#################################################################################################
Mechanika kwantowa dla matematyków
Leon. A. Takhtajan
Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook, NY 11794-3651, USA
Quantum mechanics for mathematicians
Graduate Studies in Mathematics vol. 95 American Mathematical Society
Tłumaczenie z przekładu rosyjskiego, R&C Dynamics Iżewsk 2011 Л. А. Тахтаджян – Kвантовая механика дла математиков
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2019
Ostatnia modyfikacja : 2020-02-20 Tłumaczenie całości książki ( W oryginale 495 stron ).
************************************************************************************************
Wstęp własny
Jako wprowadzenie do mechaniki kwantowej polecam książkę :
Wykłady z mechaniki kwantowej –
W. W. Bałaszow, W. K. Dolinow Wydawnictwo R&C Moskwa- Iżewsk 2001 oraz tekst własny :
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej ( MQ )
************************************************************************************************
Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.
CP – czasoprzestrzeń.
MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetyzm STW – szczególna teoria względności
IUO – inercjalny układ odniesienia ; UO – układ odniesienia NIUO – nie inercjalny układ odniesienia
TEP – tensor energii –pędu
KTP – kwantowa teoria pola (ang. QFT ) KLTP – klasyczna teoria pola
NP – nawiasy Poissona FD - funkcjonał działania
E-L – (równanie) Eulera- Lagrange’a
rrz – równania różniczkowe zwyczajne (układ takich równań ) rrc – równania różniczkowe cząstkowe (układ takich równań ) Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Zbiór liczb rzeczywistych oznaczono jako R (kursywa ), zbiór liczb zespolonych, jako C Dalsze oznaczenia szczególne, występujące w książce podano na końcu tłumaczenia.
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
***********************************************************************************************
Mojemu nauczycielowi Ludwikowi Dymitrowiczowi Faddeewowi z podziwem i wdzięcznością.
Przedmowa autora do wydania rosyjskiego
Mechanika kwantowa (*MQ*) stanowi jedno z najbardziej spektakularnych osiągnięć ludzkiego umysłu zeszłego stulecia.
Aparat matematyczny tej teorii jest nienaganny, a jej fizyczne podstawy, opisujące zjawiska mikroswiata na poziomie elektronów w atomie, atomów w molekułach itd. układają się w samozgodną teorię. Wiele osiągnięć związanych z postępem naukowo- technicznym oparte jest na prawach MQ, a my stale obserwujemy ich przejawy w życiu codziennym, wykorzystując różnorakie urządzenia elektroniczne i aparaturę medyczną. Jednocześnie zjawiska mikroświata na tyle wydają się sprzeczne z naszym codziennym doświadczeniem, opartym na ogólnie przyjętych prawach fizyki klasycznej – fizyki makroświata, że rozpowszechnił się pogląd, iż nie można zrozumieć mechaniki kwantowej.
Celem niniejszej książki, jest przedstawienie MQ od jej strony matematycznej, wraz z jej obecnymi zastosowaniami w stylu, zrozumiałym dla czytelnika – matematyka, zarówno na poziomie profesjonalnym, jak i na poziomie studenta matematyki. Na ile udało się zrealizować takie zagadnienie, oceni czytelnik. Okoliczności tak się złożyły, że niniejsza książka została w pierwszej kolejności wydana w języku angielskim w wydaniu AMS
(American Mathematical Society )
Dziękuje kandydatowi nauk mat-fiz S. A. Sławnowi za przywrócenie jej na język, oryginału, w jakim została ona pierwotnie pomyślana prze autora. Jestem wdzięczny A. A. Sławnowi za to, że zgodził się zostać redaktorem naukowym wydania rosyjskiego.
Jestem również wdzięczny Rosyjskiej fundacji badań naukowych za wsparcie prac nad przekładem rosyjskim w wydawnictwie R&C (* szczegóły wydania - zobacz skan tylnej obwoluty na końcu książki *)
L. A. Л. А. Тахтаджян Sierpień – wrzesień 2010 Sankt- Petersburg – Rosja Sant- James, NY
Przedmowa redaktora przekładu rosyjskiego.
MQ istnieje już ponad sto lat i nad jej podstawami pracowali najbardziej znani matematycy.
Tym niemniej w obszarze jej struktury matematycznej istnieje szereg nie rozwiązanych problemów i jak dotąd nie został przedstawiony, specjalnie przeznaczone dla matematyków wykład podstaw MQ.
Książka L. Tahtadżjana w znacznej mierze uzupełnia taka lukę.
Leon Tahtadzjan – znany w świecie specjalista w obszarze współczesnej fizyki matematycznej. W swojej książce przedstawia on na współczesnym poziomie matematycznym podstawowe rozdziały MQ.
W tych przypadkach, kiedy pełne uzasadnienie matematyczne takiego, lub innego stwierdzenia nie jest dostępne, autor zauważa, że w danym zagadnieniu wykład należy prowadzić na „fizycznym poziomie ścisłości”.
Książka Tahtadzjana będzie niewątpliwie użyteczna dla szerokiego kręgu czytelników, zarówno dla studentów, którzy dopiero, co zaznajamiają się z matematycznymi problemami MQ, jak i zaawansowanych pracowników naukowych, chcących pogłębić i uzupełnić informacje o obecnym stanie wiedzy w przedstawionym kręgu problemów.
***********************************************************************************************
Przedmowa do książki
Przedstawiona książka oparta jest na specjalistycznych wykładach, wygłoszonych przez autora w ciągu ostatnich 14 lat na fakultecie matematycznym Uniwersytetu Stony Brook. Celem takich wykładów było zaznajomienienie studentów drugiego roku z podstawowymi koncepcjami i metodami MQ. W ciągu ostatnich 50-ci lat fizyka kwantowa była siłą przewodnia dla wielu istotnych osiągnięć matematycznych, odgrywając role, podobna do roli, jaka odegrała fizyka klasyczna w okresie pomiędzy XVII i XIX wiekiem. Fizyka klasyczna, a w szczególności mechanika klasyczna, stanowiła nieodłączną cześć nauczania matematycznego aż do początków XX wieku, w szczególności wykładali ją Hilbert i Poincare. Dziwne jest to, że fizyka kwantowa, a w szczególności MQ, mimo swojego wewnętrznego piękna i powiązania z wieloma dziedzinami matematyki, nie stała się częścią programu nauczania studentów. Niniejszy cykl wykładów został opracowany, aby choćby w części wypełnić taką lukę i sprawić, że MQ będzie dostępna dla studentów i naukowców – matematyków.
L D. Faddeev był pierwszym, który opracował kurs MQ dla studentów matematyków. Od roku 1968 do 1973 wygłaszał on regularne wykłady na fakultecie matematyczno –mechanicznym Państwowego Uniwersytetu Sankt- Petrersburskiego ( wówczas Leningrad ), autor miał możność wysłuchania takich wykładów. Materiał do przedstawionej książki wyrósł z prób stworzenia podobnego kursu dla studentów starszych lat, którzy dysponują bardziej zaawansowana wiedzą
matematyczna, który pokrywałby szerokie krąg tematów, włączając w to podejście Feynmana do MQ, oparte na całce po drogach.
