Optymalizacja silników BLDC na podstawie polowo-obwodowego modelu zjawisk elektromagnetycznych

7.1. Wprowadzenie

Pierwsze prototypy bezszczotkowych silników prądu stałego (BLDC) powstawały już w latach 50-tych XX wieku. Istotny wzrost znaczenia silników BLDC nastąpił dopiero w latach 80-tych, kiedy rozpoczęto produkcję trójskładnikowych magnesów z pierwiastków ziem rzadkich – rozdz. 2. Jednak pomimo wysokiej niezawodności i trwałości, koszty układów elektronicznych były wciąż bardzo wysokie, co znacznie zwiększało cenę napędów z silnikami typu BLDC. Dlatego z powodów ekonomicznych silniki te były jeszcze przez pewien czas mniej konkurencyjne w porównaniu z klasycznymi silnikami komutatorowymi.

Dopiero spadek cen elementów elektronicznych (tranzystorów MOSFET) wywołał dynamiczny rozwój konstrukcji tego typu maszyn. Dzięki postępom technologicznym w tych dwóch dziedzinach, silniki BLDC są współcześnie bardziej konkurencyjne pod względem parametrów i kosztów w porównaniu z silnikami komutatorowymi.

Silniki BLDC nie posiadają komutatora mechanicznego i układu szczotek, należą do grupy maszyn o komutacji elektronicznej. Ze względu na wykorzystywanie układów zasilających o prostej strukturze oraz stosowanie tańszych konstrukcji stojana z „wydatnymi zębami” (biegunami) i nawiniętymi na nich uzwojeniami skupionymi, w silnikach typu BLDC uzyskuje się przebiegi sił elektromotorycznych w kształcie trapezu.

Uzwojenia stojana mogą być łączone zarówno w układzie trójkąta jak też gwiazdy, jednak ze względu na łatwość sterowania bardziej popularna jest druga konfiguracja. Kolejność załączenia uzwojeń zależy od położenia wirnika, które musi być stale kontrolowane.

Położenie wirnika można określać za pomocą układu czujników Halla lub metodami bezczujnikowymi – rozdz. 2.

Silniki BLDC posiadają wiele zalet: wysoką sprawność, duży stosunek momentu do masy, wysoką trwałość, liniową charakterystykę mechaniczną, możliwość precyzyjnej regulacji obrotów [136, 249]. Podstawową wadą silników bezszczotkowych w porównaniu do maszyn komutatorowych są pulsacje momentu elektromagnetycznego. Pulsacje te są źródłem dodatkowych strat mocy, hałasu oraz wibracji [49, 74]. Ważnym zagadnieniem w projektowaniu silników BLDC jest minimalizacja tych pulsacji, które niekorzystnie wpływają na pracę całego układu napędowego. Zagadnienie to jest przedmiotem dalszej części tego rozdziału.

Pulsacje momentu są generowane przez dwa składniki: moment zaczepowy i moment tętniący [140]. Źródłem momentu zaczepowego są interakcje pola magnetycznego wytworzonego przez magnesy trwałe z uzębionym stojanem. W silnikach BLDC

częstotliwość zmian reluktancji w obszarze sąsiadującym z magnesem jest związana z podziałką biegunową, a nie żłobkową. Moment zaczepowy jest funkcją posiadającą w obszarze podziałki biegunowej jedno lub co najwyżej dwa ekstrema. Jest więc parametrem znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości magnesu. Dodatkowo, wypadkową składową okresową wynikającą z momentu zaczepowego, to jest składową generowaną na całym obwodzie wirnika można znacząco zmniejszyć stosując różne liczby biegunów stojana i biegunów wirnika [75, 110, 208], składniki pochodzące od pojedynczych magnesów przy odpowiednim doborze tych parametrów kompensują się.

W rozpatrywanych konstrukcjach zdecydowanie większe znaczenie ma tzw. moment tętniący [49]. Przyczyną występowania momentu tętniącego jest sposób sterowania silnikiem BLDC – za pomocą sekwencji impulsów prądowych, najlepiej prostokątnych. W celu uzyskania impulsów o kształcie prostokątnym konieczne jest formowanie kształtu impulsów napięciowych, a mianowicie ich silne forsowanie podczas załączania uzwojeń i zmiana polaryzacji przy ich odłączeniu (w celu szybkiego „wygaszenia” impulsu prądowego w fazie wyłączanej) – rozdz. 4.2. W przypadku stosowania bipolarnych układów sterowania formowanie kształtu impulsów napięciowych jest mocno utrudnione; dlatego pulsacje momentu muszą być minimalizowane już na etapie projektowania silnika.

