P0R0WNAN1E Z TWIERDZENIEM VON ZEIPELA

Otrzymane wyniki sugerują, iż związek pomiędzy sumarycznym strumieniem pro­ mienistym a przyspieszeniem grawitacyjnym realizuje się raczej w układzie współrzęd­ nych rotującym razem z gwiazdą, a nie w układzie nieruchomym. Jednak wydaje się, że termin „pociemnienie grawitacyjne" w świetle otrzymanych wyników oraz powy­ ższych uwag krytycznych dotyczących twierdzenia von Zeipela jest bardzo nieudany. A teraz dokonajmy próby zestawienia wzoru (28) z wzorem von Zeipela w ramach modelu Roche’a. Tak jak i przedtem będziemy zakładali, że zewnętrzna powierzchnia gwiazdy pokrywa się z ekwipotencjalną powierzchnią Roche’a. Jednak w celu uproszcze­ nia postępowania jednocześnie, że ma ona kształt elipsoidy. Stosunek wielkości efektyw­ nego przyspieszenia grawitacyjnego na równiku ge i na biegunie dany jest wzorem:

s / r \ 2 co2

Ofl / n \ 2

r . (37)

gp \ r j SM e "

gdzie: re i r^ są kolejno równikowym oraz biegunowym promieniem gwiazdy, co — kąto­ wą prędkością rotacji dokoła osi obrotu, G — stałą grawitacji. Żeby doprowadzić do właściwej postaci drugi człon po prawej stronie (37), korzystamy z warunku równości potencjału grawitacyjnego na równiku i na biegunie:

(38)

r _e 2 e r_p v ’

A więc, jeżeli rozważana gwiazda jest elipsoidą obrotową o ekscentryczności e jej przekroju równikowego, wtedy na podstawie twierdzenia von Zeipela mamy:

F e

_e &e

f

_P

= 8

_{6 P} 3(1 - e2) - 2 y /l - e2 . (39) Natomiast zgodnie z wzorem (28):

F

__ e_

F

r

Synteza krzywych jasności. Cz. II 341

F e

Tabela 1 zawiera wartości stosunku-^— przy różnych e. Zgodnie z przewidywaniami P

„kontrast” jasności pomiędzy biegunem i równikiem wg wzoru (28) jest znacznie mniej­ szy niż w przypadku twierdzenia von Zeipela dla jednakowych wartości e.

T a b e l a 1

Wartości stosunku strumienia równikowego do biegunowego w funkcji ekscentryczności e \ F pJ autor 0,100 0.980 0.990 0.200 0.920 0,960 0,300 0,822 0,920 0,400 0,687 0,840 0,500 0,518 0,750 0,600 0,320 0,640 0,700 0,102 0,510 0,74s( ) 0,000 0,444

A teraz powróćmy do dyskutowanego powyżej przykładu gwiazdy z temperaturą efektywną na biegunie Tgp = 25 0 0 0 °K oraz o kątowej prędkości rotacji co = 0,9co^. Zgodnie z wzorem (28) i w ramach modelu R ochea mamy dla temperatury efektywnej na równiku Tgg = 22 3 6 0°K . A więc strumień promienisty na równiku jest tylko półtora raza mniejszy od strumienia na biegunie. Dla większosci gwiazd zwykłych przedział grubości warstw fotosferycznych, w których powstaje obserwowane widmo ciągłe jest' wielkością rzędu kilkuset kilometrów. Podzielmy myślowo powierzchnię gwiazdy na elementy o liniowych rozmiarach rzędu 100 km. Ponieważ nieprzezroczystość materii gwiazdowej jest duża i ponieważ zachowuje się przynajmniej w pierwszym przybliżeniu warunek lokalnej równowagi termodynamicznej, elementy o takich rozmiarach inożna uważać za niezależne od siebie. Wtedy temperatura sąsiednich elementów różni się o ułamek stopnia. Można to wytłumaczyć jako argument na korzyść zachowania wa­ runku równowagi promienistej.

Rzeczywiście, biorąc pod uwagę równanie (20), zauważmy, że strumienie F t , F 2 cechuje wydajność transferu energii promienistej w kierunku stycznym do powierzchni gwiazdy. W oparciu o założenie, że F j = 0 oraz F 2 = 0 uzyskaliśmy wzór (28), z którego z kolei wynika, że temperatura zmienia się na powierzchni gwiazdy dość wolno. A więc oznacza to, że w rozważanym tu aspekcie warunek równowagi promienistej jest we­ wnętrznie niesprzeczny. Kwestia, o ile wzór (30) jest dokładniejszy od twierdzenia von Zeipela w zastosowaniu do atmosfery gwiazd szybko rotujących, pozostaje oczy­ wiście otwartą.

