Dowód.
Niech µA(t) i (µt )A – będą, odpowiednio miarami probabilistycznymi na R, stowarzyszonymi z ( A(t), M ) ∈ Ā × Ŧ i ( A, M(t) ) ∈ Ā × Ŧ zgodnie z A3- A4, gdzie A(t) = Ut(A) i M(t) = U−t(M).
Musimy pokazać, że µA(t) = (µt )A.
Z twierdzenia spektralnego wynika, że PA(t) = U(t)−1PA(t) U(t), tak, ze wykorzystując wzór Borna – von Neumanna (1.3) oraz cykliczna własność śladu, otrzymujemy dla E ∈ B(R ) :
µA(t)(E ) = Tr PA(t)(E)M = Tr ( U(t)−1PA(t)(E) U(t) M ) =
= Tr ( PA(E) U(t)M U(t)−1) = Tr PA(E) M(t) = (µt )A(E) Wniosek 1.3 < A(t) | M> = < A | M(t) >
Analogicznie do MK ( zobacz podrozdział 1.1.4, rozdział 1 ) otrzymujemy następującą definicję.
Definicja. Obserwabla A ∈ Ā jest kwantową całka ruchu (lub też stałą ruchu ) dla układu kwantowego z hamiltonianem H, jeśli w reprezentacji Heisenberga :
dA(t)/dt = 0
Ze stwierdzenia 1.2 wynika, że operator A ∈ Ā – jest całką ruchu, jeśli i tylko jeśli komutuje on z hamiltonianem H, tak że zgodnie z (1.5) :
{ H, A }h = 0
Jest to kwantowy analog własności komutatywności w sensie nawiasu Poissona, zadanego przez wzór (2.14) – podrozdział 1.2.6, rozdział 1.
Z (1.11) wynika, że ewolucja czasowa stanu czystego M = Pψ dana jest przez równanie : M(t) = Pψ(t) , gdzie ψ(t) = U(t)ψ
Ponieważ D(H) jest inwariantny względem U(t), to wektor ψ(t) = U(t)ψ spełnia zależne od czasu równanie Schrödingera :
ih dψ/dt = Hψ (1.12)
z warunkiem początkowym ψ(0) = ψ.
Definicja. Stan M ∈ Ŧ nazywa się stanem stacjonarnym dla układu kwantowego z hamiltonianem H, jeśli w reprezentacji Schrödingera :
dM(t)/dt = 0
Stan M jest stacjonarny, jeśli i tylko jeśli [ M, U(t)] = 0 dla wszystkich t i zgodnie z stwierdzeniem 1.2 jest to równoważne warunkowi :
{ H, M }h = 0 zgodnie z (1.11).
Następujący wynik jest fundamentalny.
Lemat 1.3 Stan czysty M = Pψ jest stacjonarny, jeśli i tylko jeśli ψ - jest wektorem własnym H : Hψ = λψ
i w tym przypadku : ψ(t) = exp[ −(i/h)λt ]ψ
Dowód.
Z równości U(t) Pψ = Pψ U(t) wynika, że ψ - jest ogólnym wektorem własnym operatorów unitarnych U(t) dla wszystkich t, U(t)ψ = c(t)ψ ; | c(t) | = 1.
Ponieważ U(t) – jest silnie ciągłą jednoparametrową grupa operatorów unitarnych, to funkcja ciągła c(t) =( U(t)ψ, ψ) Spełnia równanie :
c( t1 + t2 ) = c(t1) c(t2) dla wszystkich t1, t2 ∈ R tak że c(t) = exp[ −(i/h)λt] i dla dowolnego λ ∈ R.
Zatem, zgodnie z twierdzeniem Stone’a ψ ∈ D(H) oraz Hψ = λψ.
W terminologii fizycznej wektory własne hamiltonianu H nazywają się stanami związanymi. Odpowiednie wartości własne nazywają się poziomami energetycznymi i zazwyczaj są oznaczane jako E.
Równanie na wartości własne Hψ = Eψ nazywa się stacjonarnym równaniem Schrödingera.
Zadanie 1.5 Pokazać, że jeśli obserwabla A jest taka, że dla dowolnego stanu M wartość średnia < A | M(t) > nie zależy od t, to A – jest kwantową całką ruchu ( jest to definicja całek ruchu w reprezentacji Schrödingera )
Zadanie 1.6 Pokazać, że rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla zależnego od czasu równania Schrödingera (1.12) dane jest wzorem :
∞
ψ(t) =
∫
exp[ −(i/h)λt] dP(λ)ψ −∞gdzie P(λ) – rozkład jedności dla hamiltonianu H.