Istnieje wiele dobrych podręczników MQ dla fizyków, poczynając od klasycznych tekstów P.A.M. Diraca [Dir74], L.D. Landau, E. M. Lifszyc [Lan89b], W. A. Fok [Φok76b], kończąc na pracy encyklopedycznej A. Messiah [Mes99], nowym popularnym podręcznikiem jest J. J. Sakurai [Sak94], oraz wiele innych.
Pośród książek zorientowanych matematycznie, należy wymienić klasyczne monografie J. Von Neumann [vN96] i H. Weyl [Wey50], jak również nieco młodsza książkę J. Mackey’a [Mac04], w których to omawiane są podstawy formalizmu matematycznego, oraz logiczne uzasadnienia teorii.
Istnieje również monumentalny projekt [DeF+99], który ma na celu zaznajomienie studentów i badaczy – matematyków z królestwem pól kwantowych i strun, zarówno w ich aspekcie fizycznym jak i matematycznym.
Jednakże, chociaż zawiera on zorientowaną na matematyków treść w obszarze mechaniki klasycznej, klasycznej teorii pola i supersymetrii, to MQ omawiana jest tylko w zarysie (za wyjątkiem pięknego wprowadzenia do MQ L. D. Faddeeva [Fad01] )
Książka L. D. Faddeev, O. A. Jakubowski [Φad01] – jest jak się wydaje jedyną książką poświeconą MQ, przeznaczoną dla matematyków.
Niedawno wydane książki [Gs03] i [Str05], również mają orientacje skierowana na matematyków.
Ta ostatnia, jest to krótki wykład wprowadzający, podczas gdy pierwsza – jest to raczej monografia na średnim poziomie zaawansowania teorii kwantowej, niż podręcznik MQ.
Istnieje również cały zbiór specjalizowanych książek, omawiających różnorodne rozdziały MQ, takie jak np. teoria rozpraszania, operator Schrödingera, C*- algebry itd.
Przedstawiona książka zawiera wyczerpujące przedstawienie MQ z matematycznego punktu widzenia i zawiera takie tematy jak podstawy matematyczne, kwantowanie równanie Schrödingera, feynmanowską całkę po trajektoriach, metody funkcjonalne, supersymetrię.
Można ja wykorzystać dla przygotowania rocznego wykładu specjalistycznego lub dwóch semestralnych wykładów – wykładu wprowadzającego, opartego o materiał pierwszej części i szczegółowego wykładu, opartego o część druga niniejszej książki.
Pierwszą cześć książki złożoną z rozdziałów 1 – 4, można rozpatrywać jako rozszerzoną wersję [Φad01].
Wykorzystuje w niej bardziej zaawansowana matematykę, niż [Φad01] i przedstawiam ścisłe dowody wszystkich podstawowych wyników, włączając w to znane twierdzenie Stone’a – von Neumanna. Treść powinna być dostępna dla studentów drugiego roku. Tak samo jak w [Φad01], wykorzystujemy podejście, pochodzące od Diraca i dalej rozszerzone przez Faddeewa, zgodnie z nim MK i MQ – są po prostu dwiema różnymi realizacjami fundamentalnej struktury
matematycznej teorii fizycznej, która wykorzystuje pojecie obserwabli, stanów, pomiarów i ewolucji czasowej – dynamiki.
Część druga, składająca się z rozdziałów 5 – 8, związana jest z metodami funkcjonalnymi w MQ i wychodzi poza ramy materiału przedstawionego w [Φad01]. Wykład prowadzony jest tam mniej szczegółowo i wymaga od czytelnika większej matematycznej wiedzy.
Chociaż w przedstawionym wykładzie swobodnie wykorzystuje wszystkie konieczne instrumenty współczesnej matematyki, jest on osadzony w duchu i tradycji w/w klasycznych tekstów.
W tym sensie można go rozpatrywać jako „neoklasyczny” (w porównaniu z bardziej abstrakcyjnym podejściem [DF99a] ).
Każdy rozdział książki kończy się specjalnym rozdziałem „Uwagi i odsyłacze”, w którym podajemy odsyłacze do potrzebnych informacji matematycznych i źródeł fizycznych. Zdecydowany czytelnik może samodzielnie nauczyć się wymaganej matematycznej sprawności, analizując podstawowy tekst i zaglądając do takich odsyłaczy, a mając wystarczające doświadczenie, może „przekładać” odpowiednie rozdziały podręczników fizycznych na język matematyczny.
Dla studentów – fizyków prezentowana książka daje możliwość zaznajomienia się z podstawami matematycznymi i metodami MQ z pomocą analizy przypadków szczególnych. Należy zauważyć, że rozwój wielu dyscyplin
matematycznych był stymulowany MQ.
Materiał mojej książki można odczytywać na wiele sposobów. Czytelnik, który nie chce zagłębiać się w treść może powierzchownie zaznajomić się z tekstem podstawowym, opuszczając zawiłe rachunki i zadania, które zamieszczono pod koniec każdego rozdziału.
Będzie to wystarczające dla otrzymania minimalnych podstaw znajomości MQ. Bardziej zainteresowanemu czytelnikowi polecam samodzielne odtworzenie szczegółów obliczeń znajdujących się w tekście podstawowym (będą pomocne zeszyt i ołówek ) – tylko tak można ogarnąć treść właściwą, polecam również spróbować rozwiązać elementarne zadania
(pozostawiam czytelnikowi decyzję, jakie zadania są elementarne, a jakie zaawansowane )
Na koniec, czytelnikowi bardzo zainteresowanemu polecam rozwiązanie wszystkich zadań (być może trzeba będzie zaglądnąć w tym celu do odpowiednich odsyłaczy ), oraz analizę uwag, które często mogą być związane z innymi tematami, nie wchodzącymi do ram tekstu głównego.
Autor chciałby podziękować studentom, którzy wysłuchali jego wykładów, za komentarze do szkiców niniejszej książki.
Szczególne podziękowania należą się kolegom : P. P Kuliszowi i Li- Peng Tao za wnikliwe przeczytanie rękopisu.
(* dalej autor składa inne podziękowania *)
************************************************************************************************
Rozdział I Mechanika klasyczna.
Zakładam, że czytelnik jest zaznajomiony z podstawowymi pojęciami teorii gładkich (tj. C∞ ) rozmaitości, zatem dalej przypomnę tylko standardowe oznaczenia.
Jeśli nie powiedziano inaczej, to wszystkie odwzorowania przyjmujemy jako gładkie, a wszystkie funkcje – jako gładkie i rzeczywiste.
Współrzędne lokalne q = (q1, ... qn ) na gładkiej n – wymiarowej rozmaitości M w punkcie q ∈M – są to współrzędne kartezjańskie na ϕ(U) ⊂ Rn ,gdzie (U, ϕ ) – otoczenie współrzędnościowe w M o środku w q ∈U.
