Oddzia lywanie

promieniowania z materia

ι

4.1 Wste

ι

p

1. Energia fotonu E = hν (4.1)

gdzie ν cze_ιsto´s´c fali fotonu.

2. Pe_ιd fotonu p = ^h λ ⁼ h c^{ν =} E c ^(4.2)

λ - d lugo´s´c fali fotonu.

3. Wz´or Einsteina dla zewne_ιtrznego zjawiska fotoelektrycznego

hν = P + E_{kin max} , (4.3)

gdzie P jest praca_ιpotrzebna_ιdo wyrwania elektronu z metalu, ν - cze_ιsto´s´c fali padaja_ιcego fotonu, E_{kin max} = mv2

max/2 jest najwie_ιksza_ι energia_ι kinetyczna_ιfotoelektron´ow wyrwanych z powierzchni metalu.

Rys. 4-1 Zale˙zno´s´c nate_ι˙zenia I wia_ιzki promieniowania od grubo´sci x absorbenta. D jest taka_ιgrubo´scia_ιwarstwy absorbuja_ιcej, dla kt´orej

I = I0/2.

4. Nate_ι˙zenie wia_ιzki promieniowania I po przej´sciu przez warstwe_ι materii o grubo´sci x

I = I₀exp(−µx) , (4.4)

gdzie I₀ jest nate_ι˙zeniem wia_ιzki padaja_ιcej, µ - liniowym wsp´o lczynnikiem os labienia.

Rys. 4-2 Wykres funkcji I(x) od x w skali p´o llogarytmicznej. Znajomo´s´c ka_ιta pochylenia krzywej pozwala wyznaczy´c liniowy wsp´o lczynnik

os labienia µ.

4.2 Zadania

4.2.1. Opieraja_ιc sie_ι na kwantowym obrazie promieniowania znale´z´c ci´snienie wywierane przez monochromatyczna_ι r´ownoleg la_ι wia_ιzke_ι ´swiat la na ustawiona_ι na drodze wia_ιzki powierzchnie_ι o wsp´o lczynniku odbicia r´ownym r. Wia_ιzka ´swiat la o ge_ιsto´sci strumienia J pada na powierzchnie_ι pod ka_ιtem α. Odbicie naste_ιpuje pod ka_ιtem r´ownym co do warto´sci ka_ιtowi padania (odbicie zwierciadlane).

Rys. 4-3 Odbicie promieni ´swiat la od przeszkody.

Rozwia_ιzanie: Ilo´s´c energii E padaja_ιcej w cia_ιgu jednej sekundy pod ka_ιtem α na powierzchnie_ι S be_ιdzie r´owna

Ca lkowity pe_ιd foton´ow padaja_ιcych na te_ι powierzchnie_ι w cia_ιgu jednej sekundy pi= ^E c ⁼ J S cos α c ^{, (2)}

gdzie c jest pre_ιdko´scia_ι fali elektromagnetycznej w pr´o˙zni. Sk ladowa nor-malna tego pe_ιdu p_nijest r´owna

p_ni= ^E

c ^{cos α =}

J S cos2α

c ^{. (3)}

Podobnie poste_ιpuja_ιc dla foton´ow odbitych od powierzchni otrzymamy wyra˙zenie na la_ιczna_ι sk ladowa_ι normalna_ι pe_ιdu foton´ow odbitych od powierzchni w cia_ιgu jednej sekundy

p_nr= r^E

c ^{cos α = r}

J S cos2α

c ^{. (4)}

Zmiana sk ladowej normalnej pe_ιdu foton´ow w wyniku odbicia be_ιdzie r´owna ∆pn = pni− (−pnr) = pni+ pnr= (1 + r)^{J S cos}

2α

c ^{. (5)}

Zmiana sk ladowej normalnej pe_ιdu w cia_ιgu jednej sekundy jest r´owna ´

sredniej sile dzia laja_ιcej na te_ι powierzchnie_ι. Stosunek si ly do wielko´sci powierzchni, na kt´ora_ιta si la dzia la, be_ιdzie r´owny ci´snieniu wywieranemu przez wia_ιzke_ι´swiat la na te_ιpowierzchnie_ι. Ci´snienie wywierane przez wia_ιzke_ι ´

swiat la na powierzchnie_ι S jest wie_ιc r´owne ∆pn

1 · S ^{= (1 + r)} J

c ^cos

2α . (6)