Zadanie 1.7 Niech D – będzie podprzestrzenią liniową w ℵ, składającą się z wektorów Gardinga : ∞
ψf =
∫
f(s) U(s)ψ ds ; f ∈ ℑ(R ) , ψ ∈ ℵ −∞gdzie ℑ(R ) – przestrzeń Schwartza szybko zanikających funkcji na R.
Dowieść, że D jest przestrzenią gęstą w ℵ i inwariantna względem U(t) oraz hamiltonianu H.
(podpowiedź. Pokazać, że U(t) ψf = ψft ∈ D, gdzie ft(s) = f( s − t ), oraz rozwiązać Hψf = (h/i) ψf’ )
2.2 Kwantowanie.
W celu analizy układu kwantowego należy opisać jego przestrzeń stanów Hilberta ℵ, oraz hamiltonian H – samosprzężony operator działający w ℵ, który dalej określa ewolucje czasową danego układu.
Kiedy układ kwantowy posiada analog klasyczny, to procedura budowy odpowiedniej przestrzeni Hilberta ℵ i hamiltonianu H nazywa się kwantowaniem.
Definicja. Kwantowanie układu klasycznego ( ( M, { . , . } ), Hc ) z funkcją Hamiltona Hc ( oznaczenie Hc wykorzystujemy aby rozróżnić funkcję Hamiltona w MK i operator Hamiltona H w MQ ), jest to odpowiedniość jednoznaczna
Qħ : A → Ā
ze zbioru obserwabli klasycznych A = C∞(M) w zbiór Ā - obserwabli kwantowych tj. zbiór operatorów samosprzężonych w przestrzeni Hilberta ℵ.
Odwzorowanie Qħ zależy od parametru ħ > 0, a jego ograniczenie na podprzestrzeń ograniczonych obserwabli
klasycznych A0 – jest to odwzorowanie liniowe w podprzestrzeń Ā0 ograniczonych obserwabli kwantowych, spełniające własności :
lim ½ Qħ−1 ( Qħ(f1) Qħ(f2 ) + Qħ(f2) Qħ(f1) ) = f1f2 ħ →0
oraz :
lim Qħ−1 ( { Qħ(f1), Qħ(f2 ) }ħ = { f1, f2 } dla dowolnych f1, f2 ∈ A0 Ostatnia własność – jest to zasada odpowiedniości Nielsa Bohra.
W szczególności Hc → Qħ(Hc ) = H – operator Hamiltona układu kwantowego.
Uwaga. W literaturze fizycznej zasadę odpowiedniość i często formułuje się w postaci : [ . , .] ≅ (ħ/i ) { . , . } przy ħ →0
MQ różni się od MK, tak więc odpowiedniość f → Qħ(f ) nie może być izomorfizmem algebr Liego ograniczonych obserwabli klasycznych i kwantowych z odpowiednio – klasycznym i kwantowym nawiasem.
Staje się ona izomorfizmem tylko w granicy ħ →0, kiedy zgodnie z zasada odpowiedniości, MQ przechodzi w MK.
Ponieważ MQ stanowi dokładniejszy i bardzie szczegółowy opis, niż MK, to kwantowanie układu klasycznego może być nie jednoznaczne.
Definicja . Dwa kwantowania Qħ(1) i Qħ(2) zadanego układu klasycznego ( ( M, { . , . } ), Hc ) nazywamy równoważnymi, jeśli istnieje odwzorowanie liniowe :
ℜħ : A → A
takie, że Qħ(2) = Qħ(1) ° ℜħ i
lim ℜħ = id.
ħ →0
Dla wielu układów kwantowych z „świata rzeczywistego” – układów, opisujących mające miejsce zjawiska fizyczne – odpowiedni hamiltonian H nie zależy od wyboru równoważnego kwantowania i jest określony jednoznacznie przez klasyczną funkcje Hamiltona Hc.
2.2.1 Relacje komutacyjne Heisenberga.
Najprostszy układ klasyczny o jednym stopniu swobody jest opisywany przez przestrzeń fazową R2 o współrzędnych p, q i nawiasem Poissona { . , . }, stowarzyszonym z kanoniczna forma symplektyczną ω = dq ∧ dp.
