§(i>2l Prosta prostopadła do płaszczyzny.
--^Dotychczas omówiliśmy dokładniej tylko równoległe położenie prostych i płaszczyzn. Przejdziemy obecnie do prostych i płaszczyzn przecinających się. Z pośród rozmaitych możliwych położeń prostej względem płaszczyzny i płaszczyzny względem płaszczyzny najważniejsze jest dla nas położenie prosto
padłe.
Zajmijmy się najpierw prostą prostopadłą.
Biorącpod uwagę jakąkolwiek prostą przecinającą płaszczyznę ukośnie spostrzeżemy, że ona z roz
maitych stron ma rozmaite nachylenie do pła
szczyzny. Z jednemi liniami prostemi leżącemi na płaszczyźnie tworzy kąty ostre, z innemi roz
warte a z jedną kąt prosty (z linią C D ).
Tak jednak nie każda linia się zachowuje.
Wykażemy, że w każdym punkcie płaszczyzny
istnieje jedna linia, która z każdą linią leżącą na płaszczyźnie tworzy takisam kąt, mianowicie kąt prosty ry t, i n i n. ta-jest p r o s t o p a d ł a do w s z y s t k i c h b e z w y ją 4 k u J-i-n /H n a p ł a s z c z y ź n i e i-u-itz-y-w^-s-tę-dla-te g o -l-u w -ą -ń p rb sto p a d łą do c a ł e j p ł a s z c z y z n y i na odwrót płaszczyzna -nazywa>się prostopadła -do- tdHHffB#»
Przeprowadzimy dowód istnienia takiej linii a zarazem uzyskamy sposób przekonania się o prostopadłości linii i sposób konstrukcyi linii prostopadłej do płaszczyzny.
Weźmy na dowolnej płaszczyźnie a dwie proste a i b przecinające się i obierzmy linię c, prostopadłą do obydwu:
A O ± O C , A O ± O B .
%
Wykażemy, że ta linia jest prostopadła do wszystkich innych linii leżących na płaszczyźnie
1
.N. p. chcemy wykazać, że A O jest także prostopadła do O D . Po
łączmy dowolne punkty B i C prostych a, b. Linia B C przetnie prostą O D w punkcie D .
Rozdział IY.
Dla dowodu przedłużamy odcinek 1 0 o takisam kawałek O A pod płaszczyznę a. Łącząc punkty A i A z punktami B , C i B otrzymamy dwa trjókąty równoramienne A A ' B i A A ' C (dlaczego równoramienne?), więc A B — A ’ B i A C = A ' C. Trójkąty A B C i A ' B C są więc przystające (IV)
a z przystawania wynika, że także odpowiednie odcinki są równe, więc A D = A ' D (gdybyśmy obrócili dolny trójkąt około B C tak, aby A ' padł na A , to A B na- kryj e się z A B ). W takim razie trójkąt A A B jest także równoramienny.
Proste O B łącząca jego wierzchołek ze środkiem podstawy jest prostopadła do podstawy ; więc A O _i O B . Taksamo można udowodnić o każdej innej prostej przechodzącej przez punkt O, a leżącej na płaszczyźnie a, że A O jest do niej prostopadła,
Ale także z prostemi wichrówatemi względem A O tworzy A O kąt prosty. N. p. kąt z linią J S F znajdziemy, kreśląc przez punkt O linię F ' F ' \ \ E F , ta zaś tworzy już z A O kąt prosty, jak każda linia przez O przechodząca.
Doszliśmy więc do następującego wniosku:
•iriniet prosta prostopadła do dwóch przecina
jących się prostych jest prostopadła do całej p ła szczyzny wyznaczonej przez te proste
U w a g a : M ogłaby zachodzić wątpliwość, czy istnieje wogóle linia prosta, prostopadła do dwóch przecinających się prostych. Łatw o jednakowoż ta k ą prostą /} skonstruować. W eźmy dowolny k ą t dwuścienny \ w jednym punkcie P jego kraw ędzi poprowadźmy linie P A J _ k w płaszczyźnie ot i P B \ Ic w płaszczyźnie 0.
Kraw ędź k je st prostopadła do dwóch przecina
jących się prostych, leżących na płaszczyźnie y, wy
znaczonej przez proste P A i P B .
Z k a ż d e g o p u n k t u, czy to na płaszczyźnie czy poza płaszczyzną, da się poprowadzić t y l k o j e d n a p r o s t a p r o s t o p a d ł a , a taksamo z każdego punktu, czy to na prostej, czy to poza prostą, da się do niej t y l k o j e d n a p ł a s z c z y z n a p r o s t o p a d ł a poprowadzić (dowody niew prost)!
181
Fig. 251.
/ D ł u g o ś ć prostej prostopadłej z; punktu poza płaszczyzną od tego punktu do płaszczyzny nazywamy o d l e g ł o ś c i ą p u n k t u od płaszczyzny. Jestto
n a j k r ó t s z y ze wszystkich odcinków, jakimi można połączyć P z płaszczyzną. Każdy bo
wiem inny odcinek jest większy, jako przeciw- prostokątnia trójkąta, w którym P ' P jest przy- prostokątnią.
