Neoklasyczne modele rynków finansowych

Początki nowoczesnej teorii inwestowania sięgają połowy XX wieku, kiedy to w 1952 roku Harry Markowitz opublikował słynny artykuł zatytułowany „Portfolio Selection” ([MAR 1952]). W artykule tym, po raz pierwszy, został sformułowany i rozwiązany pro-blem wyboru optymalnego portfela inwestycyjnego przez inwestora działającego na rynku akcji. H. Markowitz założył, że preferencje inwestora względem różnych możliwych in-westycji można wyrazić za pomocą pewnej funkcji użyteczności, której argumentami są oczekiwana stopa zwrotu z tej inwestycji i ryzyko inwestycji rozumiane jako wariancja stopy zwrotu. Markowitz założył, że użyteczność inwestycji dla inwestora jest rosnącą funkcją oczekiwanej stopy zwrotu i malejącą funkcją jej ryzyka10. Zatem, zadaniem inwe-stora jest skonstruowanie portfela o maksymalnej oczekiwanej stopie zwrotu i minimalnej wariancji stopy zwrotu. Okazuje się jednak, że taki portfel inwestycyjny nie istnieje — jednoczesna maksymalizacja wartości oczekiwanej zysku i minimalizacja jego zmienności nie jest możliwa. Z tego powodu inwestor musi wybrać pewną wartość oczekiwanej stopy zwrotu, którą chciałby osiągnąć, i konstruować portfel cechujący się właśnie taką warto-ścią oczekiwanej stopy zwrotu i minimalnym ryzykiem11. Konstrukcja portfela sprowadza się do obliczenia udziałów każdej akcji. H. Markowitz sformułował to zadanie w postaci

10Posługując się językiem mikroekonomii należałoby stwierdzić, że Markowitz sprowadził problem wy-boru optymalnego portfela inwestycyjnego do problemu wywy-boru konsumenta, który ma do dyspozycji koszyki „dóbr” składające się z różnych kombinacji oczekiwanej stopy zwrotu i ryzyka, i dla którego oczekiwana stopa zwrotu jest dobrem pożądanym, a ryzyko dobrem niechcianym. Warto zauważyć, że Markowitz założył, że na preferencje inwestora nie wpływają, wyższe niż drugi, momenty stóp zwrotu z akcji.

11Takie same rezultaty można osiągnąć ustalając poziom ryzyka i maksymalizując oczekiwaną stopę zwrotu.

problemu programowania matematycznego o postaci:

max

w∈RNwTV w, przy warunkach: (1) wT1_N = 1, (2) wTe = R,

gdzie R jest pożądanym poziomem oczekiwanej stopy zwrotu, e jest N–elementowym wektorem oczekiwanych stóp zwrotu z wszystkich akcji, V oznacza macierz wariancji– kowariancji stóp zwrotu z tych akcji, 1N jest N–elementowym wektorem jedynek, a w oznacza wektor udziałów akcji w portfelu inwestora. Warunek ograniczający (1) zapewnia sumowanie się udziałów akcji w portfelu do 100%, zaś (2) to formalny zapis warunku określającego oczekiwaną stopę zwrotu z portfela, który jest konstruowany.

Analityczne rozwiązanie powyższego problemu, uzyskane metodą mnożników Lagran-ge’a, podał Robert Merton12. Dowiódł on, że udziały akcji w portfelu efektywnym o ocze-kiwanej stopie zwrotu R i minimalnej wariancji (spośród wszystkich portfeli cechujących się takim poziomem oczekiwanej stopy zwrotu) wyrażają się następującym wzorem:

w = ¹ D^(BV −11_N − AV−1e) + ¹ D^(CV −1e − AV−11_N)R, gdzie: A = 1T NV−1e, B = eTV−1e, C = 1T NV−11_N i D = BC − A2.

Portfel, w którym udziały akcji są takie jak powyżej, określa się mianem portfela o mi-nimalnym ryzyku i oczekiwanej stopie zwrotu R. Zbiór portfeli o mimi-nimalnym ryzyku i różnych oczekiwanych stopach zwrotu nosi nazwę zbioru (granicy) minimalnego ryzy-ka (ang. minimum–variance frontier ). Zbiór ten, narysowany w przestrzeni wyznaczonej przez oczekiwaną stopę zwrotu i wariancję stopy zwrotu, ma kształt paraboli, o następu-jącym wzorze: σ2 min(r_p) = ^C D^r 2 p − 2^A D^rp+ B D^, gdzie σ2

min(rp) jest wariancją portfela o minimalnym ryzyku i oczekiwanej stopie zwrotu

r_p.