Ważnym zatem zagadnieniem w procesie optymalnego projektowania silników BLDC jest minimalizacja pulsacji momentu. Przeprowadzone testy wykazały, że moment zaczepowy w przypadku silników BLDC jest parametrem znacznie mniej czułym na zmiany rozpiętości magnesu niż w silnikach PMSM. Zatem w tym przypadku dekompozycja zadania nie jest konieczna; moment użyteczny (składowa stała) i moment zaczepowy (składowa okresowa) mogą być uwzględniane jednocześnie w tej samej funkcji kompromisowej. Dlatego w zagadnieniach dotyczących optymalizacji maszyn komutowanych elektronicznie często przyjmowane są funkcję celu w których moment użyteczny jest maksymalizowany, zaś pulsacje (składowa okresowa) są minimalizowane [102, 141, 179, 200].

Minimalizację momentu tętniącego można uzyskać przez zastosowanie odpowiedniego układu sterowania lub przez zwiększenie liczby pasm w stojanie – rozdz. 2. Na etapie projektowania, minimalizację momentu pulsującego uzyskuje się przez przyjęcie odpowiednich parametrów obwodu magnetycznego [142, 159, 245, 253]. W niniejszej pracy badano wpływ wymiarów układu wzbudzenia (rozpiętość kątowa i wysokość magnesu oraz długość szczeliny powietrznej) na średnią wartość momentu i współczynnik tętnień.

W trakcie komutacji, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami napięciowymi, w obwodzie magnetycznym silnika występują silnie nasycone podobszary.

Specyfika zjawisk związanych z komutacją pasm uniemożliwia prawidłowe oszacowanie indukcyjności pasm, szczególnie indukcyjności wzajemnych. Przeprowadzenie obliczeń optymalizacyjnych przy wykorzystaniu uproszczonych obwodowych modeli zjawisk może

być całkowicie nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań w sensie optymalizacji – podrozdział 6.4. Dlatego podczas obliczeń optymalizacyjnych silników BLDC stosowano wyłącznie polowy model nieustalonych zjawisk.

Ze względu na stany nieustalone występujące podczas przełączania uzwojeń konieczne było zastosowanie modelu opisanego sprzężonym układem równań pola elektromagnetycznego i równań przełączanych obwodów elektrycznych (pasm silnika).

W przypadku maszyny z nieliniowym obwodem, macierz sztywności MES zależy od rozwiązania Φ i musi być wyznaczana iteracyjnie w każdym kroku czasowym. Do rozwiązania sprzężonego nieliniowego układu równań pola i obwodów zastosowano przedstawiony wcześniej algorytm Newtona-Raphsona – rozdział 4.2. W zaproponowanym algorytmie poszukiwane są zarówno poprawki wektora potencjałów jak też wektora prądów w uzwojeniach: Φ^k_n Φ^k_n Φ^k_n^1 oraz i^k_n i^k_n i^k_n^1. W n-tym kroku czasowym i k-tej iteracji związanej z nieliniowością rozwiązywany jest układ równań (4.33) – rozdz. 4.2.



Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń zadania testowego (rozdz. 4.2) polegającego na wyznaczeniu przebiegów prądów pasmowych ⁱ₁

 

^{t , i}₂

 

^{t , i}₃

 

^t w silniku BLDC z wirnikiem zewnętrznym (rys. 7.2) w układzie uzwojeń połączonych w gwiazdę dla dwóch przypadków (a) impulsów zasilających o stałej wartości napięcia oraz (b) impulsów napięciowych o zmodyfikowanym kształcie, w taki sposób by skrócić czas trwania stanów przejściowych w przebiegach prądów. Przyjęto, że silnik jest zasilany z bipolarnego układu sterowania.