Dla zadanej funkcji f : U → Rn jako f(q) będziemy oznaczali ( f ° ϕ–1 )(q1, ... qn ), a gradient funkcji f w punkcie q ∈ Rn o współrzędnych kartezjańskich (q1, ... qn ) będziemy oznaczali jako :
∂f/∂q = ( ∂f/∂q1, ... , ∂f/∂qn ) Poprzez :
n A•(M) = ⊕ Ak(M)
k = 0
będziemy oznaczali algebrę gradowaną ( ze względu na iloczyn zewnętrzny ), gładkich form różniczkowych określonych na M, a jako d – różniczkę de Rhama, jako gradowane różniczkowanie na A•(M) stopnia 1, takie że df – jest różniczką funkcji f ∈ A•(M) = C∞(M).
Niech Vect(M) – będzie algebrą Liego gładkich pól wektorowych na M o nawiasie Liego [ . , . ], zadanym przez komutator pól wektorowych. Dla X ∈Vect(M) poprzez £X oznaczamy pochodną Liego wzdłuż pola wektorowego X,
a poprzez iX – iloczyn wewnętrzny z polem X.
Pochodna Liego – jest to różniczkowanie stopnia 0 na A•(M), komutujące z d i spełniające zależność :
£X(f ) = X(f) dla f ∈ A0(M)
Iloczyn wewnętrzny – jest to różniczkowanie stopnia 1 na A•(M), spełniające zależności : iX(f) = 0 , iX(df) = X(f) dla f ∈ A0(M)
Operacje takie spełniają zależności Cartana :
£X = iX ° d + d ° iX = (d + iX )2 i[X,Y] = £X ° iY – iY ° £X
(* Zobacz tekst własny pt. Rozmaitości różniczkowe *)
Dla zadanego odwzorowania gładkiego, dwóch rozmaitości f : M → N, poprzez : f* : TM → TN
będziemy oznaczali odwzorowanie indukowane na rozwłóknieniu stycznym, a poprzez f* : T*N → T*M
będziemy oznaczali odwzorowanie indukowane na rozwłóknieniu kostycznym.
Pozostałe oznaczenia, włączając w to oznaczenia tradycyjnie stosowane w mechanice klasycznej będą wprowadzane w dalszym tekście.
1. Mechanika Lagrange’a.
1.1.1 Współrzędne uogólnione.
Mechanika klasyczna (*MK*) opisuje układy (fizyczne) o skończonej liczbie cząstek oddziałujących (cząstka – jest to ciało materialne, której wymiary przestrzenne, przy opisie jej ruchu można zaniedbać )
Układ nazywamy układem zamkniętym, jeśli jego cząstki nie oddziaływują z zewnętrznymi ciałami materialnymi.
Umiejscowienie układu w przestrzeni jest określone poprzez umiejscowienie przestrzenne jego cząstek i zadaje punkt na gładkiej, skończenie wymiarowej rozmaitości M – przestrzeni konfiguracyjnej układu.
Współrzędne na M, nazywamy współrzędnymi uogólnionymi układu, a wymiar n = dim M, nazywamy liczbą stopni swobody. (układy o nieskończonej liczbie stopni swobody opisuje klasyczna teoria pola )
Stan układu w dowolnej chwili czasu opisujemy punktem q ∈M i wektorem stycznym v ∈TqM zaczepionym w tym punkcie.
Podstawową zasadą MK jest zasada determinizmu Newtona – Laplace’a, mówiąca, że stan układu w danej chwili czasu jest określa w sposób całkowity jego ruch w dowolnej innej chwili czasu t (zarówno w przyszłości jak i przeszłości ).
Ruch opisujemy trajektorią klasyczną – drogą γ(t) określoną w przestrzeni konfiguracyjnej M.
We współrzędnych uogólnionych droga γ, zadana jest jako : γ(t) = (q1(t), ... qn(t) )
A odpowiednie pochodne : q•i ≡ dqi/dt
nazywamy prędkościami uogólnionymi.
Zasada Newtona – Laplace’a – jest to fundamentalny fakt empiryczny, który potwierdzamy w naszym codziennym doświadczeniu.
Z takiej zasady wynika, że prędkości uogólnione : q••i ≡ d2qi /dt2
są określone jednoznacznie przez współrzędne uogólnione qi i uogólnione prędkości q•i, tak że trajektorie klasyczne spełniają układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, które nazywamy równaniami ruchu.
W następnym podrozdziale sformułujemy najogólniejsza zasadę, która rządzi ruchem układów mechanicznych.
1.1.2 Zasada najmniejszego działania.
Układ lagranżjanowski na przestrzeni konfiguracyjnej M zadany jest przez gładką, rzeczywistą funkcję L, określoną na TM × R – iloczynie prostym rozwłóknienia stycznego TM do M i osi czasowej (z zasady Newtona – Laplace’a wynika, że L może zależeć tylko od współrzędnych uogólnionych, prędkości i czasu ); funkcję tę nazywamy funkcją Lagrange’a lub po prostu lagranżjanem.
Ruch układu lagranżjanowskiego (M, L) opisywany jest przez zasadę najmniejszego działania w przestrzeni konfiguracyjnej (zwaną też zasadą Hamiltona ), która formułuje się następująco.
Niech :
P(M)q1t1 q0t0 = { γ : [t0, t1] → M ; γ(t0) = q0 ,γ(t1) = q1 }
- będzie przestrzenią gładkich sparametryzowanych dróg w M, łączących punkty q0 i q1.
Przestrzeń dróg P(M) = P(M)q1t1 q0t0 jest nieskończenie wymiarową rozmaitością Freheta, a przestrzeń styczna TγP(M) do P(M) w punkcie γ ∈P(M) składa się ze wszystkich gładkich pól wektorowych na γ, zerujących się w punktach
końcowych q0 i q1. Droga gładka Γ w P(M), przechodząca przez γ ∈ P(M), nazywa się wariacją z stałymi (ustalonymi ) końcami dróg γ(t) w M. Wariacja Γ jest to rodzina γε(t) = Γ(t, ε) dróg w M, zadana przez odwzorowanie gładkie : Γ : [t0, t1] × [ −ε0, ε1] → M
takie, że Γ(t, 0) = γ(t) dla t0 ≤ t ≤ t1 i Γ(t0, ε ) = q0, Γ(t1, ε ) = q1dla −ε0 ≤ ε ≤ ε1 Wektor styczny :
δγ = ∂Γ/∂ε |ε =0 ∈ TγP(M)
odpowiadający wariacji γε(t), tradycyjnie nazywa się wariacją infinitezymalną.
Konkretnie :
δγ(t) = Γ* (∂/∂ε )(t, 0) ∈ Tγ(t)M , t0 ≤ t ≤ t1
gdzie ∂/∂ε - wektor styczny do odcinka [ −ε0, ε1] w punkcie 0.
Podniesienie styczne drogi : γ : [ t0, t1] → M
- jest, to droga γ’ : [t0, t1] → TM określona przez wzór :
γ’(t) = γ*(∂/∂t) ∈ Tγ(t)M , t0 ≤ t ≤ t1
gdzie ∂/∂t – wektor styczny do odcinka [ t0, t1] w punkcie t.
Innymi słowy, γ’(t) – jest to wektor prędkości drogi γ(t) w chwili t.
