Podatność krzyżowa α M 1→E2

− 1 + (γ₁+ 1)(γ₁+ γ₂)Γ(γ₁+ γ₂+ 2)Γ(γ₁+ γ₂+ 3) γ1Γ(2γ₁+ 5)Γ(2γ₂+ 1)

×₃F₂





γ2− γ₁− 2, γ₂− γ₁− 1, γ₂− γ₁ γ2− γ₁+ 1, 2γ₂+ 1

; 1



 )

, (5.97)

a w konsekwencji

Q⁽¹⁾_g = Q⁽¹⁾_−1,g+ Q⁽¹⁾_2,g = sgn(µ)α²ea²₀ Z⁴

B B₀

Γ(2γ₁+ 5) 1440Γ(2γ₁)

(

− 1 + Γ(γ₁+ γ₂+ 2)Γ(γ₁+ γ₂+ 3) Γ(2γ₁+ 5)Γ(2γ₂+ 1)

×(γ₁+ 1)(γ₁+ γ₂) γ₁ ³F2





γ₂− γ₁− 2, γ₂− γ₁− 1, γ₂− γ₁ γ₂− γ₁+ 1, 2γ₂+ 1

; 1



 )

, (5.98)

gdzie

B0 = µ0

4π µB

a³₀ = α²~

2ea²₀ ' 6.26 T (5.99)

jest atomową jednostką indukcji magnetycznej, µ₀ to przenikalność magnetyczna próżni, zaś µ_B to magneton Bohra. Wynik (5.98), liniowy względem B, jest identyczny z rezultatem uzyskanym w pracy [38]; w granicy nierelatywistycznej (kiedy γ_κ → |κ|) zbiega on do zera. Potwierdza to wyniki wcześniejszych obliczeń [35–37] tej wielkości dla atomu jednoelektronowego w stanie podstawo-wym, przeprowadzonych na gruncie teorii nierelatywistycznej, w których czynnikiem wiodącym w rozwinięciu zależności Q⁽¹⁾(B) był człon kwadratowy względem pola.

5.4 Podatność krzyżowa α_{M 1→E2}

Miarą wielkości momentów elektrycznych (lub magnetycznych) indukowanych w układzie przez zewnętrzne pole magnetyczne (lub elektryczne) mogą być odpowiednie podatności: polaryzowalność (α_Eλ→EL), magnetyzowalność (α_{M λ→M L}) lub tzw. podatności krzyżowe (α_{Eλ→M L} oraz α_{M λ→EL}).

W ogólności definiuje się je jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy indukowanym momen-tem elektromagnetycznym a natężeniem pola, które go wyindukowało. Wyrażenie na indukowany elektryczny moment kwadrupolowy atomu z elektronem Diraca, znajdujący się w dowolnym stanie energetycznym, będący przedmiotem rozważań w niniejszym rozdziale, zapiszemy więc w postaci

Q⁽¹⁾= (4π₀)c α_{M 1→E2}B. (5.100)

Występujący w powyższym wzorze współczynnik liczbowy α_{M 1→E2}określa wspomnianą podatność krzyżową typu magnetyczny dipol→elektryczny kwadrupol relatywistycznego atomu wodoropodob-nego i wynosi

αM 1→E2 =αa⁴₀ Z⁴

µ 2

"

h

N_nκ² (5n²+10nγ_κ+4γ_κ²+1) − κ(n + γ_κ) 2κ(n + γ_κ) + 3N_nκ
ⁱ

×κ²(κ²− γ²_κ)(4κ²− 12µ²− 1) (4κ²− 1)² + 3

32

N_nκ² (N_nκ− κ) 4κ²− 1

X

κ⁰

1 N_nκ+ κ⁰

×

"

(2κ − 1)²− 4µ²

(2κ − 1)(2κ − 3)δ_κ⁰_,−κ+1− (2κ + 1)²− 4µ²

(2κ + 1)(2κ + 3)δ_κ⁰_,−κ−1

#

× (

2N_nκ^h10(n + γ_κ)(7n²+ 14nγ_κ+ 4γ_κ²+ 5) + (n + γ_κ)²(51γ_κ²+ 20)

+n(n + 2γ_κ)(63n²+ 126nγ_κ+ 33γ_κ²+ 85) − 27γ_κ⁴+ 70γ_κ²+ 12ⁱ

+8κ(n + γ_κ)²(7n²+ 14nγ_κ+ 4γ²_κ+ 5) + n!Γ(n + 2γ_κ+ 1)N_nκ

(γ_κ⁰−γ_κ−n+1)(N_nκ−κ)²Γ(2γ_κ⁰+ 1)

×

n

X

k=0 n

X

p=0

(−)^k+p k!p!

