§ 97. Ruch obrotow y.
Jeżeli jakiś punkt zakreśla koło w płaszczyźnie prostopadłej do pewnej prostej a o środku w spodku tej prostej, to mówimy, ze ten punkt wykonuje r u c h o b r o t o w y o k o ł o o s i a.
Podobnie dowolny utwór geometryczny wykonuje ruch obrotowy, jeżeli je g o _wszystkie punkty’ zakreślają łuki kół leżące w płaszczyznach prosto
padłych do osi przyczem te łuki należą do równych kątów środkowych. Wielkość obrotu mierzymy właśnie tym kątem środ
kowym. Można więc powiedzieć: K ą t e m o b r o t u n a z y w a m y k ą t , j a k i z a k r e ś l a p r o s t a p o p r o w ra d z o n a p r o s t o p a d l e do o s i z d o w o l n e g o p u n k t u utw'oru geometrycznego, wykonującego obrót. Jeżeli cała przestrzeń wykonuje ruch obrotowy, to tylko punkty leżące n a osi są nieruchome.
Inne punkty zataczają łuki tem większe, im dalej leżą od osi obrotu — natomiast kąty zakreślone przez wszystkie linie prostopadłe do osi są równe (prędkość kątow a!).
Podobnie jak w' planimetryi, należałoby i tutaj wykazać, że ta geo
metryczna konstrukcya posiada właściwości* ruchu obrotowego ciał sztywnych,
a więc: .
Linia prosta po obrocie nie wygnie się, ale pozostanie linią prostą; pła
szczyzna pozostanie płaszczyzną, wielkość zaś odcinków' ani kątów’.nie ulegnie zmianie. Stąd już wynika przystawianie wszystkich wielokątów' wchodzących w' skład utworu geometrycznego i równość wszystkich kątów' nachyleń, słowTe m : przystawanie nowego utworu geometrycznego do dawnego. To zaś jest zasadniczą właściwością, ruchu ciał sztywnych.
W ykażem y n. p., że linia prosta przecinająca oś pod dowolnym kątom , po
zostanie po obrocie o k ą t cp linią prostą. To znaczy, że trzy punkty A B C , le
zące przed obrotem na linii prostej, będą i po obrocie leżały n a jednej linii prostej.
ł o m n i c k i , Geometrya I. i II. 1 3
Fig. 27ï.
na
Otóż założeniem jest a J_ a i |3 J _ a , tudzież C M C 5= B N B ' =± -j>.
Gdyby p u n k t C' nie leżał na prostej A B \ to ta prosta m iałaby z kołem a jakiś inny p u n k t wspólny X . Płaszczyzny a i h ,-ja k o prosto
padłe do tejsamej prostej, są d o -sieb ie równoległe, więc i linie M C i M X muszą być równolegle do linii N B i N B ', powieważ leżą na tychsam ych płaszczy
znach, wyznaczonych przez proste a i A B , o i A B '.
W obec tego ^ X M C = B ' N B = cp. Ram ię M X tego k ąta musi się więc nakryć z ramieniem M C ', bo i <C C M C ' = y , a jedno ram ię M C m ają wspólne.
W idzimy więc, ż.e punkt .C' musi leżeć ' także na
prostej A B '. .
Z przystaw ania trójkątów A N B ' i A N B wy
n ik a równość odcinków- i równość k ą ta nachylenia prostej A B do płaszczyzny ¡3. •
Podobnie można udowodnić o prostej wichro
watej względem osi, że po obrocie pozostaje prostą, i że jej odcinki i kąty nachylenia .pozostają niezmie
nione.
Pominiemy tu również dowód, że cztery punkty leżące przed obrotem na jednej płaszczyźnie, leżą i po obrocie na jednej płaszczyźnie.
Często używa się w geometryi obrotu płaszczyzny około osi a leżącej tej płaszczyźnie. Wtedy płaszczyzna przebiega po kolei wszystkie pła
szczyzny, pęku płaszczyzn należącego do krawędzi a.
Wielkość obrotu jest zarazem m iarą kąta dwuścien- nego, utworzonego przez dwie skrajne płaszczyzny (por. str. 189).
Stosując tu ogólne prawo ruchu obrotowego powiemy :
Wszystkie utwory geometryczne leżące na pła
szczyźnie a nie zmieniają ani wielkości, ani kształtu, skoro całą płaszczyznę obrócimy do innego poło
żenia ?j. Obrót taki stosujemy zwłaszcza często w geometryi wykreślnej, którą się w następnym roz
dziale pokrótce zajmiemy.
Jeżeli jakiś utwór geometryczny wykonuje równocześnie ruch postępowy i obrotowy, to znaczy obraca się koło pewnej osi, a równocześnie posuwa się wzdłuż pewnej linii prostej, to ruch taki nazywamy r u c h e m ś r u b o w y m . W szczególnym przy
padku, jeżeli ruch postępowy odbywa się w kierunku prostopadłym do osi ruchu obrotowego, to taki ruch śrubowy nazywamy t o c z e n i e m si ę.
W ogólnym ruchu śrubowym każdy punkt zakreśla linię krzywą przestrzenną, zwaną l i n i ą ś r u b o w ą , znaną nam dobrze z mechaniki życia codziennego.
Linią tą zajmiemy się dokładniej później, przy nauce o walCu. Przy toczeniu
195 się każdy punkt zakreślą linię krzywą płaską, mianowicie cykloidę (por. w pla- nimetryi str. 25).
§ 98. przystaw anie utw orów przestrzennych.
