Nakładanie obrazów z wykorzystaniem konfiguracji ko´sci udowej

ko-´sci udowej

Jak wspomniano wcze´sniej, wyniki prac opisywanych w tym podrozdziale, nie s ˛a niezb˛edne do identyfikacji modelu kinematycznego stawu kolanowego, zgodnie ze Sch. 1.1. Co prawda, we wst˛epnym przetwarzaniu danych mo ˙zna posłu ˙zy´c si˛e wie-dz ˛a o konfiguracji ko´sci udowej i przeprowadzi´c identyfikacj˛e na sekwencjach z na-ło ˙zon ˛a konfiguracj ˛a ko´sci udowej. Jednak w omawianej koncepcji rozwi ˛azania pro-blemu, zdecydowano si˛e na alternatywne podej´scie. Nakładanie obrazów stanowi dobr ˛a weryfikacj˛e poprawno´sci poprzednich kroków algorytmu, tj. selekcji anato-micznych cech ko´sci oraz estymacji pozycji punktów kluczowych. Warto przypo-mnie´c, ˙ze w niniejszym podrozdziale, jako dane referencyjne wykorzystano konfi-guracje rQ uzyskane przez r˛eczne oznaczenie punktów kluczowych na sekwencjach

4.2. Nakładanie obrazów z wykorzystaniem konfiguracji ko´sci udowej 61

obrazów z nało ˙zonymi konfiguracjami ko´sci udowej.

Ponadto, niniejsze rozwa ˙zania stanowi ˛a rozwi ˛azanie ciekawego problemu ba-dawczego, spotykanego w zastosowaniach medycznych, do rozwi ˛azania którego cz˛esto proponuje si˛e metody z nauk technicznych. Nakładanie obrazów medycz-nych jest istotnym aspektem w wielu aplikacjach medyczmedycz-nych opartych o analiz˛e obrazu, m.in. diagnozie, planowaniu terapii, analizie ruchu stawów, wykrywaniu raka. Przykładowo, przebieg operacji wspomaganych obrazowaniem medycznym jest silnie uzale ˙zniony od jako´sci zebranych danych. Niestety cz˛esto w takich sce-nariuszach obrazy s ˛a zaburzone ju ˙z podczas procesu ich akwizycji. Wynika to z mniejszych lub wi˛ekszych zmian pozycji ciała ze wzgl˛edu na ruchy oddechowe, bicie serca, czy te ˙z poruszanie cz˛e´sciami ciała, gdy jest to konieczne do przeprowa-dzenia badania.

Nakładanie obrazów medycznych jest konieczne w przypadku ł ˛aczenia danych:

1. uzyskanych z dwóch czujników ró ˙znych typów, np. w przypadku ł ˛aczenia da-nych z CT oraz pozytonowej tomografii emisyjnej przy lokalizowaniu zmian rakowych, czy ł ˛aczenia danych z ultrasonografii i CT, przy radioterapii pro-staty,

2. uzyskanych z jednego typu czujnika, ale otrzymanych:

• w ró ˙znych chwilach czasowych, np. nakładanie zdj˛e´c CT przed i po podaniu kontrastu, w celu lokalizacji poszczególnych cz˛e´sci ciała,

• z ró ˙znych punktów widzenia, np. obrazy z videoendoskopii,

• dla ró ˙znych pozycji narz ˛adów wewn˛etrznych, gdy chirurg musi pod ˛a ˙za´c za ich naturalnym ruchem, np. przy badaniu ´zrenicy, przy analizie kine-matycznej ruchu stawów, czy podczas badania ruchów i napi˛ecia tkanek do zdiagnozowania urazów mózgu.

