Z
WYBRANYCH DZIA L ´
OW FIZYKI
Wyb´or zada´n i opracowanie rozwiaιza´n: CZES LAW SZMYTKOWSKI Przygotowanie wersji elektronicznej: EL ˙ZBIETA PTASI ´NSKA-DENGA
PRZEDMOWA
Zadania i problemy z fizyki przedstawione w poni˙zszym zbiorze dotyczaιtylko niekt´orych dzia l´ow fizyki - zazwyczaj nazywanych fizykaιwsp´o lczesnaι. Niniejszy wyb´or powsta l w oparciu o zagadnienia omawiane przez autora na ´cwiczeniach z fizyki dla s luchaczy wielu rocznik´ow studi´ow na Politechnice Gda´nskiej; by ly one ju˙z prezentowane w obszerniejszym skrypcie P.G. (Zadania rachunkowe z wybranych dzia l´ow fizyki; Cz. Szmytkowski i W.H. Roznerski, 1974 - wyd.I i 1986 - wyd.II)
Poni˙zsza czeι´s´c zbioru zawiera 105 szczeg´o lowo rozwiaιzanych problem´ow z fizyki
zebranych w 9 rozdzia lach. Przedstawione rozwiaιzania saιg l´ownie owocem
wielo-letniej praktyki autora. Wp lyw na wyb´or zada´n oraz posta´c rozwiaιza´n mia ly
r´ownie˙z dyskusje ze wsp´o lpracownikami, uwagi s luchaczy jak r´ownie˙z lektura dosteιpnej literatury.
Na poczaιtku ka˙zdego rozdzia lu zamieszczono kr´otki wsteιp zawierajaιcy niekt´ore
formu ly niezbeιdne do rozwiaιzania zada´n z danego dzia lu fizyki. Rozdzia ly
ko´nczaιsieιzestawami ´cwicze´n do samodzielnego rozwiaιzania wraz z odpowiedzi-ami. Do rozwiaιzania ´cwicze´n potrzebna jest znajomo´s´c podstaw fizyki oraz matematyki.
Spis tre´
sci
1 Szczeg´olna teoria wzgleιdno´sci 5
1.1 Wsteιp . . . 5
1.2 Zadania . . . 7 1.3 Cwiczenia . . . .´ 17
2 Promieniowanie cia la doskonale czarnego 21
2.1 Wsteιp . . . 21 2.2 Zadania . . . 22 2.3 Cwiczenia . . . .´ 29
3 Teoria kinetyczna gaz´ow 33
3.1 Wsteιp . . . 33
3.2 Zadania . . . 36 3.3 Cwiczenia . . . .´ 59
4 Oddzia lywanie promieniowania z materiaι 63
4.1 Wsteιp . . . 63 4.2 Zadania . . . 65 4.3 Cwiczenia . . . .´ 90 5 Fizyka atomu 95 5.1 Wsteιp . . . 95 5.2 Zadania . . . 97 5.3 Cwiczenia . . . 119´ 6 Mechanika kwantowa 123 6.1 Wsteιp . . . 123 6.2 Zadania . . . 124 6.3 Cwiczenia . . . 151´
7 Fizyka cia la sta lego 157
7.1 Wsteιp . . . 157 7.2 Zadania . . . 159 7.3 Cwiczenia . . . 182´
8 Promieniotw´orczo´s´c 185 8.1 Wsteιp . . . 185 8.2 Zadania . . . 187 8.3 Cwiczenia . . . 202´ 9 Reakcje jaιdrowe 205 9.1 Wsteιp . . . 205 9.2 Zadania . . . 206 9.3 Cwiczenia . . . 221´ 10 Uzupe lnienia 225
I Przybli˙zone warto´sci niekt´orych sta lych . . . 225 II Funkcja gamma Eulera Γ(x) . . . 228 III Niekt´ore zwiaιzki mieιdzy uk ladami wsp´o lrzeιdnych . . . 229
Rozdzia l 1
Szczeg´
olna teoria
wzgle
ιdno´
sci
1.1
Wste
ιp
1. Wsp´o lrzeιdne kartezja´nskie i czas w dw´och inercjalnych uk ladach odniesienia U i U0 saι ze sobaι zwiaιzane transformacyjnymi wzorami Lorentza. Za l´o˙zmy, ˙ze odpowiednie osie wsp´o lrzeιdnych uk lad´ow U i U0 saι do siebie r´ownoleg le. Je´sli preιdko´s´c V uk ladu U0 wzgleιdem uk ladu U skierowana jest wzd lu˙z osi X uk ladu U , to wzory szczeg´olnej transformacji Lorentza beιdaιmia ly posta´c
Rys. 1-1 Uk lad U0 porusza sieι wzgleιdem U z preιdko´sciaιV skierowanaι wzd lu˙z osi X k X0.
x = γ(x0+ V t0) (1.1)
y = y0 (1.2)
z = z0 (1.3) t = γ t0+V x 0 c2 , (1.4) gdzie γ = p 1 1 − β2 (1.5) i β = V c ; (1.6)
za´s x, y, z, t i x0, y0, z0, t0saιodpowiednio wsp´o lrzeιdnymi kartezja´nskimi punktu i czasem w uk ladach odniesienia U i U0, c - preιdko´sciaι fali
elektromagnetycznej w pr´o˙zni. Wzory odwrotnej transformacji Lorentza uzyskamy przez zmianeι znaku preιdko´sci uk ladu na przeciwny:
x0 = γ(x − V t) (1.7) y0 = y (1.8) z0 = z (1.9) t0 = γ t − V x c2 . (1.10)
2. Je´sli rozmiar cia la w kierunku jego ruchu z preιdko´sciaι V w uk ladzie
odniesienia, w kt´orym cia lo spoczywa wynosi l0 = (x20− x10), to jego
d lugo´s´c dla spoczywajaιcego obserwatora wynosi
x2− x1= l = l0
r 1 − V
2
c2 . (1.11)
3. Czas mierzony za pomocaιzegara poruszajaιcego sieιrazem z danym obiek-tem nazywa sieι czasem w lasnym tego obiektu. Je´sli obiekt porusza sieι wzgleιdem innego uk ladu z preιdko´sciaι V , to interwa l czasu w lasnego dτ wyra˙za sieι poprzez przedzia l czasu dt w uk ladzie spoczywajaιcym wed lug wzoru dτ = dt r 1 − V 2 c2 . (1.12)
4. Peιd p relatywistycznej czaιstki wiaι˙ze sieι z jej preιdko´sciaιwzorem ~ p = m~v =rm0~v 1 − v 2 c2 , (1.13)
5. Ca lkowita energia E czaιstki swobodnej mo˙ze by´c wyra˙zona przez jej preιdko´s´c: E = mc2= m0c 2 r 1 − v 2 c2 (1.14)
lub przez peιd czaιstki:
E = c q p2+ m2 0c2= q p2c2+ E2 0 , (1.15)
gdzie E0 = m0c2 jest energiaι spoczynkowaι czaιstki. Energia kinetyczna
czaιstki
Ekin= E − E0. (1.16)
6. Czaιstkeι nazywamy nierelatywistycznaι, gdy energia kinetyczna jest ma la
w por´ownaniu z energiaι spoczynkowaι, ultrarelatywistycznaιgdy zachodzi
zale˙zno´s´c przeciwna.
1.2
Zadania
1.2.1. Dwa r´ownoleg le preιty o d lugo´sci l0 ka˙zdy (w uk ladzie, w kt´orym
ka˙zdy z nich spoczywa) poruszajaι sieι naprzeciw siebie z jednakowymi preιdko´sciami V (r´ownoleg lymi do obu preιt´ow) liczonymi wzgleιdem uk ladu odniesienia U . Jaka jest d lugo´s´c jednego z tych preιt´ow zmierzona w uk ladzie U0 zwiaιzanym z drugim preιtem?
Rozwiaιzanie: Za l´o˙zmy, ˙ze w uk ladzie U
0 zwia
ιzanym z jednym z
poruszajaιcych sieι preιt´ow (oznaczymy go przez B) wsp´o lrzeιdne x
0 i t0
drugiego preιta (A) saι dane przez wzory transformacyjne Lorentza (wz´or
(1.7)) x0= γ(x + V t) , t0= γ t +V x c2 , (1) γ−1 = r 1 − V 2 c2 , (2)
gdzie x i t saι wsp´o lrzeιdnymi preιta A w uk ladzie U , wzgleιdem kt´orego
obydwa preιty poruszajaι sieι z preιdko´sciami V zwr´oconymi przeciwnie.
Za l´o˙zmy, ˙ze uk lady U i U0 majaι osie wsp´o lrzeιdnych X i X
0 zgodne z
kierunkiem preιdko´sci V .
Zwiaιzek mieιdzy preιdko´sciami v = V i v0pre
ιta A, odpowiednio w uk ladach
U i U0, be
ιdzie po skorzystaniu z wyra˙ze´n (1) i (2) postaci
v0 =dx 0 dt0 = dx0 dt dt dt0 = v + V 1 + vV c2 = 2V 1 +V 2 c2 = 2V 1 + β2 . (3)
D lugo´s´c l preιta A mierzona w uk ladzie U0 zwiaιzanym z preιtem B beιdzie r´owna (wz´or 1.11) l = l0 p 1 − β02, (4) gdzie β0= v 0 c , (5)
co po uwzgleιdnieniu wyra˙zenia (3) daje
l = l0 1 − V 2 c2 1 + V 2 c2 = l0 1 − β2 1 + β2 . (6) Dla l0= 1 m i β = V /c = 0, 1 otrzymamy l = 0, 98 m.
1.2.2. Jak d lugo trwa lby, wed lug czasu liczonego na Ziemi, lot rakiety do gwiazdy Proxima Centauri i z powrotem, gdyby rakieta porusza la sieι ze sta laι szybko´sciaι v = √0, 9999c ? Jaki by lby czas lotu ∆t0 mierzony w
uk ladzie rakiety? Odleg lo´s´c Ziemi od gwiazdy Proxima Centauri wynosi 4, 3 lata ´swietlne, tj. L ' 4, 07 · 1016 m. Jaka jest energia kinetyczna tej
rakiety, je´sli jej masa spoczynkowa wynosi 1 · 104kg ?
Rozwiaιzanie: W uk ladzie U zwiaιzanym z Ziemiaι czas lotu
raki-ety wyni´os lby
∆t = 2L
v = 2, 72 · 10
8s = 8, 6 lat.
W uk ladzie U0 zwiaιzanym z rakietaιczas t
0 obliczymy korzystaja ιc z trans-formacji Lorentza t = γ(t0+x 0v c2 ) . (1)
Teιsamaιtransformacjeι, w przypadku gdy wiaι˙ze ona wsp´o lrzeιdne czasowe
w obu uk ladach przy ustalonej wsp´o lrzeιdnej x
0= 0, zapiszemy w postaci
t0= tp1 − β2, β = v/c . (2)
Dla przedzia l´ow czasu otrzymamy
∆t0= ∆tp1 − β2. (3)
Rachunek daje:
∆t0= ∆tp1 − β2= 0, 01∆t = 31, 5 dnia.