Obliczenia symulacyjne wykonano dla siatki dyskretyzującej przekrój poprzeczny maszyny składającej się z 30960 skończonych elementów. Przyjęto wartość napięcia zasilającego przekształtnik U 24V, krok czasowy t= 0,222 ms. Uzyskane przebiegi prądów ⁱ₁

 

^{t ,}

 

^t

i₂ oraz ⁱ₃

 

^t ilustruje rys. 7.1a, b. Jak wynika z rysunku 7.1a, przy zasilaniu impulsami prostokątnymi, przebiegi prądów pasmowych znacząco odbiegają kształtem od przebiegów prostokątnych, co jest bardzo niekorzystne z punktu widzenia efektywności. Dlatego zastosowano układ zasilania o zmodyfikowanych (przy wykorzystaniu sterownika matrycowego) przebiegach napięć. W tym przypadku włączane pasmo silnika zasilane jest napięciem o wartości 1,5U, natomiast pasmo wyłączane jest zasilane napięciem o przeciwnej biegunowości – równym -0,5U. Przebiegi prądów w tym przypadku pokazano na rys. 7.1b.

Zastosowanie zmodyfikowanych przebiegów napięć zasilających pasma umożliwia znaczne skrócenie czasu zanikania prądu w wyłączanym paśmie oraz poprawę kształtu przebiegu prądu w paśmie włączanym.

(a) (b)

Rys. 7.1. Przebiegi prądów pasmowych: a) przy zasilaniu prostokątnymi impulsami napięciowymi, b) przy zasilaniu impulsami zmodyfikowanymi

W stanach dynamicznych prędkość obrotowa zmienia się i w takim przypadku model matematyczny opisujący zjawiska w silniku musi być uzupełniony o równanie bilansu momentów – rozdz. 4.3.

W niniejszym rozdziale przedstawiono wyniki obliczeń optymalizacyjnych silnika BLDC z wirnikiem zewnętrznym. W kompromisowej funkcji celu uwzględniono dwa ważne przy projektowaniu tego typu silników parametry. Porównano przebiegi procesów optymalizacji dla dwóch różnych strategii.

7.2. Optymalizacja wielokryterialna

Rozpatrzono dwie omówione wcześniej strategie – rozdz. 5.3 oraz 5.4. W pierwszym przypadku obliczenia optymalizacyjne wykonano przy wykorzystaniu strategii z kompromisową funkcją celu. Strukturę obwodu magnetycznego przedstawiono na rys. 7.2.

Rozpatrywany silnik ma 12 szerokich zębów (biegunów) w pakietowanym wewnętrznym stojanie, na których są nawinięte uzwojenia skupione. Trójpasmowe uzwojenie skojarzono w gwiazdę. W każdym z pasm znajdują się dwie szeregowo połączone cewki. Sposób rozmieszczenia uzwojenia w żłobkach przedstawiono na rys. 4.8b. Zewnętrzny wirnik wykonano w postaci ferromagnetycznej tulei, na powierzchni której naklejono 10 magnesów trwałych. Liczbę p biegunów wirnika i liczbę ż zębów stojana (równą liczbie odstępów pomiędzy zębami stojana i z tego powodu nazywaną czasami liczbą żłobków stojana) dobrano według zależności 2p ż2 [76].

Przyjęto, że silnik zasilany jest z komutatora elektronicznego składającego się z sześciu idealnych tranzystorów – rys. 2.13. Algorytm sterowania został opracowany na podstawie przebiegów sił elektromotorycznych w pasmach stojana – rozdział 4.4.

W pracach dotyczących zagadnień optymalizacji maszyn elektrycznych komutowanych elektronicznie często przyjmowane są funkcje celu, w których występują: średnia wartość momentu elektromagnetycznego T oraz wartość współczynnika pulsacji  [141, 179, 200]. _av

Zadanie optymalizacji zostało sformułowane następująco: dla zadanych wartości długości pakietu maszyny, średnicy zewnętrznej stojana oraz średnicy zewnętrznej wirnika wyznaczyć parametry magnesów trwałych oraz obszaru szczelinowego zapewniające wysoką średnią wartość momentu T przy jednoczesnej minimalizacji współczynnika tętnień  . _av

W module optymalizacyjnym wykorzystano algorytm genetyczny, a w module zawierającym model matematyczny silnika zastosowano polowo-obwodowy opis zjawisk elektromagnetycznych. Komputerowe kody obu modułów zostały opracowane przez autora z wykorzystaniem języka programistycznego Borland Delphi.