Jeden z projekt´ow pojazd´ow kosmicznych przewiduje, ˙ze po wyprowadze-niu pojazdu na orbite_ι wok´o ls loneczna_ι przy u˙zyciu konwencjonalnych sil-nik´ow, be_ιdzie u˙zyty wielki plastykowy ˙zagiel pokryty tworzywem bardzo dobrze odbijaja_ιcym ´swiat lo. Pojazd mia l wykorzysta´c si le_ι wywierana_ι przez promienie s loneczne na ˙zagiel w celu zwie_ιkszenia pre_ιdko´sci i zmiany orbity. Mo˙zna policzy´c, ˙ze warto´s´c si ly dzia laja_ιcej na ˙zagiel jest niedu˙za w por´ownaniu z si la_ιcia_ιgu zwyk lych silnik´ow u˙zywanych obecnie do nape_ιdu tego typu pojazd´ow, ale metoda ta ma te_ι zalete_ι, ˙ze w odr´o˙znieniu od obecnych sposob´ow nape_ιdu pojazd´ow kosmicznych - ”paliwa” dla nape_ιdu ”˙zaglowca” nie brakuje i nie trzeba go wozi´c ze soba_ι. Wielko´s´c si ly i kierunek ruchu mo˙zna regulowa´c wielko´scia_ι powierzchni i ka_ιtem ustaw-ienia ˙zagla¹.

4.2.2. W opr´o˙znionej z powietrza ba´nce szklanej zawieszono metalowy cienki kra_ι˙zek, kt´ory ma jedna_ι po lowe_ι powierzchni pokryta_ι substancja_ι czarna_ι o wsp´o lczynniku odbicia r = 0, a druga_ιpo lowe_ι pokryta_ιwarstwa_ιb lyszcza_ιca_ι

o wsp´o lczynniku odbicia r = 1. Ca la_ι powierzchnie_ι blaszki o´swietlamy wia_ιzka_ι´swiat la padaja_ιca_ι na powierzchnie_ι o´swietlana_ι pod ka_ιtem padania r´ownym 0. Znale´z´c stosunek si l dzia laja_ιcych na obydwie po lowy blaszki.

Rys. 4-4 Schemat do zadania 4.2.2. Kra_ι˙zek, kt´orego po lowy odbijaja_ι ´swiat lo w r´o˙znym stopniu mo˙ze obraca´c sie_ι wok´o l osi OO0. Rozwia_ιzanie: Korzystaja_ιc z rozwia_ιzania poprzedniego zadania, po pod-stawieniu do niego r = 1 i α = 0, otrzymamy wielko´s´c si ly Fr dzia laja_ιcej na b lyszcza_ιca_ιpowierzchnie_ι kra_ι˙zka

F_r= 2^J

c^{S , (1)}

gdzie J jest ge_ιsto´scia_ι strumienia ´swiat la, a S - wielko´scia_ι powierzchni b lyszcza_ιcej p lytki. Na powierzchnie_ι czarna_ι dzia laja_ι dwie si ly: jedna, F1, zwia_ιzana ze zmiana_ι pe_ιdu kra_ι˙zka po zaabsorbowaniu przez czarna_ι powierzchnie_ι foton´ow padaja_ιcych na nia_ι i oddaja_ιcych p lytce sw´oj pe_ιd; druga, F2, kt´ora wia_ι˙ze sie_ι ze zmiana_ι pe_ιdu p lytki zwia_ιzana_ι z odrzutem p lytki wyste_ιpuja_ιcym przy emisji foton´ow z powierzchni czarnej kra_ι˙zka. Warto´s´c si ly F1 otrzymamy podstawiaja_ιc do rozwia_ιzania poprzedniego zadania r = 0 i α = 0

F1= ^J

c^{S . (2)}

Poniewa˙z powierzchnie_ιzaczerniona_ιmo˙zemy traktowa´c jak cia lo doskonale czarne (r = 0), wie_ιc ma tutaj zastosowanie prawo Lamberta, kt´ore m´owi, ˙ze nate_ι˙zenie energetyczne ´zr´od la J (zdefiniowane jako ilo´s´c en-ergii wypromieniowanej przez ´zr´od lo w cia_ιgu jednej sekundy w jednos-tkowy ka_ιt bry lowy) promieniowania emitowanego w dowolnym kierunku z powierzchni cia la doskonale czarnego jest wprost proporcjonalne do cos-inusa ka_ιta mie_ιdzy normalna_ι do powierzchni emituja_ιcej, a kierunkiem, pod kt´orym jest wysy lane promieniowanie (inne sformu lowanie tego prawa m´owi, ˙ze powierzchniowa jasno´s´c energetyczna B_α, kt´ora jest wielko´scia_ι

charakteryzuja_ιca_ι promieniowanie powierzchni w zadanym kierunku (dla powierzchni doskonale czarnych), nie zale˙zy od warto´sci ka_ιta, pod kt´orym jest wysy lane promieniowanie)

Jα= B cos α dS , (3)

gdzie α jest ka_ιtem mie_ιdzy normalna_ι do powierzchni a kierunkiem emi-towanego promieniowania, przy czym B 6= B(α). Ca lkowita ilo´s´c energii wypromieniowanej w cia_ιgu jednej sekundy w p´o lpe lny ka_ιt bry lowy