W szczególności, nawias Poissona klasycznych obserwabli q, p – współrzędnej i pędu cząstki – posiada następująca prostą strukturę :
{ p, q } = 1 (2.1)
Drugi postulat MQ polega na tym, że przy kwantowaniu klasyczne obserwable p i q odpowiadają obserwablom kwantowym P i Q – samosprzężonym operatorom w przestrzeni Hilberta ℵ, spełniającym następujące własności : CR.1 Istnieje gęsty podzbiór liniowy D ⊂ ℵ, taki że P : D → D i Q : D → D
CR.2 Dla wszystkich ψ∈ D : ( PQ − QP)ψ = −iħψ
CR.3 Dowolny operator ograniczony w ℵ, komutujący z P i Q jest krotnością operatora jednostkowego I.
Własność CR.2 nazywa się relacja komutacyjną Heisenberga dla jednego stopnia swobody.
Z użyciem kwantowego nawiasu (1.6) przyjmuje ona postać :
{ P, Q }ħ = I (2.2)
taka sama jak nawias Poissona (2.1).
Własność CR.3 – jest kwantowym analogiem klasycznej własności, że rozmaitość poissonowska (R2 ,(. , . } ) jest niezdegenerowana : dowolna funkcja komutująca w sensie nawiasu Poissona z p i q, jest stałą (zobacz ostatnia uwaga w podrozdziale 1.2.7, rozdział 1 )
Operatory P i Q nazywają się odpowiednio – operatorem pędu i operatorem współrzędnej (* położenia *).
Odpowiedniość p → P, q → Q z P i Q spełniającymi CR1 – CR3 – jest podstawa dla kwantowania układów klasycznych.
Istota prawdziwości relacji (2.2) jak i MQ globalnie, potwierdzona jest przez odpowiedniość teorii z licznymi eksperymentami.
Uwaga. Wydaje się, że można byłoby przedłużyć odpowiedniości p → P i q → Q na wszystkie obserwable, definiując odwzorowanie :
f(p, q) → f(P, Q)
Jednakże takie podejście do kwantowania jest bardzo naiwne – operatory P i Q spełniają (2.2) i nie komutują, dlatego musimy rozważyć jak w istocie powinna być zdefiniowana „funkcja zmiennych niekomutujących” f(P, Q)
Do takiego zagadnienia – uporządkowania niekomutujących operatorów P i Q powrócimy w podrozdziale 2.3.3.
Z relacji nieokreśloności Heisenberga (zobacz stwierdzenie 1.4) wynika, że dla dowolnego stanu czystego M = Pψ z ψ ∈ D :
σM(P) σM(Q) ≥ ½ ħ
Jest to fundamentalny wynik, który mówi o tym, że nie można jednocześnie zmierzyć współrzędnej i pędu cząstki kwantowej : im dokładniej mierzymy jedną wielkość, tym bardziej przybliżona jest wartość drugiej z nich.
Często mówimy, że cząstka kwantowa nie posiada obserwowalnej drogi (* toru *), tak że „ruch kwantowy” ewolucyjnie różni się od ruchu w MK.
Teraz nie będzie stanowiło trudności rozpatrzenie układu kwantowego o n stopniach swobody, opisywanego przez przestrzeń fazową R2n o współrzędnych p = ( p1, ... , pn ) , q = ( q1, ... , qn ), oraz nawiasem Poissona { . , . }, stowarzyszonym z kanoniczna formą symplektyczną ω = dp ∧ dq.
Nawiasy Poissona obserwabli klasycznych p i q – pędów i współrzędnych cząstki, mają następującą postać : { pk , pm } = 0 , { qk, qm } = 0, { pk , qm } = δm
k ; k, m = 1, ... , n (2.3)
Odpowiadające im operatory – pędów i współrzędnych P = ( P1, ... , Pn ) , Q = ( Q1, ... , Qn ) – są operatorami
samosprzężonymi, posiadającymi ogólny inwariantny i gęsty podzbiór liniowy D ⊂ ℵi spełniają na D następujące relacje komutacyjne :
{ Pk , Pm }ħ = 0 , {Qk, Qm }ħ = 0, { Pk , Qm }ħ = δm
k I ; k, m = 1, ... , n (2.4)
Relacje te nazywają się relacjami komutacyjnymi Heisenberga dla układu o n stopniach swobody.
Analogiem CR3 jest własność, że dowolny operator ograniczony w ℵ, komutujący ze wszystkimi operatorami P i Q jest krotnością operatora jednostkowego I.