Podczas nakładania obrazów, jedna ramka obrazu jest traktowana jako referen-cyjna, nieruchoma, natomiast pozostałe s ˛a ruchome. Proces nakładania obrazów medycznych polega na takim transformowaniu ruchomych obrazów, aby pokry´c je z obrazem referencyjnym [43]. Ze wzgl˛edu na pojawiaj ˛ace si˛e ró ˙znice pomi˛edzy ob-razami, konieczne jest okre´slenie jaka cecha obrazów ma by´c nakładana dla danej sekwencji. Wykorzystuje si˛e tu cechy takie jak punkty, linie czy kontury. Liczba punktów lub cech nie jest ograniczona ˙zadnym kryterium, wa ˙zne jedynie, aby wy-brane cechy opisywały t ˛a cz˛e´s´c obrazu, wzgl˛edem której nast˛epuje nakładanie. W przypadku niniejszej pracy posłu ˙zono si˛e estymowanymi pozycjami punktów klu-czowych ko´sci udowej, zebranych w macierzyK. Jedno z głównych zało ˙ze ´n pracy mówi, ˙ze istnieje przekształcenie dane równaniem (1.7). Zatem zało ˙zono, ˙ze mo ˙zna si˛e posłu ˙zy´c obrazami RTG jako danymi wej´sciowymi w procesie wyznaczania kon-figuracji ko´sci.

Konieczne jest okre´slenie zale ˙zno´sci pomi˛edzy punktami kluczowymi poszcze-gólnych ramek obrazu. Dzi˛eki tej wiedzy mo ˙zna okre´sli´c jak zmieniaj ˛a si˛e pozycje punktów kluczowych dla całej sekwencji. Z kolei pozycje punktów kluczowych

ko-´sci udowej s ˛a wystarczaj ˛ace do zrekonstruowania konfiguracji ko´sci, zarówno pozy-cji jak i orientapozy-cji. Zazwyczaj wyznacza si˛e geometryczn ˛a transformacj˛e pomi˛edzy punktami tak, aby odwzorowa´c punkty z obrazu ruchomego do obrazu referencyj-nego [43]. W omawianym przypadku jako obraz referencyjny, a co za tym idzie, globalny referencyjny układ współrz˛ednych zwi ˛azany z konfiguracj ˛a ko´sci udowej, przyj˛eto pierwszy obraz w sekwencji. Po wyznaczeniu transformacji, obrazy ru-chome podlegaj ˛a operacji przesuni˛ecia i rotacji tak, aby konfiguracja ko´sci udowej

62 Rozdział 4. Wyznaczenie konfiguracji stawu kolanowego

była jednakowa dla wszystkich obrazów sekwencji. W wyniku takiego nakładania uzyskano sekwencje, dla których konfiguracja ko´sci udowej pozostaje stała. W ni-niejszym podrozdziale rozwa ˙zania ograniczone s ˛a do przekształce ´n jednorodnych.

Opisywany problem badawczy mo ˙zna okre´sli´c nast˛epuj ˛aco. Dla sekwencji ob-razówX danej równaniem (1.3) oraz odpowiadaj ˛acej jej macierzy pozycji punktów kluczowych (1.4), nale ˙zy odnale´z´c zestaw macierzy transformacji

T _tT_i(θ_t_i, xt_i, yt_i)_u^S_i₌₂, (4.5) który minimalizuje nast˛epuj ˛acy problem optymalizacyjny

minT ||K1 K2` T2||+_||K₁_K₃_{` T}₃_||+. . .+_||K₁_K_S_{` T}_S_||, (4.6) gdzie T_i(θ_t_i, x_t_i, y_t_i) _{P IR}³³ oznacza macierz transformacji obrazu X_i, która składa si˛e z rotacji o k ˛at θt_i i przesuni˛ecia o wektorx_t_i y_t_i, natomiast` jest operatorem takim, ˙ze wyra ˙zenie K_i` Tioznacza transformacj˛e T_iwszystkich wektorów kolum-nowych macierzy K_i z równania (1.4), a|| || jest norm ˛a euklidesow ˛a. W niniejszej pracy rozwa ˙zane b˛ed ˛a macierze transformacji uzyskane ró ˙znymi metodami. Jako´s´c nakładania przy ich wykorzystaniu b˛edzie porównana z danymi weryfikacyjnymi, uzyskanymi podczas r˛ecznego nakładania konfiguracji ko´sci udowej, bez wiedzy o pozycjach punktów kluczowych.

Nakładanie ko´sci udowej przebiega niezale ˙znie dla ka ˙zdej sekwencji, ze wzgl˛edu na inn ˛a konfiguracj˛e referencyjn ˛a. Warto zauwa ˙zy´c, ˙ze wybrane punkty kluczowe powinny odwzorowywa´c t ˛a sam ˛a cech˛e dla danego pacjenta, ale mog ˛a si˛e ró ˙zni´c pomi˛edzy pacjentami. Wła´sciwo´s´c ta jest istotna ze wzgl˛edu na ró ˙znice w poziomie skostnienia stawu kolanowego zauwa ˙zalne w´sród pacjentów.