Φ_e= Z S Z Ω/2 B cos α dS⁰dω⁰ , (4) gdzie dΩ⁰ = sin αdαdφ . (5)

Ca lkowanie wzgle_ιdem Ω⁰ wykonujemy po p´o lpe lnym ka_ιcie bry lowym. Ka_ιt φ le˙zy w p laszczy´znie powierzchni emituja_ιcej promieniowanie. Podstawiaja_ιc (5) do (4) otrzymamy Φe= B Z S Z π/2 0 Z 2π 0 cos α sin α dS⁰dαdφ . (6) Po wykonaniu ca lkowania dostajemy

Φ_e= πBS . (7)

Ale dla cia la doskonale czarnego mamy zale˙zno´s´c (prawo Kirchhoffa)

Φ_e= Φ_a= J S , (8)

gdzie Φejest ca lkowita_ιenergia_ιpromieniowania docieraja_ιcego z p´o lpe lnego ka_ιta bry lowego do powierzchni S w cia_ιgu jednej sekundy i absorbowanego przez te_ι powierzchnie_ι. Por´ownuja_ιc (7) i (8) otrzymujemy

B =^J

π ^{. (9)}

La_ιczny pe_ιd foton´ow wyemitowanych z powierzchni dS w cia_ιgu jednej sekundy, w ka_ιt bry lowy dΩ pod ka_ιtem α do normalnej do powierzchni, jest r´owny p_α= ^Jα c ^{cos α dΩ =} B c ^cos 2α sin α dS dαdφ . (10) Taki sam pe_ιd, ale przeciwnie skierowany, uzyska element powierzchni dS emituja_ιcy promieniowanie. Ca lkowity pe_ιd uzyskany przez p lytke_ιwskutek odrzutu p lytki, przy emisji przez nia_ιfoton´ow, be_ιdzie r´owny

p = Z π/2 0 Z S Z 2π 0 B c ^cos 2α sin α dα dS⁰dφ . (11)

Po wykonaniu ca lkowania otrzymamy p = ² 3^πS B c ^{, (12)} ale B = ^J π ^, a zatem p = ² 3 J c^{S . (13)}

Poniewa˙z zmiana pe_ιdu w cia_ιgu jednej sekundy jest r´owna ´sredniej sile dzia laja_ιcej na dana_ιpowierzchnie_ι S, a wie_ιc

F2= p = ² 3 J

c^{S . (14)}

Ca lkowita si la dzia laja_ιca na powierzchnie_ιzaczerniona_ιkra_ι˙zka be_ιdzie mia la warto´s´c

F_c= F₁+ F₂=⁵ 3 J

c^{S . (15)}

Stosunek warto´sci si l dzia laja_ιcych na zaczerniona_ι i b lyszcza_ιca_ι cze_ι´s´c powierzchni kra_ι˙zka

Fc

F_r ⁼ 5

6 ^{. (16)}

Poniewa˙z si ly dzia laja_ιce na obie po l´owki sa_ι r´o˙zne przy o´swietleniu ich wia_ιzka_ι ´swiat la o takim samym nate_ι˙zeniu i padaja_ιcym pod tym samym ka_ιtem, to wypadkowy moment si l dzia laja_ιcych na obie po l´owki kra_ι˙zka be_ιdzie r´o˙zny od zera i kra_ι˙zek zawieszony na nici, kt´orej przed lu˙zeniem jest linia rozdzielaja_ιca obie r´o˙znie pokryte po lowy kra_ι˙zka, be_ιdzie sie_ι obraca l. Je´sli zbiornik zawieraja_ιcy kra_ι˙zek nie be_ιdzie dobrze opr´o˙zniony z powi-etrza, istotne znaczenie be_ιda_ιmia ly procesy zderzenia cza_ιstek gazu ze soba_ι, z kra_ι˙zkiem i ze ´sciankami naczynia.

4.2.3. Za l´o˙zmy, ˙ze ogon komety sk lada sie_ι z drobnego py lu o ´sredniej ge_ιsto´sci ρ. Obliczy´c, jaka_ι wielko´s´c musi mie´c promie´n py lku, aby si la przycia_ιgania grawitacyjnego z jaka_ι dzia la S lo´nce na py lek by la nie wie_ιksza od si ly zwia_ιzanej z ci´snieniem wywieranym na powierzchnie_ι py lku przez promieniowanie s loneczne.

Rozwia_ιzanie: Za l´o˙zmy, ˙ze promie´n py lku jest znacznie wie_ιkszy od d lugo´sci fali ´swiat la padaja_ιcego na py lek. Wtedy mo˙zna zaniedba´c dyfrakcje_ι fali ´swietlnej na py lku i stosowa´c prawa optyki geometrycznej.