Fundamentalna struktura algebraiczna, związana z relacjami komutacyjnymi Heisenberga, jest to tzw. algebra Heisenberga.
Definicja. Algebra Heisenberga Ŋn o n stopniach swobody – jest to algebra Liego z generatorami e1, ... , en , f1, ... , fn i z następującymi relacjami :
[ ek, c ] = 0 , [ fk, c ] = 0 , [ ek, fm ] = δk
mc ; k, m = 1, ... , n (2.5)
Inwariantna definicja jest następująca. Niech (V, ω) – będzie 2n – wymiarową symplektyczna przestrzenią wektorową, rozpatrywana jako abelowa algebra Liego, niech ℘ - jednowymiarowym rozszerzeniem centralnym V z pomocą 2 – cyklu na algebrze Liego, zadanego przez formę biliniową ω.
To oznacza, że istnieje ciąg dokładny przestrzeni wektorowych :
0 → R → ℘ → V → 0 (2.6)
i nawias Liego na ℘ jest zdefiniowany następująco :
[x, y] = ω(x, y)c (2.7)
gdzie x, y – obrazy w V elementów x, y ∈℘, c – jest obrazem 1 przy włożeniu R |→ ℘, nazywany elementem centralnym
℘.
Poprzez wybór bazy symplektycznej e1, ... , en , f1, ... , fn w V (zobacz podrozdział 1.2.6, rozdział 1 ) ustanawiamy izomorfizm ℘ ≅ Ŋn i relacje (2.5) otrzymujemy z nawiasu Liego (2.7).
Zgodnie z twierdzeniem Ado algebra Heisenberga Ŋn jest izomorficzna podalgebrze Liego algebry macierzowej nad R.
W jawny sposób realizuje się ona jako nilpotentna podalgebra algebry Liego gln+2 macierzy o wymiarze (n + 2) × (n + 2) o elementach :
Uwaga. Reprezentacja dokładna Ŋn → gln+2 dana wzorem (2.8) jest oczywiście przywiedlna : podprzestrzeń V = { x = (x1, ... , xn+2 ) ∈ Rn+2 : xn+2 = 0 }
jest inwariantna względem Ŋn przy czym element centralny c działa na niej jak zero.
Jednakże, taka reprezentacja nie jest rozkładalna : przestrzeń wektorowa Rn+2 nie może być zapisana w postaci sumy prostej V i jednowymiarowej, inwariantnej względem Ŋn podprzestrzeni.
Tym wyjaśnia się dlaczego, element centralny c nie jest reprezentowany przez macierz diagonalną o pierwszych n + 1 zerach, a posiada szczególna postać, daną przez wzór (2.8).
Analitycznie, relacje komutacyjne Heisenberga (2.5) odpowiadają nieprzywiedlnej unitarnej reprezentacji algebry Liego Heisenberga Ŋn. Przypominam, że reprezentacja unitarna ρ algebry Ŋn w przestrzeni Hilberta ℵ - jest to odwzorowanie liniowe :
ρ : Ŋn → iĀ
- przestrzeń skośnie hermitowskich operatorów działających w ℵ, taka że wszystkie operatory samosprzężone iρ(x), x ∈ Ŋn posiadają ogólny inwariantny podzbiór liniowy D⊂ℵ i spełniają warunek :
ρ( [x, y] )ϕ = (ρ(x)ρ(y) − ρ(y)ρ(x) )ϕ ; x, y ∈ Ŋn , ϕ ∈ D
Formalnie stosując lemat Schura powiemy, że reprezentacja ρ jest nieprzywiedlna, jeśli dowolny operator ograniczony, komutujący ze wszystkimi operatorami iρ(x) jest krotnością operatora jednostkowego I.
Wtedy relacje komutacyjne Heisenberga (2.5) określają nieprzywiedlną unitarną reprezantację ρ algebry Liego Heisenberga Ŋn w przestrzeni Hilberta ℵ zgodnie z wzorem :
ρ(fk ) = −iPk , ρ(ek ) = −iQk ; k = 1, ... , n , ρ(c) = −i ħI (2.9)
Ponieważ operatory Pk i Qk są z konieczności nieograniczone (zobacz zadanie 2.1 ), to warunek : PkPmϕ = PmPkϕ dla dowolnego ϕ ∈ D
nie koniecznie oznacza (zobacz zadanie (2.2), że operatory samosprzężone Pk i Pm komutują w sensie definicji podanej w podrozdziale 2.1.1.