12Zob. [MER 1972]. Zastosowanie tej metody jest możliwe, wtedy i tylko wtedy, gdy macierz V jest nieosobliwa. Innym znanym źródłem dotyczącym tej problematyki jest artykuł autorstwa R. Rolla — [ROL 1977]

Wierzchołek tej paraboli jest zarazem portfelem o najniższym, możliwym do osią-gnięcia, poziomie ryzyka — w literaturze przedmiotu określa się go mianem globalnego portfela minimalnego ryzyka (ang. global minimum–variance portfolio). Wszystkie portfe-le minimalnego ryzyka, o oczekiwanej stopie zwrotu wyższej niż oczekiwana stopa zwrotu globalnego portfela minimalnego ryzyka, są nazywane portfelami efektywnymi (ang.

ef-ficient portfolios), i tworzą zbiór (granicę) efektywny (ang. efef-ficient frontier ). Zgodnie

z zaleceniami teorii portfelowej Markowitza, każdy inwestor powinien posiadać jeden z portfeli efektywnych. Jeżeli posiadany przez niego portfel nie jest portfelem efektywnym, to inwestor postępuje nieracjonalnie, ponieważ zachowując taki sam poziom ryzyka, może wybrać portfel o wyższej oczekiwanej stopie zwrotu.

Teoria portfela Markowitza jest teorią normatywną — określa sposób w jaki inwestorzy powinni konstruować posiadane portfele akcji. Należy zauważyć, że nie są to zalecenia czy-sto teoretyczne. Markowitz sformalizował zasady intuicyjnie czy-stosowane przez inweczy-storów, zgodnie z którymi portfel inwestycyjny tworzy się tak, aby gwarantował on jak najwyższą stopę zwrotu, oraz jak najmniejszą rozpiętość możliwych wyników inwestycji.

Wielu ekonomistów zadało sobie pytanie, jaką postać ma zależność pomiędzy ocze-kiwaną stopą zwrotu a ryzykiem, na rynku akcji i obligacji wolnej od ryzyka, zdomino-wanym przez inwestorów stosujących teorię portfelową. Odpowiedzi udzielili W. Sharpe ([SHA 1964]), J. Lintner ([LIN 1965]) i J. Mossin ([MOS 1966]), formułując podstawową wersję Modelu Wyceny Aktywów Kapitałowych. Najważniejszym wnioskiem płynącym z tego modelu jest stwierdzenie, że portfel rynkowy (to jest portfel obejmujący wszystkie możliwe inwestycje) jest portfelem efektywnym. Konsekwencją tego faktu jest poniższy wzór:

E(r_i) = r_f + [E(r_m) − r_f]β_i,

opisujący zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu dowolnego portfela inwestycyjnego (E(r_i)), a jego współczynnikiem beta (β_i), który jest obliczany w następujący sposób:

β_i = ^{cov(ri, rm)}

gdzie rm oznacza stopę zwrotu z portfela rynkowego, a σ2(rm) jej wariancję.

CAPM przez ponad 30 lat był najczęściej stosowanym modelem rynku kapitałowe-go. Współczynniki beta, mierzące w CAPM poziom ryzyka systematycznego, stały się powszechnie stosowanymi miarami ryzyka inwestowania w papiery wartościowe13. Warto zauważyć, że niewiele teorii opracowanych przez naukowców, odniosło podobny „sukces” na rynkach finansowych, jak to się stało w przypadku CAPM.