Utwory geometryczne nazywają się przystające, jeżeli m ają równe pa-, ram i wszystkie odcinki i icszystMe lcąty w tym sam ym porządku (i to nie tylko kąty płaskie, ale i kąty dwuścienne i kąty nachylenia prostych do pła
szczyzn). Z własności ruchu wiemy, że utwory przystające do danego utworu można otrzym ać. przez ruch postępowy lub obrotowy. Nasuwa się pytanie, czy własność ta jest charakterystyczna dla utworów przestrzennych, t. j. czy utwór przestrzenny przystający do drugiego utworu,- a leżący w dowolneńi innem miejscu płaszczyzny i ustawiony dowolnie (a więc, niekoniecznie równo
legle), można, otrzymać z tego drugiego utworu przez ruch lub też prościej:
czy dwa utwory przystające można zawsze sprowadzić do nakrycia przez ruch.
Dla utworów płaskich udowodniliśmy już to w planim etryi (por. str. 45— 46).
Aby wykazać prawdziwość tego twierdzenia także dla utworów przestrzennych, weźmy cztery punkty S A B O nie leżące na jednej płaszczyźnie i połączmy liniami prostemi punkty A , B , C ze sobą i z punktem S. Weźmy w innem miejscu przestrzeni utwór geometryczny- przystający do S A B (7, t. j, mający kąty i odcinki równe i następujące po sobie w tymsamym porządku. Tensam
S "
Fig. 273.
porządek ocenia się w następujący sposób: Patrząc od punktu S na płaszczyznę A B C widzimy, że punkty A , B , C następują po sobie w kierunku ruchu wska
zówki zegaru. Z punktu S ' powinny się punkty A ' B ' C' przedstawiać w tym
samym porządku, co łatwo możemy sprawdzić w naszej figurze (linia B ' C' jest 13*
przednią!). Aby S ' A ' B ' C' sprowadzić do nakrycia z S A B C, trzeba wykonać najpierw taki obrót, aby odpowiednie odcinki były równoległe, a więc aby A " B ' było równoległe od A B , S " A " || S A i t. d.
Możemy to uzyskać łatwo zapomocą dwóch obrotów: najpierw7 obracamy S ' A ' B ' C' około osi przechodzącej przez B ' tak, aby A ' B'y nakryło się z A " B ' , później zaś wykonujemy drugi obrót, około osi A " B ' tak, aby A 'S ' padło n a A " S".
Teraz wystarczy równoległe przesunięcie o odcinek S S ”, aby obydwa utwory przystające sprowadzić do nakrycia.
Uwra g a : D w a obroty około dwóch osi przechodzących przez p unkt i i można zastąpić jednym obrotem około osi przez tensam p u n k t przechodzącej. Aby znaleźć tę os' obrotu, trzeba wykreślić płaszczyzny sym etralne odcinków7 A 'A "
i S 'S " . Kraw ędź tych dwóch płaszczyzn będzie żądaną osią obrotu, je s t ona bowiem miejscem geometrycznem punktów równo oddalonych od A ! i A " , a za
razem od punktów S" i S " , oś obrotu musi zaś tę własność posiadać. Widzimy więc, że, aby dwa przystające utwory sprowadzić do nakrycia, wystarczy jeden j ruch obrotowy i j'eden ruch p ostępow y; te dwa m ch y można znowu zastąpić i jednym r u c h e m ś r u b o w y m .
Ponieważ każdy przestrzenny utwór geometryczny można rozłożyć na takie utwory, jak S A B G , złożone z czterech punktów nie leżących na jednej pła
szczyźnie, przeto o wszystkich utworach możemy powiedzieć, że dwa przystające utwory dadzą si§ sprowadzić do nakrycia przez ruch obrotowy i postępowy.
Stąd wynika nowe określenie przystawania:
Utwory geometryczne, które można otrzymać z danego utworu przez ruchy postępoioe lub obrotowe, nazyw am y utworami przystającym i do siebie
i do pierwotnego utworu. i
Ćwiczenia VI.
§ 97 — 9S.^.l< Narysować w perspektyw ie równoległej odcinek równoległy do osi- o b ro tu i wykonać na rysunku obrót o 60°, o 90°, o 180°.
2. Narysować w perspektyw ie równoległej odcinek przecinający o ś1 obrotu i wykonać obrót o 45°, 90°, 180°, 270°.
3. Narysow ać w perspektywie równoległej odcinek wichrowaty względem osi
obrotu i wykonać obrót o 30°, 9 0°, 180°. \ %
4. W płaszczyźnie zawierającej oś obrotu leży tró jk ą t A B C - , wykónaS na rysunku obrót tego tró jk ą ta o 60°.
5. P u n k t A ' przez obrót sprowadzić do nakrycia z innym dow'olbyirí?punk- tem A . Gdzie musi leżeć oś obrotu?
6. Dwa przystające utw ory geometryczne m ają jeden p unkt wspólny. Jak ie obroty trzeba wykonać, aby je sprowadzić do" nak ry cia? .
7. W ykazać, że odcinek A B ł prostej Wichrowatej względem osi po obrocie:
m a tęsam ą wielkość. (D la dowodu trzeba utworzyć rzut obydwu odcinków na płaszczyznę prostopadłą do oStpo^rotp a zaw ierającą punkty B i B ').
8. W ykazać, że jeżeli djwa u tw o ^ przestrzenne przystające .m ają trzy punkty odpowiednie wspólne, to im uką się .nakrywać. (Udowodnić to najpierw dla utworu S A B C na fig. 273, fflfeślą& z punktu S prostopadłą po płaszczyzny A B C .)
f
* Rozdział VII.