S p o d e k P ' t e j l i n i i p r o s t o p a d ł e j n a z y w a m y r z u t e m (prostopadłym) p u n k t u P n a p ł a s z c z y z n ę a, a samą prostą P P ' p r o s t ą r z u c a j ą c ą . Jeżeli mówimy „rzut“ bez żadnego dodatku, mamy na myśli rzut prostopadły; j eżeli nam chodzi o rzut ukośny, zaznaczamy to
wyraźnie.
Rzutem jakiejkolwiek figury nazy
wamy zbiór rzutów wszystkich jej punk
tów, czyli miejsce geometryczne rzutów wszystkich punktów danej figury.
D w ie Unie proste, prostopadłe do tejsamcj płaszczyzny, są do siebie równoległeZ Dowód niew prost: Założenie jest:
a i
-^ G d y b y prosta b nie była równoległa do a, to istnieć musi jedna równoległa do a , n. p. b\ przechodząca przez punkt A . Ponieważ zaś a J_ c, to i prosta b' musiałaby być prostopadła do c (jako prosta równoległa do a). Poprowadźmy na płaszczyźnie a proste d i e równoległe do siebie, a przechodzące przez punkty A. i 13. <C (ad) = < t Oj e), ponieważ ich ramiona są zgodnie równo
ległe. Ponieważ <£ (a d) — 90° to i <£ (1/ e) musi być prosty, więc b 'J _ e . Mieliśmy zaś V X c> więc prosta V byłaby prostopadła do całej płaszczyzny a (ponieważ jest prostopadła do dwóch linii prostych leżących na tej pła
szczyźnie). Jednakowoż przez punkt A może przechodzić tylko jedna prosta prostopadła do płaszczyzny a, a tą jest według założenia b. Prosta b' musi się więc nakrywać z b, a więc już b jest równoległa do a.
Można także wykazać, że dwie płaszczyzny prostopadłe do tejsamej prostej, są do siebie równoległe (por. fig. 253).
Założenie: x J_ a, x _J_ ¡3.
Przesuwamy przez prostą x dwie dowolne płaszczyzny. Ponieważ a' || a jako krawędzie dwóch płaszczyzn przeciętych trzecią, to a' || a. Taksamo po
nieważ V || b, to V || a. Jeżeli zaś dwie proste przecinające się a' i b' są równoległe do a, to i cała płaszczyzna ¡3 musi być równoległa do płaszczyzny a.
Twierdzenie o prostych prostopadłych do tejsamej płaszczyzny zasto
sujemy do określenia odległości prostej równoległej od płaszczyzny i odle
głości dwóch płaszczyzn równoległych.
Weźmy dowolną prostą równoległą do płaszczyzny a. Poprowadźmy z punktów tej prostej linie prostopadłe do a.
Wszystkie te odcinki są równoległe.
Odcinki A B i A ' B \ B C i B ' C są także równoległe (dlaczego?), więc figurj A B B ' A ', B C C B ' są równoległobokami. Wobec
tego A A ' — B B ' = C C , to znaczy: k a ż d y p u n k t p r o s t e j r ó w n o l e g ł e j do p ł a s z c z y z n y j e s t od n i e j r ó w n o o d d a l o n y . Odległością prostej równoległej od płaszczyzny nazywamy odległość dowolnego jej punktu.
W podobny sposób określamy odległość dwóch płaszczyzn równoległych. Po
prowadźmy z punktów jednej płaszczyzny szereg linii prostopadłych do drugiej, to te wszystkie linie są równoległe, a więc muszą być równe (por. str. 177, ćw. 8).
Ten równy o d c i n e k p r o s t e j p r o s t o p a d ł e j z j e d n e j p ł a s z c z y z n y r ó w n o l e g ł e j d o d r u g i e j n a z y w a m y o d l e g ł o ś c i ą p ł a
s z c z y z n r ó w n o l e g ł y c h .
* Możemy teraz także zbadać naj
krótszą odległość dwóch prostych wichro
watych a i b. Przez jedną z nich, n. p.
przez b, przesuwamy płaszczyznę ¡3 równoległą do prostej a. Odległość prostej a od płaszczyzny [3 jest naj
krótszą odległością prostych wichrowa
tych, ponieważ prosta a, jako prosta, równoległa do płaszczyzny f3, nie zbliża Fig. 255. s ie do niej nigdy więcej, a więc nie
zbliża się także do prostej b.
Aby znaleźć, w którem miejscu są proste a i b najbliższe, wykreślamy ze wszystkich punktów prostej a proste prostopadłe płaszczyzny ¡3.. One
Fig. 254.
183 utworzą razem jedną płaszczyznę, która przetnie prostą b w jakimś punkcie O.