Energia kinetyczna rakiety beιdzie r´owna
Ek = m0c2(γ − 1) ' 2, 5 · 1016kWh. (4)
Dla por´ownania energia elektryczna dostarczona przez wszystkie elek-trownie Ziemi w roku 2001 by la rzeιdu 1014kWh.
1.2.3. Wyprowadzi´c wzory przekszta lcenia Lorentza od uk ladu U0 do uk ladu U dla wektora ~r i czasu t przyjmujaιc, ˙ze preιdko´s´c ~V uk ladu U0 wzgleιdem U nie jest r´ownoleg la do osi x. Wynik przedstawi´c w postaci wektorowej. Rozwiaιzanie: Rozk ladamy wektory ~r i ~r0 na kierunki wektora
preιdko´sci ~V i kierunek do ~V prostopad ly. W ten spos´ob
~r = ~rk+ ~r⊥ i ~r0= ~rk0 + ~r⊥0 . (1)
Rzuty wektor´ow ~r i ~r0 na kierunek ~V sa
ι r´owne rk= ~r ~ V V i r 0 k= ~r0 ~ V V , wobec czego ~ rk= ~ r ~V V · ~ V V i ~r 0 k= ~ r0V~ V · ~ V V . (2)
Rys. 2-1 Wektory wodzaιce punktu O
0 oraz ich rzuty w uk ladzie U i
uk ladzie U0 poruszajaιcym sieι wzgleιdem U z preιdko´sciaιV .~
Do transformacji sk ladowych ~rk i ~r⊥ mo˙zemy teraz zastosowa´c wzory
szczeg´olnej transformacji Lorentza. W´owczas ~ rk = γ( ~rk0 + ~V t 0) , γ−1= r 1 −V 2 c2 (3)
~r⊥ = ~r⊥0 (4) t = γ t0+ ~ r0V~ c2 ! . (5)
Korzystajaιc z (3) i (4) wz´or (1) mo˙zna zapia´c w postaci
~r = γ(~r0+ ~V t0) + (1 − γ) ~r0
⊥. (6)
Wyra´zmy teraz wektor ~r0
⊥ przez wektory ~r0 i ~V . W tym celu znajdziemy
wektor jednostkowy osi prostopad lej do wektora ~V . Beιdzie nim wektor
~ n⊥= ~ nk× ~r0 |~nk× ~r0| × ~nk, (7) gdzie ~nk= ~ V V . (8)
Obliczymy teraz warto´s´c rzutu wektora ~r0na kierunek wektora ~n
⊥. Beιdzie
ona r´owna iloczynowi skalarnemu wektor´ow ~r0i wektora jednostkowego (7)
r0⊥= ~r0· ~nk× ~r 0 |~nk× ~r0| × ~nk ! ,
co po uwzgleιdnieniu wzoru (8) daje
~ r0 ⊥= (~V × ~r0) × ~V V2 . (9) Po podstawieniu (9) do (6) otrzymujemy ~ r = γ(~r0+ ~V t0) + (γ − 1)(~r0× ~V ) × ~V V2 . (10)
Transformacja czasu z uk ladu U0 do uk ladu U dana jest przez wyra˙zenie (5).
1.2.4. Rakieta startujaιca z Ziemi rozpeιdza sieι do szybko´sci v =
√
0, 9999 c. Warto´s´c przyspieszenia rakiety, w uk ladzie odniesienia chwilowo zwiaιzanym z rakietaι, wynosi a
0 = 20 m/s2
' 2 g0. Ile czasu potrwa
rozpeιdzanie rakiety w uk ladzie odniesienia spoczywajaιcym zwiaιzanym
z Ziemiaιi w uk ladzie rakiety? Jakaιdrogeιprzebeιdzie rakieta w tym czasie?
Rozwiaιzanie: Skorzystajmy z wyra˙zenia (10) - zad.1.2.3, wiaι˙zaιcego promie´n wodzaιcy ~r punktu w spoczywajaιcym uk ladzie odniesienia i w uk ladzie poruszajaιcym sieι (~r0) wzgle
z preιdko´sciaι V dowolnie skierowana~ ι. R´o˙zniczkujaιc wzgleιdem czasu t (liczonego w uk ladzie spoczywajaιcym) wektor ~r
d~r dt = γ d~r0 dt0 dt0 dt + ~V dt0 dt ! + (γ − 1) d~r0 dt0 dt0 dt × ~V ! × ~V V2 , (1) gdzie γ = r 1 1 − V 2 c2 (2)
i korzystajaιc ze wzoru wiaι˙zaιcego czas w obydwu uk ladach
t = γ t0+ ~ r0V~ c2 ! (3) oraz z wynikajaιcego z niego wyra˙zenia
dt0 dt = 1 γ 1 +v~ 0V~ c2 ! , (4)
otrzymujemy po prostych przekszta lceniach algebraicznych wyra˙zenie wiaι˙zaιce preιdko´sci punktu w obu uk ladach:
~v = ~ v0+ ~V + (γ − 1) V~ V2 h (~v0V ) + V~ 2i γ 1 + ~ v0V~ c2 ! . (5)
R´o˙zniczkujaιc nasteιpnie wzgleιdem t wyra˙zenie (5) otrzymamy zwiaιzek
mieιdzy przyspieszeniami punktu w obydwu uk ladach
~a = 1 γ2 1 + ~ v0V~ c2 !2· ~ a0− (γ − 1)(~a0V )~~ V γ 1 + ~ v0V~ c2 ! V2 − (~a 0V )~~ v0 c2 1 + ~ v0V~ c2 ! . (6)
Staιd wida´c, ˙ze je´sli w jednym uk ladzie odniesienia punkt porusza sieι ze sta lym przyspieszeniem ~a0, to w drugim uk ladzie przyspieszenie ~a
w og´olno´sci zale˙zy od czasu; funkcjaι czasu jest preιdko´s´c ~v0 punktu.
Je´sli punkt jest kolejno zwiaιzany chwilowo z uk ladem poruszajaιcym sieι (v0 = 0, V = v), a ruch odbywa sieι ze sta lym przyspieszeniem ~a0 k ~v , to
z wyra˙zenia (6) mamy
a ≡dv dt =
a0
skaιd
dt =γ
3dv
a0 . (8)
Wykonujaιc ca lkowanie otrzymujemy
t = 1 a0
v
p1 − v2/c2 + const. (9)
Uwzgleιdniajaιc, ˙ze v = 0 dla t = 0, otrzymujemy wyra˙zenie na czas trwania
lotu rakiety (przyspieszania) w uk ladzie zwiaιzanym z Ziemiaι:
t = 1 a0
v
p1 − v2/c2 (10)
co po podstawieniu danych liczbowych daje wynik (czas rozpeιdzania)
t = 1, 5 · 109s ' 47, 5 lat. (11) W uk ladzie zwiaιzanym z rakietaι przedzia l czasowy dτ wiaι˙ze sieι z
przedzia lem czasowym dt w uk ladzie spoczywajaιcym nasteιpujaιco:
dτ = dt r
1 − v
2
c2 . (12)
Szybko´s´c v = v(t) znajdziemy z wyra˙zenia (10)
v = a 0t r 1 +a 02t2 c2 . (13)
Je´sli zaniedbamy wp lyw si l bezw ladno´sci na ch´od zegara w rakiecie, to wykonujaιc ca lkowanie wyra˙zenia (12) po uwzgleιdnieniu (13) mamy
τ = Z t 0 r 1 −v 2 c2dt = Z t 0 dt p1 + a02t2/c2 = c a0arcsinh a0t c = = c aln a0t 1 c + 1 v = 7, 95 · 107s ' 2, 5 lat. (14) Odcinek drogi przebyty w czasie rozpeιdzania rakiety otrzymamy
wykonujaιc ca lkowanie r´ownania (13) (v = dr/dt).
Uwzgleιdniajaιc, ˙ze dla t = 0 r = 0 mamy
r = c 2 a0 r 1 + a 02t2 c2 − 1 ! = c 2 a0 cosh a 0τ c − 1 . (15)
Dla a0t c v = a0,a wz´or (15) przechodzi w wyra˙zenie klasyczne (niere-latywistyczne):
r = a
0t2
Natomiast dla a0t −→ ∞ szybko´s´c v (we wzorze 13) daι˙zy do warto´sci sta lej c.
Po podstawieniu danych mamy
r ' 4, 5 · 1017m,
to znaczy oko lo 1/1000 czeι´sci drogi z Ziemi do granic Galaktyki. Przy zadanych wy˙zej warunkach granice Galaktyki rakieta osiaιgnie po okre-sie czasu oko lo 105 lat (w uk ladzie rakiety nieco ponad 5 lat), przy tym
szybko´s´c rakiety by laby bardzo bliska c. Gdyby obowiaιzywa la
transfor-macja Galileusza (c −→ ∞), to ten sam lot w obydwu uk ladach trwa lby kilkana´scie lat.
Je˙zeli przyjmiemy, ˙ze podr´o˙z do Proxima Centauri (zad. 1.2.2) odbywa sieι do chwili osiaιgnieιcia przez rakieteι preιdko´sci v = 0, 8 c, poczaιtkowo
ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem w uk ladzie chwilowo zwiaιzanym
z rakietaι r´ownym a
0 = 1 g
0 (przyspieszenie, kt´ore w warunkach
d lugotrwa lego lotu by loby najlepiej znoszone przez pasa˙zer´ow), nasteιpnie
ruchem jednostajnym z szybko´sciaι v = 0, 8 c, a pozosta laι czeι´s´c drogi r´ownaι pierwszemu odcinkowi (we wzorach (10) i (15) wysteιpuje warto´s´c bezwzgleιdna przyspieszenia) ruchem op´o´znionym z op´o´znieniem a0= 1 g0,
to czas podr´o˙zy do Proxima Centauri i z powrotem opisanej w zadaniu (1.2.2) znacznie sieι wyd lu˙zy. W uk ladzie zwiaιzanym z Ziemiaι beιdzie wynosi l t = 12, 4 lat, a w uk ladzie rakiety τ = 8, 6 lat.
1.2.5. Wyprowadzi´c wzory na sk ladanie preιdko´sci w przypadku, gdy preιdko´s´c ~
V uk ladu U0 wzgleιdem U ma kierunek dowolny. Wzory przedstawi´c w postaci wektorowej.