Silnik opisano przy pomocy trzech zmiennych decyzyjnych: s₁  – długość szczeliny powietrznej, s ₂ h_m – wysokość magnesu oraz s₃_m – rozpiętość kątowa magnesu – rys.

7.2. Zmienne decyzyjne tworzą wektor s



 h _{m m}



^T. Wszystkie operacje w module optymalizacyjnym wykonywane są na zmiennych bezwymiarowych x 0,1 . Transformacja zmiennych decyzyjnych realizowana jest według zależności (5.2), przy czym przyjęto następujące przedziały zmienności parametrów decyzyjnych:  0 ,4 1,6 , h_m 1 ,0 6,0 oraz _m 0,520,96 .

Kompromisową, addytywną funkcję celu dla l-tego osobnika przyjęto w postaci:

   

elektromagnetycznego dla l-tego osobnika, T_av⁰ – średnia wartość momentu elektromagnetycznego po inicjacji, ^l

 

^x – wartość współczynnika tętnień dla l-tego osobnika, ⁰_av– średnia wartość współczynnika tętnień po inicjacji.

Współczynnik pulsacji definiowano według zależności [215]:

Tav elektromagnetycznego podczas jednego cyklu pracy komutatora elektronicznego.

W opracowanym algorytmie genetycznym przyjęto liczbę osobników w populacji N = 60 oraz maksymalną liczbę pokoleń J_max = 50.

Zastosowano: reprodukcję metodą ruletki (RWS), krzyżowanie jednopunktowe (1CPC) oraz strategię elitarną (SE) – rozdział 5.5.2.

Przyjęto prawdopodobieństwo mutacji 005

, 0

m 

p . W celu skrócenia czasu obliczeń rozpatrywano tylko jeden takt pracy komutatora elektronicznego. Rozpatrywany silnik został

podzielony na 10080 trójkątnych elementów. Rys. 7.2. Przekrój silnika BLDC z zaznaczonymi zmiennymi decyzyjnymi

Czas obliczeń jednego pokolenia wynosił około 1,4 godz. Proces optymalizacji wykonano dla czterech zestawów współczynników wagowych: (a)  = 0,5, ₁  = 0,5, (b) ₂  = 1,0, ₁  = 0,33, ₂ (c)  = 1,0, ₁  = 0,25, (d) ₂  = 1,0, ₁  = 0,15. ₂

Przebieg procesów optymalizacji dla różnych zestawów współczynników wagowych przedstawiono w tabelach 7.1, 7.2, 7.3 oraz 7.4. Dla wybranych pokoleń wyszczególniono:

wartości zmiennych decyzyjnych (,h_m,_m), wartości parametrów całkowych silnika (T ,  ), _av wartość funkcji celu najlepiej przystosowanego osobnika w populacji f_max oraz średnią wartość przystosowania dla całego pokolenia f . _av

Tabela 7.1. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=0,5 oraz λ2=0,5 δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,712 3,846 0,588 2,450 0,460 0,5026 0,4135 3 1,160 2,001 0,917 2,559 0,093 0,9316 0,8976 5 1,160 2,001 0,917 2,568 0,093 0,9346 0,9258 10 1,350 2,063 0,917 2,474 0,061 1,1818 1,1487 20 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,1925 40 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,1849 50 1,350 2,095 0,917 2,262 0,060 1,2050 1,2002 Tabela 7.2. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,33

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,844 2,361 0,833 2,851 0,123 0,85629 0,78661 5 1,154 1,655 0,917 2,403 0,068 0,93804 0,90941 10 1,157 1,718 0,917 2,434 0,068 0,94738 0,92943 20 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98212 0,97296 40 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98213 0,97877 50 1,157 1,749 0,917 2,447 0,062 0,98213 0,97993

Tabela 7.3. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,25 δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,712 3,850 0,588 2,449 0,460 1,09726 0,99050 6 1,358 3,259 0,917 2,783 0,106 1,16349 1,13601 12 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16353 1,15755 20 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15147 40 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15415 50 0,831 2,347 0,917 2,870 0,103 1,16354 1,15084 Tabela 7.4. Porównanie wyników optymalizacji dla λ1=1,0 oraz λ2=0,15