Aby uniknąć takich „patologicznych” reprezentacji, będziemy przyjmowali, że ρ - jest reprezentacją całkowalną tj. można ją scałkować (w ścisłym sensie określonym dalej ) do nieprzywiedlnej reprezentacji unitarnej grupy Heisenberga Hn – spójnej i jednospójnej grupy Liego z algebrą Liego Ŋn.
Konkretnie, grupa Heisenberga – jest to unipotentna grupa Liego SL(n + 2, R ) o elementach :
Odwzorowanie eksponencjalne exp : Ŋn → Hn jest surjektywne i grupa Heisenberga Hn jest generowana przez dwie n – parametrowe abelowe podgrupy :
n n
exp(uX ) = exp( Σ uk fk ) ; exp(vY ) = exp( Σ vk fk ) ; u, v ∈ Rn k =1 k =1
oraz jednoparametrowym centrum exp(αc), które spełniają następujące relacje : n
exp(uX ) exp(vY ) = exp( −uvc ) exp(vY ) exp(uX ) , uv =exp( Σ uk vk ) (2.10) k =0
Z (2.5) wynika, że [ uX, vY ] = −uvc – jest elementem centralnym, tak że wykorzystując wzór Bakera –Campbella- Hausdorffa, otrzymujemy :
exp(uX ) exp(vY ) = exp( − ½ uvc ) exp(uX + vY ) exp(vY ) exp(uX ) = exp( ½ uvc ) exp(uX + vY )
W realizacji macierzowej odwzorowanie eksponencjalne zadane jest przez eksponent i otrzymujemy : exp(uX ) = I + uX , exp(vY ) = I + vY , exp(αc ) = I + αc , gdzie I – macierz jednostkowa ( n + 2 ) × (n + 2 )
Niech R – będzie nieprzywiedlną unitarną reprezentacją grupy Heisenberga Hn w przestrzeni Hilberta ℵ - silnie ciągły homomorfizm grup :
R : Hn → U(ℵ)
gdzie U(ℵ) – grupa operatorów unitarnych działających w ℵ
Zgodnie z lematem Schura R(eαc ) = e−iλα I, λ ∈ R
Przyjmijmy, teraz że λ = ħ i zdefiniujmy dwie silnie ciągłe n – parametrowe grupy abelowskie operatorów unitarnych : U(u )= R ( exp(uX )) , V(v )= R ( exp(vY )) , ) ; u, v ∈ Rn
Wtedy z (2.10) wynika, że operatory unitarne U(u), V(v) spełniają relacje komutacyjne :
U(u)V(v) = exp(iħ uv ) V(v) U(u) (2.11)
nazywane relacjami Weyla.
Niech P = ( P1, ... , Pn ) , Q = ( Q1, ... , Qn ) – są odpowiednio infinitezymalnymi tworzącymi podgrup U(u) i V(v), zadane przez twierdzenie Stone’a :
Pk = i ∂U(u)/∂uk |
u =0 ; Qk = i ∂V(v)/∂uk | v =0 ; k = 1, ... , n
Biorąc drugie pochodne cząstkowe relacji Weyla (2.11) w początku współrzędnych u = v = 0 i wykorzystując rozwiązanie zadania 1.7 z poprzedniego podrozdziału, łatwo możemy otrzymać następujący wynik :
Lemat 2.1 Niech R : Hn → U(ℵ)- będzie nieprzywiedlną unitarną reprezentacją grupy Heisenberga Hn w ℵ, taką że R(eαc ) = e−iħα I
I niech P = ( P1, ... , Pn ) , Q = ( Q1, ... , Qn ) – są odpowiednio infinitezymalnymi tworzącymi silnie ciągłych n – parametrowych podgrup U(u) i V(v).
Wtedy wzory (2.9) określają nieprzywiedlną unitarną reprezentację ρ algebry Heisenberga Ŋn na ℵ.
Reprezentacja ρ w lemacie 2.1 nazywa się różniczką reprezentacji R i oznacza się ją jako dR.
Nieprzywiedlna unitarna reprezentacja ρ algebry Ŋn nazywa się całkowalną, jeśli ρ = dR dla jakieś nieprzywiedlnej reprezentacji R grupy Hn.
Uwaga. Nieprzywiedlne unitarne reprezentacje algebry Heisenberga są całkowalne, tak że relacje Weyla nie mogą być otrzymane z relacji komutacyjnych Heisenberga. Jednakże następujące heurystyczne rozważanie (nie uwzględniające subtelności posługiwania się operatorami nieograniczonymi ) jest w sposób nagminny wykorzystywane w podręcznikach fizyki.