Wraz z upływem czasu pojawiała się również krytyka tego modelu. Zwracano uwa-gę na niezwykle restrykcyjne jego założenia, takie jak: powszechność stosowania teorii portfelowej, doskonałość rynków finansowych (brak kosztów transakcyjnych i podatków od transakcji na tym rynku; nieograniczona dostępność transakcji krótkiej sprzedaży), możliwość pożyczania i lokowania według stopy zwrotu wolnej od ryzyka i jednorodność oczekiwań inwestorów względem wartości oczekiwanych stóp zwrotu i ryzyka poszczegól-nych papierów wartościowych. Ponadto, krytykowano CAPM jako model jednookresowy (statyczny) i źle opisujący zależność pomiędzy poziomem oczekiwanych stóp zwrotu i ry-zykiem systematycznym możliwych inwestycji. W odpowiedzi na te zarzuty tworzone były modyfikacje podstawowej wersji CAPM i alternatywne teorie rynków finansowych.

Rozluźnienie założeń podstawowej wersji CAPM zaowocowało zmianami tego modelu. Powstały warianty CAPM, w których nie zakłada się możliwości lokowania i pożycza-nia środków po stopie zwrotu wolnej od ryzyka ([BLA 1972]), uwzględpożycza-nia się niejedno-rodność oczekiwań inwestorów dotyczących momentów stóp zwrotu z akcji ([JAR 1980], [LIN 1970] i [WIL 1977]), oraz ograniczenia dostępności transakcji krótkiej sprzedaży akcji ([JAR 1980]). We wszystkich wymienionych wariantach CAPM zależność pomiędzy ocze-kiwanymi stopami zwrotu z walorów finansowych, a ich współczynnikami beta (liczonymi względem portfela rynkowego), pozostała zależnością liniową lub w przybliżeniu liniową. W ten sposób udowodniono, że restrykcyjność założeń CAPM nie powinna być podstawą krytyki tego modelu, ponieważ ich osłabienie nie wpływa na najważniejszy wniosek z tego

13Ryzyko systematyczne to część całkowitej zmienności stóp zwrotu z portfeli walorów finansowych, która nie może być wyeliminowana poprzez dywersyfikację portfela.

modelu, jakim jest liniowość zależności zyskowności i ryzyka systematycznego inwestycji. CAPM krytykowano również na podstawie badań empirycznych, które dowiodły, że współczynnik beta nie jest jedyną zmienną objaśniającą oczekiwane stopy zwrotu z akcji, czego należałoby oczekiwać, jeżeli założy się, że rynek kapitałowy jest dobrze opisywa-ny za pomocą CAPM. Na przełomie lat 70-tych i 80-tych XX wieku dowiedziono, że zmienne takie jak wskaźnik Cena/Zysk, stopa dywidendy i kapitalizacja mają większy wpływ na wartość oczekiwanych stóp zwrotu z akcji, niż współczynnik beta ([BAN 1981], [BAS 1977], [BAS 1983], [LR 1979]). Podejrzewano, że zmienne te odzwierciedlają efekty działania czynników ryzyka inwestowania nieuwzględnionych w CAPM.

Jednym z najbardziej znanych modeli, alternatywnych wobec CAPM, uwzględnia-jących inne czynniki ryzyka, jest Teoria Wyceny Arbitrażowej (ang. Arbitrage Pricing

Theory — APT), autorstwa S. Rossa ([ROS 1976]). Opisuje ona proces kształtowania

cen akcji na rynku kapitałowym, na którym nie ma możliwości przeprowadzenia arbitra-żu cenowego14. Jej podstawą jest spostrzeżenie, że stopy zwrotu z akcji spółek mających pewne wspólne cechy (takie jak np. przynależność do tej samej branży gospodarki) w podobny sposób reagują na różne informacje codziennie przepływające przez rynki ka-pitałowe. Przykładem mogą tu być spadki indeksów giełdowych towarzyszące zazwyczaj informacjom o złym stanie gospodarki danego kraju, takim jak niespodziewanie wysoka stopa inflacji, czy zaskakująco wysoki deficyt obrotów bieżących. Powyższe spostrzeżenie pozwala na sformułowanie tezy o istnieniu pewnych czynników, których zmiany powodują systematycznie fluktuacje cen aktywów finansowych. W ramach APT ta teza jest forma-lizowana poprzez założenie, że dynamikę stóp zwrotu z akcji można opisać poniższym równaniem15: r_it= a_i+ m X k=1 l_ikf_kt+ ε_it,

14Arbitraż cenowy to jednoczesne dokonywanie transakcji identycznymi bądź podobnymi aktywami finansowymi, których celem jest osiągniecie zysku bez ryzyka i bez zaangażowania własnego kapitału, co jest możliwe w wyniku niedopasowania cen tych aktywów.