Rozwiaιzanie: Preιdko´s´c ~v rozk ladamy podobnie jak w zadaniu
(1.2.3) na kierunki r´ownoleg ly i prostopad ly do kierunku wektora ~V :
~v = ~vk+ ~v⊥. (1)
Obie sk ladowe preιdko´sci znajdujemy korzystajaιc z wyprowadzonych w
zadaniu (1.2.3) wzor´ow transformacyjnych sk ladowych wektora ~r. Dla sk ladowej ~rk mamy
~ rk= γ V ·~ ~ r0V~ V2 + ~V t 0 ! , γ−1= r 1 − V 2 c2 . (2) Staιd ~ vk= d ~rk dt = d ~rk dt0 dt0 dt = ~ V · ~ v0V~ V2 + ~V 1 + ~ v0V~ c2 . (3)
Sk ladowa prostopad la preιdko´sci transformuje sieι nasteιpujaιco: ~ v⊥= d ~r⊥ dt = ~ v0− ~Vv~0V~ V2 γ 1 + ~ v0V~ c2 ! , r~⊥= ~r 0 ⊥ = ~r0− ~r0k. (4)
Po dodaniu sk ladowych preιdko´sci ~vk i ~v⊥ otrzymujemy
~v = ~ V ~ v0V~ V2 + ~V 1 + ~ v0V~ c2 + ~ v0− ~Vv~0V~ V2 γ 1 + ~ v0V~ c2 ! = = ~ v0+ ~V + (γ − 1)~V /V2 ~v0V + V~ 2 γ 1 + v~ 0V~ c2 ! . (5)
1.2.6. Strumie´n monoenergetycznych mezon´ow µ, powstajaιcych w g´ornych warstwach atmosfery, biegnie prostopadle ku powierzchni Ziemi. Znale´z´c stosunek nateι˙zenia strumienia mezon´ow µ na wysoko´sci h = 3 km nad powierzchniaι morza i na poziomie morza. Przyjaι´c, ˙ze w rozpatrywanej warstwie atmosfery o grubo´sci h, os labienie strumienia zwiaιzane jest tylko
z samorzutnym rozpadem mezon´ow µ. Energia mezon´ow E = 5 · 108 eV,
´
sredni czas ˙zycia spoczywajaιcego mezonu τ0= 2, 1 · 10
−6 s.
Rozwiaιzanie: Szybko´s´c ubywania mezon´ow µ w strumieniu w wyniku
ich rozpadu dI dt = − I τ , I ' const · exp −t τ , (1) skaιd Ih= I0exp h vτ , (2)
gdzie Ihi I0saιodpowiednio nateι˙zeniem strumienia mezon´ow na wysoko´sci
h i na poziomie morza, v - szybko´sciaι mezon´ow (bardzo bliskaι preιdko´sci
´
swiat la c). Mieιdzy czasem ˙zycia w uk ladzie obserwatora zwiaιzanego z
Ziemiaιτ i czasem ˙zycia w uk ladzie mezonu τ0 zachodzi zwiaιzek
τ = r τ0 1 −v
2
c2
. (3)
Poniewa˙z energia mezonu poruszajaιcego sieι swobodnie z preιdko´sciaιv
E = m0µc 2 r 1 −v 2 c2 , (4)
wieιc
τ = Eτ0 m0µc2
. (5)
Stosunek nateι˙ze´n strumienia mezon´ow na wysoko´sciach h1 i h2
Ih1 Ih2 = exp h1− h2 vτ0E m0µc2 . (6) K ladaιc h1= h, h2= 0, v = c otrzymujemy Ih I0 = exp hm0µc 2 cτ0E . (7)
Podstawiajaιc dane liczbowe (m0µc
2= 105 MeV) znajdujemy
Ih
I0
' e ' 2, 7 . (8)
W przypadku, gdyby relatywistyczna transformacja (3) czasu ˙zycia mezonu nie zachodzi la, to przy za lo˙zeniu, ˙ze v ' c otrzymaliby´smy
Ih I0 = exp h cτ0 = e4,76= 119 . (9)
Dane eksperymentalne zgadzajaι sieι dobrze z wynikiem (8) i saι prostym do´swiadczalnym potwierdzeniem relatywistycznego up lywu czasu (skr´ocenia) w uk ladach poruszajaιcych sieι.
1.2.7. Znale´z´c szybko´s´c elektronu przyspieszonego przez r´o˙zniceι potencja l´ow U = 1 MV. Przed wej´sciem w obszar pola szybko´s´c elektronu by la bardzo ma la.
Rozwiaιzanie: Energiz kinetyczna elektron po przebyciu r´o˙znicy
potencja l´ow U ma energieι kinetycznaι
Ekin= eU . (1)
Energia kinetyczna elektronu wyra˙za sieιpoprzez jego szybko´s´c v wzorem
Ekin= E − E0= m0c2 r 1 −v 2 c2 − m0c2= m0c2 1 r 1 −v 2 c2 − 1 . (2)
Por´ownujaιc wyra˙zenia (1) i (2) otrzymujemy
eU = E0 1 r 1 −v 2 c2 − 1 . (3)
Rozwiaιzujaιc r´ownanie (3) wzgleιdem v mamy: v = c s 1 − E 0 eU + E0 2 . (4)
Przy zadanych warunkach znajdujemy v ' 2
√ 2
3 c = 2, 83 · 10
8m/s. (5)
W szczeg´olno´sci, gdy eU E0(przypadek nierelatywistyczny) wyra˙zenie
(4) z dok ladno´sciaι do dw´och wyraz´ow rozwinieιcia ma posta´c v = cr 2eU E0 1 − 3 4 eU E0. c . (6)
W przypadku ultrarelatywistycznym eU E0 mamy
v = c " 1 − 1 2 E0 eU 2# ' c . (7)
1.2.8. Cia lo porusza sieι z szybko´sciaιv = 2 · 108 m/s. Ile razy wzro´snie ge
ιsto´s´c
tego cia la w por´ownaniu z warto´sciaιρ0geιsto´sci cia la spoczywajaιcego ?
Rozwiaιzanie: Poniewa˙z wymiary liniowe cia la prostopad le do kierunku ruchu nie zmieniajaιsieι, objeιto´s´c cia la w ruchu
V = V0
r 1 −v
2
c2 , (1)
gdzie V0 jest objeιto´sciaι cia la w spoczynku. Geιsto´s´c cia la poruszajaιcego
sieι ρ = m V = m V0 r 1 −v 2 c2 . (2)
Masa cia la zale˙zy od preιdko´sci jego ruchu wed lug wzoru
m =rm0 1 − v
2
c2
, (3)
gdzie m0 jest masaι w uk ladzie odniesienia, w kt´orym cia lo spoczywa.
Podstawiajaιc (3) do (2) mamy ρ = m0 V0(1 − v2/c2) = ρ0 1 − v2/c2 , (4) skaιd ρ ρ0 = 1, 8 . (5)
1.3
Cwiczenia
´
1.3.1. Jakie powinno by´c nateι˙zenie pola elektrycznego w kondensatorze p laskim,
aby zgodnie z zasadami mechaniki klasycznej poruszajaιcy sieιw tym polu
elektron uzyska l preιdko´s´c ´swiat la? Jakaι preιdko´s´c uzyska elektron w tym polu zgodnie z mechanikaι relatywistycznaι? Odleg lo´s´c mieιdzy ok ladkami kondensatora wynosi d = 1 mm. Odpowied´z: E = U d = m0c2 2ed ' 2, 5 · 10 8V/m v = √ 5 3 c ' 2, 24 · 10 8m/s.
1.3.2. Dwie wiaιzki elektron´ow biegnaι naprzeciw sobie z szybko´sciaι v = 0, 9 c
ka˙zda, mierzonaι wzgleιdem laboratoryjnego uk ladu odniesienia. Znale´z´c
warto´s´c szybko´sci wzgleιdnej vr elektron´ow w uk ladzie zwiaιzanym z jednaι
z wiaιzek elektron´ow, korzystajaιc z:
a) transformacji Galileusza b) transformacji Lorentza Odpowied´z: (a) vr= 2v = 1, 8 c ' 5, 4 · 108 m/s, (!) > c (b) vr= 2v 1 + v2/c2 ' 0, 994 c ' 2, 98 · 10 8m/s < c
1.3.3. Obliczy´c skr´ocenie preιta o d lugo´sci l0 = 1 m (mierzonej w uk ladzie,
w kt´orym preιt spoczywa), kt´ory porusza sieι wzgleιdem obserwatora z
szybko´sciaιv = 1, 8 · 10 8m/s. Odpowied´z: ∆l = l0 1 − r 1 − v 2 c2 ! ' 0, 2 m.
1.3.4. Masa cia la poruszajaιcego sieιz pewnaιszybko´sciaιwzros la o 1/3 masy cia la
spoczywajaιcego. Ile razy zmniejszy la sieι d lugo´s´c cia la? Odpowied´z: l l0 = m0 m = 3 4 .
1.3.5. Znale´z´c objeιto´s´c sze´scianu w uk ladzie poruszajaιcym sieι ze sta laι szy-bko´sciaι v w kierunku r´ownoleg lym do kraweιdzi sze´scianu. Objeιto´s´c sze´scianu w spoczynku wynosi V0= l03.
Odpowied´z: V = V0 r 1 −v 2 c2 ; dla v = 1, 8 · 108 m/s V /V0= 0, 8.
1.3.6. Antykatoda lampy rentgenowskiej bombardowana jest przez elektrony o szybko´sci v = 1 · 108 m/s. Okre´sli´c najwieιkszaι czeιsto´s´c promieniowania
w widmie ciaιg lym wytwarzanym przez teι lampeι. Uwzgleιdni´c zale˙zno´s´c
masy elektronu od preιdko´sci jego ruchu.
Odpowied´z: νmax= m0ec2 h r 1 − v 2 c2 !−1 − 1 ' 7, 5 · 1018s−1.
Odpowiada to d lugo´sci fali promieniowania λmin= c/νmax' 0, 4 · 10−10
m.
1.3.7. Energia kinetyczna mezon´ow π, liczona wzgleιdem uk ladu laboratoryjnego,
wynosi E = 98, 5 GeV. ´Sredni czas ˙zycia tych mezon´ow, mierzony w uk ladzie laboratoryjnym, wynosi τ = 1, 8 · 10−5s. Znale´z´c w lasny czas ˙zycia τ0mezon´ow π w uk ladzie zwiaιzanym z poruszajaιcymi sieιmezonami.
Odpowied´z: τ0= τ 1 + E m0c2 = τ 1 + E E0 ' 2, 55 · 10−8s.
1.3.8. Proton o energii E = 70 GeV i masie mp porusza sieι w kierunku
spoczywajaιcego neutronu o masie mn. Znale´z´c preιdko´s´c v ´srodka masy
obu czaιstek liczonaιwzgleιdem uk ladu laboratoryjnego.
Odpowied´z: v = cqE2− m2 pc4 E + mnc2 ' 0, 985 c .