Rys. 4-5 Wia_ιzka ´swiat la s lonecznego pada na py lek gazu

mie_ιdzygwiezdnego. O´s Z przechodzi przez ´srodki S lo´nca i py lku, wersory ~

i_z oraz ~i wyznaczaja_ι odpowiednio kierunki padaja_ιcego i rozproszonego fotonu pod ka_ιtami α.

Wybierzmy uk lad wsp´o lrze_ιdnych tak, aby linia przechodza_ιca przez ´srodki geometryczne py lku i S lo´nca by la osia_ι Z uk ladu. Za l´o˙zmy jeszcze, ˙ze wsp´o lczynnik odbicia powierzchni py lku r nie zale˙zy od ka_ιta padania α promieni na te_ι powierzchnie_ι. Korzystaja_ιc z wyra˙zenia (2) z zadania 4.2.1 otrzymamy, ˙ze si la dzia laja_ιca na element powierzchni dS py lku be_ιdzie r´owna ~ f =^J c ^{cos αdS ~iz+ r} J c ^{cos αdS~i , (1)}

gdzie ~iz jest wektorem jednostkowym skierowanym wzd lu˙z kierunku promienia padaja_ιcego na element powierzchni dS (je´sli za lo˙zymy, ˙ze od-leg lo´s´c py lku od S lo´nca jest znacznie wie_ιksza od ´srednicy S lo´nca, wtedy mo˙zemy przyja_ι´c, ˙ze promienie ´swiat la padaja_ιce na powierzchnie_ι py lku tworza_ι wia_ιzke_ι r´ownoleg la_ι i maja_ι kierunek osi Z). Wektor jednostkowy ~i ma kierunek promienia odbitego. Z uwagi na symetrie_ι zagadnienia si la wypadkowa Fr(wywierana przez promieniowanie s loneczne) dzia laja_ιca na py lek be_ιdzie skierowana wzd lu˙z osi Z i be_ιdzie mia la warto´s´c

Fr= Z S fzdS⁰, (2) gdzie fz= ^J c ^{cos αdS − r} J c ^{cos α · cos (π − 2α) dS (3)}

jest sk ladowa_ι z si ly ~f dzia laja_ιca_ι na jednostke_ι powierzchni; ca lkowanie wykonujemy tylko po powierzchni, na kt´ora_ι pada promieniowanie. Ele-ment powierzchni kulki

dS = R²sin αdαdφ , (4)

gdzie R jest promieniem kulki. Ka_ιt φ le˙zy w p laszczy´znie prostopad lej do osi Z. Po podstawieniu (4) i (3) do (2) otrzymujemy

F_r=^J c^R 2^Z π/2 0 Z 2π 0

(cos α + r cos α cos(2α)) sin αdαdφ =

= 2πR^2J c

Z π/2 0

(2r cos³α + (1 − r) cos α) sin αdα , ska_ιd

Fr= πR^2J

c ^{. (5)}

Calkowali´smy wzgle_ιdem ka_ιta α tylko w przedziale od 0 do π/2, gdy˙z zgod-nie z wybranym uk ladem wsp´o lrze_ιdnych ka_ιt padania α zmienia sie_ιtylko w tych granicach gdy poruszamy sie_ιpo powierzchni, na kt´ora_ιpadaja_ι promie-nie s loneczne. Jak wida´c z (5) si la F_rnie zale˙zy od wsp´o lczynnika odbicia r i be_ιdzie mia la taka_ι sama_ι warto´s´c dla kulki o powierzchni doskonale czarnej (r = 0) i dla kulki o powierzchni doskonale odbijaja_ιcej (r = 1). Wynik ten jest prawidziwy tylko przy przyje_ιtym uprzednio za lo˙zeniu, ˙ze r 6= r(α). Zwr´o´cmy jeszcze uwage_ιna to, ˙ze na kulke_ιdzia la taka sama si la, jak na tarcze_ιo powierzchni ΠR2 najwie_ιkszego przekroju kulki.

Wyka˙zemy teraz, ˙ze stosunek si ly Fr wywieranej przez promieniowanie do si ly grawitacyjnej Fg nie zale˙zy od odleg lo´sci py lku od S lo´nca L. Si la grawitacji

F_g= γ^mM

L2 , (6)

gdzie γ jest sta la_ι grawitacji, M jest masa_ι S lo´nca, za´s m jest masa_ι py lku r´owna_ι

m = ⁴ 3^πR

3ρ . (7)

Poniewa˙z J jest ilo´scia_ι wypromieniowanej energii przechodza_ιcej przez jednostke_ι powierzchni w cia_ιgu jednej sekundy, wie_ιc warto´s´c J zmienia sie_ι wraz z odleg lo´scia_ιod S lo´nca wed lug zale˙zno´sci

