model histerezy magnetycznej sformułowany przez Preisacha można przedstawić jako grupę równolegle połączonych dwustanowych przekaźników (rys. 3.6) [128]. Sygnał wyjściowy każdego z tych przekaźników jest dodatkowo mnożony przez funkcje
,
zależną od każdej pary wartości oraz .
Rys. 3.6. Ideowy schemat blokowy modelu Preisacha
Model Praisacha pozwala na relatywne dokładne odwzorowanie pętli histerezy jest jednak kłopotliwy w zastosowaniu przede wszystkim z uwagi na trudności w identyfikowaniu parametrów oraz [221].
Przy modelowaniu histerezy magnetycznej w elementach ferromagnetycznych za pomocą przedstawionego wyżej klasycznego modelu Preisacha sygnałem wejściowym jest natężenie pola magnetycznego, a sygnałem wyjściowym indukcja magnetyczna. W procesie wyznaczania rozkładu pola metodą elementów skończonych znana jest wartość indukcji magnetycznej B, wówczas odpowiadające jej natężenie pola H należy wyznaczać iteracyjnie. Znacznie wygodniej jest stosować w takich przypadkach model odwrotny Praisacha [20]. W modelu odwrotnym sygnałem wejściowym jest indukcja B, a sygnałem wyjściowym natężenia pola magnetycznego H.
3.5.2. Model Jilesa-Athertona
Model opracowany przez D. Jilesa i D. Athertona jest pełnym fizykalnym makroskopowym modelem opisującym histerezę magnetyczną [89]. Zastosowanie tego modelu pozwala odwzorować wektor namagnesowania oraz ferromagnetyczne straty materiału ferromagnetycznego.
W modelu zakłada się, że energia dostarczona do ferromagnetyka jest równa sumie energii magnetostatycznej oraz energii strat histerezowych. Straty histerezowe są reprezentowane przez energię wiązania ścian domen podczas ich ruchu. Jeżeli w materiale nie występowałyby straty histerezowe to energia magnetostatyczna jest równa całkowitej energii
dostarczonej. Jeżeli występują straty, to zakłada się, że magnetyzacja H wewnątrz materiału i pochodzi od dwóch czynników reprezentujących procesy odwracalne i nieodwracalne zachodzące podczas magnesowania ferromagnetyka [221, 223]:
nieodw
odw i
i
i H H
H (3.24)
W powyższym równaniu nieodwracalne procesy przy magnesowaniu opisane są równaniem różniczkowym [89, 90, 91]:
)
przy czym bezhisterezowa krzywa magnesowania [8, 92]:
gdzie: k – współczynnik zakotwiczenia ścian domen proporcjonalny do strat histerezowych,
– średni parametr pola reprezentujący oddziaływanie między domenami, a – współczynnik kształtu, Hinas – magnetyzacja nasycenia.
Procesy odwracalne wewnątrz materiału określa się jako:
bezh nieodw
odw i i
i cH H
H (3.28)
gdzie c – współczynnik zależny od rodzaju materiału.
Po podstawieniu (3.28) do (3.24) całkowitą magnetyzację wewnątrz materiału opisuje zależność: