Opis układu i jego własności

Kształt jest z natury rzeczy indywidualną cechą układu, toteż ogólne omówienie jego charakterystyki geometrycznej nie byłoby ani możliwe, ani celowe. Informację taką uzy-skuje się natomiast bez szczególnego trudu (choć może to być czasochłonne, na przykład gdy pragniemy opisać konfigurację dna jeziora), po zdefiniowaniu przedmiotu rozważań.

Z reguły kształt układu (a przynajmniej jego większa część) wyznaczona jest przez rzeczywiście istniejące powierzchnie, tworzące granicę fizyczną (lub brzeg fizyczny).

Brzeg taki może cechować się różnymi własnościami szczególnymi, które obejmują poniższe klasyfikacje:

— brzeg sztywny (który w normalnych warunkach nie zmienia swego kształtu, jak na przykład budowla wodna) oraz brzeg odkształcalny (mogący zmieniać kształt, jak na przykład piaszczyste dno naturalnego zbiornika wody);

— brzeg ruchomy (dla którego dobrze jest wyróżnić dwie kategorie szczegółowe – brzeg zmieniający swe położenie niezależnie od ruchu cieczy, jak na przykład statek lub apa-rat latający z własnym napędem, oraz brzeg poruszający się w sposób wymuszony przez ruch cieczy, jak na przykład łódź dryfująca na powierzchni rzeki) oraz brzeg nie-ruchomy (na przykład ścianka reaktora przepływowego);

— brzeg przepuszczalny (utworzony z materiału porowatego, jak na przykład piaszczyste dno rzeki lub jeziora, umożliwiające przesiąkanie wody) oraz brzeg nieprzepuszczal-ny (czyli szczelnieprzepuszczal-ny, jak na przykład zbiornik z blachy stalowej).

Stosunkowo często mamy jednak do czynienia z takimi sytuacjami, gdy rozważany układ jest rozległy, w porównaniu z tą jego częścią, w której zachodzą rozważane przez nas zjawiska. Poszukiwanie rozwiązania zadania o charakterze lokalnym z uwzględnieniem kształtu całości układu byłoby nie tylko bardzo kosztowne, lecz także obarczone znacznym błędem. Przykładowo, rozważania wpływu falowania morskiego na pracę portu w Gdań-sku, lub ewentualnej budowy zapory na Sanie w rejonie Przemyśla, są w stosunku do całe-go Bałtyku lub odpowiednio Wisły zadaniami o skali lokalnej.

Dla takich przypadków należy w opisie zagadnienia uwzględniać fakt, że przynajmniej część brzegu rozważanego obszaru jest oddalona od interesującego nas rejonu w sposób pozwalający na pominięcie jej wpływu na opisywane zjawisko.

W ujęciu analitycznym pożyteczne jest tu pojęcie nieskończoności. Przykładowo rozważmy proces przemieszczania się plamy ropy naftowej, rozlanej na swobodnej po-wierzchni wody wskutek awarii statku. W przypadku zbiornika bardzo rozległego (jak na przykład akwen morski – rys. 4.1a), którego dno i brzegi są bardzo odlegle, można przyjąć następujące zakresy wartości zmiennych x oraz z:

+∞

<

≤ +∞

<

<

∞

− x , 0 z . (4.1)

Jest to zupełnie inna sytuacja, niż w przypadku zbiornika o ograniczonych rozmiarach (jak na przykład jezioro nieprzepływowe – rys. 4.1b), gdy:

)

) (

(

, _{d g x}

P

L x x z x z z

x ≤ ≤ ≤ ≤ ^{. (4.2.)}

93

Rys. 4.1. Obszar częściowo nieograniczony (a) oraz ograniczony (b)

Pojęcie brzegu nieskończenie odległego nie da się jednak zastosować w takich przypadkach (a są one w technice bardzo częste), gdy do rozwiązania rozważanych równań stosujemy metody numeryczne. Jest to prostą konsekwencją faktu, że numeryczny opis nieskończenie rozległego obsza-ru wymagałby nieskończenie obszernej pamięci maszyny liczącej, co jest waobsza-runkiem niemożliwym do spełnienia. Stosuje się wtedy inne rozwiązania, polegające na wydzieleniu tylko części całego obszaru. Czyni się to wprowadzając granice matematyczne (czyli brzeg matematyczny), stanowią-ce niematerialne powierzchnie geometryczne.

Rys. 4.2. Zasada określania brzegu matematycznego (na przykładzie ujściowego odcinka rzeki)

Ogólna zasada wyboru granic matematycznych jest prosta i zrozumiała (rys. 4.2), jednakże w konkretnych przypadkach ich określenie może sprawiać pewne trudności. Ważne jest doświadcze-nie osoby, podejmującej decyzje. Należy tu pamiętać, że brzeg matematyczny powidoświadcze-nien być na tyle oddalony od interesującej nas części obszaru, by jego wpływ na rozwiązanie był możliwie słaby.

