Analityczne rozwi¡zanie równa« (1.16) i (1.17) mo»liwe jest wyª¡cznie dla najprostszych struktur (np. wªókien klasycznych). Z tego te» powodu opra-cowany zostaª szereg metod numerycznych pozwalaj¡cych na przybli»one ob-liczanie modów ±wiatªowodowych w rzeczywistych ukªadach. W tym pod-rozdziale omówione zostan¡ podstawowe zagadnienia zwi¡zane z metodami numerycznymi stosowanymi w analizach ±wiatªowodów, oraz przedstawiona zostanie stosowana w niniejszej pracy metoda elementów sko«czonych.
1.5.1 Podziaª metod numerycznych
W±ród metod numerycznych mo»na wyró»ni¢ takie, których celem jest cha-rakteryzacja zaªo»onej struktury poprzez obliczenie jej modów ±wiatªowo-dowych. Metody te nazwane zostan¡ metodami modowymi. Istniej¡ równie» metody zajmuj¡ce si¦ analiz¡ propagacji arbitralnie zadanych pól elektroma-gnetycznych. W pracy metody te nazwane zostaªy metodami propagacyjnymi. Metody modowe pozwalaj¡ na badanie wªa±ciwo±ci struktur optycz-nych. W szczególno±ci, pozwalaj¡ one obliczy¢ mody ±wiatªowodowe oraz okre±li¢ ich staªe propagacji i inne parametry. Metody te sªu»¡ wi¦c przede wszystkim do charakteryzacji danej struktury. Metody modowe sprowadzaj¡ si¦ do przeksztaªcenia równa« Maxwella do postaci uogólnionego zagadnienia wªasnego (por. równania (1.16) i (1.17)):
Aϕ = αBϕ, (1.31)
gdzie A i B to macierze, α to skalar (warto±¢ wªasna), a ϕ to poszukiwa-na funkcja (zwykle jest to która± skªadowa wektora E lub H). Dla B = I, gdzie I macierz¡ jednostkow¡, równanie to przyjmuje posta¢ klasycznego za-gadnienia wªasnego. Przykªadami metod modowych s¡ m.in. metoda ró»nic
sko«czonych FDM (ang. Finite Dierences Method) oraz metoda elementów sko«czonych FEM (ang. Finite Element Method) [52,53]. Znajomo±¢ struktu-ry modowej pozwala na ªatwe obliczanie ewolucji pola elektromagnetycznego w strukturach optycznych dzi¦ki dekompozycji pola wej±ciowego na mody oraz zastosowaniu równa« (1.14) i (1.15).
Metody propagacyjne opieraj¡ si¦ na zaªo»eniu pewnego pola wej±cio-wego i obliczaniu, w jaki sposób ewoluuje ono wzdªu» ±wiatªowodu. Metody te nie charakteryzuj¡ wi¦c samej struktury optycznej, a podejmuj¡ problem ewolucji (w czasie i/lub przestrzeni) zaªo»onego pola, a wi¦c odpowiedzi tej struktury na zadane pobudzenie. Metody propagacyjne mog¡ zosta¢ zapisane w postaci:
ϕ(k+1)= P ϕ(k), (1.32)
gdzie ϕ(k) to poszukiwane pole w k-tej iteracji, a P to tzw. propagator, czyli operator pozwalaj¡cy na obliczenie kolejnego rozkªadu pola. Warto±ci ozna-czone indeksami (k) i (k +1) odnosz¡ si¦ wi¦c tutaj do kolejnych chwil czasu, i/lub kolejnych poªo»e« (zale»nie od wybranej metody). Przykªadami metod propagacyjnych jest metoda ró»nic sko«czonych w dziedzinie czasu FDTD (ang. Finite Dierences Time Domain) oraz metoda propagacji wi¡zki BPM (ang. Beam Propagation Method) [52,53].
We wszystkich symulacjach bardzo wa»nym problemem s¡ warunki brzegowe, czyli sposób traktowania granicy obszaru analizy. Nagªe uci¦cie obszaru symulacji prowadzi do odbijania wszelkich pól dochodz¡cych do gra-nicy, a w efekcie do powstania pozornych rezonatorów. W wynikach symula-cji pojawiaj¡ si¦ wtedy pozorne mody, które nie wyst¦puj¡ w rzeczywistych strukturach, a wynikaj¡ jedynie z ograniczonego obszaru symulacji.
Istnieje szereg technik sªu»¡cych do rozwi¡zania tego problemu. Sytu-acja jest najprostsza, je»eli ze wzgl¦du na periodyczno±¢ analizowanej
struk-tury, symuluje si¦ jedynie jej cz¦±¢. Mo»na wi¦c zaªo»y¢, »e pole dochodz¡ce do jednej granicy obszaru symulacji pojawia si¦ tak»e z drugiej strony. Za-ªo»enie to dziaªa m.in. przy analizie krysztaªów fotonicznych [54]. Wi¦kszo±¢ innych technik opiera si¦ na zaªo»eniu pewnej warto±ci pola lub jego pochod-nych przestrzenpochod-nych przy obszarze granicznym.