1.3.9. Czaιstka o masie spoczynkowej m0 ma energieι E. Znale´z´c preιdko´s´c tej
czaιstki. Rozpatrzy´c te˙z przypadki nierelatywistyczny i
ultrarelatywisty-czny. Odpowied´z: v = c s 1 − m0c 2 E 2
v ' c s 2(E − m0c2) m0c2 dla m0c2 E c " 1 − 1 2 m0c2 E 2# dla m0c2 E
1.3.10. Efekt zderzenia dw´och czaιstek zale˙zy od ich preιdko´sci wzgleιdnej. Teι samaιwarto´s´c szybko´sci wzgleιdnej czaιstek mo˙zna uzyska´c na dwa sposoby (za l´o˙zmy dla uproszczenia, ˙ze masy m0 zderzajaιcych sieι czaιstek saι
jed-nakowe):
a) jeden akcelerator przyspiesza czaιstki do energii E1, po czym uderzajaι
one w nieruchomaιtarczeι z lo˙zonaιz takich samych czaιstek,
b) dwa jednakowe akceleratory ustawione saι tak, ˙ze wybiegajaιce z nich
czaιstki biegnaιsobie naprzeciw, przy czym ka˙zdy akcelerator rozpeιdza
czaιstki do energii E2< E1.
Por´owna´c warto´sci E1 i E2.
Odpowied´z: E1= m0c2 r 1 −V 2 c2 = m0c2 " 2 E 2 m0c2 2 − 1 # , gdzie V = 2v 1 + (v2/c2). W przypadku gdy E2 m0c2 E1= 2E2 2 m0c2 . Dwie przeciwbie˙zne wiaιzki elektron´ow (m0c
2 ' 0, 5 MeV) o energii
E2 = 50 MeV ka˙zda spowodujaι ten sam efekt jak jedna wiaιzka
elek-tron´ow o energii E1 = 10 GeV (= 200 E2) uderzajaιca w nieruchomaι
Rozdzia l 2
Promieniowanie cia la
doskonale czarnego
2.1
Wste
ιp
1. Stosunek zdolno´sci emisyjnej dowolnego cia la do jego zdolno´sci absorp-cyjnej jest sta ly i r´owny zdolno´sci emisyjnej cia la doskonale czarnego (prawo Kirchhoffa).
E(λ, T )
A(λ, T ) = EC(λ, T ) ; (2.1)
z definicji cia la doskonale czarnego jego zdolno´s´c absorpcyjna AC= 1 .
2. Wz´or Plancka na rozk lad energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego E(λ, T ) = 2πhc 2 λ5 1 exp hc λkT − 1 , (2.2)
gdzie T jest temperaturaι cia la doskonale czarnego, λ - d lugo´s´c fali promieniowania, c - preιdko´s´c fali elektromagnetycznej w pr´o˙zni, k - sta la Boltzmanna.
Rys. 2-1 Wykres funkcji E (λ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego dla r´o˙znych temperatur cia la w
zale˙zno´sci od d lugo´sci λ emitowanej fali.
2.2
Zadania
2.2.1. Znale´z´c ilo´s´c energii wypromieniowanej przez S lo´nce, jaka przechodzi w ciaιgu jednej sekundy przez powierzchnieι r´ownaι 1 m
2 ustawiona
ι
prostopadle do biegu promieni w odleg lo´sci r´ownej ´sredniej odleg lo´sci Ziemi od S lo´nca. Za lo˙zy´c, ˙ze powierzchnia S lo´nca emituje energieι jak
cia lo doskonale czarne.
Rozwiaιzanie: Za l´o˙zmy, ˙ze energia E11, kt´oraι wypromieniowuje
jednostka powierzchni S lo´nca w ciaιgu jednej sekundy jest jednakowa dla
ca lej jego powierzchni. Je´sli przyjaι´c, ˙ze S lo´nce jest kulaι o promieniu R,
to w ciaιgu jednej sekundy ca la powierzchnia S lo´nca emituje w pe lny kaιt
bry lowy energieι
E1= 4πR2E11. (1)
W jednostkowy kaιt bry lowy emitowana jest w ciaιgu jednej sekundy energia
EΩ1=
E1
4π = E11R
Kaιt bry lowy odpowiadajaιcy elementowi powierzchni ∆S umieszczonemu prostopadle do biegu promieni w odleg lo´sci L od S lo´nca
Ω∆S=
∆S
L2 . (3)
Ca lkowita energia przechodzaιca przez teι powierzchnieι w ciaιgu jednej sekundy
E∆S= EΩ1Ω∆S = E1
∆S
4πL2 . (4)
Na jednostkeιtej powierzchni pada w ciaιgu jednej sekundy ilo´s´c energii
E11= E∆S ∆S = R L 2 E11. (5)
Poniewa˙z za lo˙zyli´smy, ˙ze S lo´nce promieniuje energieι jak cia lo doskonale
czarne, wieιc zwiaιzek mieιdzy ca lkowitaιilo´sciaιenergii wypromieniowanej w
ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeιpowierzchni S lo´nca i jej temperaturaι
T otrzymamy ca lkujaιc wyra˙zenie na rozk lad energii w widmie cia la
doskonale czarnego E (λ, T ) wzgleιdem λ po ca lym zakresie widma
E11= Z ∞ 0 E(λ, T )dλ = 2πhc2Z ∞ 0 1 exp hc λkT − 1 · dλ λ5 = 2π5 15 k4 h3c2T 4; (6) lub E11= σT4, (7)
gdzie σ = 5, 67 · 10−8 (W/m2)K−4 jest sta la
ιStefana. Korzystajaιc z (5) i
(7) - (prawo Stefana-Boltzmanna) mamy
E11= σ
R L
2
T4. (8)
Podstawiajaιc dane liczbowe (R = 6, 95 · 108 m i L = 1, 49 · 1011 m)
otrzymujemy przyjmujaιc T = 5760 K E11= 1374 W/m
2
. (9)
Wyliczona wielko´s´c nosi nazweι sta lej s lonecznej, S.
2.2.2. Obliczy´c o ile zmienia sieι w ciaιgu jednej sekundy masa S lo´nca w wyniku
emisji promieniowania. Za lo˙zy´c, ˙ze S lo´nce promieniuje jak cia lo doskonale czarne.
Rozwiaιzanie: Powierzchnia S lo´nca w ciaιgu jednej sekundy wysy la energieι
gdzie r jest promieniem S lo´nca, E11 za´s ilo´sciaιenergii emitowanej przez 1
m2 powierzchni S lo´nca w cia
ιgu jednej sekundy, przy czym
E11= σT4. (2)
W wyra˙zeniu (2) T oznacza temperatureι powierzchni S lo´nca, σ za´s jest
sta laιr´ownaι 5, 67 · 10
−8 (W/m)2)K−4. Po podstawieniu (2) do (1)
otrzy-mujemy
E1= 4πr2σT4. (3)
Korzystajaιc ze zwiaιzku: E = mc
2 mamy m1= E1 c2 = 4πσ c2 r 2T4. (4)
Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy m1= 4, 5 · 109kg/s,
co w por´ownaniu z masaιS lo´nca, kt´ora jest r´owna 2·1030kg, jest warto´scia
ι
bardzo ma laι.
2.2.3. Kulkeι o promieniu R zawieszono na nici beιdaιcej z lym przewodnikiem
ciep la. Ca lo´s´c umieszczono w naczyniu, z kt´orego odpompowano powietrze. Kulka promieniuje energieι jak cia lo doskonale czarne nie
poch laniajaιc przy tym ˙zadnej energii. Po jakim czasie temperatura kulki
obni˙zy sieι od temperatury poczaιtkowej T1 do temperatury T2? Geιsto´s´c
materia lu, z kt´orego wykonana jest kulka wynosi ρ.
Rozwiaιzanie: Ca lkowita ilo´s´c energii wypromieniowanej w ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeι powierzchni cia la doskonale czarnego o temperaturze T jest r´owna (wz´or (7) z zadania 2.2.1)
E11= σT4. (1)
W ciaιgu jednej sekundy ca la powierzchnia kulki wypromieniowuje energieι
E1= 4πR2σT4. (2)
W ciaιgu czasu dt temperatura kulki obni˙zy sieι o warto´s´c dT , przy czym
kulka straci energieι
E1dt = −mckdT , (3)
gdzie m jest masaιkulki, ck - ciep lo w la´sciwe materia lu kulki. Z (2) i (3)
mamy dt = − mck 4πR2σ dT T4 , (4) a zatem t = − mck 4πR2σ Z T2 T1 dT T4 = mck 12πR2σ 1 T3 2 − 1 T3 1 . (5)
Ale m = 4 3πρR 3, (6) wieιc t = ckρR 9σ 1 T3 2 − 1 T3 1 = ρckR 9σT3 2 " 1 − T2 T1 3# . (7)
Dla T1 T2 wyra˙zenie (7) mo˙zna upro´sci´c i otrzymujemy
t = ρckR 9σ · 1 T3 2 . (8)
Dla kulki ˙zelaznej (ρ = 7, 9·103kg/m3, ck= 4, 6·102J/(kg K)) o promieniu
R = 0, 1 m, dla temperatur T1= 1500 K i T2 = 300 K otrzymujemy czas
ostygania t = 7, 3 godz.
Je´sli powierzchnia kulki jest szara (zdolno´s´c absorpcyjna A nie jest funkcjaι
d lugo´sci fali absorbowanego promieniowania: zdolno´s´c emisyjna jest r´owna zdolno´sci absorpcyjnej A) to
t = ρckR 9σT3 2 " 1 − T2 T1 3# . (9)
2.2.4. ´Srednia temperatura cia la ludzkiego wynosi 310 K. Okre´sli´c d lugo´s´c fali promieniowania λmax wysy lanego przez cz lowieka, odpowiadajaιcaι
maksimum funkcji rozk ladu emitowanej przez niego energii. Przyjaι´c, ˙ze
cia lo ludzkie promieniuje jak cia lo doskonale czarne.
Rys. 2-2 Zale˙zno´s´c funkcji E (λ, T ) rozk ladu energii w widmie promieniowania cia la doskonale czarnego, λmax jest warto´sciaιd lugo´sci
Rozwiaιzanie: Zale˙zno´s´c mieιdzy λmax i T znajdujemy z r´ownania dE (λ, T ) dλ = 0 , (1) gdzie E(λ, T ) = 2πhc 2 λ5 1 exp hc λkT − 1 (2)
jest wzorem Plancka dajaιcym rozk lad energii w widmie cia la doskonale
czarnego. Podstawiajaιc (2) do (1) i wykonujaιc r´o˙zniczkowanie otrzymu-jemy r´ownanie −5 λ6exp hc λkT − 1 + hc kT exp hc λkT λ7 exp hc λkT − 1 2 = 0 . (3)
Po podstawieniu do (3) zmiennej pomocniczej hc
λkT = x (4)
i uporzaιdkowaniu r´ownania otrzymamy xex
ex− 1 = 5 . (5)
R´ownanie przesteιpne (5) mo˙zna rozwiaιza´c na przyk lad metodaιgraficznaι
(przyk lad rozwiaιzania r´ownania przesteιpnego w zadaniu (6.2.7)), skaιd
otrzymuje sieι warto´s´c xmax= 4, 965, a wieιc
λmax=
hc 4, 965 kT '
2, 9
T mm K ; (prawoWiena) . (6) Podstawiajaιc T = 310 K dostajemy d lugo´s´c fali λmax = 9, 5 · 10−6 m
le˙zaιcaιw bliskiej podczerwieni.