J L²= J⁰L⁰²= const (8)

dla α = const, co oznacza, ˙ze o´swietlenie danej powierzchni jest odwrot-nie proporcjonalne do odleg lo´sci tej powierzchni od ´zr´od la ´swiat la. Przyjmuja_ιc J0 r´owne sta lej s lonecznej, to znaczy, ilo´sci promieniowa-nia s lonecznego przechodza_ιcego w cia_ιgu jednej sekundy przez ustawiona_ι prostopadle do kierunku padaja_ιcych promieni powierzchnie_ι o wielko´sci 1

m2umieszczona_ιnad powierzchnia_ιZiemi (warto´s´c sta lej s lonecznej wynosi 1374 W/m2) otrzymujemy F_r= πR^2J 0 c  l L 2 , (9)

gdzie l jest odleg lo´scia_ιZiemi od S lo´nca, a wie_ιc stosunek F_r Fg =³ 4 J⁰ c l2 RM ργ ⁽¹⁰⁾

nie zale˙zy od odleg lo´sci py lku od S lo´nca. Mase_ι S lo´nca mo˙zemy wyelimi-nowa´c korzystaja_ιc z trzeciego prawa Keplera dla uk ladu Ziemia - S lo´nce

T2

a3 = ^4π

2

γM ^{, (11)}

gdzie T jest okresem obiegu Ziemi wok´o l S lo´nca, za´s a jest p´o losia_ιwielka_ι elipsy, po kt´orej porusza sie_ι Ziemia w ruchu rocznym wok´o l S lo´nca; wyra˙zenie (11) otrzymuje sie_ι ze ´scis lej zale˙zno´sci

T2

a3 = ^4π

2

π(M + M_z) ⁽¹²⁾

(Mz jest masa_ιZiemi) po uwzgle_ιdnieniu warunku

M  Mz. (13)

K lada_ιc a = l otrzymujemy ze wzor´ow (10) i (11) F_r Fg = ³ 16π2c J0T2 lRρ ^{. (14)}

Wielko´sci wyste_ιpuja_ιce w wyra˙zeniu (14) sa_ιznane z wie_ιksza_ιdok ladno´scia_ι ni˙z wielko´sci wyste_ιpuja_ιce we wzorze (10).

Si la Fg be_ιdzie nie wie_ιksza od si ly Fr gdy

R ≤ ³

16π2c J⁰T²

lρ ^{. (15)}

Podstawiaja_ιc warto´sci liczbowe (ρ = 10³ kg/m³, to znaczy jak dla wody, T = 365, 24 · 86400 s i l = 1, 5 · 10¹¹ m) otrzymamy

R ≤ 5, 8 · 10⁻⁷ m. (16)

Otrzymany wynik jest por´ownywalny z d lugo´scia_ιfali ´swiat la s lonecznego, na kt´ora_ι wypada maksimum funkcji rozk ladu energii w widmie promieniowania S lo´nca, co oznacza, ˙ze w naszych rozwa˙zaniach nale˙za lo uwzgle_ιdni´c wyste_ιpowanie dyfrakcji fali ´swietlnej na py lku.

Po uwzgle_ιdnieniu dyfrakcji otrzymamy wynik mniejszy od (16) gdy˙z promieniowanie s loneczne be_ιdzie wywiera lo ci´snienie nie tylko na powierzchnie_ι py lku zwr´ocona_ι ku S lo´ncu, ale i na strone_ι przeciwna_ι poniewa˙z si ly oddzia lywania promieniowania na obie po l´owki sa_ιprzeciwnie zwr´ocone, wie_ιc wypadkowa si la F_r⁰ dzia laja_ιca na ca la_ιpowierzchnie_ι py lku be_ιdzie mniejsza od Fr danej wyra˙zeniem (5). Tym samym zastosowanie praw optyki geometrycznej daje nam g´orna_ιgranice_ι dla warto´sci R, przy kt´orej spe lniona jest zale˙zno´s´c

Fr≥ Fg. (17)

W og´olno´sci, stosunek obu si l zale˙zy od d lugo´sci fali ´swiat la padaja_ιcego na powierzchnie_ι py lku, przy czym zale˙zno´s´c ta ma charakter z lo˙zony i istnieje taki stosunek λ/R, przy kt´orym Fr/Fg osia_ιga maksimum. Fakt, ˙ze dla pewnych rozmiar´ow py lku stosunek Fr/Fg ≥ 1 wykorzystano dla uzasadnienia hipotezy dotycza_ιcej przyczyn tworzenia sie_ι ogon´ow komet oraz ich kszta ltu.

4.2.4. Korzystaja_ιc z teorii nierelatywistycznej oszacowa´c odchylenie wia_ιzki ´swiat la przy przej´sciu w pobli˙zu S lo´nca.