Do realizacji zadania nakładania konfiguracji ko´sci udowej dla sekwencji ob-razów konieczne jest rozszerzenie macierzy punktów kluczowych ko´sci udowej.

Liczba oryginalnie wykrytych punktów kluczowych ko´sci udowej nie jest równo rozło ˙zona pomi˛edzy cechami, zgodnie z Tab. (3.2). Mo ˙ze oznacza´c to, ˙ze podczas operacji nakładania, cecha, która jest opisana mniejsz ˛a liczb ˛a punktów (w tym przy-padku LA), b˛edzie uznana za dane odstaj ˛ace. Konieczne jest zatem wyrównanie liczby punktów kluczowych opisuj ˛acych ka ˙zd ˛a cech˛e. Dla danego obrazu sekwen-cji, rozszerzona macierz punktów kluczowych Ka_i składa si˛e z λ punktów opisuj ˛ a-cych LA oraz λ opisuj ˛acych PS, jak przedstawiono na Rys. 4.4. Mo ˙zna zapisa´c j ˛a w postaci

K_a_i =^hk₂k_PS₁ . . . k_PS₍_λ2₎ k₃m k_LA₁ . . . k_LA₍_λ1₎i

, (4.7)

gdzie przez k_PS_j, dla j= 1 . . . λ 2, oznaczono dodatkowe punktów równomiernie rozło ˙zone na PS (pomi˛edzy k₂ a k₃), natomiast k_LA_j, dla j = 1 . . . λ 1, oznacza punkty równomiernie rozmieszczone na LA, przy czym k_LA₁ oznacza punkt na LA poło ˙zony najbli ˙zej punktu m.

Dzi˛eki takiemu doborowi punktów słu ˙z ˛acych do nakładania obrazów, zapew-niona b˛edzie stała odległo´s´c pomi˛edzy cechami LA oraz PS dla danego pacjenta.

Oryginalne punkty kluczowe LA z macierzyK, wyznaczone na podstawie kraw˛e-dzi ko´sci, s ˛a bardziej rozproszone i znajduj ˛a si˛e w ró ˙znych obszarach ko´sci udowej, jako skutek m.in. translacji ko ´nczyny wzgl˛edem granicy soczewki fluoroskopu. Z kolei, punkty kluczowe tworz ˛ace rozszerzon ˛a macierz Ka_i u ˙zyte w procesie nakła-dania obrazów, s ˛a rozmieszczone na linii prostej w stałej odległo´sci od ´srodka geo-metrycznego PS. Taka reprezentacja cech umo ˙zliwi bardziej precyzyjne nakładanie.

4.2. Nakładanie obrazów z wykorzystaniem konfiguracji ko´sci udowej 63

RYSUNEK 4.4: Graficzna reprezentacja tworzenia dodatkowych punktów kluczowych ko´sci udowej zebranych w macierzy Ka_i.

Ob-raz został przetworzony w celu wizualizacji.

Warto zauwa ˙zy´c, ˙ze rozszerzenie macierzy punktów kluczowych zapewnia do-kładniejsz ˛a aproksymacj˛e relacji zachodz ˛acych w ci ˛agłej dziedzinie. W zwi ˛azku z tym, wi˛eksza liczba punktów kluczowych jest spójna z wybranymi cechami opisu-j ˛acymi konfiguracje ko´sci. Dodatkowo, w zale ˙zno´sci od relacji w liczno´sci punk-tów opisuj ˛acych LA oraz PS, która zostanie zawarta w Ka_i z równania (4.7), mo ˙zna wpływa´c na to, która cecha b˛edzie bardziej znacz ˛aca przy wyznaczaniu konfiguracji ko´sci. Im wi˛eksza dokładno´s´c estymacji pozycji punktów kluczowych, tym wi˛ecej punktów opisuj ˛acych dan ˛a cech˛e powinno by´c zawartych w macierzy (4.7).