15Argumenty oparte na założeniu braku możliwości arbitrażu pozwalają uzasadnić liniowość zależności stóp zwrotu z akcji od wartości czynników ryzyka.

gdzie rit oznacza stopę zwrotu z akcji i w okresie t, fkt jest wartością, w okresie t, k-go czynnika wpływającego na wysokość stóp zwrotu z akcji, l_ik jest miarą wrażliwości stóp zwrotu z i-tej akcji na zmiany k-go czynnika, a εitjest składnikiem losowym stopy zwrotu z i-tej akcji, w okresie t16.

W takiej sytuacji można udowodnić, że w gospodarce pozbawionej możliwości arbitra-żu, oczekiwane stopy zwrotu z akcji spełniają następujące, przybliżone równanie:

E(r_i) ≈ λ₀+

m

X

k=1

λ_kl_ik,

gdzie λ_k są liczbami mierzącymi premie za ryzyko związane ze zmiennością odpowiadają-cych im czynników. Precyzja oszacowań oczekiwanych stóp zwrotu z akcji zdefiniowanych powyższym wzorem zależy od liczby papierów wartościowych notowanych na danym rynku kapitałowym, oraz spełnienia pewnych dodatkowych założeń dotyczących wariancji pro-centowych przyrostów wartości czynników. W przypadku, gdy liczba notowanych akcji jest duża i wspomniane założenia są spełnione, to okazuje się, że korzystając z podanego wzoru można z dużą dokładnością szacować oczekiwane stopy zwrotu z akcji.

Model APT cieszył się w latach 80-tych dużą popularnością. Uważano, że jego za-łożenia są znacznie mniej restrykcyjne niż zaza-łożenia CAPM, gdyż stosowanie APT nie powoduje konieczności identyfikacji portfela rynkowego a także, że APT lepiej opisuje zależności pomiędzy stopami zwrotu z akcji i innymi zmiennymi. Jednak badania em-piryczne ujawniły, w zasadzie jedyną poważną, wadę tego modelu — brak specyfikacji listy czynników wpływających na zmienność stóp zwrotu z instrumentów finansowych. Ponieważ opracowanie statystycznej metody pozwalającej zidentyfikować wszystkie takie czynniki jest niemożliwe, Teoria Wyceny Arbitrażowej nie zdobyła powszechnego uznania. Zarówno CAPM, jak i APT, są przykładami modeli wykorzystujących współczynni-ki beta (ang. beta models)17. Modele te są niewątpliwie najbardziej znanymi teoriami opisującymi rynki finansowe, które znalazły uznanie u praktyków, ale które nie są

pozba-16Przyjmowane w APT założenia dotyczące składników losowych i czynników ryzyka są opisane w [CLM 1997, s. 220].

wione wad18. Po pierwsze, modele te są modelami jednookresowymi, co jest ewidentnie sprzeczne z rzeczywistością rynków finansowych. Działający na nich inwestorzy podejmują swoje decyzje biorąc pod uwagę wiele czynników działających w różnych okresach czasu. Ponadto, w tych modelach całkowicie ignorowany jest związek decyzji inwestycyjnych z decyzjami dotyczącymi konsumpcji inwestorów. Stopy zwrotu z papierów wartościowych są determinowane wyłącznie przez decyzje inwestorów kierujących się chęcią maksyma-lizacji użyteczności wartości oczekiwanej swojego majątku i nie uwzględniających uży-teczności konsumpcji19. Warto również zauważyć, że premia za ryzyko rynkowe w CAPM (E(RM) − rf), oraz premie za ryzyko związane z czynnikami w APT (λk, k = 1, . . . , m),

są w tych modelach stałe i egzogeniczne. Oznacza to, że modele te w ogóle nie wyjaśniają zmienności premii za ryzyko inwestowania, która jest obserwowana na rynkach finanso-wych20. Z tych powodów rozważane są również modele wielookresowe, w których decyzje inwestycyjne powiązane są z decyzjami konsumpcyjnymi — „konsumpcyjne” modele wyce-ny papierów wartościowych (ang. Consumption–based asset pricing models) — i w których premia za ryzyko związane z inwestowaniem jest zmienną endogeniczną modelu.