2.2.5. Ca lkowita ilo´s´c energii promieniowania o d lugo´sciach fali zawartych w przedziale (λ0, ∞) emitowanego w ciaιgu jednej sekundy przez jednostkeι
powierzchni cia la promieniujaιcego energieι jak cia lo doskonale czarne, wynosi P . Znale´z´c temperatureι tego cia la wiedzaιc, ˙ze λ0 jest znacznie
wieιksze od d lugo´sci fali λmax odpowiadajaιcej maksimum funkcji rozk ladu
energii E (λ, T ) w widmie cia la doskonale czarnego.
Rozwiaιzanie: Ze wzoru Plancka na zdolno´s´c emisyjnaι cia la doskonale
czarnego mamy ε(ν, T ) = 2πh c2 ν3 exp hν kT − 1 , ν = c λ . (1)
Ca lkowita moc promieniowania o czeιsto´sciach z przedzia lu (0, ν0),
odpowiadajaιcego przedzia lowi (λ0, ∞), wysy lanego przez jednostkeι
powierzchni cia la doskonale czarnego
P = Z ν0 0 ε(ν, T )dν = (2) = 2πh c2 Z ν0 0 ν3 exp hν kT − 1 dν . (3)
Dla λ λmax (co odpowiada niskim czeιsto´sciom, takim ˙ze hν kT )
mo˙zemy rozwinaι´c w szereg funkcjeιwysteιpujaιcaιw mianowniku wyra˙zenia podca lkowego. Dostajemy w´owczas
exp hν kT − 1 ' 1 + hν kT · · · − 1 ' hν kT . (4) Podstawiajaιc (4) do (3) otrzymamy P = 2πh c2 Z ν0 0 kT h ν 2dν = 2 3π kT c2ν 3 0= 2 3π ckT λ3 0 , (5) a zatem T = 3 2π λ3 0P ck . (6)
Zak ladajaιc, ˙ze mierzymy emitowanaι energieι w przedziale d lugo´sci fali
powy˙zej λ0= 2 · 10−5m i ˙ze P = 0, 313 W/m2, otrzymujemy temperatureι
´zr´od la T = 2890 K (λmax dla cia la o tej temperaturze beιdzie r´owne 10
−6
m, to znaczy, ˙ze relacja λ λmax warunkujaιca s luszno´s´c stosowania
wzoru (6) nie jest spe lniona i znalezionaιwarto´s´c temperatury nale˙zy
trak-towa´c jako orientacyjnaι, co w przypadku tak wysokich temperatur mo˙ze
by´c wystarczajaιce).
2.2.6. Okre´sli´c temperatureιpowierzchni Ziemi zak ladajaιc, ˙ze S lo´nce promieniuje energieι jak cia lo doskonale czarne o temperaturze TS i ˙ze temperatura
Ziemi jest jednakowa na ca lej powierzchni. Rozpatrzy´c dwa przypadki: 1. Ziemia jest cia lem szarym.
2. Ziemia poch lania tylko promieniowanie o czeιsto´sciach z waιskiego przedzia lu czeιsto´sci.
Rozwiaιzanie: Moc promieniowania S lo´nca poch laniana przez Ziemieιjest
r´owna (zad. 2.2.1) Pa = AπR2Zσ RS L 2 TS4, (1)
gdzie L jest ´sredniaι odleg lo´sciaι Ziemi od S lo´nca, RS jest promieniem
S lo´nca, a RZ - promieniem Ziemi; dla cia la szarego zdolno´s´c
absorp-cyjna A nie jest funkcjaι d lugo´sci absorbowanego promieniowania. Moc wypromieniowana przez Ziemieι
Pe= A · 4πR2ZσT 4
Z , (2)
(dla cia la szarego zdolno´s´c absorpcyjna, A, jest r´owna jego zdolno´sci emisyjnej ε). Warunek r´ownowagi termodynamicznej ma posta´c
Pa= Pe, (3) skaιd TZ = r RS 2LTS . (4)
Po podstawieniu danych liczbowych: RS = 7 · 108 m, L = 1, 5 · 1011 m i
TS = 6000 K otrzymamy temperatureι powierzchni Ziemi
TZ ' 290 K. (5)
Warto´s´c ta jest bliska ´sredniej rzeczywistej temperaturze powierzchni Ziemi.
W przypadku gdy Ziemia poch lania promieniowanie selektywnie
∆Pa= πRZ2 2πhc2 λ5 ∆λ exp hc λkTS − 1 RS L 2 , (6)
moc za´s wypromieniowana przez powierzchnieι Ziemi
∆Pe= 4πR2Z 2πhc2 λ5 ∆λ exp hc λkTZ − 1 . (7)
Jak poprzednio, warunek r´ownowagi ma posta´c
∆Pa= ∆Pe, (8) skaιd RS L 2 1 exp hc λkTS − 1 = 4 exp hc λkTZ − 1 . (9)
Rozwiaιzujaιc (9) wzgleιdem TZ otrzymujemy
TZ= hc λk 1 ln ( 2L RS 2 exp hc λkTS − 1 + 1 ) . (10)
Podstawienie w miejsce λ d lugo´sci fali λmax odpowiadajaιcej maksimum
funkcji rozk ladu energii E (λ, T ) w widmie promieniowania S lo´nca, pozwala znacznie upro´sci´c wyra˙zenie (10). Poniewa˙z
exp
hc
λmaxkTS
= exp(4, 965) 1 , wieιc jedynkeι w wyra˙zeniu
exp hc λkTS − 1
mo˙zna zaniedba´c. Poniewa˙z r´ownie˙z (2L/RS)2 1, to mo˙zna tak˙ze
zaniedba´c jedynkeι w mianowniku wyra˙zenia (10) wysteιpujaιcaιpoza
naw-iasem kwadratowym. Uproszczone wyra˙zenie (10) ma posta´c TZ = TS 4, 965 2 ln 2L RS + 4, 965 ' 0, 29 TS. (11)
Podstawiajaιc TS = 6000 K otrzymujemy TZ = 1743 K. Wida´c, ˙ze
za lo˙zenie i˙z Ziemia jest cia lem szarym jest bardziej poprawne.
2.3
Cwiczenia
´
2.3.1. W ba´nce opr´o˙znionej z powietrza umieszczono drucik wolframowy o ´srednicy d = 0, 1 mm. Jakie powinno by´c nateι˙zenie praιdu elektrycznego
p lynaιcego przez drucik, aby jego temperatura T = 2000 K by la sta la?
Zak ladamy, ˙ze w l´okno wypromieniowuje energieιjak cia lo doskonale czarne i ˙ze straty cieplne spowodowane przewodnictwem ciep la mo˙zna pominaι´c. Op´or w la´sciwy drutu ρ = 5, 5 · 10−8 Ωm.
Odpowied´z: i = πdT 2 2 s dσ ρ ' 6, 4 A.
2.3.2. Temperatura cia la doskonale czarnego wynosi t1 = 127◦C. Po
podwy˙zszeniu temperatury ca lkowita moc wypromieniowywana przez cia lo wzros la n - krotnie. O ile stopni wzros la przy tym temperatura cia la?
Odpowied´z:
∆T = T1 4
√
n − 1 ' 75, 6 K dla n = 2 .
2.3.3. Sta la s loneczna, to znaczy ilo´s´c energii promieniowania s lonecznego, kt´ora przechodzi w ciaιgu jednej sekundy przez powierzchnieι 1 m2 ustawiona
ι
granicy atmosfery), wynosi 1374 W/m2. Zak ladaja
ιc, ˙ze S lo´nce
promieni-uje jak cia lo doskonale czarne okre´sli´c temperatureι jego powierzchni. Odpowied´z: T = 4 s L R 2 1374 σ ' 5760 K ,
gdzie L - ´srednia odleg lo´s´c Ziemia - S lo´nce, R - promie´n S lo´nca. 2.3.4. Z otworu w piecu o powierzchni S = 10 cm2emitowana jest w cia
ιgu t = 10
minut energia E r´owna 250 kJ. W jakiej czeι´sci widma le˙zy d lugo´s´c fali, na kt´oraιprzypada maksimum funkcji rozk ladu energii promieniowania? Odpowied´z: λmax= b 4 r σtS E ' 1, 76 · 10 −6m ; b−sta laWiena .
2.3.5. Korzystajaιc ze wzoru Plancka znale´z´c ´sredniaι d lugo´s´c fali w widmie
promieniowania S lo´nca. Temperatura powierzchni S lo´nca TS = 5760 K.
Wskaz´owka: λ = R∞ 0 λE (λ, T )dλ R∞ 0 E(λ, T )dλ .
Podstawi´c nowaι zmiennaιx = hc/(λkT ) i skorzysta´c z wyliczonych ca lek
oznaczonych
Z ∞
0
xn−1
exp(x) − 1dx = Γ(n) ζ(n) ,
gdzie Γ(n) jest funkcjaιgamma, kt´ora dla naturalnych warto´sci argumentu
ma posta´c Γ(n) = (n − 1)! , ζ(n) jest funkcjaιdzeta Riemanna
1 ζ(n) = ∞ X s=1 1 sn = π3 25, 794 = 1, 202 dla n = 3 π4 90 = 1, 082 dla n = 4 . Odpowied´z: λ = 0, 37hc kT ' 9, 3 · 10 −7m .
2.3.6. Ziemia wypromieniowuje w ciaιgu jednej minuty z 1 m
2powierzchni ´srednio
energieι r´ownaι E = 5460 J. Jaka musi by´c temperatura cia la doskonale
czarnego, kt´ore wypromieniowuje takaιsamaιilo´s´c energii? Odpowied´z: T = 4 r E 60σ ' 200 K ' −73 ◦C .
1W lasno´sci funkcji dzeta Riemanna: I.M.Ry˙zyk, I.S.Gradsztein: Tablice ca lek, sum,
sz-ereg´ow i iloczyn´ow. PWN Warszawa, 1964; s.449 §7.4. Warto´sci funkcji dzeta dla niekt´orych warto´sci argumentu s.454 §8.3.
2.3.7. Sprawdzi´c, ˙ze ze wzoru Plancka na rozk lad energii w widmie promieniowa-nia cia la doskonale czarnego mo˙zna otrzyma´c wzory Wiena (gdy hν kT ) i Rayleigha-Jeansa (dla hν kT ). Odpowied´z: Wz´or Wiena (hν kT ): ε(ν, T ) = 2πh c2 ν 3exp −hν kT , wz´or Rayleigha-Jeansa (hν kT ): ε(ν, T ) = 2π c2kT ν 2.
2.3.8. Znajaιc warto´s´c sta lej s lonecznej E11 = 1374 W/m
2 oszacowa´c moc
promieniowania S lo´nca. Odpowied´z:
P = 4πL2E11' 3, 8 · 1026W ,
gdzie L - ´srednia odleg lo´s´c Ziemi od S lo´nca.