Dla tak przygotowanych rozszerzonych macierzy punktów kluczowych nale ˙zy wyznaczy´c macierze transformacjiT do pozycji referencyjnej, zwi ˛azanej z pierw-szym obrazem sekwencji. Proces nakładania obrazów przeprowadzono dla dwóch sekwencji obrazów, odpowiadaj ˛acych pacjentowi P2 oraz P13 (por. Tab. 3.1). Wy-brano zatem po jednej sekwencji obrazów stawu kolanowego osoby dorosłej oraz dziecka. Warto nadmieni´c, ˙ze s ˛a to pacjenci ze zbioru walidacji CNN, opisanego w podrozdziale 3.3. Jako dane weryfikacyjne, słu ˙z ˛ace do oceny jako´sci nakładania obrazów, przyj˛eto konfiguracje ko´sci udowejh

θr_g rxg yr_g i

uzyskane przez r˛eczne nakładanie i odczytanie odpowiadaj ˛acych tej operacji macierzy transformacji jedno-rodnej². Dla ka ˙zdego rozwa ˙zanego pacjenta wyznaczane s ˛a dwa zestawy macierzy transformacji, pierwszy zestaw tzw. weryfikacyjny, wyznaczony na podstawie r˛ecz-nego nakładania widzialnej cz˛e´sci ko´sci udowej i wykorzystuj ˛acyh

θr_g rxg yr_g i

oraz drugi zestaw testowyT. W zale ˙zno´sci od dobranego zestawu macierzy transforma-cji testowych oceniano ró ˙zne aspekty proponowanego rozwi ˛azania problemu, tj.:

I. poprawno´s´c wybranych cech anatomicznych ko´sci udowej oraz odpowiada-j ˛acych im punktów kluczowych (macierz testowa T wyznaczona przez na-kładanie konfiguracji ko´sci udowej uzyskanej dzi˛eki zale ˙zno´sci (4.2), na bazie punktów kluczowych oznaczonych r˛ecznie),

2Warto nadmieni´c, ˙ze ten sam zestaw transformacji wykorzystano równie ˙z przy wyznaczaniu kon-figuracji rQ. Dokładny opis tej cz˛e´sci prac mo ˙zna odnale´z´c w podrozdziale 4.1.

64 Rozdział 4. Wyznaczenie konfiguracji stawu kolanowego

II. poprawno´s´c zaproponowanego opisu konfiguracji ko´sci udowej, przedstawio-nego w podrozdziale 4.1 (macierz testowa T wyznaczona przez nakładanie konfiguracji ko´sci udowej uzyskanej dzi˛eki zale ˙zno´sci (4.2), na bazie estymo-wanych punktów kluczowych,

III. dokładno´s´c oszacowania pozycji punktów kluczowych ko´sci udowej

(macierz testowa T wyznaczona przez nakładanie estymowanych punktów kluczowych przy wykorzystaniu algorytmu iteracyjnego najbli ˙zszego punktu [9] (ICP z ang. Iterative Closest Point)).

Zestaw (III) macierzy testowych jest wyznaczony za pomoc ˛a ICP. Jest to jedyny zestaw macierzy transformacji, który nie wykorzystuje zaproponowanego opisu kon-figuracji ko´sci udowej. Opiera si˛e jedynie na estymowanych pozycjach punktów kluczowych. Punkty kluczowe opisuj ˛ace ruchomy obraz s ˛a przypisane do punk-tów z obrazu referencyjnego za pomoc ˛a struktury drzewa kd [6]. Niepoprawne po-wi ˛azania zostaj ˛a usuni˛ete. Spo´sród proponowanych macierzy transformacji zostaje wybrana ta, która zapewnia najmniejszy MSE pomi˛edzy punktami referencyjnymi a ich najbli ˙zszymi s ˛asiadami z ruchomego obrazu, po zastosowaniu wybranej trans-formacji.

