tworzy A
§ 94. Prosta nachylon a do płaszczyzny.
Widzieliśmy, że prosta nachylona do płaszczyzny tworzy z każdej strony inny kąt. Z pomiędzy tych kątów jest jeden najm niejszy, mianowicie kat, jaki prosta tworzy ze swoim rzutem na ty 'płaszczyznę. Aby się przekonać, że kąt 0 jest mniejszy od wszystkich innych kątów prostej A B z płaszczyzną, porównajmy go z dowol
nym innym kątem, n. p. z kątem 7
.
W tym celu odcinamy B C = B A ’ i łączymy C z A i A '. Trójkąt A A C jest prostokątny, więc A A ' < A C.
Biorąc pod uwagę trójkąty A B C i A B A ' widzimy, że mają po dwa boki równe a trzecie nierówne, więc naprzeciw mniej
szego boku musi leżeć mniejszy k ą t : P <
T-Taksamo każdy inny kąt jest
większy od (3. v
była pozioma, a prosta A B ciałem ciężkiem,
¡5 w płaszczyźnie rzucającej.
U w a g a : Gdyby płaszczyzna
to przy spadaniu wykonałaby właśnie obrót
K a t, ja k i prosta tworzy ze swoim rzutem, nazyw am y kątem nachylenia prostej do płaszczyzny lub krótko: k ą t e m p r o s t e j z p ł a s z c z y z n ą .
p * Pomiędzy prostemileżącemi na
płaszczyźnie a jedna jest prostopadła do pochyłej P C, mianowicie ta, która jest prostopadła dó jej r z u tu ./ Aby wykazać prawdziwość tego twierdzenia wychodzimy z założenia: A B J_ C E . Odcinamy A C — B C i łączymy JE z A , B i P z A , B . Trójkąty P E B i B E A są przystające, (bo P E — P E , E B — E A , P E B —
= < r P E A jako kąty proste). Więc P A = PP>. Trójkąt P A B jest równoramienny, a więc linia P C łącząca wierzchołek ze środkiem podstawy jest do niej prostopadła. Odwrócenie tego twierdzenia jest również prawdziwe:
Jeżeli prosta leżąca na płaszczyźnie a jest prostopadła do pochyłej, to jest prostopadła także do jej rzutu. Udowodnij! *
Widocznem jest, że p r o s t e r ó w n o l e g ł e do s i e b i e m a j ą do k a ż d e j p ł a s z c z y z n y p r z e c i n a j ą c e j j e j e d n a k o w e n a c h y l e n i e (wynika z podobieństwa trójkątów).
Płaszczyzny rzucające dwie proste równoległe są także do sie
bie równoległe, ponieważ jedna za
wiera dwie proste przecinające się, a równoległe do drugiej płaszczyzny.
Stąd wynika, że r z u t y p r o s t y c h r ó w n o l e g ł y c h s ą t a k ż e r ó w n o l e g ł e : są to bowiem krawędzie przecięcia się dwóch płaszczyzn równoległych a i p, trzecią płaszczyzną y.
Twierdzenie to- odnosi się nie- tylko do rzutów prostopadłych, ale id o rzutów ukośnych. Dlategoto w perspek
tywie równoległej proste, równoległe wrzeczy- wistości, muszą być także w obrazie per
spektywicznym równoległe.
P ł a s z c z y z n y r ó w n o l e g ł e do s i e b i e t w o r z ą r ó w n e k ą t y z k a ż d ą p r z e c i n a j ą c ą j e p r o s t ą . Dla dowie
dzenia tego prowadzi się z dowolnego punktu prostej a linię r prostopadłą do jednej, a więc i do drugiej płaszczyzny.
Przesuwamy przez a i r płaszczyznę, to powstaną n a niej kąty y i 8, które są kątami nachylenia prostej a do płaszczyzn
« i p. Kąty te zaś są równe, jako kąty
Fig. 202. odpowiednie.
Fig. 2G1.
£ 9 5 . T w ierdzenia o rzutach.