δ hm αm Tav(x) ε(x) fmax(x) fav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,606 3,711 0,833 3,037 0,608 1,00401 0,88110 3 0,972 4,788 0,750 2,898 0,352 1,08511 1,03040 5 0,641 3,656 0,917 3,101 0,174 1,10401 1,07740 10 0,735 4,560 0,917 3,094 0,151 1,12268 1,08959 20 0,646 4,515 0,917 3,150 0,134 1,12640 1,11410 50 0,647 4,516 0,917 3,162 0,130 1,12645 1,12356

W metodzie algorytmów genetycznych liczba osobników w populacji wpływa na jakość uzyskiwanych wyników [64]. Większość zadań przedstawionych w niniejszej pracy rozwiązywano przyjmując N > 50. W przypadku rozwiązania zadań optymalizacji obiektów technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi jest to odpowiednio dobrana wartość zapewniająca kompromis pomiędzy jakością otrzymywanych wyników a złożonością czasową procesu optymalizacyjnego.

We wszystkich przedstawionych powyżej testach, w początkowych pokoleniach obserwowany jest silny wzrost średniego przystosowania populacji f . Po około _av 10 pokoleniach następuje stabilizacja zarówno średniego przystosowania f jak też _av maksymalnego f_max. W dalszych populacjach większość osobników znajduje się w pobliżu rozwiązania optymalnego. We wszystkich analizowanych przypadkach obliczenia optymalizacyjne można zakończyć po około 15 do 20-stu pokoleniach.

Na podstawie przeprowadzonych badań testowych stwierdzono, że ze względu na liczbę wykonywanych pokoleń korzystniej jest stosować populację o większej liczbie osobników.

Na przykład przy N = 100 otrzymuje się rozwiązanie zbliżone do optymalnego już po 6÷10 pokoleniach. W rozpatrywanych testach najbardziej efektywne działanie algorytmów uzyskiwano dla N70÷80; w takim przypadku obliczenia zwykle dawały optymalny wynik już po nie więcej niż dziesięciu pokoleniach. W przypadku optymalizacji obiektów technicznych, w szczególności zadań optymalizacji silników wzbudzanych magnesami trwałymi opisanych 3÷5 zmiennymi decyzyjnymi jest to liczba zapewniająca najszybsze działanie algorytmu genetycznego.

Porównanie przebiegów momentu elektromagnetycznego w funkcji mechanicznego kąta obrotu wirnika z uwzględnieniem przełączania pasm stojana w wybranych pokoleniach przedstawiają rys. 7.3, 7.4 oraz 7.5.

Rys. 7.3. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,33

Rys. 7.4. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,25

Rys. 7.5. Przebiegi momentów elektromagnetycznych dla λ1=1,0 oraz λ2=0,15

Na rys. 7.6 przedstawiono porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych najlepiej przystosowanych osobników w populacji dla różnych wartości współczynników wagowych.

Rys. 7.6. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla różnych wartości współczynników wagowych

Przebieg momentu elektromagnetycznego silnika BLDC jest uzależniony od przyjętych wartości współczynników wagowych ( oraz ₁  ) kompromisowej funkcji celu. ₂ W przypadku równych wartości współczynników ₁ ₂= 0,5, otrzymano wartości momentu T = 2,26 Nm oraz współczynnik pulsacji  = 0,06. Zwiększenie av  powoduje uzyskanie ₁ w wyniku procesu optymalizacji silnika o wyższej wartości T i jednocześnie większych _av pulsacjach momentu. Dobór wag w kompromisowej funkcji celu jest ściśle powiązany z wymaganiami stawianymi przed projektowanym silnikiem. W przypadku gdy minimalizacja pulsacji momentu jest ważna, to należy przyjmować większą wartość współczynnika  . ₂

7.3. Optymalizacja z ograniczeniami

Jeżeli wymagana wartość T lub  jest narzucona przed rozpoczęciem procesu _av projektowania silnika, to zgodnie z zaleceniami sformułowanymi w rozdziale 5.3 należy zastosować strategię z funkcją kary, to znaczy zrealizować klasyczne zadanie optymalizacji z ograniczeniami. W rozpatrywanym przykładzie przyjęto założenie, że silnik musi się charakteryzować małymi wahaniami generowanego momentu obrotowego. Wartość pulsacji momentu nie może przekraczać dopuszczalnej wartości  . W tym przypadku _z maksymalizowana funkcja l-tego osobnika celu została sformułowana następująco:

   

0 av l l av

T

f T x

x  (7.4)

Zadanie optymalizacji polega na maksymalizacji funkcji f^l

 

x przy uwzględnieniu ograniczenia nierównościowego dotyczącego wymaganej wartości współczynnika pulsacji

 

^_z

 x . Unormowaną funkcję ograniczenia opisano wyrażeniem:

   

Ograniczenia uwzględniono metodą funkcji kary zewnętrznej. W metodzie tej (rozdział 5.3) konstruowana jest zmodyfikowana funkcja celu h^l

 

x , w której uwzględniana jest kara

 

^x

l

Zk za przekroczenie ograniczenia. Kara dla l-tego osobnika wyrażana jest zależnością:

 

x _k ^l

 

x

l

k r g

Z  (7.6)

Przyjęto narastający współczynnik kary w postaci ciągu potęgowego o podstawie a >1, to znaczy r _k a^k.

W klasycznym ujęciu [105, 106] funkcja zmodyfikowana dla l-tego osobnika przyjmuje postać:

W algorytmie genetycznym zmodyfikowana funkcja celu, to jest przystosowanie musi być wielkością dodatnią. Kara wg zależności (7.6) nie może być większa od pierwotnej funkcji celu (7.4). Dlatego obliczenia optymalizacyjne wykonano z wykorzystaniem zaproponowanej przez autora sigmoidalnej modyfikacji funkcji kary zewnętrznej – rozdział 5.3. W opracowanym algorytmie zmodyfikowana funkcja celu h_k^l

 

x dla l-tego osobnika jest zapisywana w postaci:

   

W klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana współczynnika kary w zależności (7.8) następuje po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji zmodyfikowanej funkcji celu. W algorytmie genetycznym takie postępowanie jest niecelowe;

prowadzi do znacznego, niepotrzebnego wydłużenia czasu obliczeń. Wykazano, że bardzo dobre wyniki zapewnia algorytm ze zmianą współczynnik kary przed osiągnięciem optimum, np. po wykonaniu obliczeń dla ograniczonej liczby J_p < J_max pokoleń. Zaproponowano więc oryginalny algorytm mieszany, w którym operacje związane z tymi strategiami (algorytmem genetycznym i generowaniem narastającej kary) wzajemnie się przenikają (podrozdz.6.4).

W porównaniu z procedurą klasyczną uzyskano dwu, a nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń.

Poniżej zbadano wpływ wartości a podstawy współczynnika kary oraz liczby Jp pokoleń wykonywanych w ramach zadania maksymalizacji przystosowania (to jest funkcji hk opisanej zależnością 7.8) w k-tej iteracji nadrzędnej, związanej ze zmianą kary. Wykonano obliczenia testowe dla Jp = 1, 5, 10, 15. Rozpatrywano dwie wartości współczynnika kary a = 1,1 oraz a = 1,2. Zadano dopuszczalną wartość współczynnika tętnień _z  0,065.

Pozostałe parametry modułu OPT oraz modułu OBIEKT (rozdział 5.5.1) przyjęto takie same jak w obliczeniach w rozdziale 7.2.

Porównanie przebiegów procesu optymalizacji dla a = 1,1 oraz różnych wartości Jp

przedstawiono w tabelach 7.5 oraz 7.6. oraz rysunkach 7.7 oraz 7.8. Podane parametry dotyczą osobnika najlepiej przystosowanego.

Tabela 7.5. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,1 oraz Jp = 1 δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 1,016 1,013 0,750 1,888 0,2951 0,85270 0,69431 3 1,358 2,001 0,917 2,447 0,0692 0,94148 0,81689 5 1,158 2,251 0,917 2,638 0,1076 0,94153 0,88439 7 1,357 2,064 0,917 2,473 0,0660 0,95114 0,91453 10 1,361 2,080 0,917 2,478 0,0658 0,95333 0,93962 15 1,357 2,111 0,917 2,488 0,0652 0,95695 0,94159 20 1,351 2,113 0,917 2,494 0,0649 0,95925 0,949462 30 1,351 2,120 0,917 2,496 0,0646 0,96048 0,95734 40 1,352 2,120 0,917 2,497 0,0646 0,96056 0,95905 50 1,352 2,121 0,917 2,497 0,0646 0,96056 0,95979