Prosta O A prostopadła do płaszczyzny ¡5 łączy najbliższe punkty prostych wichrowatych a i b. Płaszczyzna -( nazywa się prostopadłą do płaszczyzny 3- Taldemi płaszczyznami zajmiemy się dokładniej w następnym ustępie. *
§ P łaszczyzny prostopadłe do siebie.
Jeżeli z wszystkich punktów linii prostej łożącej ponad płaszczyzną po
prowadzimy linie prostopadłe do płaszczyzny, to one utworzą jedną pła
szczyznę. Są bowiem do siebie równolegle i wychodzą z punktów jednej prostej, leżą więc w płaszczyźnie wyznaczonej przez tę prostą i przez którą
kolwiek prostą prostopadłą.
P ł a s z c z y z n a taka, z a w i e r a j ą c a n i e s k o ń c z e n i e w i e l e prostych p r o s t o p a d ł y c h do d r o g i e j p ł a s z c z y z n y , n a z y w a s i ę p ł a s z c z y z n ą d o n i e j p r o s t o p a dl a .—Łatwo wywnioskować, że jeżeli płaszczyzna a jest prostopadła do ¡3, to i odwrotnie: płaszczyzna £ jest prostopadła do a (wystarczy poprowadzić na drugiej płaszczyźnie szereg linii prostych prostopadłych do
wspólnej krawędzi). Wystarczy jednak, jeżeli płaszczyzna zawiera jedną prostą prostopadłą.
Twierdzimy więc, że:
Jeżeli a J _ a , to także każda prosta ró
wnoległa do a i leżąca w' płaszczyźnie fi jest prostopadła do a.
N. p. prosta b || a musi być prostopadła do k \ aby jednak wykazać, że l a, trzeba znaleźć jeszcze drugą prostą leżącą n a pła
szczyźnie a, do której prosta b byłaby prosto
padłą. Poprowadźmyż n [| p, to kąty (a n) i <C (bp) są równe, ponieważ mają ramiona zgodnie równoległe. <£ (a n) ==
= 90° a więc i ¿£.(bp) musi być prosty, a stąd wynika: b J _ p . Prosta b, jako linia prostopadła do dwóch linii h i p leżących na płaszczyźnie a, jest prostopadła do całej płaszczyzny a. Tosamo można wykazać o każdej innej prostej równoległej do a i leżącej na płaszczyźnie ¡i. Płaszczyzna £ jest więc istotnie prostopadła do a, jako zbiór nieskończenie wielu prostych prosto
padłych. Otóż cechą charakterystyczną płaszczyzny .prostopadłej. jest
Jestto płaszczyzna przesunięta p rzez je d n ą .prostą prostopadłą, do drugiej p ła szczym y. (Użycie "pionu w budownictwie!).
Krawędź przecięcia się płaszczyzn prostopadłych zawiera rzuty wszystkich punktów i prostych, leżących na jednej płaszczyźnie.
T ak n . p. (por. fig. 257) jeżeli PJ[_a, to rzuty wszystkich punktów’ prostej a leżą na prostej k. Prosta k jest więc rzutem prostej a. Ponieważ k, jako linia
prosta, jest wyznaczona zapomocą dwóch swoich punktów', przeto do w y z n a Fig. 256.
Kig-. 257.
c z e n i a r z u t u l i n i i p r o s t e j w y s t a r c z y p o d a ć r z u t y d w ó c h j e j p u n k t ó w (jednym z nich może być punkt przebicia prostej z płaszczyzną).
Płaszczyzna ¡ł, prostopadła z prostej a do płaszczyzny a, nazywa się p ł a s z c z y z n ą r z u c a j ą c ą .
(Jeżeli jakaś linia leży już na pła
szczyźnie a, to jest ona swoim własnym rzutem.)
Z prostej poza płaszczyzną da się do niej tylko jedna płaszczyzna prostopadła poprowa
dzić, ale z punktu poza płaszczyzną można poprowadzić nieograniczenie wiele płaszczyzn prostopadłych. Widzimy stąd, że dwie płaszczyzny prostopadłe do tejsamej trzeciej nie muszą być do siebie ró
wnoległe (por. fig. 258).
Natomiast mają one inną wła
sność :
Jeżeli dwie płaszczyzny są prostopadłe do tejsamej trzeciej, a nie są róimioległe, to ich lcrawgdź m usi być prostopadła do tej trzeciej płaszczyzny.
-D o w ó d : Płaszczyzna a zawiera wszystkie proste prostopadłe do y z punktów na a leżących, a więc i prostopadłą z punktu P na płaszczyźnie a leżącego. Taksamo płaszczyzna (3 zawiera wszystkie proste prostopadłe do y z punktów na (i leżących, a więc i prostopadłą z punktu P , który jest wspólny płaszczyznom a i (3. Ponieważ zaś z punktu P istnieje tylko jedna prostopadła do y, więc musi nią być linia P i wspólna płaszczyznom a i p, czyli krawędź płaszczyzn a i ¡3.
Fifr. 25S.
Rozdział V.