Algorytm ICP działa jedynie lokalnie, tj. zakłada, ˙ze transformacja pomi˛edzy dwoma zbiorami punktów jest nieznaczna. W przypadku omawianych sekwencji obrazów nie zawsze mo ˙zna przyj ˛a´c takie zało ˙zenie. Niektóre sekwencje cechuj ˛a znaczne przesuni˛ecia całej ko ´nczyny tak, aby ko´sci nie wykroczyły poza widzialny obszar ekranu fluoroskopowego. Ze wzgl˛edu na powy ˙zsze postanowiono zapro-ponowa´c zastosowanie rozszerzenia algorytmu ICP. Dla ka ˙zdej ramki obrazu, algo-rytm ICP jest inicjalizowany za pomoc ˛a 1000 losowo wybranych macierzy transfor-macji [26]. Zało ˙zono, ˙ze losowo wybrane macierze transfortransfor-macji b˛ed ˛a si˛e składa´c z translacji w poziomie i pionie z zakresu [100px, 100px] oraz rotacji z zakresu [₉₀, 90]. Algorytm ICP wyznacza dla ka ˙zdej z 1000 pocz ˛atkowych transformacji wyj´sciow ˛a macierz transformacji. Dla danej ramki obrazu, wybierana jest ta trans-formacja wyj´sciowa, która zapewnia najmniejsz ˛a warto´s´c MSE pomi˛edzy zbiorami punktów. Dla ka ˙zdej rozwa ˙zanej sekwencji obrazów dobierany jest zestaw macierzy transformacjiT, umo ˙zliwiaj ˛acy nakładanie konfiguracji ko´sci udowych na referen-cyjn ˛a.

Jako´s´c nakładania obrazów jest oceniania na podstawie porównania macierzy transformacji odpowiadaj ˛acych danemu zdj˛eciu. Wykorzystano dwa kryteria. Pierw-sze przedstawia warto´s´c bezwzgl˛edn ˛a ró ˙znicy k ˛ata pomi˛edzy dwoma wyznaczo-nymi transformacjami (weryfikacyjwyznaczo-nymi oraz testowymi). Dla transformacji testo-wych wektor orientacji dla całej sekwencji, mo ˙zna opisa´c jako θ_t = θ_t₁ θ_t₂. . . θ_t_S, por. równanie (4.5). Drugie kryterium odnosi si˛e do normy euklidesowej wektora ł ˛acz ˛acego punkty okre´slaj ˛ace pozycj˛e ko´sci udowej, po zastosowaniu dwóch zesta-wów macierzy transformacji. Odległo´s´c pomi˛edzy ww. punktami mo ˙zna wyrazi´c jako

Porównanie wyników dla wszystkich testowych macierzy transformacji (I) - (III) w odniesieniu do transformacji weryfikacyjnych, zebrano na Rys. 4.5 oraz 4.6. Ka ˙zdy z wykresów odnosi si˛e do jednego z przyj˛etych kryteriów. Warto zauwa ˙zy´c, ˙ze

4.2. Nakładanie obrazów z wykorzystaniem konfiguracji ko´sci udowej 65

wyniki przedstawiono dla dwóch niezale ˙znych sekwencji obrazów fluoroskopo-wych, spo´sród których ka ˙zdy posiada swoj ˛a indywidualn ˛a pozycj˛e referencyjn ˛a oraz osobny zestaw weryfikacyjnych macierzy transformacji.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 (II) Estymowane punkty kluczowe (bez ICP) (III) Estymowane punkty kluczowe (z ICP) (a)

(b)

RYSUNEK4.5: Bezwzgl˛edna warto´s´c bł˛edu k ˛atowego orientacji ko´sci udowej w funkcji numeru obrazu z sekwencji: (a) wyniki dla pacjenta

P2, (b) wyniki dla pacjenta P13.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 (II) Estymowane punkty kluczowe (bez ICP) (III) Estymowane punkty kluczowe (z ICP) (a)

(b)

RYSUNEK4.6: Odległo´s´cΦ: (a) wyniki dla pacjenta P2, (b) wyniki dla pacjenta P13.

Zarówno bł ˛ad k ˛atowy jak i warto´s´c Φ dla obydwu pacjentów oraz wszystkich macierzy testowych znajduj ˛a si˛e w akceptowalnym zakresie. Zgodnie z przewi-dywaniami najmniejsze warto´sci bł˛edu gwarantowała macierz testowa (I) oparta o r˛ecznie oznaczone punkty kluczowe. Bł ˛ad k ˛atowy jest zawsze mniejszy ni ˙z 1.5 a bł ˛ad odległo´sci ni ˙z 7px. Jest to zadowalaj ˛acy rezultat maj ˛ac na uwadze rozmiar

66 Rozdział 4. Wyznaczenie konfiguracji stawu kolanowego

obrazu oryginalnego, tj. 536px536px. Mo˙zna zatem wnioskowa´c, ˙ze dobrane ce-chy anatomiczne ko´sci oraz wybrane punkty kluczowe opisuj ˛ace konfiguracj˛e ko´sci udowej s ˛a dobrane poprawnie.