Tabela 7.6. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,1 oraz Jp = 5 δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,935 3,457 0,588 2,328 0,4068 0,780645 0,65486 3 1,162 2,001 0,917 2,558 0,0935 0,828981 0,78975 5 1,162 2,001 0,917 2,558 0,0935 0,689793 0,61562 7 1,356 2,004 0,917 2,450 0,0693 0,891180 0,72631 10 1,358 2,064 0,917 2,473 0,0660 0,919583 0,84239 15 1,308 2,064 0,917 2,484 0,0649 0,955161 0,89653 20 1,320 2,064 0,917 2,492 0,0649 0,958445 0,94732 30 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976193 0,96864 40 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976197 0,97002 50 1,321 2,098 0,917 2,498 0,0649 0,976197 0,77183

Rys. 7.7. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,1 oraz Jp = 1

Rys. 7.8. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,1 oraz Jp = 5

Przeprowadzono również badania wpływu wartości współczynnika kary a na przebieg procesu optymalizacyjnego i uzyskiwane rozwiązanie optymalne. Przebiegi procesów optymalizacji dla a = 1,2 oraz różnych wartości J_p przedstawiono w tabelach 7.7 oraz 7.8 oraz na rysunkach 7.9 oraz 7.10.

Tabela 7.7. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,2 oraz Jp = 1 δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x) hav

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-] [-]

1 0,771 2,882 0,833 2,8747 0,5167 0,818213 0,67295 3 1,311 2,031 0,917 2,4830 0,0660 0,946388 0,79628 5 1,362 2,031 0,917 2,4617 0,0677 0,950226 0,84867 8 1,311 2,001 0,917 2,4707 0,0620 0,956270 0,89254 10 1,311 2,068 0,917 2,4880 0,0649 0,956882 0,91458 15 1,311 2,070 0,917 2,4845 0,0654 0,958047 0,93724 20 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,94578 30 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,95021 40 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,955871 50 1,312 2,064 0,917 2,4913 0,0644 0,958155 0,95672

Tabela 7.8. Przebieg procesu optymalizacji silnika BLDC dla a = 1,2 oraz Jp= 5 δ hm αm Tav(x) ε(x) hmax(x)

J [mm] [mm] [-] [Nm] [-] [-]

1 0,832 2,348 0.917 2,8543 0,1069 0,890192 3 1,372 2,004 0.917 2,4417 0,0685 0,933706 5 1,322 2,001 0.917 2,4670 0,0671 0,947597 8 1,322 2,067 0.917 2,4923 0,0649 0,974379 10 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976112 15 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976133 20 1,321 2,098 0.917 2,4968 0,0650 0,976186 30 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976193 40 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976197 50 1,321 2,098 0.917 2,4970 0,0649 0,976197

Rys. 7.9. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,2 oraz Jp = 1

Rys. 7.10. Porównanie przebiegów momentów elektromagnetycznych dla a = 1,2 oraz Jp = 5

Na podstawie przedstawionych powyżej wyników można stwierdzić, że przebieg procesu optymalizacji silnie zależy od przyjętej wartości a podstawy ciągu r _k a^k. Jak już wspomniano wcześniej, w klasycznej metodzie z funkcją kary zewnętrznej, zmiana współczynnika kary w zależności (7.7) następuje po całkowitym zakończeniu bezwarunkowej optymalizacji zmodyfikowanej funkcji celu [132]. Liczba iteracji głównych (nadrzędnych) związanych ze zmianami kary jest tym mniejsza im szybciej narasta kara, to znaczy przy większych wartościach parametru a. Ale w takim przypadku, po każdej zmianie kary

„gwałtownie” zmienia się postać i „kształt” funkcji zmodyfikowanej. To powoduje, że liczba pokoleń w każdej iteracji wewnętrznej (podrzędnej) związanej z bezwarunkową maksymalizacją funkcji zmodyfikowanej (to znaczy przystosowania), wykonywanych z wykorzystaniem algorytmu genetycznego musi być przy wzrastającym parametrze a coraz to większa. Na podstawie przeprowadzonych testów dotyczących zadań optymalizacji silników magnetoelektrycznych z wykorzystaniem polowych modeli nieustalonych zjawisk wykazano, że najlepszą efektywność metody kary zewnętrznej „współpracującej”

z algorytmem genetycznym uzyskuje się dla współczynnika a z przedziału 1 ,2 1,4.