Rozpatrzmy przypadek jednego stopnia swobody i rozpocznijmy od relacji : {P, Q }ħ = I
Ponieważ nawias kwantowy spełnia zasadę Leibniza, dla „odpowiedniej” funkcji f otrzymujemy : { f(P), Q }ħ = f’(P)
W szczególności, wybierając f(P) = exp(−iuP ) = U(u), otrzymujemy : U(u)Q − QU(u) = ħ uU(u) lub U(u)QU(u)−1 = Q + ħ uI
Dla „odpowiedniej” funkcji g z powyższego wynika : U(u)g(Q) =g(Q + ħ uI )U(u)
I, przyjmując g(Q) = exp( −ivQ) = V(v), otrzymujemy relacje Weyla.
W podrozdziale 2.3.1 dowiedziemy, że wszystkie całkowalne nieprzywiedlne unitarne reprezentacje algebry Heisenberga Ŋn o jednym i tym samym działaniem elementu centralnego c są unitarnie równoważne.
To uzasadnia następujące matematyczne sformułowanie relacji komutacyjnych Heisenberga dla n stopni swobody.
A9. (Komutacyjne relacje Heisenberga ). Operatory pędu i współrzędnych P = ( P1, ... , Pn ) , Q = ( Q1, ... , Qn ) dla cząstki kwantowej o n stopniach swobody są określone przez wzór (2.9), gdzie ρ - jest całkowalną nieprzywiedlną reprezentacją unitarną algebry Heisenberga Ŋn o własności ρ(c ) = −i ħI.
Zadanie 2.1 Dowieść, że nie istnieją operatory ograniczone w przestrzeni Hilberta, które spełniają relacje [A, B ] = I Zadanie 2.2 Podać przykład operatorów samosprzężonych A i B posiadających ogólną inwariantna i gęstą podprzestrzeń liniową D ⊂ ℵ, taką że ABϕ = BAϕ dla dowolnego ϕ ∈ D, jednakże exp(iA) i exp(iB) nie komutują.
Zadanie 2.3 Dowieść lematu 2.1 (podpowiedź. Tak samo jak w zadaniu 1.7, niech D – będzie liniowym zbiorem wektorów Gardinga :
ψf =
∫
f(u, v ) U(u)V(v) ψ dnu dnv , f ∈ ℑ(R2n ) , ψ ∈ ℵgdzie ℑ(R2n ) – przestrzeń Schwartza szybko zanikających funkcji na R2n.
)
2.2.2 Reprezentacje – współrzędnościowa i pędowa.
Rozpoczniemy od przypadku jednego stopnia swobody i rozpatrzymy dwie naturalne realizacje relacji komutacyjnych Heisenberga.
Są one określane przez taką własność, że jeden z operatorów samosprzężonych P i Q jest „diagonalny” tj. jest operatorem pomnożenia przez funkcję w odpowiedniej przestrzeni Hilberta.
W reprezentacji współrzędnościowej ℵ = L2(R, dq ) – jest to L2 –przestrzeń na przestrzeni konfiguracyjnej R o współrzędnej q, będącą lagranżjanowską podprzestrzenią przestrzeni R2, określoną przez równanie p = 0.
Przyjmijmy :
D(Q) = { ϕ ∈ ℵ :
∫
q2 | ϕ(q) |2 dq < ∞ }i dla ϕ∈ D(Q) zdefiniujemy wektor Q jako „operator pomnożenia przez q” : (Qϕ)(q) = qϕ(q) , q ∈ R
uzasadniając nazwę “reprezentacja współrzędnościowa”.
Operator współrzędnej Q jest oczywiście samosprzężony i jego miara rzutowa jest zadana wzorem : ( P(E)ϕ )(q) = χE(q) ϕ(q) (2.12)
χE – funkcja charakterystyczna podzbioru borelowskiego E ⊆ R.
Dlatego supp P = R i σ(Q) = R.
Przypomnijmy, że spektrum operatora samosprzężonego A jest absolutnie ciągłe, jeśli dla dowolnego ψ ∈ℵ, || ψ || =1, miara probabilistyczna νψ :
νψ (E) = ( PA(E)ψ, ψ ) , E ∈ B(R )
jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a na R.
Lemat 2.2 Operator współrzędnej Q posiada absolutnie ciągłe spektrum R i dowolny ograniczony operator B, komutujący