2.3.9. Znale´z´c temperatureι powierzchni p lytki umieszczonej poza granicami at-mosfery ziemskiej, ustawionej prostopadle do padajaιcych na niaιpromieni s lonecznych. Zdolno´s´c absorpcyjna p lytki A = 1.
Odpowied´z:
T =r E4 11
σ ' 393 K ' 120
◦C ,
gdzie E11- sta la s loneczna.
2.3.10. Temperatura powierzchni gwiazdy, wyznaczona na podstawie widma jej promieniowania zmierzonego poza atmosferaι Ziemi, wynosi T = 12000
K. Czy mo˙zna okre´sli´c teιtemperatureι z pomiar´ow widma wykonanych na
poziomie morza je˙zeli wiadomo, ˙ze atmosfera ziemska poch lania ca lkowicie promieniowanie o d lugo´sci fali mniejszej od 2, 9 · 10−7 m?
Odpowied´z:
Nie mo˙zna, poniewa˙z λmax=
2, 9 T · 10
−3m·K ' 2, 42 · 10−7m .
2.3.11. W ˙zar´owce elektrycznej w l´okno wolframowe o ´srednicy d = 5 · 10−3 mm nagrzewa sieι w czasie ´swiecenia lampy do temperatury T1 = 2700 K. Po
jakim czasie od chwili wy laιczenia dop lywu praιdu do lampy temperatura
w l´okna obni˙zy sieι do T2 = 300 K? Za lo˙zy´c, ˙ze w l´okno promieniuje jak
cia lo szare o zdolno´sci absorpcyjnej A = 0, 3. Zaniedba´c inne sposoby utraty ciep la przez w l´okno.
Odpowied´z: τ =ρwcwd 12Aσ 1 T3 2 − 1 T3 1 ' 2, 6 s ,
gdzie ρw= 19 · 103 kg/m3 - geιsto´s´c wolframu, a cw= 1, 5 · 10
2 J/(kg K)
Rozdzia l 3
Teoria kinetyczna gaz´
ow
3.1
Wste
ιp
1. Liczba drobin gazu doskona lego o energii le˙zaιcej w przedziale (E, E + dE)
jest okre´slona wyra˙zeniem dE(E) = N√2
π(kT )
−3/2E1/2exp(− E
kT)dE = N f (E)dE , (3.1) gdzie T jest temperaturaι bezwzgleιdnaι gazu, N - liczbaι drobin gazu w
naczyniu; f (E) jest funkcjaι rozk ladu energii drobin gazu, przy czym
zak ladamy, ˙ze
Z ∞
0
f (E)dE = 1 , (3.2)
gdzie ca lkowanie rozciaιga sieιna wszystkie mo˙zliwe warto´sci energii.
Rys. 3-1 Wykres funkcji f (E) rozk ladu energii drobin gazu doskona lego w zale˙zno´sci od E (przy ustalonej temperaturze gazu T).
2. Liczbeι drobin gazu o preιdko´sciach ~v le˙zaιcych w przedziale (~v, ~v + d~v) (to znaczy, ˙ze sk ladowe preιdko´sci saιzawarte odpowiednio w przedzia lach (vx, vx+ dvx), (vy, vy+ dvy), (vz, vz+ dvz)) okre´sla wz´or Maxwella
dN (~v) = N m 2πkT 3/2 exp− m 2kT(v 2 x+ v2y+ vz2) dvxdvydvz. (3.3)
Z wyra˙zenia (3.3) mo˙zna otrzyma´c wyra˙zenie okre´slajaιce liczbeι drobin,
kt´orych warto´s´c bezwzgleιdna preιdko´sci le˙zy w przedziale (v, v + dv).
Przechodzaιc od zmiennych kartezja´nskich (x, y, z) do zmiennych
sfer-ycznych (r, ϕ, ϑ) dostajemy, po wykonaniu ca lkowania wzgleιdem kaιt´ow
ϕ i ϑ odpowiednio w przedzia lach (0, 2π) i (0, π), wyra˙zenie dN (v) = 4πN m 2πkT 3/2 v2exp −mv 2 2kT dv = N f (v)dv , (3.4) przy czym f (v) jest funkcjaι rozk ladu warto´sci bezwzgleιdnej preιdko´sci
drobin gazu doskona lego.
Rys. 3-2 Wykres funkcji rozk ladu f (v) warto´sci bezwzgleιdnej preιdko´sci
v drobin gazu doskona lego przy T = const (rozk lad Maxwella). 3. Ci´snienie gazu doskona lego o temperaturze bezwzgleιdnej T
p = nkT , (3.5)
gdzie n jest liczbaι drobin gazu w jednostce objeιto´sci, k jest sta laι Boltz-manna.
4. Warto´s´c ´sredniaι wielko´sci fizycznej a(~q, ~p) - dla uk ladu beιdaιcego w r´ownowadze termodynamicznej - beιdaιcej funkcjaι wsp´o lrzeιdnych uog´olnionych ~q i peιd´ow uog´olnionych ~p mo˙zna znale´z´c mno˙zaιc mo˙zliwe warto´sci tej wielko´sci fizycznej przez odpowiednie prawdopodobie´nstwo w(~q, ~p) wystaιpienia tej wielko´sci i wykonujaιc ca lkowanie lub sumowanie
po wszystkich mo˙zliwych stanach a(~q, ~p) =
Z
gdzie d~q = dq1· · · dq3N, a d~p = dp1· · · dp3N, przy czym
Z
w(~q, ~p)d~qd~p = 1 .
5. Liczba drobin gazu w elemencie objeιto´sci dV = dxdydz, wok´o l punktu o
wsp´o lrzeιdnych x, y, z, dana jest przez wz´or Boltzmanna dN (x, y, z) = n0exp −U (x, y, z) kT dV , (3.7)
gdzie U (x, y, z) jest energiaι potencjalnaι drobiny znajdujaιcej sieι w zewneιtrznym polu si l, n0 jest liczbaι drobin w jednostce objeιto´sci w
punktach, w kt´orych U (x, y, z) = 0.
Rys. 3-3 Elementarna objeιto´s´c dx dy dz otaczajaιca punkt o wsp´o lrzeιdnych (x, y, z).
6. R´ownanie Newtona dla si ly tarcia wewneιtrznego (lepko´sci) w przypadku jednowymiarowym (v = v(x))
dF = −ηdv
dxdS , (3.8)
gdzie dS jest elementem powierzchni stykajaιcych sieι warstw gazu
poruszajaιcych sieι z r´o˙znymi co do warto´sci preιdko´sciami, na kt´ory jest
wywierana si la dF ; dv/dx jest gradientem preιdko´sci ruchu warstwy w
kierunku x prostopad lym do powierzchni warstwy, η - wsp´o lczynnikiem tarcia wewneιtrznego (lepko´sci) r´ownym co do warto´sci sile tarcia mieιdzy
dwiema warstwami gazu o jednostkowej powierzchni styku, gdy gradient preιdko´sci jest r´owny jedno´sci, przy czym
η = 1
3ρvλ , (3.9)
gdzie ρ jest geιsto´sciaι gazu, v - ´sredniaι warto´sci bezwzgleιdnej preιdko´sci
3.2
Zadania
3.2.1. Przy otrzymywaniu bardzo niskich ci´snie´n nale˙zy w trakcie odpom-powywania gazu ze zbiornika podgrzewa´c jego ´scianki w celu oderwania od powierzchni ´scianek zbiornika zaadsorbowanych na nich drobin gazu. Znale´z´c przyrost ci´snienia w kulistym zbiorniku o promieniu r, z kt´orego odpompowywano gaz bez podgrzewania, spowodowany oderwaniem sieι
od ´scianki naczynia (po zamknieιciu zbiornika) zaadsorbowanych na niej
drobin gazu. Za lo˙zy´c, ˙ze ca la powierzchnia wewneιtrzna ´scianki naczynia
by la pokryta monomolekularnaι warstwaι drobin gazu. Powierzchnia
zajmowana przez drobineι gazu na powierzchni ´scianki wynosi S1.
Tem-peratura gazu w zbiorniku wynosi T .
Rozwiaιzanie: Na ´sciance naczynia by lo zaadsorbowanych
N = S S1 = 4πr 2 S1 (1) drobin gazu. Zwiaιzek mieιdzy przyrostem ci´snienia gazu w zbiorniku
spowodowanym przez te drobiny i ilo´sciaι oderwanych od ´scianki drobin
zawartych w jednostce objeιto´sci ma posta´c
∆p = nkT = N VkT , (2) gdzie V = 4 3πr 3 (3)
jest objeιto´sciaι zbiornika. Podstawiajaιc (1) i (3) do wyra˙zenia (2)
otrzy-mujemy przyrost ci´snienia
∆p = 3kT rS1
. (4)
Przy temperaturze gazu w zbiorniku T = 300 K, powierzchni S1
zaj-mowanej przez jednaι drobineι r´ownej 1 · 10
−19m2 i promieniu zbiornika
r = 0, 1 m otrzymujemy
∆p ≈ 1, 24 |rmP a (ok. 1 · 10−2mmHg) . (5) Oznacza to, ˙ze po odpompowaniu zbiornika do ci´snienia p0 = 1 Pa bez
wygrzewania ´scianek i zamknieιciu zbiornika, po pewnym czasie wskutek
dzia lania czynnik´ow zewneιtrznych (takich jak promieniowanie,
bombar-dowanie ´scianek naczynia przez drobiny, lokalne zmiany temperatury) drobiny gazu oderwaι sieι od powierzchni ´scianek i ustali sieι w zbiorniku
ci´snienie gazu beιdaιce sumaιci´snienia p0 i przyrostu ci´snienia ∆p.Warto´s´c
ci´snienia w zbiorniku beιdzie wieιc prawie dwukrotnie wy˙zsza od ˙zaιdanego ci´snienia p0.
3.2.2. W du˙zym zbiorniku z tlenem umieszczono odgazowany cienki drut metalowy. Zak ladajaιc, ˙ze ka˙zda drobina tlenu trafiajaιc w drut jest ad-sorbowana na jego powierzchni, obliczy´c, ile czasu potrzeba dla pokrycia drutu monomolekularnaιwarstwaιtlenu, je˙zeli ci´snienie w zbiorniku wynosi 1 Pa, a temperatura T = 300 K. Przyjaι´c, ˙ze ka˙zda drobina tlenu zajmuje na powierzchni drutu powierzchnieι S
0= 1 · 10−19m2. Masa drobiny tlenu
mO2 = 5, 3 · 10
−26kg.