Z kolei zastosowanie estymowanych punktów kluczowych do wyznaczenia ma-cierzy transformacji skutkowało nieznacznym pogorszeniem dokładno´sci nakłada-nia ko´sci udowej na obrazach, zarówno przy wykorzystaniu algorytmu ICP jak i bez. Jednak wyniki wci ˛a ˙z odpowiadaj ˛a danym weryfikacyjnym z wystarczaj ˛ac ˛a pre-cyzj ˛a. Algorytm ICP, przez uwzgl˛ednienie informacji o poło ˙zeniu PS, wpłyn ˛ał na zmniejszenie warto´sci bł˛edu k ˛atowego LA. Dla samej estymacji LA warto´s´c bł˛edu orientacji dla rozwa ˙zanych pacjentów jest wy ˙zsza, co mo ˙zna zaobserwowa´c przez porównanie z Rys. 3.11.

Wykorzystanie transformacji testowej (II) opartej o konfiguracj˛e ko´sci wyzna-czon ˛a w równaniu (4.2), opisanej w podrozdziale 4.1, skutkowało porównywaln ˛a dokładno´sci ˛a do wyników dla transformacji testowej (III). Wa˙znym wnioskiem pły-n ˛acym z tej cz˛e´sci pracy jest to, ˙ze zaproponowany sposób zapisu konfiguracji ko´sci udowej jest wystarczaj ˛acy.

Warto równie ˙z zauwa ˙zy´c, ˙ze transformacje wyznaczone przy pomocy algorytmu ICP jak i te oparte o zaproponowany sposób zapisu konfiguracji ko´sci, s ˛a izome-tryczne parzyste. Zatem przekształcenia s ˛a jedynie ograniczone do translacji i ro-tacji, co jest zbie ˙zne z przyj˛etymi zało ˙zeniami niniejszej pracy. Prawdopodobnie gdyby umo ˙zliwiono wyznaczenie macierzy transformacji perspektywicznej, wów-czas bł˛edy nakładania byłyby mniejsze. Jednak wynikowe przekształcenia powo-dowałyby znaczne odkształcenie widzialnej cz˛e´sci ko´sci, równie ˙z perspektywy. Na-le ˙zy pami˛eta´c, ˙ze ze wzgl˛edu na reprezentacj˛e danych w dwóch wymiarach brak informacji o gł˛ebi. St ˛ad postanowiono ograniczy´c si˛e do przekształce ´n stanowi ˛ a-cych poł ˛aczenie rotacji i translacji.

Uzyskane wyniki s ˛a satysfakcjonuj ˛ace, zwa ˙zywszy kompleksowo´s´c postawio-nego problemu, zmienno´s´c danych wej´sciowych oraz wpływ bł˛edu ludzkiego na dane weryfikacyjne. Pomimo nieznacznie lepszej dokładno´sci transformacji (III) wyznaczonych za pomoc ˛a algorytmu ICP, w porównaniu z transformacjami (II) uzy-skanymi na podstawie opisu konfiguracji ko´sci udowej, w dalszych rozwa ˙zaniach wykorzystano te drugie. Wybór ten jest podyktowany mniejsz ˛a zło ˙zono´sci ˛a oblicze-niow ˛a oraz przyst˛epniejsz ˛a interpretacj ˛a. Dodatkowo, je ˙zeli zaproponowany opis konfiguracji jest obarczony bł˛edem, wówczas jest to bł ˛ad systematyczny. Zakłada si˛e, ˙ze kolejne kroki identyfikacji zniweluj ˛a wpływ tych bł˛edów.

Opisywana cz˛e´s´c pracy, zwi ˛azana z nakładaniem obrazów medycznych, wpisuje si˛e w trend zautomatyzowania procesu diagnozy opartej o dane graficzne.