Definicja. Funkcjonał działania (*FD*) S : P(M) → R
układu lagranżjanowskiego (M, L) zadany jest przez wzór : t1
S(γ) = ∫ L(γ’(t), t ) dt t0
Zasada najmniejszego działania (zasada Hamiltona ). Droga γ ∈ PM opisuje ruch układu (M, L) między położeniem q0 ∈ M w chwili t0 i położeniem q1 ∈ M w chwili t1, jeśli i tylko jeśli jest ona punktem krytycznym FD S :
d/dt |ε =0 S(γε ) = 0
dla wszystkich wariacji o stałych końcach γε(t) drogi γ(t).
Punkty krytyczne FD nazywają się ekstremami, zatem zasada najmniejszego działania mówi, że układ (M, L) porusza się po ekstremalnych (zasada najmniejszego działania nie mówi, że ekstremalna łącząca punkty q0 i q1 minimalizuje S, nie mówi również, że taka ekstremalna jest unikalna. Nie mówi również tego, że dowolne dwa punkty można w ogólności połączy ekstremalną )
Ekstremalne są opisywane przez równania ruchu układ równań różniczkowych pierwszego rzędu we współrzędnych lokalnych określonych na TM. Równania ruchu można zapisać najwygodniej przy następującym wyborze współrzędnych lokalnych na TM.
Definicja. Niech (U, ϕ0 – będzie otoczeniem współrzędnościowym w M o współrzędnych lokalnych q = (q1, ... qn ).
Współrzędne :
(q, v ) = (q1, ... qn , v1, ... vn )
na otoczeniu TU przestrzeni TM, gdzie v = (v1, ... vn ) – współrzędne na włóknie, odpowiadające bazie
∂/∂q1, ... ∂/∂qn
przestrzeni TqM, nazywamy współrzędnymi standardowymi.
Współrzędne standardowe – są to współrzędne kartezjańskie zadane na ϕ*(TU) ⊂ TRn ≅ Rn × Rn.
Posiadają one taką własność, ze dla (q, v) ∈ TU i f ∈ C∞(U) spełniona jest równość : n
v(f) = Σ vi ( ∂f/∂qi ) = v (∂f/∂q) i =1
Niech (U, ϕ) i (U’, ϕ’ ) – będą otoczeniami współrzędnościowymi w M z funkcjami przejścia F = ( F1,... Fn ) = ϕ’ °ϕ(U ∩ U’ ) →ϕ’(U ∩ U’ )
i niech (q, v ) i (q’, v’ ) – będą odpowiednio współrzędnymi standardowymi na TU i TU’
Wtedy : q' = F(q) i
v’ = F*(q ) = { ∂Fi(q)/∂qj }n i,j =1
jest funkcją o wartościach macierzowych na ϕ(U∩ U’ )
Zatem, współrzędne „wertykalne” v = ( v1,... vn ) we włóknach TM → M przekształcają się przy zamianie współrzędnych na M jak składowe wektora stycznego do M.
Podniesienie styczne γ’(t) drogi γ(t) w M we współrzędnych standardowych na TU zapisujemy następująco : (q(t), q•(t)) = (q1(t), ... , qn(t), q•1(t), ... , q•n(t) )
gdzie kropką oznaczono pochodna po czasie, tak że : L(γ’(t), t) = L(q(t), q•(t), t )
Podtrzymując wielowiekową tradycję (którą wykorzystując wszystkie teksty związane z MK i fizyką teoretyczną ), będziemy zapisywali współrzędne standardowe w następujący sposób :
(q, q• ) = (q1(t), ... , qn(t), q•1(t), ... , q•n(t) ) gdzie teraz kropka nie oznacza pochodnej po czasie.
Ponieważ rozpatrujemy tylko te drogi w TM, które są podniesieniami stycznymi dróg w M, to oznaczenie takie nie powinno prowadzi do nieporozumienia.
( oznaczenie (q(t), v(t)) rezerwujemy dla dowolnych dróg w TM )
Twierdzenie 1.1 Równania ruchu układu lagranżjanowskiego (M, L) we współrzędnych standardowych na TM – jest to równanie Eulera- Lagrange’a (*E-L*) :
[∂L(q(t), q•(t), t )/∂q ] − d/dt [∂L(q(t), q•(t), t )/∂q• ] = 0 Dowód.
W pierwszej kolejności założymy, że ekstremalna γ(t) leży w otoczeniu współrzędnościowym U rozmaitości M.
Wtedy poprzez prosty rachunek, prowadzony we współrzędnych standardowych, wykorzystując całkowanie przez części, otrzymujemy :
Druga suma w ostatnim wierszu zeruje się w wyniku własności : δqi(t0 ) = δqi(t1 ) = 0 , i = 1, ... , n
Pierwsza suma jest równa zero dla dowolnej funkcji gładkiej δqi na interwale [ t0, t1], równej zero w punktach końcowych.
Z tego faktu wynika, że dla dowolnej składowej wyrażenia podcałkowego jest tożsamościowo równa zero : [∂L(q(t), q•(t), t )/∂qi ] − d/dt [∂L(q(t), q•(t), t )/∂qi ] = 0 , i = 1, ... , n
Ponieważ ograniczenie ekstremali FD S na otoczenie współrzędnościowe w M – jest to ponownie ekstremala, każda ekstremala we współrzędnych standardowych na TM spełnia równania E-L.
Uwaga. W rachunku wariacyjnym pochodna funkcjonału S w kierunku, odpowiadającym wektorowi stycznemu V∈ TγP(M) – jest to pochodna Gatoux, która jest określona przez wzór :
δVS = d/dε | ε =0 S(γε )
gdzie γε - droga w P(M) o wektorze stycznym V w punkcie γ0 = γ.
Podsumowanie w/w obliczenia (kiedy γ leży w otoczeniu współrzędnościowym U ⊂ M ) możemy zapisać następująco :
gdzie : n
V(t) = Σ vi(t) ∂/∂qi i =1
- jest polem wektorowym wzdłuż drogi γ w M.
Wzór (1.1) nazywa się wzorem dla pierwszej wariacji działania z ustalonymi końcami.
Zasada najmniejszego działania – jest to stwierdzenie mówiące, że δVS(γ) = 0 dla wszystkich V∈ TγP(M).
Uwaga. Dogodnie jest również rozpatrzy przestrzeń P(M)^ ={ γ : [ t0, t1] → M }
wszystkich dróg sparametryzowanych należących do M.
Przestrzeń styczna TγP(M)^ do P(M)^ - jest to przestrzeń wszystkich gładkich pól wektorowych na drodze γ w M (bez żadnych warunków nakładanych na punkty końcowe ).
Obliczenie w dowodzie twierdzenia 1.1 daje następujący wzór dla pierwszej wariacji działania o końcach swobodnych :
Zadanie 1.1 Pokazać, że FD – jest to wartość 1 – formy określonej na TM × R postaci L dt na 1- łańcuchu γ~ leżącym w TM × R :
S(γ) = ∫ L dt γ~
gdzie :
γ~ = { (γ’(t), t ) ; t0 ≤ t ≤ t1 }
L dt (w, c∂/∂t ) = cL(q, v) ; w∈ T(q,v)M , c ∈ R
Zadanie 1.2 Niech f ∈ C∞(M). Pokazać, że dla układów lagranżjanowskich (M, L) i (M , L + df ) ; gdzie df – funkcja liniowa na TM
równania ruchu są jednakowe.