Jednocześnie powinno się go sytuować na tyle blisko tej części, by rozmiary układu nie utrudniały obliczeń i nie zwiększały ich kosztów.

Omówione cztery klasyfikacje brzegów układu są wzajemnie niezależne, toteż pozwalają utwo-rzyć 16 różnych kombinacji. Nie będziemy ich tu wymieniać, gdyż część z nich może mieć charakter czysto formalny (przykładowo, brzeg matematyczny będzie z reguły sztywny i nieruchomy), ale świadomość ich istnienia ułatwia pracę, szczególnie przy formułowaniu warunków brzegowych (par.

4.3.2).

Kolejny czynnik, na który trzeba zwrócić uwagę, wiąże się z geometryczną charakte-rystyką rozważanego układu i ze stosowanymi uproszczeniami kinematycznymi (podrozdz.

2.5 [50]). Generalnie rzecz biorąc, każdy układ fizyczny ma charakter trójwymiarowy (albo przestrzenny, co symbolicznie zapisuje się jako układ 3D). Ze względu na złożoność opisu takiego układu, w praktyce często stosujemy modele uproszczone pod względem geometrycznym i kinematycznym, a w szczególności układy dwuwymiarowe (czyli pła-skie, 2D) oraz jednowymiarowe (1D). W szczególnym przypadku cały układ możemy traktować jako punkt (układ „zerowymiarowy”, 0D). Jest to dogodne wtedy, gdy nie inte-resuje nas wewnętrzna struktura tego układu i opisujemy go modelem należącym do kate-gorii „czarnych skrzynek” [18]. Granicami takich układów są odpowiednio zamknięta powierzchnia (3D), zamknięty obwód płaski (2D) oraz para punktów (1D) – rys. 4.3.

Przy rozważaniu zadań hydrauliki dobrze jest wyróżnić następujące rodzaje odcinków brzegu:

— brzeg „dopływowy”, wyznaczony przez strumienie, które doprowadzają płyn do układu;

tego typu odcinki brzegu określa się potocznie mianem wejścia (patrz „we” na rys. 4.3);

— brzeg „odpływowy”, wyznaczony przez strumienie wypływające z układu; mówimy wtedy o wyjściu z układu (patrz „wy” na rys. 4.3);

— brzeg nieprzepuszczalny (wyznaczony przez pozostałe odcinki brzegu, przez które nie zachodzi przepływ płynu).

Rys. 4.3. Możliwości upraszczania układów fizycznych: a) układ trójwymiarowy 3D, b) układ dwuwymiarowy 2D, c) układ jednowymiarowy 1D, d) układ „zerowymiarowy” 0D

95

4.3. Warunki graniczne 4.3.1. Warunki początkowe

Jak sama nazwa wskazuje, warunki początkowe określają stan układu w takim momen-cie czasu, od którego rozpoczynamy opis przebiegu rozważanego procesu. Rzecz oczywista, musza one być formułowane tylko wtedy, gdy przebieg tego procesu zmienia się w czasie.

Ich sens jest łatwy do zrozumienia. Stan układu w każdej chwili zależy bowiem częściowo od jego stanu w niedalekiej przeszłości, a częściowo od wpływu czynników wymuszających przebieg procesu. Sposób, w jaki stan układu zmienia się między kolejnymi chwilami, okre-ślają oczywiście prawa przyrody, zapisane w postaci odpowiednich równań.

W najprostszym przypadku, gdy zmiennymi stanu są prędkość u i ciśnienie p, jako warunki początkowe musimy zadać funkcje:

u₀ = u(x, y, z, t = t₀), p₀= p(x, y, z, t = t₀) . (4.3) W bardziej ogólnych sytuacjach niezbędne są też analogiczne informacje o początko-wym rozkładzie gęstości płynu i jego temperaturze, bądź innych zmiennych zależnych.

Określenie początkowych rozkładów zmiennych stanu nie jest rzeczą prostą. Z tego względu często wykorzystuje się tu pewien chwyt, uzasadniony empirycznie i teoretycznie potwierdzony faktem, że wpływ stanu układu w dowolnej chwili na stany następne sukcesywnie słabnie, by po upływie czasu tZ (który można oszacować, na przykład drogą próbnego rozwiązywania równań) praktycznie zaniknąć. Pozwala to zaakceptować jakieś możliwe do sformułowania przybliżenie rze-czywistego warunku początkowego, z jednoczesnym rozpoczęciem obliczeń w chwili (t0 – tZ). Tym samym będzie można przyjąć, że rozwiązanie zagadnienia dla t > t0 nie będzie obciążone błędem aproksymacji warunków początkowych.

4.3.2. Warunki brzegowe

Warunki brzegowe opisują oddziaływania zachodzące na styku rozważanego układu oraz jego otoczenia. W przeciwieństwie do warunków początkowych, których sens jedno-znacznie określają relacje (4.3), przy rozważaniu tych oddziaływań możemy mieć do czy-nienia z różnymi sytuacjami. Z tego względu konkretne zestawy warunków brzegowych będą prezentowane sukcesywnie, w miarę omawiania kolejnych wersji równań ruchu cie-czy. Tutaj ograniczymy się tylko do uwag, mających charakter ogólny.

