i) Operatory samosprzężone A i B komutują.
ii) Dla dowolnych λ, µ ∈ C, Im λ, Im µ ≠ 0 Rλ(A) Rµ(B) = Rµ(B) Rλ(A)
ii) Dla dowolnych u, v ∈ R :
exp(iuA) exp(ivB) = exp(ivB )exp(iuA )
iv) Dla dowolnych u ∈ R operatory exp(iua) i B komutują Naciągając lekko oznaczenia, często będziemy pisali : [A, B ] = AB − BA
dla komutujących operatorów samosprzężonych A i B.
(mówiąc ogólnie, dla nieograniczonych operatorów samosprzężonych A, B komutator [A, B] = AB − BA nie jest koniecznie zamknięty, tj. może on być określony tylko dla ϕ = 0 )
Stwierdzenie 1.3 Niech A = { A1, ... , An } – będzie skończonym zbiorem samosprzężonych, parami komutujących operatorów w ℵ. Na podzbiorach borelowskich Rn istnieje jednoznaczna miara o wartościach projektorowych PA, która posiada następujące własności :
i) Dla dowolnego E = E1 × ... × En ∈ B(Rn ) : PA(E) = PA1(E1) ... PAn(En )
ii) W silnej topologii operatorowej : Ak =
∫
λk dPAk , k = 1, ... , n Rngdzie λk – k – ta funkcja współrzędnościowa na Rn , λk( x1, ... , xn ) = xk
iii) Dla dowolnej funkcji mierzalnej f na Rn ,skończonej p.w. względem miary projektorowej PA , f( A1, ... , An ) – jest operatorem liniowym w ℵ, który jest określony następująco :
f( A1, ... , An ) =
∫
f dPARn
gdzie całka jest rozpatrywana w słabej topologii operatorowej.
Odpowiedniość f → f( A1, ... , An ) posiada te same własności, co w podpunkcie ii) twierdzenia spektralnego.
Nośnik miary o wartościach projektorowych PA na Rn nazywa się spektrum zgodnym rodziny komutatywnej A = {A1, ... , An }.
Uwaga. Zgodnie z twierdzeniem von Neumanna o operatorze tworzącym, dla dowolnej rodziny komutatywnej A operatorów samosprzężonych (nie koniecznie skończonej ) na separowalnej przestrzeni Hilberta ℵ istnieje operator tworzący – operator samosprzężony R na ℵ, taki że wszystkie operatory w A są funkcjami R.
Wydaje się naturalnym, że jednoczesny pomiar skończonego zbioru obserwabli A = {A1, ... , An } w stanie M ∈ Ŧ powinien być opisywane miara probabilistyczna µA na Rn, którą zadaje następujący uogólniony wzór
Borna – von Neumanna :
µA(E ) = Tr ( PA1(E1) ... PAn(En )M ) ; E = E1 × ... × En ∈ B(Rn ) (1.4)
Jednakże wzór (1.4) określa miarę probabilistyczną na Rn jeśli i tylko jeśli PA1(E1) ... PAn(En ) określa pewna miarę na Rn. Ponieważ iloczyn projekcji ortogonalnych będzie projekcja ortogonalną, tylko jeśli projektory komutują, to można wnioskować, że operatory A1, ... , An powinny zestawiać rodzinę przemienną.
Jest to zgodne z wymaganiem, mówiącym iż jednoczesny pomiar kilku obserwabli nie powinien zależeć od porządku prowadzenia pomiarów indywidualnych obserwabli. Wywody takie kontynuujemy w kolejnym aksjomacie.
A6. Skończony zbiór obserwabli A = {A1, ... , An } może być zmierzony jednocześnie (obserwable mierzalne jednocześnie ), jeśli i tylko jeśli zestawiają one rodzinę obserwabli przemiennych.
Jednoczesny pomiar rodziny przemiennej A ⊂ Ā w stanie M ∈ Ŧ jest opisywany przez miarę probabilistyczną µA na Rn, zadawaną wzorem :
µA(E ) = Tr PA(E ) M ; E ∈ B( Rn ) gdzie PA – miara ze stwierdzenia 1.3.
Konkretnie :
PA(E ) = PA1(E1) ... PAn(En )M ) ; E = E1 × ... × En ∈ B(Rn )
Dla dowolnego podzbioru borelowskiego E ⊆ Rn wielkość 0 ≤ µA(E ) ≤ 1 – jest to prawdopodobieństwo, że dla układu kwantowego w stanie M wynik jednoczesnego pomiaru obserwabli A1, ... , An należy do E.
Aksjomaty A1- A6 znane są jako aksjomaty Diraca- von Neumanna.
Zadanie 1.1 Dowieść własność (1.2).
Zadanie 1.2 Dowieść, że stan M jest stanem czystym, jeśli i tylko jeśli Tr M2 = 1
Zadanie 1.3 Dowieść, że wzór Borna – von Neumanna (1.3) określa miarę probabilistyczną na R tj. µA – jest σ - addytywna funkcją na B(R ).