Zadanie 1.3 Wskazać przykłady układów lagranżjanowskich, dla których ekstremale łączące dwa zadane punkty : i) nie są lokalnymi minimami
ii) są niejednoznaczne tj. istnieje wiele ekstremali łączących takie punkty, spełniających równania ruchu iii) nie istnieją
Zadanie 1.4 Dla ekstremali γ, FD S, druga wariacja S definiowana jest następująco :
gdzie γε1,ε2 – gładka dwuparametrowa rodzina dróg w M, takich, że wektory styczne do dróg γε1,0 i γ0,ε2 w P(M) w punkcie γ0,0 = γ ∈ P(M) – są odpowiednio V1 i V2.
Znaleźć drugą wariację S dla układu (M, L) i sprawdzić, ze dla zadanych V1 i V2 nie zależy ona od wyboru γε1,ε2.
1.1.3 Przykłady układów lagranżjanowskich.
W celu opisania zjawisk mechanicznych należy wybrać pewien układ odniesienia (*UO*).
Od takiego wyboru zależą własności czasoprzestrzeni (*CP*), w której ma miejsce ruch.
CP charakteryzowana jest prze następujące postulaty.
(mówiąc ściśle, postulaty takie są słuszne tylko w granicy nierelatywistycznej STW, kiedy prędkość światła w próżni przyjmowana jest jako wartość nieskończona )
Newtonowska czaso-przestrzeń. Przestrzeń jest trójwymiarową euklidesową przestrzenią afiniczną E3
Poprzez wybór początku współrzędnych 0 ∈ E3 - punktu odniesienia – ustalamy izomorfizm E3 ≅ R3, gdzie na przestrzeni wektorowej R3 zdefiniowano euklidesowy iloczyn skalarny i zadano ustaloną orientacje.
Czas – oś czasu R – jest jednowymiarowa; czasoprzestrzeń – jest to iloczyn prosty E3 × R3.
IUO (*inercjalny układ odniesienia *) – jest to układ współrzędnych z zadanym początkiem 0 ∈ E3, początkową chwilą czasu t0 i ortounormowaną bazą w R3.
W IUO przestrzeń jest jednorodna i izotropowa, a czas jednorodny.
Prawa ruchu są inwariantne względem przekształceń : r → g • r + r0 , t → t → t + t0
gdzie r , r0 ∈ R3; g – liniowe przekształcenie ortogonalne przestrzeni R3.
Czas w MK jest wielkością absolutną.
Grupa Galileusza – jest to grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni E3 × R3, zachowujących interwały czasowe i będących izometriami E3 przy dowolnym t ∈ R.
Dowolne przekształcenie Galileusza jest złożeniem (kompozycją) obrotu, przesunięcia (translacji ) czaso-przestrzennej i przekształcenia :
r → r + vt , t → t gdzie v ∈ R3.
Dowolne dwa IUO są związane przekształceniem Galileusza.
Zasada względności Galileusza. Prawa ruchu są inwariantne względem grupy Galileusza.
Powyższe postulaty nakładają ograniczenia na możliwe lagranżjany układów mechanicznych. Przykładowo, z pierwszego postulatu wynika, ze lagranżjan L układu zamkniętego nie zależy jawnie od czasu. Układy fizyczne są opisywane przez specyficzne lagranżjany, zgodnie z faktami empirycznymi, wiążącymi się z ruchem ciał materialnych.
Przykład 1.1 (cząstka swobodna ). Przestrzeń konfiguracyjna cząstki swobodnej – jest to M = R3 i z zasady względności Galileusza możemy wnioskować, że lagranżjan cząstki swobodnej ma postać:
L = ½ mr•2
gdzie m > 0 (inaczej FD będzie nieograniczony od dołu )
r•2 = | r• |2 – kwadrat długości wektora prędkości r• ∈ TrR3 ≅ R3.
Równania E-L prowadzą do prawa bezwładności Newtona : r•• = 0
Przykład 1.2 (cząstki oddziałujące ) Układ zamknięty N oddziałujących cząstek w R3 o masach m1, ... mN opisuje się przestrzenia konfiguracyjną o postaci :
M = R3N = R3 × .... × R3 --- N ---
z wektorem współrzędnych r = ( r1, ... rN ) gdzie ra ∈ R3 – wektor współrzędnych a –tej cząstki, a = 1, ... , N Wiadomo, że lagranżjan jest zadany w postaci wyrażenia :
N
L = Σ ½ ma ra•2 − V(r) = T − V a =1
gdzie : N
T = Σ ½ ma ra•2 a =1
- nazywa się energią kinetyczną układu.
V(r ) – energia potencjalna.
Równania E-L prowadzą do równań Newtona : ma ra•2 = Fa
gdzie Fa – siła, działająca na a –tą cząstkę, a = 1, ... , N.
Siły o takiej postaci nazywamy siłami zachowawczymi.
Z jednorodności przestrzeni wynika, że energia potencjalna V(r ) układu zamkniętego N oddziałujących cząstek zależy tylko od położenia wzajemnego cząstek, co prowadzi do równania :
N
Σ Fa = 0 a =1
W szczególności, dla układu zamkniętego złożonego z dwóch cząstek spełnione jest równanie : F1 + F2 = 0
a z takiego równania wynika równowaga sił działania i przeciwdziałania, fakt ten znany jest jako III prawo Newtona.
Energia potencjalna układu zamkniętego, w którym cząstki oddziaływują tylko w parach, ma postać : V(r ) = Σ Vab(ra − rb )
1 ≤a< b ≤ N
Z izotropowości przestrzeni wynika, że V(r ) zależy tylko od odległości pomiędzy cząstkami, tak że lagranżjan układu zamkniętego złożonego z N cząstek oddziaływujących parami ma postać :
N
L = Σ ½ ma ra•2 − Σ Vab( | ra − rb | ) a =1 1 ≤a< b ≤ N
Jeśli energia potencjalna V(r ) – jest jednorodną funkcją stopnia ρ V(λr) = λρ V(r ), to wartości średnie T− i V− energii kinetycznej i potencjalnej na trajektorii zamkniętej są związane twierdzeniem o wirale :
2T− = ρV− (1.3)
Niech bowiem r9t) – będzie periodyczna trajektoria o okresie τ > 0, tj. r(t) = r(τ) , r•(0) = r•(τ).
Wykorzystując całkowanie przez części, równania Newtona i twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych, otrzymujemy :
Przykład 1.3 (powszechne ciążenie) Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, energia potencjalna siły przyciągania pomiędzy dwoma cząstkami o masach ma i mb ma postać :
V(ra − rb ) = −G (mamb/ | ra − rb | ) gdzie G – stała grawitacyjna.