Podstawowa informacja przy formułowaniu warunków brzegowych dotyczy zgodno-ści ruchu płynu oraz zgodno-ścianki nieprzepuszczalnej. Jest to konsekwencją sił adhezji [7], działających między molekułami płynu a molekułami substancji tworzącej otoczenie roz-ważanego układu. Są one na tyle znaczne, że na powierzchni granicznej nie pozwalają molekułom jednego ośrodka przesuwać się względem molekuł drugiego ośrodka, jak rów-nież oderwać się od siebie. Ponadto zwartość materii tworzącej taką ściankę wyklucza poprzeczny ruch płynu przez powierzchnię graniczną. Tym samym prędkość płynu na po-wierzchni granicznej musi być równa prędkości tej popo-wierzchni. Nie wyklucza to oczywi-ście ruchu samych powierzchni granicznych, które mogą przemieszczać się albo w więk-szej skali (brzeg ruchomy), albo lokalnie (ruch, zachodzący w wyniku zmiany kształtu brzegu odkształcalnego). W obu przypadkach odkształcenie to może być:

— wywołane czynnikami zewnętrznymi (na przykład ruch samolotu, wymuszony pracą jego silników);

— wywołane przez ruch płynu (na przykład ruch balonu, unoszonego wiatrem).

W praktyce nierzadko mamy do czynienia z sytuacją, w której oba te czynniki występują jedno-cześnie. Przykładowo, statek płynący w strefie silnych prądów oraz/albo silnego wiatru będzie poru-szał się po linii, na której kształt, obok silników, będą wpływały czynniki wywołujące ruch znoszenia, zwany dryfem. Zagadnienie to wykracza jednak poza ramy naszych zainteresowań.

Rys. 4.4. Interpretacja warunku zgodności ruchu płynu i ścianki:

a) ścianka nieruchoma, b) ścianka ruchoma, c) ścianka przepuszczalna

Nieco inna jest sytuacja wtedy, gdy ściankę tworzy materiał przepuszczalny (na przy-kład piaszczyste lub żwirowe łożysko rzeki, umożliwiające przesiąkanie wody przez podło-że). Choć styczna składowa prędkości płynu także wtedy musi być równa zero (siły adhe-zji), to składowa normalna będzie różna od zera, zależnie od kierunku i intensywności przesiąkania wody.

Możemy więc mieć do czynienia z następującymi głównymi kategoriami warunków brzegowych typu Dirichleta [27] dla prędkości:

— granice utworzone przez nieprzepuszczalną ściankę sztywną i nieruchomą (rys. 4.4a)

u_b = 0 ; (4.4)

— granice utworzone przez nieprzepuszczalną ściankę odkształcalną oraz/albo ruchomą (rys. 4.4b):

u_b = w_s ; (4.5)

— granica utworzona jest przez ściankę przepuszczalną

ubn≠ 0, ubs = wss . (4.6) Niekiedy pożytecznej informacji na brzegu dostarcza hipoteza Newtona (3.83). Gdy mamy możliwość określenia naprężenia stycznego τ^S, działającego na brzegu obszaru, relacja (3.85) pozwala powiązać je z profilem prędkości płynu (rys. 4.5a). Jest to szczegól-nie przydatne wtedy, gdy rozważamy ruch wody w zbiorniku otwartym, wywołany ruchem powietrza (prąd wiatrowy). Zgodnie z (4.5) prędkości molekuł wody i powietrza na po-wierzchni granicznej są sobie równe (choć ich nie znamy). Korzystając z (3.85), możemy wtedy napisać (rys. 4.5b):

N N u N

N

w _L

W L

P

S ∂

= ∂

∂

= ∂ ( ) ( )

μ μ

τ . (4.7)

97

Rys. 4.5. Naprężenie styczne na granicy obszaru jako warunek brzegowy

W praktyce technicznej często naprężenia wywołane wiatrem określa się wzorami empirycznymi, wyrażając je przez standardowo używaną w meteorologii i hydrologii ś red-nią prędkość wiatru, na przykład [13]:

w τ w

τS = W =3,25⋅10⁻⁶ρ/ / , (4.8)

otrzymując w efekcie pożyteczny warunek brzegowy typu Neumanna:

W L

W N

N

u τ

μ =

∂

∂ ( )

. (4.9) Jeśli zaś chodzi o drugą z podstawowych zmiennych stanu, czyli ciśnienie, to w

ogól-nym przypadku możemy bez trudu określić stosowny warunek brzegowy tylko dla swo-bodnej powierzchni, na której panuje ciśnienie zewnętrzne, najczęściej równe ciśnieniu atmosferycznemu:

pswobodna powierzchnia = pzewnętrzne (= patm) (4.10)