Γ(γ_κ+γ_κ⁰+k+3)Γ(γ_κ+γ_κ⁰+p+2)^h2(N_nκ−κ)+(n−p)(κ+κ⁰)ⁱ Γ(n − k + 1)Γ(k + 2γ_κ+ 1)Γ(n − p + 1)Γ(p + 2γ_κ+ 1)

×^h(N_nκ+ κ⁰)^(n − k) + _nκ(κ − N_nκ)^− (n − k − 3)^(κ − N_nκ) + _nκ(n − k)^i

×₃F2





γ_κ⁰ − γ_κ− k − 2, γ_κ⁰− γ_κ− p − 1, γ_κ⁰− γ_κ− n + 1 γ_κ⁰− γ_κ− n + 2, 2γ_κ⁰ + 1

; 1



 )#

. (5.101)

Powyższy wzór stanowić będzie podstawę obliczeń numerycznych, których wyniki zostały przed-stawione w rozdziale 7.

6 Ekranowanie magnetyczne jądra atomu

6.1 Wprowadzenie

Rozważmy ponownie relatywistyczny atom jednoelektronowy umieszczony w słabym, jedno-rodnym polu magnetycznym B jako przykład układu fizycznego, w którym występują stałe prądy elektryczne, scharakteryzowane funkcją gęstości prądu j(r⁰), daną wzorem (2.47). Pole magnetycz-ne wytwarzamagnetycz-ne przez te prądy w punkcie r, zgodnie z prawem prawa Biota–Savarta, damagnetycz-ne jest wyrażeniem

B(r) = µ0

4π Z

R³

d³r⁰j(r⁰) × r − r⁰

|r − r⁰|³. (6.1)

Jeżeli początek układu współrzędnych umieścimy tradycyjnie w centrum omawianego systemu, będziemy mogli zapisać, iż dla r = 0, czyli w miejscu, w którym znajduje się jądro atomowe, pole magnetyczne wynosi

B(0) = µ₀ 4π

Z

R³

d³r⁰r⁰× j(r⁰)

(r⁰)³ . (6.2)

Do opisu wpływu zewnętrznego pola B na indukowanie się zmian pola magnetycznego w tym miej-scu zastosujemy formalizm rachunku zaburzeń, przy czym ograniczymy się do wyrazów pierwszego rzędu względem modułu zaburzającego pola. Uwzględniając w równaniu (6.2) wzory (2.49), (2.51) oraz (2.53), otrzymamy zależność

B(0) ' B⁽⁰⁾(0) + B⁽¹⁾(0), (6.3)

gdzie

B⁽⁰⁾(0) = −ec µ0

4π Z

R³

d³r⁰Ψ^(0)†(r⁰)(r⁰× α)Ψ⁽⁰⁾(r⁰)

(r⁰)³ (6.4)

to wartość pola magnetycznego w punkcie jądra atomu izolowanego, natomiast B⁽¹⁾(0) = −2ecµ0

4πRe Z

R³

d³r⁰Ψ^(0)†(r⁰)(r⁰× α)Ψ⁽¹⁾(r⁰)

(r⁰)³ (6.5)

oznacza indukowaną zmianę pola magnetycznego tamże pod wpływem zaburzenia.

W celu wyznaczenia składowych kartezjańskich wektora B⁽⁰⁾(0), równanie (6.4) przemnożymy skalarnie przez wersor n_α, przy czym α ∈ {x, y, z}. Zapiszmy tę operację w następujący sposób:

n_α· B⁽⁰⁾(0) = −ecµ₀ 4π

Z

R³

d³r⁰(r⁰)⁻²Ψ^(0)†(r⁰)n_α· (n⁰_r× α)Ψ⁽⁰⁾(r⁰). (6.6) Uwzględniamy następnie postać funkcji falowej (2.15), po czym całkę występującą po prawej stronie w powyższym równaniu zapiszemy we współrzędnych sferycznych, tj.:

nα· B⁽⁰⁾(0) = −iecµ0

4π Z ∞

0

dr⁰(r⁰)⁻²P_nκ⁽⁰⁾(r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰)