Rozwia_ιzanie: Niech najmniejsza odleg lo´s´c pomie_ιdzy S lo´ncem i przed lu˙zeniem pierwotnego toru wia_ιzki ´swiat la wynosi R. Je´sli foton znajduje sie_ιw odleg lo´sci r (rys. 4-6) od ´srodka S lo´nca, to dzia la na niego si la

~

F = −γ^Msmf

r3 ~r , (1)

gdzie m_f jest masa_ι grawitacyjna_ι fotonu (r´owna_ι jego masie bezw ladnej wynosza_ιcej hν/c2), ~r jest wektorem wodza_ιcym (o pocza_ιtku w ´srodku S lo´nca) punktu, w kt´orym znajduje sie_ι foton, Ms- masa_ιS lo´nca. Wybier-amy uk lad wsp´o lrze_ιdnych prostoka_ιtnych o pocza_ιtku umieszczonym w ´srodku S lo´nca, przy czym o´s Y tego uk ladu jest r´ownoleg la do pierwotnego kierunku ruchu fotonu. Wtedy sk ladowa si ly Fx (prostopad la do pierwot-nego kierunku ruchu fotonu), kt´ora powoduje zmiane_ι kierunku ruchu

F_x= −γ ^Msmf

Rys. 4-6 Odchylenie toru promienia ´swietlnego w polu grawitacyjnym S lo´nca. R₀ - promie´n S lo´nca, ϕ - ka_ιt odchylenia promienia od

pierwotnego toru.

Za l´o˙zmy jeszcze, ˙ze odchylenie ∆ = R − x od pierwotnego kierunku ruchu jest bardzo ma le (zgodnie z do´swiadczeniem) i ˙ze mo˙zna w przybli˙zeniu po lo˙zy´c we wzorze (2) x = R. Zmiana sk ladowej poprzecznej pe_ιdu fotonu jest r´owna impulsowi dzia laja_ιcej w tym kierunku sk ladowej si ly F_x (II zasada dynamiki Newtona):

mfvx= Z

Fxdt , (3)

gdzie vxjest sk ladowa_ιpre_ιdko´sci fotonu w kierunku poprzecznym do pier-wotnego kierunku ruchu, przy czym ta sk ladowa, w odleg lo´sci bardzo du˙zej od S lo´nca, w pocza_ιtkowej fazie ruchu fotonu jest r´owna zeru. Ale przy uczynionych uprzednio za lo˙zeniach mo˙zna napisa´c

t ' ^y

c ^{i dt '} dy

c ^{, (4)}

ska_ιd wyra˙zenie (3) przyjmie posta´c mfvx' Z

Fx

dy

Po podstawieniu do wzoru (5) wyra˙zenia (2), gdzie x = R, otrzymujemy vx' −2^γMsmf cmf R Z ∞ 0 dy p(R2+ y2)3 = −^2γMs Rc ^{. (6)}

Odchylenie ka_ιtowe (jest, jak wida´c ze wzoru (6), niezale˙zne od masy graw-itacyjnej fotonu)

φ ' tan φ = |vx|

c ^{, (7)}

przeto je´sli przyjmiemy R = Rs- promieniowi S lo´nca, to

φ ' ^2γMs c2Rs

rad. (8)

Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy φ = 0⁰⁰87. Oszacowanie odchylenia przy uwzgle_ιdnieniu teorii wzgle_ιdno´sci daje wynik dwukrotnie wie_ιkszy 2φ = 1⁰⁰75, przy czym warto´s´c ta zosta la potwierdzona przez do´swiadczenie.

4.2.5. Znale´z´c zmiane_ιd lugo´sci fali fotonu w wyniku rozproszenia na swobodnym, spoczywaja_ιcym elektronie (efekt Comptona).

Rozwia_ιzanie: Rozproszenie fotonu na swobodnym elektronie jest spre_ι˙zyste, maja_ιwie_ιc zastosowanie zasada zachowania energii

hν1= hν2+ Ee, (1)

gdzie ν = c/λ, za´s Ee jest energia_ι kinetyczna_ι elektronu po rozprosze-niu (przed rozproszeniem d lugo´s´c fali fotonu wynosi la λ1, po rozproszeniu λ2, a energia kinetyczna elektronu przed rozproszeniem by la r´owna zeru) r´owna_ι

mc²− m0c²= ∆mc²= Ee (2)

oraz zasada zachowania pe_ιdu hν₁ c ⁼ hν₂ c ^{cos ϑ + mv cos φ , (3)} hν₂ c ^{sin ϑ − mv sin φ = 0 . (4)}

Rys. 4-7 Rozproszenie fotonu na swobodnym, spoczywaja_ιcym elektronie: ~

pγ i ~p0

γ sa_ιpe_ιdami fotonu padaja_ιcego i rozproszonego, ~pe - pe_ιd elektronu (po rozproszeniu).