Przestrzeń konfiguracyjna N cząstek z oddziaływaniem grawitacyjnym, to : M = { (r1, .... , rN ) ∈ R3N : ra ≠ rb , a ≠ b, a, b = 1, … , N }
Przykład 1.4 (Cząstka w zewnętrznym polu potencjalnym). Mamy tutaj M = R3, oraz : L = ½ mr•2 − V(r, t )
gdzie energia potencjalna może jawnie zależeć od czasu.
Równania ruchu, to równania Newtona : mr•• = F = −∂V/∂r
Jeśli V = V( | r | ) jest funkcją tylko odległości | r |, to pole potencjalne nazywa się centralnym.
Przykład 1.5 (cząstka naładowana w polu EM – jest to nierelatywistyczna granica przykładu z elektrodynamiki klasycznej )
Rozpatrzmy cząstkę o ładunku e i masie m w R3, poruszającą się w zależnym od czasu polu EM o potencjale skalarnym i wektorowym ϕ(r ), A(r ) = ( A1(r), A2(r ), A3(r ) )
Lagranżjan ma postać : L = ½ mr•2 + e[ (r•A/c ) − ϕ ] gdzie c – prędkość światła.
Równania E-L prowadza do równania Newtona z siłą Lorentza : mr•• = e[ E + ( r•/c) × B ]
gdzie symbol × oznacza iloczyn wektorowy w R3, a : E = −∂ϕ/∂r , B = rot A
- to odpowiednio pola elektryczne i magnetyczne.
Przykład 1.6 (Małe drgania ). Rozpatrzmy cząstkę o masie m o n stopniach swobody, poruszającą się w polu potencjalnym V(q) i załóżmy, ze energia potencjalna U posiada minimum w punkcie q = 0.
Rozkładając V(q) w szereg Taylora wokół 0 i zachowując tylko człony kwadratowe, otrzymujemy układ lagranżjanowski, opisujący małe drgania wokół położenia równowagi. Konkretnie :
L = ½ mq•2 − V0(q)
gdzie V0 − dodatnio określona forma kwadratowa na R3, zadana wzorem : n
V0(q) = Σ ( ∂V2(0)/∂qi ∂qj ) qi qj i,j = 0
Ponieważ dowolna formę kwadratową można sprowadzić do postaci diagonalnej, poprzez przekształcenie ortogonalne, to od samego początku można założyć, że współrzędne q = (q1, ... qn ) zostały wybrane tak, że V0(q) jest diagonalna, oraz : n
L = ½ m [ q•2 − Σ ωi2 (qi )2 ] (1.4)
i = 0 gdzie ω1, ... ωn > 0
Takie współrzędne q nazywają się współrzędnymi normalnymi.
We współrzędnych normalnych równania E-L przyjmują postać : q••i + ωi2 qi = 0 , i = 1, … , n
i opisują n niezależnych tj. nie oddziaływujących oscylatorów harmonicznych o częstościach ω1, ... ωn.
Przykład 1.7 (Cząstka swobodna na rozmaitości Riemanna )
Niech (M, ds2 ) – rozmaitość Riemanna o metryce riemannowskiej ds2. We współrzędnych x1, ... xn na M : ds2 = gµν(x) dxµ dxν
gdzie zgodnie z tradycją zakładamy sumowanie po powtarzających się indeksach.
Lagranżjan cząstki swobodnej na M, to : L(v) = ½ < v, v > = ½ || v ||2 , v ∈ TM
Gdzie < . , . > - oznacza iloczyn skalarny we włóknach TM, zadany z użyciem metryki riemannowskiej.
Funkcjonał działania : t1 t1
S(γ) = ½ ∫ || γ’(t) ||2 dt = ∫ gµν(x) x•µ x•ν dt t0 t0
- nazywa się FD w geometrii Riemanna.
Równania E-L, to :
gµν x••µ + (∂gµν/∂xλ ) x•µ x•ν = ½ (∂gµλ/∂xν ) x•µ x•λ
a po pomnożeniu przez metryczny tensor odwrotny gσν i zsumowaniu po ν przyjmują one postać : x••σ + Γσµν x•µ x•ν = 0 , σ = 1, ... , n
gdzie :
Γσµν = ½ gσλ [ (∂gµλ/∂xν ) + (∂gνλ/∂xµ ) − (∂gµν/∂xλ )]
- symbol Christoffela.
Równania E-L cząstek swobodnych poruszających się po rozmaitości Riemanna – są to równania geodezyjnych.
Niech ∇ - będzie koneksją Levi- Civity tj. koneksją metryczną bez skręcenia na rozwłóknieniu stycznym TM i niech
∇ξ - będzie pochodną kowariantna ze względu na pole wektorowe ξ∈ Vect(M).
Konkretnie :
(∇ξ η )µ = [ (∂ηµ /∂xν ) + Γµνλ ηλ ]ξν gdzie :
ξ = ξµ(x) ∂/∂xµ η = ηµ (x) ∂/∂xµ
Dla drogi γ(t) = (xµ(t)) poprzez symbol ∇γ• oznaczymy pochodną kowariantną wzdłuż γ : (∇γ•η )µ (t) = (dηµ /dt) + Γµνλ (γ(t)) x•ν(t) ηλ(t)
gdzie
η = ηµ (t) ∂/∂xµ
- jest polem wektorowym na γ.
Teraz możemy zapisać wzór (1.1) w formie inwariantnej : t1
δS = − ∫ < ∇γ• γ•, δγ > dt t0
znanej jako wzór dla pierwszej wariacji działania w geometrii Riemanna.
Przykład 1.8 (Bryła sztywna) Przestrzeń konfiguracyjna bryły sztywnej w R3 o jednym punkcie stałym – jest to grupa Liego G = SO(3), zachowujących orientacje ortogonalnych przekształceń liniowych przestrzeni R3
Dowolna lewoinwariantna metryka riemannowska < . , . > na G zadaje lagranżjan L : TG → R
poprzez wzór :
L(v) = ½ < v, v > , v ∈TG
Zgodnie z poprzednim przykładem równania ruchu bryły sztywnej – są to równania geodezyjnych na G ze względu na metrykę riemannowska < . , . >.
Niech ℘ = so(3) – algebra Liego grupy G. Wektor prędkości g• ∈ TeG określa prędkość kątową bryły zgodnie ze wzorem :
Ω = ( L g–1 )
* g• ∈℘
gdzie L
g : G → G – są to przesunięcia lewostronne na G.
Z użyciem prędkości kątowej lagranżjan przyjmie postać : L = ½ < Ω , Ω >e
gdzie < . , . >e – iloczyn skalarny na ℘ = TeG zadawany przez metrykę riemannowską < . , . >.
Na algebrze Liego ℘ - algebrze Liego macierzy 3 × 3 skośniesymetrycznych iloczyn skalarny
< u, v >e = − ½ Tr uv (forma Killinga ) tak, że
< Ω , Ω >e = < A • Ω, Ω >0
dla pewnego symetrycznego operatora liniowego A : ℘ → ℘ dodatnio określonego ze względu na formę Killinga.
Taki operator liniowy A nazywa się tensorem bezwładności bryły sztywnej.