Zadanie 1.4 Dowieść wszystkich pozostałych stwierdzenie z niniejszego podrozdziału.
2.1.2 Relacje nieokreśloności Heisenberga.
Dyspersja obserwabli A w stanie M, charakteryzująca odchylenie średnie A od jej wartości średniej, jest definiowana tak :
σM2(A) = < ( A − < A | M >I )2 | M > = < A2 | M > − < A | M >2 ≥ 0 przy warunku, że wartości średnie < A2 | M >, < A | M > istnieją.
Ze stwierdzenia 1.1 wynika, że dla M = Pψ, gdzie ψ ∈ D(A) : σM2(A) = || ( A − < A | M >I ) ψ ||2 = || Aψ ||2 − ( Aψ, ψ )2
Lemat 1.2 Dla A ∈ Ā i M ∈ Ŧ dyspersja σM(A) = 0, jeśli i tylko jeśli Im M - jest podprzestrzenią własną operatora A, odpowiadająca wartości własnej a = < A | M >.
W szczególności, jeśli M = Pψ, to ψ - jest wektorem własnym A, oraz Aψ = aψ.
Dowód.
Z twierdzenia spektralnego wynika, że : ∞
σM2(A) =
∫
( λ − a)2 dµA(λ) −∞tak, że σM(A) = 0, jeśli i tylko jeśli miara probabilistyczna µA jest skupiona w punkcie a ∈ R tj. µA({a}) = 1.
Ponieważ µA({a}) = Tr PA({a})M I Tr M = 1, to można wnioskować, ze jest to równoważne temu, że Im M – jest inwariantna podprzestrzenią PA({a}) i z twierdzenia spektralnego wynika, że Im M – jest podprzestrzenią własną A, odpowiadającą wartości własnej a.
Teraz sformułujemy uogólnienie relacji nieokreśloności Heisenberga.
Stwierdzenie 1.4 (H. Weyl ) Niech A, B ∈ Ā i niech M = Pψ - stan czysty, taki że ψ ∈ D(A) ∩ D(B) i Aψ ,Bψ ∈ D(A) ∩ D(B), wtedy :
σM2(A) σM2(B) ≥ ¼ < I [A, B] | M >2
Taka nierówność jest spełniona dla dowolnego M∈ Ŧ, gdzie z definicji :
< i[A, B] | M > = lim < i[An, Bn ]| M >
n→∞
Dowód.
Niech M= Pψ. Ponieważ :
[ A − < A | M >I, B − < B | M >I ] = [A, B]
to wystarczy dowieść nierówności :
< A2 | M > < B2 | M > ≥ ¼ < i[A, B] | M >2 Dla dowolnego α ∈R otrzymujemy :
Tak, że z konieczności :
4( A2ψ, ψ ) (B2ψ, ψ ) ≥ ( i[A, B]ψ, ψ )2
Ta sama analiza pracuje również dla stanów mieszanych. Ponieważ : σM2(A) σM2(B) = lim σM2(An ) σM2(Bn )
n →∞
(zobacz uwaga w poprzednim podrozdziale ), to wystarczy dowieść nierówności dla ograniczonych A i B. Wtedy, wykorzystując cykliczna własność śladu, otrzymujemy dla dowolnego α ∈ R :
tak, że :
4 Tr A2M Tr B2M ≥ Tr ( i[A, B]M ), ψ )2
Relacje nieokreśloności Heisenberga dają ilościowe wyrażenie tego faktu, że nawet w stanie czystym obserwable niekomutujace nie mogą być zmierzone jednocześnie.
To pokazuje fundamentalną odmienność pomiędzy procesami pomiaru w MK i MQ.
2.1.3 Dynamika.
Zbiór Ā obserwabli układu kwantowego nie tworzy algebry ze względu na iloczyn operatorowy ( iloczyn dwóch niekomutujących operatorów – nie koniecznie jest operatorem samosprzężonym ).
Tym niemniej rzeczywista przestrzeń wektorowa Ā0 obserwabli ograniczonych posiada strukturę algebry Liego z nawiasem Liego :
i [A, B ] = i( AB − BA ) ; A, B ∈ Ā0
Uwaga. W istocie C* - algebra ₤(ℵ) operatorów ograniczonych w ℵ posiada strukturę zespolonej algebry Liego z nawiasem Liego, danym przez komutator [A, B] = AB − BA.
Spełnia ona zasadę Leibniza : [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
tak, że nawias Liego – jest różniczkowaniem na C* - algebrze ₤(ℵ).
Analogicznie do MK postulujemy, że ewolucja czasowa układu kwantowego z przestrzenią stanów ℵ jest w pełni określona przez szczególną obserwablę H ∈ Ā, która nazywamy operatorem Hamiltona
(dla prostoty – hamiltonianem ). Tak samo jak w MK, struktura algebry Liego na Ā0 prowadzi do odpowiednich kwantowych równań ruchu.