Poniewa˙z pre_ιdko´sci uzyskiwane przez elektron po rozproszeniu fotonu sa_ι cze_ιsto bardzo bliskie pre_ιdko´sci fali elektromagnetycznej w pr´o˙zni, wie_ιc nale˙zy stosowa´c r´ownania mechaniki relatywistycznej. W wyra˙zeniu (2) m0 oznacza mase_ι spoczywaja_ιcego elektronu, natomiast

m = m0 1 r 1 − ^v 2 c2 = m0 c √ c2− v2 = m0γ , (5)

gdzie v jest pre_ιdko´scia_ιelektronu. Korzystaja_ιc z (5) mamy

∆m = m − m₀= m₀(γ − 1) . (6)

R´ownania (3) i (4) reprezentuja_ι zachowanie w procesie rozproszenia odpowiednio sk ladowych pod lu˙znych (r´ownoleg lych do kierunku ruchu pierwotnego fotonu) i sk ladowych poprzecznych (prostopad lych do kierunku ruchu padaja_ιcego fotonu) pe_ιd´ow. Z r´ownania (1) otrzymujemy

1 λ1 − ¹ λ2 = ^∆mc 2 hc ^{, (7)} ska_ιd ∆λ λ1λ2 = ^c h^{∆m , (8)} gdzie ∆λ = λ2− λ1 lub 1 λ1λ2 = ^c h ∆m ∆λ ^{. (9)}

Podnosza_ιc r´ownania (3) i (4) (po przeniesieniu wyra˙ze´n zawieraja_ιcych ka_ιt φ na jedna_ιstrone_ιr´owna´n) do kwadratu i dodaja_ιc naste_ιpnie r´ownania stronami otrzymujemy 1 λ2 1 + ¹ λ2 2 − ² λ1λ2 cos ϑ = ^m 2v2 h2 . (10)

Po dodaniu i odje_ιciu od lewej strony r´ownania (10) wyra˙zenia 2/(λ₁λ₂) mamy  1 λ1 − ¹ λ2 2 + ² λ1λ2 (1 − cos ϑ) = ^m 2v2 h2 (11) lub  ∆λ λ1λ2 2 + ² λ1λ2 (1 − cos ϑ) = ^m 2v2 h2 . (12)

Po podstawieniu do (12) wyra˙zenia (8) i (9) otrzymujemy c2(∆m)2

h2 +^2c∆m

h∆λ ^{(1 − cos ϑ) =} m2v2

h2 (13)

lub po przekszta lceniach c²∆m  ∆m + ^2h c∆λ^{(1 − cos ϑ)}  = ^m 2v2 h2 , (14) ska_ιd ∆m + ^2h c∆λ^{(1 − cos ϑ) =} m²v² ∆mc2 , (15) a wie_ιc ∆λ = ^2h c ^{(1 − cos ϑ)} ∆mc² m2v2− (∆m)2c2 . (16) Mianownik wyra˙zenia (16), po uwzgle_ιdnieniu (5) i (6), sprowadzimy do prostszej

postaci. Dostajemy wyra˙zenie:

2∆mm0c². (17)

Po podstawieniu (17) w miejsce mianownika wyra˙zenia (16) otrzymujemy ∆λ = λ2− λ1= ^h m0c^{(1 − cos ϑ) =} 2h m0c^sin 2ϑ 2 ^{= 2Λesin} 2ϑ 2 ^{, (18)} gdzie Λe = 2, 45 · 10⁻¹² m jest tak zwana_ι komptonowska_ι d lugo´scia_ι fali elektronu.

Na podstawie (18) wida´c, ˙ze dla 0 ≤ ϑ ≤ π

0 ≤ ∆λ ≤ 2Λe. (19)

4.2.6. Jaka_ι energie_ι uzyska pierwotnie spoczywaja_ιcy, swobodny elektron po rozproszeniu na nim fotonu o energii Eγ pod ka_ιtem ϑ?

Rozwia_ιzanie: Korzystaja_ιc z zasady zachowania energii otrzymu-jemy r´ownanie

gdzie E_e jest energia_ι kinetyczna_ι elektronu po rozproszeniu, a E_γ0 jest energia_ιrozproszonego fotonu. E_γ0 mo˙zna zapisa´c w postaci

Eγ0 =^hc

λ0 , (2)

gdzie λ⁰ jest d lugo´scia_ι fali fotonu po rozproszeniu. W wyniku komptonowskiego rozproszenia fotonu nasta_ιpi zmiana d lugo´sci fali fotonu o warto´s´c

∆λ = λ⁰− λ = ^2h m0c^sin

2ϑ

2 ^{, (3)}

gdzie m0 jest masa_ι spoczynkowa_ι elektronu. Rozwia_ιzuja_ιc uk lad r´owna´n (1), (2) i (3) ze wzgle_ιdu na Ee otrzymujemy Ee= ^Eγ 1 + ^m0c 2 2Eγsin^{2 ϑ}₂ . (4)

Dla E = 1 MeV i ϑ = π/3 otrzymujemy Ee'¹

2 ^MeV.