W tych modelach stosuje się koncepcję „inwestora reprezentatywnego” (ang.

represen-tative agent), która umożliwia opis preferencji wszystkich inwestorów względem

konsump-cji przyszłej i bieżącej, za pomocą jednej (zagregowanej) funkkonsump-cji użyteczności. Ponadto zakłada się, że inwestor ma w każdym momencie możliwość wyboru pomiędzy konsumpcją bieżącą, a jej odłożeniem w czasie i inwestycją w ryzykowny papier wartościowy i21. Ce-lem każdego inwestora jest maksymalizacja oczekiwanej użyteczności konsumpcji bieżącej i przyszłej, co można zapisać w następującej postaci:

max (ct+j)∞_j=1 E([ ∞ X j=0 δ^ju(c_t+j)]|I_t),

gdzie t oznacza okres bieżący, E(·|I_t) jest operatorem warunkowej wartości oczekiwanej względem zbioru informacji dostępnego w okresie t, u(·) oznacza funkcję użyteczności, c_s

18Oprócz tych, które wymieniono w opisie CAPM i APT

19Wartości oczekiwanej obliczanej na jeden okres „w przód”

20Zob. [CLM 1997, rozdział VIII]

jest wielkością konsumpcji w okresie s, a δ jest czynnikiem dyskontującym dla przyszłej konsumpcji22.

Warunki konieczne istnienia rozwiązania powyższego problemu optymalizacyjnego, po-zwalają na uzyskanie następującego równania23:

u0(c_t) = δE([(1 + R_i,t+1)u0(c_t+1)]|I_t),

w którym R_i,t+1 oznacza stopę zwrotu z inwestycji w instrument i w okresie od t do t + 1 (czyli wyrzeczenie się części konsumpcji bieżącej na rzecz konsumpcji w kolejnym okresie). Równanie to pokazuje, w jaki sposób inwestor łączy decyzje inwestycyjne i konsumpcyj-ne. Mianowicie, zmniejsza on konsumpcję bieżącą na rzecz przyszłej, do momentu, gdy krańcowy koszt zmniejszenia konsumpcji bieżącej (lewa strona równania), zrówna się z oczekiwanym krańcowym zyskiem zwiększenia konsumpcji przyszłej, czyli inwestycji w papiery wartościowe (prawa strona równania). To spostrzeżenie jest podstawą do rozwoju konsumpcyjnych modeli wyceny papierów wartościowych.

Oznaczając przez M_t+1 międzyokresową stopę substytucji konsumpcji bieżącej, kon-sumpcją „ jeden okres w przód":

M_t+1 = δ^u0(ct+1)

u0(ct) ^,

i przekształcając otrzymane równanie otrzymamy następującą równość:

1 = E([(1 + R_i,t+1)M_t+1]|I_t).

Międzyokresową stopę substytucji konsumpcji bieżącej, przez przyszłą, określa się, w kon-tekście modeli wyceny papierów wartościowych, mianem stochastycznego czynnika dys-kontującego (ang. stochastic discount factor )24. Uzasadnieniem tej nazwy jest powyższa

22Przyjmuje on wartości mniejsze od jedności, co jest zgodne z obserwacją, iż użyteczność konsumpcji zmniejsza się wraz z jej oddaleniem w czasie. Warto zauważyć, że w powyższym sformułowaniu użytecz-ności konsumpcji bieżącej i przyszłej są rozdzielone. Jest to możliwe, gdy przyjmie się założenie „czasowej rozdzielności” funkcji użyteczności (ang. time–separability of utility)

23Oczywiście konieczne są pewne założenia dotyczące funkcji użyteczności — w szczególności jej róż-niczkowalność [CO 2001], [CLM 1997].

równość, z której wynika, że bieżąca jednostkowa cena papieru wartościowego jest równa wartości oczekiwanej jednostki tej ceny w kolejnym okresie, przemnożonej przez między-okresową stopę substytucji konsumpcji bieżącej, przez przyszłą. Uwzględniając analogię z przypadkiem wyceny przepływów finansowych w warunkach deterministycznych stóp procentowych, oraz fakt, iż Mt+1 jest zmienną losową, nazwa stochastyczny czynnik dys-kontujący wydaje się w pełni uzasadniona.