Rozwiaιzanie: Czas t potrzebny do pokrycia drutu znajdziemy
dzielaιc ca laιpowierzchnieιdrutu S przez powierzchnieι S1pokrywanaιprzez
drobiny tlenu w ciaιgu jednej sekundy
t = S S1
, (1)
gdzie
S1= N1S0. (2)
W wyra˙zeniu (2) N1 jest liczbaι drobin gazu padajaιcych w ciaιgu jednej
sekundy na powierzchnieι drutu. Ale
N1= N10S , (3)
gdzie N10 jest liczbaι drobin tlenu padajaιcych w ciaιgu jednej sekundy na
jednostkeι powierzchni drutu. Korzystajaιc z rozwiaιzania zadania (3.2.9)
(wz´or (5)) mamy N10 = p(2πmkT )−1/2. (4) Po podstawieniach otrzymujemy t = (2πmkT ) 1/2 pS0 , (5)
to znaczy, ˙ze czas napylania jest odwrotnie proporcjonalny do ci´snienia. Otrzymany wynik pokazuje, ˙ze czas pokrywania drutu warstwaι tlenu nie zale˙zy od wielko´sci pokrywanej powierzchni. Wynik ten jest prawdziwy przy za lo˙zeniu, ˙ze stosunek liczby drobin potrzebnych do pokrycia powierzchni drutu, do liczby drobin zawartych w ca lej objeιto´sci naczynia jest znacznie mniejszy od jedno´sci. Przy takim za lo˙zeniu ci´snienie gazu w zbiorniku jest w przybli˙zeniu sta le w czasie adsorpcji. Przy rozwiaιzywaniu
zadania nale˙zy za lo˙zy´c te˙z, ˙ze ka˙zda drobina pada tylko na niepokrytaι
jeszcze powierzchnieι drutu.
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy t ≈ 4 · 10−4s .
3.2.3. W zamknieιtym zbiorniku znajdujaι sieι dwie r´ownoleg le do siebie p lytki, z kt´orych jedna jest utrzymywana w temperaturze T1, natomiast druga
p lytka ma temperatureιT2, takaιjak ´scianki naczynia. Znale´z´c wypadkowaι
si leι, z jakaιdzia la gaz znajdujaιcy sieιw zbiorniku na p lytkeιo temperaturze T2.
Rys. 3-4 Zasada dzia lania absolutnego manometru Knudsena do pomiaru bardzo niskich ci´snie´n. P lytka 2 o temperaturze T2 mo˙ze
obraca´c sieι wok´o l osi OO0.
Rozwiaιzanie: Rozpatrzmy przypadek, gdy ´srednia droga swobodna
drobin gazu λ w zbiorniku jest znacznie wieιksza od rozmiar´ow zbiornika (w takim przypadku zderzenia mieιdzy drobinami saι bardzo ma lo praw-dopodobne). Obszar mieιdzy p lytkaι o temperaturze T2 i ´sciankaι
naczy-nia mo˙zna opisa´c przez podanie temperatury gazu T2 i liczby drobin
za-wartych w jednostce objeιto´sci n0. Ci´snienie gazu wywierane na p lytkeι
przez drobiny gazu zawarte mieιdzy ´sciankaιzbiornika i p lytkaιjest r´owne
p0= n0kT2. (1)
W obszarze mieιdzy p lytkami mo˙zemy wyr´o˙zni´c ze wzgleιdu na ´sredniaι
preιdko´s´c dwa rodzaje drobin: drobiny, kt´ore majaι ´sredniaι preιdko´s´c odpowiadajaιcaι temperaturze T1, i drobiny, kt´orych ´srednia preιdko´s´c
odpowiada temperaturze T2. Ci´snienie wywierane na p lytkeι o
temper-aturze T2 przez gaz zawarty mieιdzy p lytkami jest r´owne sumie ci´snie´n
wywieranych przez ka˙zdy rodzaj drobin oddzielnie (prawo Daltona) p = p1+ p2= n1kT1+ n2kT2, (2)
gdzie n1 i n2 saι koncentracjami drobin, kt´orych ´srednie preιdko´sci
odpowiadajaι temperaturom T1 i T2. Poniewa˙z w warunkach r´ownowagi
termodynamicznej drobiny gazu nie gromadzaι sieι w ˙zadnej czeι´sci naczynia, wieιc w obszarze mieιdzy p lytkami strumie´n drobin jednego
rodzaju (kt´orych ´srednia preιdko´s´c wynosi v1), to znaczy liczba drobin
przechodzaιcych w ciaιgu jednej sekundy przez dowolnaι powierzchnieι, beιdzie r´owny przeciwnie skierowanemu strumieniowi drobin drugiego rodzaju (o ´sredniej preιdko´sci v2), zatem
n1v1= n2v2. (3)
Korzystajaιc z wyra˙zenia na warto´s´c ´sredniaι preιdko´sci drobin gazu
(zadanie 3.2.7) v = √2 π 2kT m 1/2 , (4) otrzymujemy v1 v2 = T1 T2 1/2 . (5)
Warunkiem r´ownowagi mieιdzy gazem zawartym w obszarze mieιdzy p lytkami i gazem w pozosta lej czeι´sci zbiornika jest zale˙zno´s´c
n1v1+ n2v2= n0v0, (6)
to znaczy liczba drobin wylatujaιcych z obszaru mieιdzy p lytkami przez
dowolnaι powierzchnieι w ciaιgu jednostki czasu jest r´owna liczbie drobin
wlatujaιcych do tego obszaru.
Z r´owna´n (3) i (6) po uwzgleιdnieniu, ˙ze v0= v2, otrzymamy
n1v1= n2v2= 1 2n0v0, (7) skaιd n2= 1 2n0 (8) i n1= 1 2n0 v2 v1 = 1 2n0 T2 T1 1/2 . (9) Podstawiajaιc (8) i (9) do (2) otrzymujemy p = 1 2n0kT2+ 1 2n0kT1 T2 T1 1/2 =1 2n0kT2 1 + r T1 T2 ! . (10)
Wypadkowa si la dzia lajaιca na jednostkeι powierzchni p lytki o
temper-aturze T2 wynosi F = p − p0= 1 2n0kT2 r T1 T2 − 1 ! =p0 2 r T1 T2 − 1 ! . (11) Dla T1 T2 F = p0 2 r T1 T2 .
Dla T1 > T2 na p lytkeι o temperaturze T2 beιdzie dzia la la si la
wypad-kowa odpychajaιca jaι od p lytki o temperaturze T1, dla T1 < T2 zwrot
tej si ly beιdzie przeciwny. Poniewa˙z wielko´s´c tej si ly jest wprost propor-cjonalna do ci´snienia gazu w naczyniu, wieιc w przypadku, gdy p lytka o temperaturze T2mo˙ze sieιobraca´c, mo˙zna z pomiaru kaιta skreιcenia p lytki
mierzy´c ci´snienie panujaιce w zbiorniku. Z pomocaιpr´o˙zniomierza
Knud-sena, kt´orego dzia lanie oparte jest na om´owionej zasadzie, mo˙zna mierzy´c ci´snienie bezwzgleιdne, gdy ci´snienie w zbiorniku jest rzeιdu dziesiaιtych
czeι´sci Pa (tysieιczne czeι´sci tora). Dla wy˙zszych ci´snie´n opisane urzaιdzenie
przestaje by´c pr´o˙zniomierzem bezwzgleιdnym.
3.2.4. Znale´z´c warto´s´c najbardziej prawdopodobnaι energii drobin gazu
doskona lego.
Rozwiaιzanie: Warto´s´c najbardziej prawdopodobnaι energii drobin
gazu doskona lego otrzymamy szukajaιc maksimum funkcji rozk ladu
energii drobin gazu f (E), kt´ora dana jest przez wyra˙zenie f (E) = √2 π(kT ) −3/2√E exp −E kT , (1)
gdzie E jest energiaι kinetycznaι drobiny gazu. Szukamy wieιc warto´sci
energii, dla kt´orych jest spe lnione r´ownanie df (E)
dE = 0 . (2)
Rys. 3-5 Wykres funkcji f (E) rozk ladu energii drobin gazu doskona lego. Emax- warto´s´c energii, przy kt´orej funkcja rozk ladu osiaιga maksimum.
Po podstawieniu wyra˙zenia (1) do r´ownania (2) otrzymujemy r´ownanie 1 2√E − √ E kT ! exp −E kT = 0 . (3)
Rozwiaιzaniem r´ownania (3), kt´ore spe lnia warunki zadania, tzn. jest mak-simum funkcji rozk ladu energii, jest wyra˙zenie
Ep=
1
2kT . (4)
3.2.5. Znale´z´c liczbeι drobin gazu doskona lego, kt´ore majaι energieι wieιkszaι od
zadanej warto´sci energii E0, przy czym E0 kT .
Rozwiaιzanie: Liczba drobin, kt´orych energia le˙zy w przedziale
E, E + dE jest dana wyra˙zeniem dN (E) = √2 πN (kT ) −3/2E1/2exp −E kT dE , (1)
a wieιc liczba drobin, kt´orych energia jest wieιksza od energii E0
N (E > E0) = 2 √ πN (kT ) −3/2Z ∞ E0 E1/2exp −E kT dE . (2)
Po wprowadzeniu nowej zmiennej ε = E/kT otrzymamy
N (ε > ε0) = 2 √ πN Z ∞ ε0 ε1/2exp(−ε)dε , (3) gdzie ε0= E0/(kT ).
Ca lkeι (3) (niepe lna funkcja gamma Γ
3
2, ε0) dla ε0 1 mo˙zna
przed-stawi´c w postaci rozwinieιcia asymptotycznego
1 Z ∞ ε0 ε1/2exp(−ε)dε = exp(−ε0)ε 1/2 0 " 1 + 1 2ε0 +X n=2 (−1)n+1(2n − 3)!! (2ε0)n # , skaιd N (ε > ε0) = 2 √ πN exp(−ε0)ε 1/2 0 " 1 + 1 2ε0 +X n=2 (−1)n+1(2n − 3)!! (2ε0)n # , (4) gdzie (2n − 3)!! = 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 3) jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych nieparzystych do liczby (2n − 3) w laιcznie.
Dla bardzo du˙zych warto´sci E0mo˙zna z dostatecznaιdok ladno´sciaιzapisa´c
N (E > E0) ' 2 √ πN r E0 kT exp −E0 kT . (5)
1I.S.Gradsztejn, I.M.Ry ˙zik: Tablicy integra lov, sum, rjadov i proizvedenij. G.I.F.M.
Dla gazu znajdujaιcego sieι w temperaturze pokojowej (kT = 0, 025 eV) stosunek liczby drobin, kt´ore majaι energieι wieιkszaι od E0 = 2, 5 eV, do
ca lkowitej liczby drobin
N (E > E0)
N ≈ 4 · 10
−43.
3.2.6. Znale´z´c warto´s´c ´sredniaι energii kinetycznej drobin gazu oraz ciep lo
w la´sciwe jednoatomowego gazu doskona lego o temperaturze T . Rozwiaιzanie: Warto´s´c ´srednia energii
E = R∞ 0 Ef (E)dE R∞ 0 f (E)dE , (1) gdzie N f (E)dE = dN (E) = √2 πN (kT ) −3/2E1/2exp −E kT dE (2)
jest liczbaι drobin gazu, kt´orych energia kinetyczna zawarta jest w przedziale (E, E + dE). Podstawiajaιc wyra˙zenie (2) do (1) mamy
E = R∞ 0 E 3/2exp (−E/kT ) dE R∞ 0 E 1/2exp (−E/kT ) dE = 3 2kT . (3)
Ca lki w wyra˙zeniu (3) obliczamy korzystajaιc ze wzor´ow (8) i (13) Uzupe lnienia II. Temperatura bezwzgleιdna, jak wida´c z wyra˙zenia (3), jest miaraι´sredniej energii kinetycznej ruchu posteιpowego drobin jednoato-mowego gazu doskona lego.