Główne osie bezwładności – są to ortonormalne wektory własne e1, e2, e3 operatora A, odpowiadające wartościom własnym I1, I2, I3 i nazywają się głównymi momentami bezwładności.
Przyjmując Ω = Ω1e1 + Ω2e2 + Ω3e3
(tak ustanawiamy izomorfizm algebr Liego ℘ ≅ R3 , gdzie nawias Liego na R3 zadany jest przez iloczyn wektorowy ) otrzymujemy :
L = ½ ( I1Ω12 + I2Ω22 + I3Ω32 )
W takiej parametryzacji równania Lagrange’a przekształcają się w równania Eulera : I1Ω•1 ( I2 − I3 )Ω2Ω3
I2Ω•2 ( I3 − I1 )Ω1Ω3 I3Ω•3 ( I1 − I2 )Ω1Ω2
Równania Eulera opisują obrót swobodnej bryły sztywnej wokół punktu nieruchomego.
W układzie współrzędnych, których osie wybrano jako główne osie bezwładności, główne momenty bezwładności, to : I1, I2 , I3
Zadanie 1.5 Określić ruch cząstki naładowanej w stałym jednorodnym polu magnetycznym.
Pokazać, że jeśli prędkość początkowa po osi z (wybranej zgodnie z kierunkiem pola B = ( 0, 0, B ) ) v3 = 0, to trajektorie są okręgami o promieniach :
r = cmvt /eB
leżącymi na płaszczyźnie prostopadłej do pola (płaszczyzny xy ), gdzie vt = sqrt( v12 + v22 ) – prędkość początkowa na płaszczyźnie xy.
Środek (x0, y0 ) okręgów określony jest ze wzorów : x0 = (cmv1/eB ) + x , y0 = (cmv2/eB ) + y
gdzie (x, y ) – punkty leżące na okręgu o promieniu r.
Zadanie 1.6 Pokazać, że równania E-L dla lagranżjanu : L = || v ||, v ∈ TM
Pokrywają się z równaniami geodezyjnych, zapisanych względem stałego czynnika parametru naturalnego.
Zadanie 1.7 dowieść, ze dla cząstki w polu potencjalnym, omawianym w zadaniu 1.4, druga wariacja FD, określona w zadaniu 1.4, zadana jest przez wzór :
t1 δ2S = ∫ ℑ(δ1r ) δ2r dt t0
gdzie δ1r , δ2r ∈ TγPR3 , γ = r(t) – klasyczna trajektoria.
ℑ = − m d2/dt2 I − ∂2V(t)/∂r2
I – macierz jednostkowa 3 × 3, ∂2V(t)/∂r2 = { ∂2V(r(t))/∂r2 }3a,b =1
Liniowy operator różniczkowy drugiego rzędu ℑ działający na pola wektorowe na γ, nazywa się operatorem Jakobiego.
Zadanie 1.8 Znaleźć współrzędne normalne i częstości dla lagranżjanu układu, rozpatrzonego w przykładzie 1.6 z n
V0(q) = ½ a2 Σ ( qi+1 − qi )2 i=1
gdzie qi+1 = q1
Zadanie 1.9 Dowieść, że druga wariacja FD w geometrii Riemanna dana jest przez wzór : t1
δ2S = ∫ < ℑ(δ1γ), δ2γ > dt t0
gdzie δ1γ, δ2γ ∈ TγPM , ℑ = − ∇γ•2 − R(γ•, . ) – operator Jakobiego R – operator krzywizny – w pełni liniowe odwzorowanie :
R : TM ⊗ TM → End™
Rozwłóknień wektorowych, które jest określone przez wzór : R(ξ, η ) = ∇η∇ξ − ∇ξ∇η − ∇[ξ, η] : TM → TM
gdzie ξ, η ∈ Vect(M)
Zadanie 1.10 Wybierając główne osie bezwładności w charakterze bazy w R3, pokazać, że izomorfizm algebr Liego
℘ ≅ R3 zadany jest przez wzór :
℘∋ ( 0 −Ω3 Ω2 ) → (Ω1 , Ω2 ,Ω3 ) ∈ R3 ( Ω3 0 −Ω1 )
( −Ω2 Ω1 0 )
Zadanie 1.11 Pokazać, że dla dowolnego symetrycznego A ∈ End ℘istnieje symetryczna 3 × 3 macierz A, taka, że A • Ω = AΩ + ΩA
i znaleźć A dla diagonalnego A.
Zadanie 1.12 Wyprowadzić równania Eulera dla bryły sztywnej (Podpowiedź. Wykorzystać ten fakt, że :
L = − ½ Tr AΩ2
, gdzie Ω = g−1g• , δΩ = −g−1δgΩ + g−1δg• i otrzymać równania E-L w formie macierzowej :
AΩ + ΩA = AΩ2 − Ω2A )
1.1.4 Symetrie i twierdzenie Noether.
Aby opisać ruch układu mechanicznego, należy rozwiązać odpowiednie równanie E-L – jako układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu we współrzędnych uogólnionych.
To jednakże może być zagadnieniem bardzo złożonym. Dlatego, szczególny interes przedstawiają funkcje współrzędnych uogólnionych i prędkości, które pozostają stałe przez cały czas ruchu.
Definicja. Funkcja gładka I : TM → R nazywa się całką ruchu (całką pierwszą lub prawem zachowania ) dla układu lagranżjanowskiego (M, L), jeśli :
d/dt I( γ’(t)) = 0
dla dowolnej ekstremali γ FD.
Definicja. Energia układu lagranżjanowskiego (M, L) – jest to funkcja E na TM × R, określona we współrzędnych standardowych na TM poprzez wzór :
n
E(q, q•, t ) = Σ q•i ( ∂L(q, q•, t )/∂q•i ) − L(q, q•, t ) i =1
Lemat 1.1 Energia E = q• (∂L/∂q• ) − L
Jest funkcją określoną poprawnie na TM × R.
Dowód.
Niech (U, ϕ) i (U’, ϕ’ ) – otoczenia współrzędnościowe w M z funkcjami przejścia : F = (F1, ... , Fn ) = ϕ’ ° ϕ−1: ϕ(U ∩ U’ )
Odpowiednie współrzędne standardowe (q, q• ) i (q’ ,q‘• ) są związane poprzez relacje : q' = F(q) i q’• = F*(q) dq• (zobacz podrozdział 1.1.2 )
Otrzymujemy : dq' = F*(q) dq
dq’• = G(q, q• )dq + F*(q) dq• (dla pewnej funkcji o wartościach macierzowych G(q, q• )) tak, że :
Zatem, przy zamianie współrzędnych :
tak, że E – jest funkcją określoną poprawnie na TM.
Wniosek 1.2 Przy zamianie lokalnych współrzędnych na M składowe :
∂L(q, q•, t )/∂q•i = ( ∂L/∂q•1, ... , ∂L/∂q•n ) przekształcają się jak składowe 1- formy na M.
Stwierdzenie 1.1 (zachowanie energii ) Energia układu zamkniętego jest całką ruchu.
Dla ekstremali γ przyjmiemy E(t) = E(γ(t)).