W konsumpcyjnym modelu wyceny papierów wartościowych, ostatnia omawiana rów-ność, podlega dalszym przekształceniom. Korzystając z znanej własności kowariancji zmien-nych losowych25:

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),

można tę równość zapisać w następujący sposób:

E(1 + R_i,t+1|I_t) = ¹

E(M_t+1|I_t)^{(1 − cov(Ri,t+1, Mt+1|It)),}

co daje wzór przedstawiający zależność oczekiwanych stóp zwrotu z papierów wartościo-wych od kowariancji tych stóp zwrotu z stochastycznym czynnikiem dyskontującym. Za-leżność ta jest odwrotnie proporcjonalna; to znaczy inwestorzy postrzegają jako bardziej (mniej) ryzykowne te papiery wartościowe, które cechują się niższą (wyższą) kowarian-cją stóp zwrotu z stochastycznym czynnikiem dyskontującym i w rezultacie żądają od nich wyższych (niższych) stóp zwrotu. Za relatywnie najbardziej (najmniej) ryzykowne uważane są te papiery wartościowe, których stopy zwrotu są ujemnie (dodatnio) skore-lowane z stochastycznym czynnikiem dyskontującym. Dzieje się tak, ponieważ papiery wartościowe, których stopy zwrotu są ujemnie (dodatnio) skorelowane z stochastycznym czynnikiem dyskontującym, dają inwestorowi coraz to większe (mniejsze) zyski wtedy, gdy jego krańcowa stopa substytucji konsumpcji bieżącej, konsumpcją przyszłą, maleje, to znaczy gdy konsumpcja bieżąca rośnie. Oznacza to, że papiery wartościowe, których stopy zwrotu są ujemnie skorelowane z stochastycznym czynnikiem dyskontującym, dają inwestorowi zyski, gdy jego konsumpcja bieżąca jest na wysokim poziomie, i przynoszą

straty, gdy jest ona niska — z tego powodu inwestorzy postrzegają je jako ryzykowne i wymagają od nich wysokich stóp zwrotu. Z analogicznych powodów papiery wartościowe, których stopy zwrotu są dodatnio skorelowane z stochastycznym czynnikiem dyskontują-cym, są postrzegane jako relatywnie mało ryzykowne.

Omawiane równanie pokazuje zależność pomiędzy decyzjami inwestycyjnymi (i ich skutkami to znaczy zmianami stóp zwrotu z papierów wartościowych) oraz poziomem ich konsumpcji. Zatem można stwierdzić, że konsumpcyjny model wyceny aktywów kapitało-wych faktycznie jest pozbawiony jednej z wcześniej wymienionych wad modeli wykorzy-stujących współczynniki beta. Ponadto, w tym modelu możliwe jest wyjaśnienie zmien-ności stóp zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka inwestycyjnego, która jest obserwowana w rzeczywistości. W konsumpcyjnym modelu wyceny papierów wartościowych ryzyko in-westycyjne jest postrzegane przez pryzmat skorelowania ich stóp zwrotu ze zmianami stochastycznego czynnika dyskontującego. Zatem, za wolną od ryzyka, można uznać in-westycję, która nie jest skorelowana z tą zmienną. Na podstawie ostatnio omawianego równania łatwo jest obliczyć oczekiwaną stopę zwrotu z takiej inwestycji (oznaczmy ją przez E(R_f,t+1)). Jest ona równa:

E(Rf,t+1|It) = ¹

E(M_t+1|I_t) ^{− 1,}

co oznacza, że jest to wielkość zmieniająca się w czasie, wraz ze zmianami krańcowej stopy substytucji konsumpcji bieżącej, przez konsumpcję przyszłą.

Przytoczone powyżej rozważania dotyczą najbardziej ogólnej wersji konsumpcyjnego modelu wyceny papierów wartościowych. W literaturze przedmiotu znaleźć można wiele modyfikacji tego modelu, które otrzymywane są na przykład, poprzez określenie konkret-nej postaci funkcji użyteczności inwestora reprezentatywnego lub poprzez wprowadzenie innych założeń ([CO 2001], [CLM 1997, rozdział VIII]).