Ciep lo w la´sciwe gazu doskona lego z lo˙zonego z drobin jednoatomowych znajdziemy korzystajaιc z definicji
cv= ∂U ∂T V =const , (4)
gdzie U jest energiaιwewneιtrznaιuk ladu. Dla naszych za lo˙ze´n U = Ekin.
Uwzgleιdniajaιc (3) mamy
U =3
2N kT , (5)
gdzie N jest liczbaι drobin gazu w jednostce masy gazu. Po wykonaniu
r´o˙zniczkowania wyra˙zenia (5) wzgleιdem T przy sta lej objeιto´sci V mamy
cv=
3
2N k . (6)
Ciep lo w la´sciwe jednego kilomola gazu otrzymamy k ladaιc N = NA, skaιd
po uwzgleιdnieniu, ˙ze NAk = R (sta la gazowa) otrzymujemy
Cv=
3
2R ≈ 12471 J
3.2.7. Znale´z´c warto´s´c ´sredniaιpreιdko´sci drobin gazu doskona lego.
Rozwiaιzanie: Korzystajaιc z wyra˙zenia na warto´s´c ´sredniaι wielko´sci fizycznej otrzymujemy v = R∞ 0 vf (v)dv R∞ 0 f (v)dv , (1)
gdzie f (v) jest funkcjaιrozk ladu warto´sci bezwzgleιdnej preιdko´sci v drobin
gazu doskona lego (rozk lad Maxwella) f (v) = 4π m 2πkT 3/2 v2exp −mv 2 2kT . (2) Poniewa˙z Z ∞ 0 f (v)dv = 1 , (3) wieιc v = 4π m 2πkT 3/2Z ∞ 0 v3exp −mv 2 2kT dv , (4) skaιd v =√2 π 2kT m 1/2 = √2 πvp, (5)
gdzie vpjest warto´sciaιnajbardziej prawdopodobnaιpreιdko´sci drobin gazu.
Podstawiajaιc dane liczbowe dla drobin wodoru H2 (mH2 = 2 · 1, 67 ·
10−27kg) w temperaturze T = 300 K otrzymamy
v = 1780 m/s . (6)
Otrzymana warto´s´c preιdko´sci jest oko lo cztery razy mniejsza od pierwszej preιdko´sci kosmicznej i oko lo dwa razy wieιksza od preιdko´sci poczaιtkowej
pocisku wystrzelonego z broni strzeleckiej.
3.2.8. W zbiorniku znajduje sieι w r´ownowadze termodynamicznej mieszanina dw´och r´o˙znych gaz´ow o masach drobinowych M1 i M2. Znale´z´c warto´s´c
´sredniaιpreιdko´sci wzgleιdnej vrdw´och r´o˙znych drobin mieszaniny.
Rozwiaιzanie: W mieszaninie gaz´ow beιdaιcych w r´ownowadze ter-modynamicznej, ka˙zdy ze sk ladnik´ow mieszaniny ma maxwellowski rozk lad preιdko´sci odpowiadajaιcych wsp´olnej temperaturze i masie
drobinowej danego sk ladnika mieszaniny, to znaczy, ka˙zdy gaz zachowuje sieι tak, jak gdyby innych sk ladnik´ow nie by lo.
Warto´s´c ´sredniaι preιdko´sci drobin gazu A (o masie drobinowej M1)
wzgleιdem drobin gazu B (o masie drobinowej M2) otrzymamy u´sredniajaιc
preιdko´s´c wzgleιdnaιdw´och drobin vrwzgleιdem funkcji rozk ladu obu typ´ow
drobin; otrzymamy vr=
R R R d ~v1R R R d ~v2f ( ~v1)f ( ~v2)vr
R R R d ~v1R R R d ~v2f ( ~v1)f ( ~v2)
gdzie d~vi= dvixdviydviz, za´s
vr=(v1x− v2x)2+ (v1y− v2y)2+ (v1z− v2z)2
1/2
. (2)
Funkcja f (~vi) jest funkcjaι rozk ladu preιdko´sci drobin i-tego gazu
f (~vi) = mi 2πkT 3/2 exp −miv~i 2 2kT ! , (3)
przy czym spe lniony jest zwiaιzek
Z Z Z
f (~vi)d~vi= 1 , (4)
gdzie mi jest masaιdrobiny i-tego gazu w naczyniu. Podstawiajaιc (3) do
(1) i uwzgleιdniajaιc (4) otrzymujemy
vr= (m1m2)3/2 (2πkT )3 Z ∞ 0 dv1x· · · Z ∞ 0 dv2zvrexp − m1v~12+ m2v~22 2kT ! . (5)
Wprowadzimy w miejsce ~v1 i ~v2 preιdko´s´c wzgleιdnaι v~r oraz preιdko´s´c ~V
´
srodka masy drobin A i B w uk ladzie laboratoryjnym. Transformacja ma posta´c ~ vr= ~v1− ~v2 (6) ~ V =m1v~1+ m2v~2 m1+ m2 , (7) skaιd ~ v1= ~V + µ m1 ~ vr, (8) ~ v2= ~V − µ m2 ~ vr, (9)
gdzie µ = m1m2(m1+ m2)−1 jest masaιzredukowanaιpary drobin A i B.
Wyra˙zenie dla energii kinetycznej pary drobin A i B mo˙zna, korzystajaιc
z (8) i (9), zapisa´c w postaci 1 2(m1v~1 2 + m2v~22) = 1 2M ~V 2+1 2µ ~vr 2 , (10)
gdzie (1/2)M ~V2 = (1/2)(m1 + m2)~V2 jest energiaι kinetycznaι pary
drobin poruszajaιcych sieι w uk ladzie laboratoryjnym z preιdko´sciaιV (en-~ ergia kinetyczna ´srodka masy), a (1/2)µ ~vr
2
jest energiaιkinetycznaιruchu wzgleιdnego pary drobin. Poniewa˙z przekszta lcenie (7) i (8) jest
przek-szta lceniem kanonicznym, wieιc
przy czym prawaιstroneι (11) zapiszemy w postaci d~V d ~vr= V2dV sin ϑdϑdϕv2rdvrsin ϑrdϑrdϕr. (12) Podstawiajaιc (12) do (5) otrzymamy vr= (m1m2)3/2 (2πkT )3 Z 2π 0 dϕ Z 2π 0 dϕr Z π 0 sin ϑdϑ Z π 0 sin ϑrdϑr× × Z ∞ 0 V2dV exp −M V 2 2kT Z ∞ 0 vr3exp −µv 2 r 2kT dvr. (13)
Po wykonaniu ca lkowa´n mamy
vr= 8kT πm1 + 8kT πm2 1/2 = v12+ v22 1/2 , (14)
gdzie v1 i v2 saιodpowiednio preιdko´sciami ´srednimi drobin gazu A i B.
W przypadku, gdy w naczyniu znajduje sieιgaz jednorodny, tzn. m1= m2,
to
vr=
√
2v , (15)
przy czym wielko´s´c v jest ´sredniaιpreιdko´sciaι drobin gazu jednorodnego.
3.2.9. Znale´z´c liczbeι drobin gazu doskona lego uderzajaιcych w ciaιgu jednej
sekundy w element powierzchni ∆S ´scianki naczynia. Geιsto´s´c gazu,
temperatureι gazu i maseι drobiny gazu przyjaι´c jako znane.
Rozwiaιzanie: Wybierzmy uk lad wsp´o lrzeιdnych tak, aby o´s Z uk ladu by la prostopad la do powierzchni ∆S i by la skierowana na zewnaιtrz naczynia. W ciaιgu czasu ∆t dobiegnaι do ´scianki naczynia te drobiny, kt´orych odleg lo´sci od ´scianki naczynia nie saι wieιksze od iloczynu sk ladowej preιdko´sci vz, zwr´oconej ku ´sciance i czasu ∆t. Liczbeι zderze´n
drobin gazu w ciaιgu jednej sekundy z powierzchniaι ∆S, przy kt´orych wsp´o lrzeιdne preιdko´sci vz drobin saι zawarte w przedziale preιdko´sci
(vz, vz+ dvz) mo˙zna otrzyma´c mno˙zaιc liczbeι drobin dn(vz) znajdujaιcych
sieι w jednostce objeιto´sci i majaιcych sk ladowaι preιdko´sci vz zawartaι w
przedziale preιdko´sci (vz, vz + dvz) przez objeιto´s´c walca (walec nie musi
by´c bry laιobrotowaι) o podstawie ∆S i wysoko´sci r´ownej 1 · vz
dν(vz) = dn(vz) · 1 · vz· ∆S , (1) gdzie dn(vz) = n m 2πkT 1/2 exp −mv 2 z 2kT dvz. (2)
Wyra˙zenie (2) otrzymamy ca lkujaιc wzgleιdem sk ladowych preιdko´sci vx i
vy wyra˙zenie okre´slajaιce liczbeι drobin zawartych w jednostce objeιto´sci
Rys. 3-6 Schemat do wyliczenia liczby drobin uderzajaιcych w ciaιgu jednostki czasu z preιdko´sciaι~v pod kaιtem ϑ w element powierzchni ∆S. Liczbeι uderze´n w ´sciankeι w ciaιgu 1 s znajdujemy ca lkujaιc dν(vz)
wzgleιdem vz w przedziale preιdko´sci od 0 do +∞ (wybieramy tylko ten
przedzia l ca lkowania, poniewa˙z warto´sciom sk ladowej preιdko´sci vzod −∞
do 0 odpowiadajaιte drobiny, kt´ore biegnaιod ´scianki i w niaιnie uderzajaι)
ν1= n m 2πkT 1/2 ∆S Z ∞ 0 vzexp −mv 2 z 2kT dvz, (3) skaιd ν1= ∆Sn r kT 2πm = (4) = ∆Sp(2πmkT )−1/2= (5) = F∆S(2πmkT )−1/2 , (6)
gdzie p jest ci´snieniem gazu w naczyniu, za´s F∆Sjest si laιwywieranaιprzez
gaz na element powierzchni ´scianki naczynia ∆S. Korzystajaιc z wyra˙zenia
na preιdko´s´c ´sredniaιdrobin gazu (zad. 3.2.7)
v = 2 2kT πm
1/2
(7)
mo˙zna zapisa´c wyra˙zenie (4) w postaci ν1=
1
4nv∆S . (8)
K ladaιc n = 10
25 drobin/m3, ∆S = 10−4m2, otrzymamy dla drobin
wodoru H2w temperaturze T = 300 K (~v ≈ 1, 78 · 103m/s)