Rozdział 5

Identyfikacja modelu kinematyki

Koncepcja rozwi ˛azania postawionego problemu, przedstawiona na Sch. 1.1, zakłada podział czwartego etapu identyfikacji modelu na dwie gał˛ezie. Wyró ˙zniono tu iden-tyfikacj˛e z przyj˛et ˛a struktur ˛a modelu, opisan ˛a w podrozdziale 5.1, oraz identyfika-cj˛e z szukaniem optymalnej struktury modelu, opisan ˛a w podrozdziale 5.2. W obu przypadkach zało ˙zono, zgodnie z zagadnieniami opisanymi w Roz. 1, ˙ze model kinematyki b˛edzie zdekomponowany na dwa podmodele: pozycji i orientacji. W podmodelu pozycji, zadanie identyfikacji jest okre´slone przez aproksymacj˛e krzy-wejx_qy_q. Graficzna reprezentacja identyfikacji podmodelu pozycji została przed-stawiona na Rys. 5.1. Dla jasno´sci prezentacji, zadanie przedstawiono dla stałej kon-figuracji ko´sci udowej g_i. Z kolei w podmodelu orientacji pasowana jest krzywa opisuj ˛aca θqw funkcjix_qy_q. Dobór struktury modelu, oznaczanej jakoS (), b˛e-dzie przebiegał niezale ˙znie dla ka ˙zdego podmodelu. Przedstawione w niniejszym rozdziale wyniki uzyskanych bł˛edów dotycz ˛a ka ˙zdego z podmodeli osobno.

RYSUNEK5.1: Graficzna reprezentacja zadania identyfikacji podmo-delu pozycji, dla stałej g_i.

W fazie walidacji, opisanej w Roz. 6, cało´sciowy model geometryczny stawu kolanowego w pierwszym etapie wykorzystuje podmodel pozycji do aproksymacji zbiorux_qy_q. Kolejno wyj´scie podmodelu pozycji jest wykorzystane jako wej´scie do podmodelu orientacji i słu ˙zy do wyznaczenia k ˛atów ugi˛ecia stawu θ_q, zgodnie ze wzorem (1.17).

68 Rozdział 5. Identyfikacja modelu kinematyki

Zarówno podmodel orientacji jak i podmodel pozycji wymagaj ˛a informacji o po-zycjach ze zbiorux_qy_q z równania (1.8). Dodatkowo, do wyznaczenia podmodelu orientacji konieczna jest informacja o referencyjnej orientacji stawu kolanowego θ_q. Wektory odpowiadaj ˛ace całej sekwencji s ˛a wykorzystane do wyznaczenia parame-trów funkcji aproksymuj ˛acej. Warto´sci parametrów mog ˛a si˛e ró ˙zni´c pomi˛edzy pa-cjentami, ale struktura zaproponowanego modelu musi pozosta´c stała.

Rozwa ˙zane b˛ed ˛a struktury podmodeli w postaci analitycznej, a dokładnie funk-cje wielomianowe, oraz struktury oparte o jednokierunkowe sieci neuronowe. Struk-tury oparte o sieci neuronowe b˛ed ˛a dokładnie opisane w podrozdziale 5.2. Postaci analityczne, ze wzgl˛edu na ich wykorzystanie w obu kolejnych podrozdziałach zo-stan ˛a krótko opisane tutaj. Podmodel pozycji przyjmuje posta´c funkcji uwikłanej, natomiast podmodel orientacji przyjmuje posta´c jawn ˛a. Dla podmodelu pozycji przyjmuje si˛e nast˛epuj ˛ac ˛a struktur˛e:

fq p_q, xq, yq opi-sano stopnie poszczególnych zmiennych wielomianu. Dla przejrzysto´sci opisu wpro-wadza si˛e nast˛epuj ˛ac ˛a notacj˛e. Je´sli podmodel pozycji f_q jest dany wielomianem stopnia r_xoraz r_ymo ˙zna zapisa´c, ˙ze

S_q rx, ry

= fq p_q, xq, yq . (5.2) Zaproponowany zapis jest wystarczaj ˛acy, poniewa ˙z dla ka ˙zdego zbioru obrazów istnieje tylko jeden model o danej strukturze. Analogicznie dla podmodelu orientacji przyjmuje si˛e nast˛epuj ˛ac ˛a posta´c:

f_θ p_θ, x_q, y_q

Je´sli podmodel orientacji jest dany wielomianem stopnia r_xoraz r_ywówczas po-prawna jest relacja