Wykazano ponadto, że bardzo dobre wyniki zapewnia algorytm ze zmianą współczynnika kary przed osiągnięciem optimum, np. po wykonaniu obliczeń dla ograniczonej liczby J_p pokoleń. Zaproponowano więc oryginalny algorytm mieszany, w którym operacje związane z tymi dwiema strategiami (algorytmem genetycznym i generowaniem narastającej kary) wzajemnie się przenikają (podrozdz. 6.4). W porównaniu z procedurą klasyczną uzyskano dwu, a nawet trzykrotne skrócenie czasu obliczeń.

Należy pamiętać, że dla większych wartości a współczynnika kary po zmianie jego wartości może wystąpić bardzo gwałtowna zmiana ograniczenia i wówczas autor zaleca przyjmować większe wartości Jp. Przyjęcie zbyt małych wartości Jp nie jest korzystne w przypadku algorytmów genetycznych. Ciągłe przystosowanie rywalizujących pomiędzy sobą osobników pokolenia do zmian warunków otoczenia jest cechą charakterystyczną algorytmu genetycznego. W tym przypadku zjawiska mają inny charakter niż w przypadku metody roju cząstek. Po każdej zmianie funkcji ograniczeń pokolenie musi mieć odpowiednią ilość czasu na adaptację do nowych warunków. Jednak przyjęcie zbyt dużych wartości Jp > 10 powodowało, że obliczenia były zbyt czasochłonne i nie wpływało to na poprawę jakości rozwiązania. Wynika to z faktu, że w zadaniach optymalizacji maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi, rozwiązanie zbliżone do rozwiązania optymalnego dla populacji o liczebności N>50 uzyskuje się już po około 5÷8 pokoleniach. Dlatego autor niniejszej rozprawy zaleca przyjmować wartość Jp z przedziału 2 6 dla metody algorytmu genetycznego. Przy tak przyjętych wartościach Jp kolejne pokolenia mają odpowiednią ilość czasu na adaptację do nowych warunków, a zmiana współczynnika kary następuje przed ustaleniem przybliżonego rozwiązania optymalnego.

Generalnie, przy wolniej narastającej karze (mniejszej wartości a podstawy ciągu) uzyskuje się wynik bardziej zbliżony do rzeczywistego optimum. W procesie optymalizacji silnika BLDC oznacza to zaprojektowanie obiektu o minimalnie wyższej wartości momentu użytecznego T_av, ale niestety kosztem wydłużenia czasu obliczeń. Na podstawie przeprowadzonych testowych obliczeń stwierdzono, że kompromis pomiędzy dokładnością, a efektywnością uzyskuje się dla a = 1,2 oraz Jp = 5.

7.4. Podsumowanie

Z przeprowadzonych w rozdziale 7 rozważań i obliczeń dotyczących formułowania i rozwiązywania zadań optymalnej syntezy silników typu BLDC wynika szereg przedstawionych poniżej wniosków.

 W wyniku komutacji, szczególnie w układzie z kształtowanymi impulsami napięciowymi, w obwodzie magnetycznym silnika BLDC występują silnie nasycone podobszary.

Przeprowadzenie obliczeń optymalizacyjnych przy wykorzystaniu uproszczonych obwodowych modeli zjawisk może być całkowicie nieefektywne i może prowadzić do błędnych rozwiązań w sensie optymalizacji – podrozdział 6.4. Dlatego do obliczeń optymalizacyjnych silników BLDC należy stosować polowo-obwodowy model nieustalonych zjawisk elektromagnetycznych. W celu uwzględnienia nieliniowości obwodu silnika zastosowano zmodyfikowany algorytm Newtona-Raphsona.

 Podstawową wadą silników bezszczotkowych są pulsacje momentu elektromagnetycznego, obejmujące dwa składniki: moment zaczepowy i moment tętniący.

 Podstawową wadą silników bezszczotkowych są pulsacje momentu elektromagnetycznego, obejmujące dwa składniki: moment zaczepowy i moment tętniący.

W dokumencie POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI PRZEMYSŁOWEJ (Stron 163-180)