Przy pomocy kątów nachylenia prostej do płaszczyzny możemy teraz zbadać, od czego zależy w i e l k o ś ć r z u t u k a ż d e g o o d c i n k a . W tym celu poprowadźmy z dowolnego punktu leżącego poza płaszczyzną a pęk
M . . ł o ę
187 promieni. Wiemy już (por. str. 181), że odcinek promienia prostopadłego jest najkrótszy. Z pośród innych odcinków pochyłych te wszystkie są równe, których rzuty są równe. Trójkąty S O A , S O JB, S O C , . . . są bowiem wtedy przystające (II).
O dwrotnie: J e ż e l i o d c i n k i p r o s t y c h p o c h y ł y c h w y c h o d z ą c y c h z t e g o s a m e g o p u n k t u s ą r ó w n e , to i i c h r z u t y s ą r ó w n e . Wynika to z przystawania tychsamych trójkątów, we
dług (III) przypadku. Ponieważ te rzuty wychodzą wszystkie z jednego punktu O, przeto ich końce leżą na obwodzie koła.
Możemy więc także powiedzieć: M i ej s c e m Fig. 263. g e o m e t r y c z n e m p u n k t ó w l e ż ą c y c h
n a j e d n e j p ł a s z c z y ź n i e , a r ó w n o o d d a l o n y c h o d s t a ł e g o p u n k t u S p o z a p ł a s z c z y z n ą , j e s t k o ł o , k t ó r e g o środkiem jest rzut tego punktu S.
Wszystkie te r ó w n e p o c h y ł e s ą t a k ż e r ó w n o n a c h y l o n e do p ł a s z c z y z n y , ja k to wynika z udowodnionego już przystawania trójkątów na fig. 263.
Łatwo wykazać, że im dłuższy jest odcinek pochyłej z punktu S wy
chodzącej, tem większy jego rzut a tem mniejszy jego k ąt nachylenia. W gra
nicy, jeżeli odcinek dąży do wielkości nieskończenie wielkiej, to i długość rzutu dąży do nieskończoności, a kąt nachylenia dąży do zera, czyli: po
chyła dąży do położenia równoległego. Z drugiej strony, jeżeli odcinek pochyły maleje, to i jego rzut maleje, a kąt nachylenia dąży do 90°. Jeżeli odcinek jest prostopadły (najkrótszy) to rzut jego staje się jednym punktem, więc długość rzutu wynosi zero. Widzimy stąd, że długość rzutu jest zależna od długości odcinka i od kąta nachylenia, czyli:
Długość rzutu jest furikcyą długości odcinka i jego Jcąta nachylenia.
Zawsze jednakże rzut jest nie większy od odcinka (dlaczego?). Odnosi się to nietylko do odcinka mającego jeden punkt wspólny z płaszczyzną, ale także do każdego innego odcinka.
Weźmy bowiem odcinek a leżący nad płaszczyzną a i utwórzmy jego rzut r (prowadząc z jego końców prostopadłe do a i łącząc ich spodki). Z punktu B ' po
prowadźmy prostą a' równoległą do a na Fig. 264. płaszczyźnie rzucającej, to a — a', jako przeciwległe boki równo! egłoboku. Zamiast porównywać odcinek a z r, możemy więc porównywać a' z r. Widzimy odrazu, że a' >■ r, a więc i a > r.
(Udowodnij!).
Stosunek długości odcinka do długości rzutu zależy j u ż tylko od kąta nachylenia. Jeżeli się odcinek powiększy, a kąt nachylenia zostanie tensam, to rzut powiększa się w tymsamym stosunku. Łatwo to wywnioskować z podobieństwa trójkątów D E F i A l 13' & na fig. 264. Odcinki jedna
kowo nachylone doznają więc jednakowego pomniejszenia w rzucie. Zbierając te wnioski razem powiemy:
R z u t r ó w n a s i ę o d c i n k o w i , j e ż e l i o d c i n e k j e s t r ó w n o l e g ł y do p ł a s z c z - y z n y r z u t ó w , j e s t m n i e j s z y od o d c i n k a , j e ż e l i o d c i n e k j e s t n a c h y l o n y , a m a l e j e do z e r a , g d y o d c i n e k d ą ż y do p o ł o ż e n i a p r o s t o p a d ł e g o . Twierdzenie to dotyczy rzutów prosto
padłych. Przy rzutach ukośnych rzut może być większy od odcinka, może być nawet nieskończenie wielki dla skończonego odcinka (kiedy?). Jednakże i tu odcinki jednakowo nachylone doznają takiegosamego zniekształcenia (powię- kszenia lub pomniejszenia).