Zgodnie z równaniami E-L otrzymujemy :
Ponieważ dla układu zamkniętego ∂L/dt = 0, to energia jest zachowana.
Zachowanie energii dla zamkniętego układu mechanicznego – jest to fundamentalne prawo fizyczne, wynikający z faktu jednorodności czasu.
Dla izolowanego układu zamkniętego złożonego z N oddziałujących cząstek, rozpatrzonego w przykładzie 1.2 :
Innymi słowy, energia całkowita E = T + V – jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej.
Definicja. Lagranżjan L : TM → R jest inwariantny względem dyfeomorfizmu g : M → M, jeśli : L( g*(v)) = L(v)
Dla dowolnego v ∈ TM.
Dyfeomorfizm g nazywamy symetria zamkniętego układu lagranżjanowskiego (M, L).
Grupa Liego G – jest to grupa symetrii (M, L) (grupa symetrii ciągłych ), jeśli istnieje działanie lewostronne G na M, takie, że dla dowolnego g ∈ G, odwzorowanie M ∋ x → g • x ∈ M – jest symetrią.
Symetrie ciągłe prowadzą do odpowiednich praw zachowań.
Twierdzenie 1.3 (E. Noether ) Niech lagranżjan L : TM → R będzie inwariantny względem jednoparametrowej grupy { gs }s∈R dyfeomorfizmów M. Wtedy układ lagranżjanowski (M, L) dopuszcza całkę ruchu I, zapisana we współrzędnych standardowych na TM, jako :
gdzie : n
X = Σ ai (q) ∂/∂qi - jest polem wektorowym na M, odpowiadającym potokowi gs i=1
Całkę ruchu I nazywamy całką Noether.
Dowód.
Z wniosku 1.2 wynika, że I – jest funkcją poprawnie określoną na TM.
Dalej, różniczkując : L( (gs )* (γ’(t) ) = L(γ’(t))
względem s przy s = 0 i wykorzystując równania E-L, otrzymujemy :
gdzie a(t) = ( a1(γ(t)), ... , an(γ(t))
Uwaga. Pole wektorowe X na M nazywa się nieskończenie małą symetrią, jeśli odpowiadający mu lokalny potok Gs pola X ( określony dla dowolnego s ∈ R w pewnym otoczeniu Us ⊆ M ) – jest symetrią :
L ° (gs )* = L na Us
Dowolne pole wektorowe X na M można podnieść do pola wektorowego X’ na TM, określonego przez potok lokalny na TM, z użyciem odpowiedniego lokalnego potoku indukowanego na M.
We współrzędnych standardowych :
Łatwo można sprawdzić, że X jest nieskończenie małą symetrią, jeśli i tylko jeśli dL(X’ ) = 0 na TM, co we współrzędnych standardowych możemy zapisać tak :
Uwaga. Twierdzenie Noether można uogólnić na lagranżjany L : TM × R → R, zależne od czasu.
Mianowicie : zdefiniujmy na rozszerzonej przestrzeni konfiguracyjnej M1 = M × R lagranżjan niezależny od czasu L1 jako :
L1(q, q•, τ•, τ ) = L( q, q• /τ• ,τ )τ•
gdzie (q, τ ) – współrzędne lokalne na M1, a (q, q•, τ•, τ ) – współrzędne lokalne na TM1.
Całka Noether I1 dla układu zamkniętego (M1, L1) określa całkę ruchu I dla układu (M, L) zgodnie ze wzorem : I(q, q•, t ) = I1(q, q•, t, 1 )
Kiedy lagranżjan L nie jest zależny od czasu, to L1 jest inwariantny względem jednoparametrowej grupy translacji τ → τ + s i całka Noether :
I1 = ∂L1/∂τ• daje : I = − E
Twierdzenie Noether można uogólnić w następujący sposób.
Stwierdzenie 1.1 Niech dla lagranżjanu L : TM → R istnieje pole wektorowe X na M, oraz funkcja K na TM, takie, że dla dowolnej drogi γ w M :
dL(X’)( γ(t)) = d/dt K(γ’(t)) Wtedy :
- jest całką ruchu układu lagranżjanowskiego (M, L) Dowód.
Wykorzystując równania E-L, otrzymujemy, że na ekstremali γ :
Przykład 1.9 (zachowanie pędu ). Niech M = V – przestrzeń wektorowa i przyjmijmy, że lagranżjan L jest inwariantny względem jednoparametrowej grupy gs(q) = q + sv; v ∈ V.
Zgodnie z twierdzeniem Noether : n
I = Σ vi(t) ∂L/∂q•i i =1
- jest całką ruchu.
Teraz, niech (M, L) – będzie zamkniętym układem lagranżjanowskim złożonym z N wzajemnie oddziałujących cząstek, układ taki rozpatrzyliśmy w przykładzie 1.2.
Otrzymujemy M = V = R3N i lagranżjan L jest inwariantny przy jednoczesnym przesunięciu współrzędnych ra = ( ra1, ra2 , ... , ra3 )
wszystkich cząstek o jeden i ten sam wektor c ∈ R3
Zatem, v = (c, ... , c ) ∈ R3 i dla dowolnego c = (c1, c2, c3 ) ∈ R3 :
jest całką ruchu.
Całki ruchu P1, P2, P3 określają wektor : N
P = Σ ∂L/∂ r•a ∈ R3 a =1
(lub, ściślej wektor w przestrzeni, dualnej do R3 ), wektor ten nazywamy pędem układu.
Konkretniej : N P = Σ ma r•a a =1
tak, że całkowity pędu układu zamkniętego jest równy sumie pędów indywidualnych cząstek.
Zachowanie pędu – jest to fundamentalne prawo fizyczne, które odzwierciedla fakt jednorodności przestrzeni.
Tradycyjnie wielkości : pi = ∂L/∂q•i
nazywa się pędami uogólnionymi, odpowiadającymi współrzędnym uogólnionym qi Wielkości :
Fi = ∂L/∂qi
nazywa się siłami uogólnionymi.
W takich oznaczeniach równania E-L mają również postać:
p• = F
taką jak równania Newtona we współrzędnych kartezjańskich.
Z zachowania pędu wynika trzecie prawo Newtona.
Przykład 1.10 (zachowanie momentu pędu )
Niech M = V – przestrzeń wektorowa z euklidesowym iloczynem skalarnym.
Niech G = SO(3) – spójna grupa Liego automorfizmów V, zachowujących iloczyn skalarny i niech ℘= so(V) – algebra Liego grupy G.
Przyjmijmy, że lagranżjan L jest inwariantny względem działania jednoparametrowej podgrupy gs(q) = esx • q grupy G, gdzie x ∈℘, a ex – odwzorowanie ekspotencjalne.
Zgodnie z twierdzeniem Noether : n
P = Σ ( x • q )i (∂L/∂q•i ) i=1
- jest całka ruchu.
Teraz, niech (M, L) – będzie zamkniętym układem lagranżjanowskim złożonym z N wzajemnie oddziałujących cząstek, układ taki rozpatrzyliśmy w przykładzie 1.2.