Innym stosowanym podej±ciem jest dodawanie tzw. warstw absorbuj¡-cych [53]. Granice obszaru analizy otacza si¦ dodatkowymi obszarami, które maj¡ wytªumi¢ wszelkie propaguj¡ce si¦ w nich promieniowanie. Najprost-szym wariantem jest zaªo»enie urojonej warto±ci wspóªczynnika zaªamania. Nie jest to rozwi¡zanie idealne, poniewa» dodanie zbyt silnego tªumienia, efektywnie odbija promieniowanie, a zbyt sªabego, znacz¡co zwi¦ksza obszar analizy i czas oblicze«. Najcz¦±ciej stosuje si¦ wariant tej techniki, tzw. ideal-nie dopasowane warstwy PML (ang. Perfectly Matched Layers). Warstwom tym przypisuje si¦ urojon¡ grubo±¢, która prowadzi do wykªadniczego tªu-mienia fali i pozwala na eliminacj¦ odbi¢ [55].
1.5.2 Metoda elementów sko«czonych
W niniejszej rozprawie, do symulacji ±wiatªowodów stosowana jest metoda elementów sko«czonych. Jest ona jedn¡ z podstawowych metod numerycz-nych przybli»onego rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych, w tym równa« fa-lowych (1.16) i (1.17). S¡ to równania w postaci zagadnienia wªasnego, jest to wi¦c metoda modowa pozwalaj¡ca na charakteryzacj¦ badanego o±rodka. Metoda elementów sko«czonych opiera si¦ na zaªo»eniu, »e rozwi¡za-nie równa« (1.16) i (1.17) mo»e zosta¢ zapisane w bazie pewnych funkcji ortogonalnych, tzw. funkcji ksztaªtu φk:
ϕF EM =X k
Dobór funkcji ksztaªtu jest dowolny. Wybrane mog¡ zosta¢ np. wielomiany, lub bardziej zªo»one funkcje: delty Diraca, funkcje sinusoidalne i inne. Celem oblicze« jest znalezienie wspóªczynników ck.
Zadanie to realizowane jest poprzez podziaª caªego obszaru analizy na elementy, zwane elementami sko«czonymi, w ramach których dokonuje si¦ rozkªadu na funkcje ksztaªtu oraz poszukuje si¦ parametrów ck. W po-równaniu do FDM, podziaª obszaru analizy nie musi nast¦powa¢ na elementy prostok¡tne. Najcz¦±ciej s¡ to odcinki (w zagadnieniach jednowymiarowych), trójk¡ty (w dwóch wymiarach) lub tetraedry (w trzech wymiarach).
W ramach ka»dego z elementów sko«czonych konstruuje si¦ funkcj¦ R reprezentuj¡c¡ tzw. odchyªk¦, czyli miar¦ ró»nicy mi¦dzy rozwi¡zaniem analitycznym, a funkcj¡ ϕF EM. Je»eli wi¦c dokªadne rozwi¡zanie speªnia za-gadnienie wªasne (1.31) w postaci (A−αB)ϕ = 0, to dla funkcji przybli»onej zachodzi:
(A− αB)ϕF EM =X k
(A− αB)ckφk = R. (1.34)
Znalezienie wspóªczynników ck mo»liwe jest z zaªo»enia, »e odchyªki scaª-kowane po caªym obszarze analizy wynosz¡ zero:
Z
ψRdA = 0. (1.35)
Funkcja ψ jest dodatkow¡ wag¡. Cz¦sto stosowana jest tzw. metoda Galer-kina, w której zakªada si¦ ψ = ϕF EM [52].
Powy»szy warunek zapisuje si¦ dla poszczególnych elementów sko«czo-nych. Otrzymuje si¦ wi¦c ukªad powi¡zanych ze sob¡ równa«, pozwalaj¡cych na znalezienie parametrów ck. W zapisie macierzowym, ukªad ten przyjmu-je posta¢ uogólnionego zagadnienia wªasnego postaci Kc = αMc, gdzie c oznacza wektor zªo»ony z wspóªczynników ck. Macierze K i M zale»ne s¡
przede wszystkim od geometrii. Zawieraj¡ one scaªkowane funkcje ksztaªtu oraz, w przypadku równa« (1.16) i (1.17), rozkªad wspóªczynnika zaªama-nia [52,53]. Rozwi¡zanie tak sformuªowanego zagadniezaªama-nia wªasnego pozwala na otrzymanie wspóªczynników ck, które zgodnie z równaniem (1.33), pozwa-laj¡ na obliczenie warto±ci poszukiwanej funkcji w dowolnym punkcie obszaru analizy.