342 I. PustyInik

W pierwszej części niniejszego artykułu mówiliśmy o tym, że wynik twierdzenia von Zeipela, zgodnie z którym sumaryczny strumień promienisty dąży do zera w miarę zbliżania się przyspieszenia grawitacyjnego do wartości krytycznej, trudno wytłumaczyć w sposób sensowny, przynajmniej w warunkach panujących w warstwach fotosferycz- nych. A czy nie można przynajmniej jakościowo przystosować ten wynik do głębokich warstw wewnętrznych? Niech rys. 3 przedstawia szkicowo przekrój powierzchni ekwi- potencjalnych. Wielokrotnie wspomnieliśmy już, że zgodnie z równaniem równowagi

y

Rys. 3. Rozkład powierzchni ekwipotencjalnych w niesferycznej gwieździe

hydrostatycznej powierzchnie ekwipotencjalne muszą być również powierzchnościami stałej gęstości, ciśnienia gazowego oraz w dobrym przybliżeniu również temperatury. Im powierzchnia ekwipotencjalna jest dalej od środka gwiazdy, tym bardziej odbiega ona od sfery, przy czym odległość pomiędzy sąsiednimi powierzchniami w obszarach wokółrównikowych (wzdłuż osi X rys. 3) jest znacznie większa niż bliżej bieguna (w kierunku osi Y). Odpowiednio gradient temperatury w punkcie B musi być mniejszy niż w punkcie A i osiągnąć minimum w punkcie C (patrz rys. 3). Ponieważ w głębokich warstwach wewnętrznych gwiazdy strumień promieniowania zmienia się proporcjonalnie z gradientem temperatury, promieniowanie musi przechodzić przez gwiazdę jak przez „soczewkę” , dążąc do wyjścia w kierunkach maksymalnego gradientu temperatury (a jednocześnie maksymalnego gradientu potencjału). W skrajnym przypadku gg = 0 gwiazda musi być „ciemna” w obszarach równikowych nie dlatego, że temperatura tych obszarów jest zerowa, lecz dlatego, że w warstwach izotermicznych nie ma transportu energii. Z tych jakościowych rozważań wynika, że wzór von Zeipela można zastosować tylko w obszarach wewnętrznych gwiazdy i że właśnie tu powstaje paradoks von Zeipela. W warstwach fotosferycznych sumaryczny strumień promieniowania zmienia się pro­ porcjonalnie nie z gradientem temperatury, lecz z temperaturą efektywną.

W końcu spróbujemy uogólnić wzór (28) na wypadek składników ciasnych układów podwójnych. Oczywiście postać równania transferu promieniowania (19) pozostaje bez zmian. Jednak w warunkach równowagi promienistej jest zawarty dodatkowy człon

Synteza krzywych jasności. Cz. II 343 określający strumień promieniowania towarzysza w rozważanym punkcie atmosfery gwiazdy. W celu uproszczenia postępowania załóżmy, że atmosfera jest szara i że drugi składnik jest na tyle oddalony, że może być potraktowany jako punktowy. Wtedy warunek równowagi promienistej można zapisać następująco:

T + ^ S e Tltlo = B.

(41)

Tu

nS

oznacza sumaryczny strumień promienisty towarzysza, a arc cos

UQ

jest kątem padania. Postępując dokładnie tak, jak robiliśmy powyżej, a mianowicie całkując równa­ nie transferu po pełnym kącie bryłowym oraz po częstościach i korzystając z warunku równowagi promienistej w postaci (4 4 ), marny:

e-^o . (42)

dF

2

F

cos lp

Musimy więc rozwiązać równanie niejednorodne (42). Najpierw zajmiemy się od­ powiednim równaniem jednorodnym. Jak już pokazaliśmy jego rozwiązanie jest postaci (28). Stosując metodę uzmienniania stałej

C

uzyskujemy:

= S a e 'T^ °

r2 cos , (43) skąd

W dokumencie Postępy Astronomii nr 4/1974 (Stron 94-97)