f> \ . i Zbadawszy w ten sposób zniekształcenie, jakiemu ulegają odcinki, zaj-
•iniemy się teraz zniekształceniem k ą t ó w . Zmiana, jakiej ulega kąt przy j yrzucie nic jest już tak prosta: Rzut (prostopadły) kąta może być równy,
mniejszy, ale może być także większy od kąta. N. p. z fig. 265.
widzimy, że kąt a doznał w rzucie zmniejszenia, a kąt rozwarty £ po
większenia (ramię wspólne przy
jęliśmy tu widocznie nachylone do płaszczyzny rzutów).
Jasnem jest natomiast, że:
k ą t y , l e ż ą c e w p ł a s z c z y ź n i e r ó w n o l e g ł e j do p ł a s z c z y z n y r z u t ó w , nie ulegają zmianie przez utworzenie rzutu, t. j. s ą r ó w n e / / s w o i m r z u t o m . (Udowodnij!)
* Ciekawem jest, że k ą t p r o s t y , k t ó r e g o j e d n o r a m i ę j e s t r ó w n o l e g ł e do p ł a s z c z y z n y r z u t ó w , p r z e d s t a w i a s i ę w r z u c i e r ó w n i e ż j a k o k ą t p r o s t y .
Fis- 266- Dowód: Jeżeli «_[_&, to tak
że rzut tej prostej c J_ b (por. str. 185); więc kąt prosty (a b), którego jedno ramię leży na płaszczyźnie rzutów, pozostaje w rzucie kątem prostym : <C (&e) = 90°.
189
I^ig. 267.
Jeżeli ram ię 1> nie leży na pła
szczyźnie rzutów, tylko jest do niej równo
ległe, to poprowadzimy najpierw przez &
płaszczyznę: ¡3 || a i tworzymy najpierw rzut kąta <£ (a b) na płaszczyznę (3.
Wiemy już, że ten rzut będzie kątem prostym :
# (6 c) = 90°.
Teraz dopiero rzucamy ten kąt na pła
szczyznę a, wiemy zaś, że kąty leżące na płaszczyźnie równoległej są równe swoim rfcutom, więc także (// ć ) = (b c)
= 90°. *
§ 9 6 . D w ie płaszczyzny nachylon e do sieb ie
Podobnie, jak kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzyliśmy kątem leżącym w płaszczyźnie prostopadłej, poprowadzonej z tej prostej do płaszczy
zny, tak i k ą t n a c h y l e n i a d w ó c h p ł a s z c z y z n m i e r z y m y k ą t e m , l e ż ą c y m w p ł a s z c z y ź n i e p r o s t o p a d ł e j do o b y d w u p ł a s z c z y z n .
Wiemy już, że płaszczyzna prostopadła do dwóch przecinających się płaszczyzn jest także prostopadła do ich krawędzi (por. str. 184).
Aby więc zmierzyć kąt nachylenia płaszczyzn a i (J, wystarczy poprowadzić płaszczyznę ■; prostopadłą do krawędzi h (t. zw. przekrój normalny kąta dwuścien- nego). Płaszczyzna f przecina « i p wzdłuż krawędzi a i b, które są prostopadłe do k (jak i każda inna prosta, leżąca na pła
szczyźnie 7 _[_ ty. Możemy więc znaleźć kąt nachylenia dwóch płaszczyzn, t . j. wiel
kość kąta dwuściennego w następujący sposób:
Prowadzim y przez jakikolw iek p un kt krawędzi proste prostopadłe do niej, a leżące iv płaszczyznach a i [2. K ą t miedzy to n i prostemi zaw arty jest kątem nachylenia płaszczyzn a i p. Łatwo wykazać, że wielkość tego kąta nie zależy od tego, w którem miejscu poprowadzimy przekrój 7 (por. ćw. 1 1, str. 177).