Konkretnie, analogiem reprezentacji Hamiltona w MK (zobacz podrozdział 1.2.8, rozdziału 1 ) dla MQ jest reprezentacja Heisenberga, w takiej reprezentacji stany nie zależą od czasu :
dM/dt = 0; M ∈Ŧ
a ograniczone obserwable spełniają równanie ruchu Heisenberga :
dA/dt = {H, A}ħ , A ∈ Ā0 (1.5)
gdzie { . , . }ħ = (i/h) [ . , . ] (1.6)
- jest nawiasem kwantowym – zależny od h nawias Liego na Ā0.
Liczba ħ – nazywa się stałą Plancka ( jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych, ma ona wymiar działania (energia × czas ). Poprzez jej określona przez eksperyment wartość ħ = 1,054 • 10−27 [egr × s ] przejawia się ten fakt, że MQ – jest teorią mikroskopową )
Równanie Heisenberga (1.5) jest określone poprawnie, kiedy H ∈ Ā0. Niech bowiem U(t) – będzie silnie ciągłą jednoparametrową grupą operatorów unitarnych, stowarzyszoną z ograniczonym samosprzężonym operatorem H :
U(t) = exp[ −(i/ħ )tH ] , t ∈ R (1.7)
Spełnia ona rr :
i ħ dU(t)/dt = H U(t) = U(t) H (1.8)
tak, że rozwiązanie A(t) równania ruchu Heisenberga z warunkiem początkowym A(0) = A ∈ Ā0 dane jest następująco :
A(t) = U(t)−1AU(t) (1.9)
W przypadku ogólnym silnie ciągła jednoparametrowa grupa operatorów unitarnych (1.7), stowarzyszona z operatorem samosprzężonym H, spełnia rr (1.8) tylko na D(H) w silnym sensie tj. przy zastosowaniu do wektorów ϕ ∈ D(H).
Dynamika kwantowa jest określona jest przez tę grupę (1.9) i w tym sensie wszystkie obserwable kwantowe spełniają równanie ruchu Heisenberga (1.5).
Operator ewolucji Ut : Ā → Ā jest określony przez wzór : Ut(A) = A(t) = U(t)−1AU(t)
i jest automorfizmem algebry Liego Ā0 – obserwabli ograniczonych.
Jest to kwantowy analog stwierdzenia, że operator ewolucji w MK – jest automorfizmem algebry Poissona obserwabli klasycznych (zobacz twierdzenie 2.19 , podrozdział 1.2.7, rozdział 1 )
Zgodnie z twierdzenie Stone’a silnie ciągła jednoparametrowa grupa operatorów unitarnych U(t) ma postać (1.7), gdzie ( Zgodnie z twierdzeniem von Neumanna na separowalnej przestrzeni Hilberta dowolna słabo mierzalna jednoparametrowa grupa operatorów unitarnych jest silnie ciągła ) :
D(H) = { ϕ ∈ ℵ : lim (U(t) − I )ϕ / t istnieje } t→0
oraz
Hϕ = ih lim ( U(t) − I )ϕ / t t→0
Obszar określoności D(H) operatora samosprzężonego H, nazywanego infinitezymalnym generatorem grupy U(t) – jest to inwariantna podprzestrzeń liniowa dla wszystkich operatorów U(t).
A7 (reprezentacja Heisenberga ) Dynamika układu kwantowego opisywana jest przez silnie ciągłą jednoparametrową grupę U(t) operatorów unitarnych. Stany kwantowe nie zależą od czasu :
Ŧ ∋ M → M(t) = M ∈ Ŧ
a zależność obserwabli kwantowych od czasu dana jest poprzez operator ewolucji Ut : Ā ∋ A → A(t) = Ut(A) = U(t)−1A U(t) ∈ Ā
Na poziomie infinitezymalnym ewolucja kwantowych obserwabli opisywana jest przez równanie ruchu Heisenberga (1.5), gdzie operator Hamiltona H – jest to infinitezymalny generator grupy U(t).
Analog reprezentacji Liouville’a w MK (zobacz podrozdział 1.2.8, rozdział 1 ) – jest to reprezentacja Schrödingera w MQ, która jest określona następująco.
A8. (Reprezentacja Schrödingera ) Dynamika układu kwantowego opisywana jest przez silnie ciągłą jednoparametrową grupę U(t) operatorów unitarnych. Kwantowe obserwable nie zależą od czasu :
Ā ∋ A → A(t) = A ∈ Ā
a zależność stanów od czasu dana jest poprzez odwrotny operator ewolucji Ut−1 :
Ŧ ∋ M → M(t) = U−t(M) = U(t)MU(t)−1∈ Ŧ (1.10)
Na poziomie infinitezymalnym ewolucja stanów kwantowych opisywana jest przez równanie ruchu Schrödingera : dM /dt = − { H, M }h , M ∈ Ŧ (1.11) gdzie operator Hamiltona H – jest to infinitezymalny generator grupy U(t).