S_θ r_x, r_y

= f_θ p_θ, x_q, y_q . (5.4) Rezultatem prac przedstawionych w niniejszym rozdziale s ˛a trzy najlepsze tury dla podmodelu pozycji oraz trzy dla podmodelu orientacji. Jedna ze struk-tur jest wynikiem identyfikacji z przyj˛et ˛a struktur ˛a modelu natomiast dwie kolejne, identyfikacji z poszukiwaniem struktury modelu. W niniejszym rozdziale, walida-cja zostanie przeprowadzona oddzielnie dla obu podmodeli oraz dla ka ˙zdej rodziny modeli kandyduj ˛acych.

Cało´sciowe modele geometryczne, zło ˙zone z podmodelu pozycji i orientacji, zo-stan ˛a sprawdzone i porównane z innymi, znanymi z literatury, modelami kinema-tycznymi stawu kolanowego w Roz. 6.

5.1 Identyfikacja z przyj˛et ˛ a struktur ˛ a modelu

W niniejszym podrozdziale jako dane wej´sciowe wykorzystano zbiory konfigura-cji rQ oraz rQn odpowiadaj ˛ace pi˛eciu pacjentom z Tab. 3.1. Wybrano zdj˛ecia dzieci w ró ˙znym wieku, przy czym na jednej sekwencji widoczny jest aparat Ilizarowa

5.1. Identyfikacja z przyj˛et ˛a struktur ˛a modelu 69

(P15). Parametry szumu wykorzystane przy tworzeniu zbioru rQ_ndobrano na pod-stawie analizy rozkładu bł˛edów estymacji pozycji punktów kluczowych, opisanego w Roz. 4. Warto przypomnie´c, ˙ze cało´sciowy model kinematyczny w fazie walidacji w pierwszym etapie wykorzystuje podmodel pozycji do aproksymacji zbioru

rx ry lub

rxnyr_n, w zale ˙zno´sci od przyj˛etych danych wej´sciowych. Wyj´scie podmodelu pozycji jest wykorzystane do wyznaczenia k ˛ata zgi˛ecia w podmodelu orientacji.

Jako´s´c identyfikacji jest oceniana w sposób zale ˙zny od typu danych wej´sciowych.

Dla konfiguracji rQ wyznaczany jest MSE pomi˛edzy punktami rQ a odpowiadaj ˛acym im warto´sciom wyznaczonego podmodelu. W przypadku konfiguracji rQ_nwarto´sci parametrów podmodelu s ˛a wyznaczane dla rQ_n, jednak MSE obliczany jest na pod-stawie ró ˙znicy warto´sci wyj´scia podmodelu a konfiguracjami rQ. Dzi˛eki tak opraco-wanemu podej´sciu do wyznaczania MSE, mo ˙zna oceni´c wspólnie dokładno´s´c iden-tyfikacji oraz jako´s´c estymacji pozycji punktów kluczowych.

Podmodel pozycji

Podmodel pozycji aproksymuje zbiór punktów

rx ry lub rxnyr_n funkcj ˛a opisan ˛a równaniem (1.9). Ró ˙zne rodzaje funkcji zostały przeanalizowane pod k ˛atem do-kładno´sci aproksymacji. Do bardziej szczegółowej analizy wybrano cztery struk-tury podmodelu pozycji, tj. wielomian pi ˛atego stopnia, sum˛e dwóch funkcji wy-kładniczych, okr ˛ag oraz elips˛e. Wybór pierwszych trzech funkcji aproksymuj ˛acych jest podyktowany faktem, ˙ze były w przeszło´sci u ˙zywane do opisu modelu kine-matycznego kolana, przykładowo w pracy [65]. Znany i szeroko stosowany model kinematyczny czworoboku przegubowego [78] wykorzystuje przybli ˙zenie trajekto-rii ko´sci piszczelowej okr˛egiem. Z kolei elipsa stanowi, zaproponowane w niniej-szej rozprawie, rozszerzenie tej metody i została wybrana ze wzgl˛edu na dobr ˛a

W dokumencie Identyfikacja kinematycznych modeli ruchu stawu kolanowego na podstawie (Stron 86-100)