J e ż e l i k ą t n a c h y l e n i a d w ó c h p ł a s z c z y z n -Sc. (a b), w y n o s i 90°, to p ł a s z c z y z n y s ą p r o s t o p a d ł e . Wtedy bowiem a b a wykreśli
Fig. 268.
liśmy « _]_ 7j, więc a _ | _ £ ; płaszczyzna zaś a zawierająca jedną linię a prosto
padłą do płaszczyzny ¡3 musi być sama prostopadła do płaszczyzny (3 (por.
str. 183). Gdyby p ł a s z c z y z n y były r ó w n o l e g ł e , to a || b, więc k ą t n a c h y l e n i a w y n o s i 0°.
Kąty dwuścienne mają własności podobne do kątów płaskich w plani- metryi — albowiem kąty płaskie są tylko przekrojami kątów dwupiennych.
I tak k ą t y d w u ś c i e n n e w i e r z c h o ł k o w e s ą r ó w n e ; k ą t y dwu- ś c i e n n e p r z y l e g ł e s p e ł n i a j ą s i ę do 180°. (Udowodnij zapomocą prze
kroju norm alnego!) Jeżeli dwie płaszczyzny równoległe przetniemy trzecią, to powstało kąty dwuścienne odpowiednie są równe, naprzemianległe równe a jednostronne spełniają się do 180°. (Udowadnia się przez poprowadzenie przekroju normalnego). Podobnie twierdzenia o kątach, których ramiona są parami równoległe, lub parami prostopadłe, można przenieść na kąty dwu
ścienne.
Mówiąc o prostej nachylonej badaliśmy zmniejszenie odcinka takiej prostej przy rzucie. Jeżeli chcemy tosamo rozumowanie przeprowadzić dla płaszczyzn nachylonych, to musimy się zająć częścią płaszczyzny, a więc po
wierzchnią. Wykażemy, że powierzchnie lezące na płaszczyznach jednakowo nachylonych zm niejszają się p r zy rzucie w tymsamym stosunku.
Weźmy jakąkolwiek powierzchnię P leżącą na płaszczyźnie a nachylo
nej do płaszczyzny (3 i utwórzmy jej rzut. P '.
Poprowadźmy linię A B prostopadle do krawę
dzi k i edetnijmy na niej szerokość G D po
wierzchni P . Tosamo zróbmy na płaszczyźnie fi, w rzucie. Powierz
chnie P i P ,' możemy rozłożyć na paski równo
ległe do krawędzi k, zbliżone do trapezów.
Boki równoległe tych pasków pozostaną w rzucie niezmienione co do długości a tylko ich szerokość zmieni się w stosunku G' D ' : G D = s, więc cała powierzchnia zmieni się w tym stosunku:
P ’ : P = s.
Ponieważ— jak widzieliśmy na str. 188 — ten stosunek C ' D ' : C D za
leży tylko od kąta nachylenia, przeto wszystkie powierzchnie leżące na pła
191 szczyźnie a, lub na innej płaszczyźnie, ale taksamo nachylonej do j3, doznają zmniejszenia w tymsamym stosunku s.
Kiedy zmniejszenia nie będzie? Kiedy powierzchnia rzutu maleje do zera?
dalonych od dwóch końców odcinka, je st płaszczyzna prostopadła, przechodząca przez środek odcinka. Je stto płaszczyzna sym etralna.
6. Znaleźć miejsce geom etryczne punktów równo oddalonych od trzech prostopadłym , ani przy rzucie ukośnym
15,. W ykazać, żo k ąty równe leżące na płaszczyznach równoległych i m ające
b —' 7 cm, b' = 9 cwt. Obliczyć długość odcinka a. J a k daleko trzeba ten od
cinek przedłużyć, aby się przeciął z płaszczyzną rzutów ?
.'rójkąt ma podstawę 5 cm, a wysokość 6 cm. Obliczyć rzu t tego
o u j^ fo j p y n o t a i c j z* i a u i u n u t a u . p i u u u c u i u / . --- w / * nachylonego tak , że odcinki prostopadło do krawędzi sk racają się w sto
sunku 1 : 3 .
£ 2./*Obliczyć powierzchnię elipsy powstałej ż rzutu koła leżącego na pła
szczyźnie nachylonej pod k ątem 4 5 ° do płaszczyzny rzutów , znając prom ień koła , r = 15 cm.
a równoległą do podstawy tró jk ąta.
.Rozdział VI.