4.2.7. Znale´z´c ka_ιt mie_ιdzy kierunkiem odrzuconego elektronu i kierunkiem ruchu pierwotnego fotonu. Wiadomo, ˙ze foton o d lugo´sci fali λ zosta l rozproszony na spoczywaja_ιcym, swobodnym elektronie pod ka_ιtem ϑ.

Rys. 4-8 Schemat do znalezienia ka_ιta rozproszenia elektronu. Rozwia_ιzanie: Korzystaja_ιc z zasady zachowania pe_ιdu otrzymamy r´ownanie dla sk ladowych r´ownoleg lych do kierunku ruchu rozpraszanego fotonu

h λ ⁼

h

λ0 cos ϑ + mv cos φ (1)

i dla sk ladowych pe_ιd´ow prostopad lych do kierunku ruchu rozpraszanego fotonu

h

Z r´owna´n (1) i (2), po przeniesieniu wyra˙ze´n z szukanym ka_ιtem φ na jedna_ι strone_ι r´owna´n, otrzymamy

cot φ = 1 λ− 1 λ0 cos ϑ 1 λ0sin ϑ ^{. (3)}

Korzystaja_ιc ze wzoru Comptona na zmiane_ι d lugo´sci fali fotonu przy rozproszeniu na swobodnym, spoczywaja_ιcym elektronie (zadanie 4.2.4), mo˙zna w miejcse λ⁰ podstawi´c wyra˙zenie

λ⁰= λ + ^h

m₀c^{(1 − cos ϑ) , (4)}

gdzie m₀jest masa_ιspoczynkowa_ιelektronu. Po prostych przekszta lceniach otrzymamy szukana_ιzale˙zno´s´c

cot φ =  1 + ^h λm0c  tan^ϑ 2 ^{. (5)}

Mierza_ιc w do´swiadczeniu ka_ιty φ i ϑ oraz λ mo˙zna, korzystaja_ιc z tych zale˙zno´sci, wyznaczy´c sta la_ιPlancka h. Metode_ιpomiaru tych ka_ιt´ow podali H.R.Crane, E.R.Gaerttner i J.J.Torin w roku 1936.

4.2.8. Przy rozpatrywaniu efektu Comptona zak ladamy, ˙ze elektron rozpraszaja_ιcy fotony mo˙zna traktowa´c jako swobodny (energia wia_ιzania elektronu jest znacznie mniejsza od energii rozpraszanego fotonu). Pokaza´c, ˙ze elektron swobodny nie mo˙ze przeja_ι´c ca lej energii padaja_ιcego na niego fotonu.

Rozwia_ιzanie: Z zasady zachowania pe_ιdu dla procesu poch lonie_ιcia fotonu przez swobodny, spoczywaja_ιcy elektron otrzymamy wyra˙zenie

h

λ ^{= pe, (1)}

gdzie pe jest pe_ιdem elektronu po poch lonie_ιciu fotonu. Korzystaja_ιc z za-sady zachowania energii mamy

hc

λ ^{+ E0= (E}

2

0+ p²_ec²)^1/2, (2) gdzie E0 jest energia_ι spoczywaja_ιcego elektronu. Wyra˙zenie po prawej stronie (2) jest ca lkowita_ι energia_ι elektronu swobodnego po poch lonie_ιciu fotonu. Z (1) i (2) otrzymujemy wyra˙zenie

hc λ ^{+ E0=} "  hc λ 2 + E₀² #1/2 . (3)

Poniewa˙z hc/λ 6= 0 i E0 6= 0 (zawsze), wie_ιc r´owno´s´c (3) jest zawsze nieprawdziwa. Widzimy wie_ιc, ˙ze mo˙zliwo´s´c ca lkowitego poch lonie_ιcia ergii fotonu przez swobodny elektron przeczy zasadom zachowania en-ergii i pe_ιdu. Takie same rozwa˙zania przeprowadzone dla przypadku, gdy

elektron jest zwia_ιzany przez si ly oddzia lywania kulombowskiego z ja_ιdrem atomu wykazuja_ι, ˙ze uk lad elektron - rdze´n atomu mo˙ze poch lona_ι´c ca la_ι energie_ι fotonu.

4.2.9. Udowodni´c, ˙ze elektron swobodny nie mo˙ze emitowa´c foton´ow.

W dokumencie Fizyka wspczesna (Stron 63-95)