× I

4π

d²n⁰_r^hΩ^†_κµ(n⁰_r)n_α· n⁰_r× σ
Ω_−κµ(n⁰_r) − Ω^†_−κµ(n⁰_r)n_α· n⁰_r× σ
Ω_κµ(n⁰_r)ⁱ. (6.7) W następnym kroku korzystamy kolejno z relacji (A.12)–(A.14) oraz (A.37)–(A.38), po czym wy-konujemy całkowanie po pełnym kącie bryłowym, uwzględniając przy tym relację ortonormalności spinorów sferycznych (A.34). Rezultatem wykonania tych rachunków jest poniższy układ równań:

B_x⁽⁰⁾ = n_x· B⁽⁰⁾(0) = 0, (6.8)

B⁽⁰⁾_y = n_y· B⁽⁰⁾(0) = 0, (6.9) Wartość całki radialnej¹² obecnej w powyższym wyrażeniu została wyprowadzona w załączniku C.

A zatem, na mocy równości wzorów (C.19) i (C.28) oraz w oparciu o układ równań (6.8)–(6.10), możemy napisać, iż pole magnetyczne w miejscu jądra izolowanego atomu jednoelektronowego wynosi: gdzie B₀ to atomowa jednostka indukcji magnetycznej zdefiniowana wzorem (5.99).

Zbadamy teraz, w jaki sposób zewnętrzne jednorodne zaburzenie B wpływa na zmianę pola magnetycznego w punkcie jądra. Innymi słowy, postaramy się określić, w których kierunkach wyin-dukuje się dodatkowe pole magnetyczne i jakie będą wartości poszczególnych jego składowych. Aby tego dokonać, w pierwszej kolejności do wzoru (6.5) wstawiamy wyrażenie na zaburzoną funkcję falową (2.32), wskutek czego dostajemy

B⁽¹⁾(0) = e²c² µ0 przy czym skorzystano tutaj z zależności µ₀₀c² = 1. Warto w tym miejscu przypomnieć założenie, poczynione już w rozdziale 2 rozprawy, którego zakres obowiązywania dotyczy jednak całej pracy.

Mianowicie, przyjmujemy, iż zewnętrzne pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi z kartezjań-skiego układu współrzędnych, tj. B = Bn_z. W związku z tym rozpiszmy iloczyn skalarny z równania (6.13) w następujący sposób:

B⁽¹⁾(0) = −n_xσ_xzB_z− n_yσ_yzB_z− n_zσ_zzB_z. (6.14) Pojawiające się tutaj współczynniki liczbowe σ_xz, σ_yzi σ_zz określają składowe pola magnetycznego indukowanego przez pole zaburzające B = Bn_z odpowiednio w kierunkach osi x, y oraz z. Na mocy równości wzorów (6.13) i (6.14) możemy zapisać, iż wynoszą one

σxz= − e²

12Uwzględniając jawne postacie radialnych funkcji Diraca–Coulomba (2.17)–(2.18), stwierdzamy, iż dla stanów o symetrii |κ| = 1 całka ta będzie zbieżna, jeśli spełniona będzie nierówność γ1 > ¹₂. Warunek ten automatycznie implikuje ograniczenie na liczbę atomową w postaci: Z < α⁻¹

√ 3

2 ' 118.67.

Ponieważ prawa strona ostatniej równości reprezentuje element diagonalny macierzy operatora hermitowskiego, bez żadnych konsekwencji można tam pominąć symbol Re.

Jeżeli w wyrażeniach (6.15)–(6.17) uwzględnimy postać funkcji falowej (2.15) oraz wstawimy do nich rozwinięcie multipolowe uogólnionej funkcji Greena–Diraca–Coulomba (3.40), a następnie wszystkie całki zapiszemy we współrzędnych sferycznych, otrzymamy wówczas następujący zestaw wzorów:

σ_xz= −Re

∞

X

κ⁰=−∞

(κ⁰6=0)

|κ⁰|−¹₂

X

m=−|κ⁰|+¹

2

Z ∞ 0

dr Z ∞

0

dr⁰r⁻²r⁰

×^hQ⁽⁰⁾_nκ(r)¯g⁽⁰⁾_(++)κ0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_x· (n_r× σ)Ω_−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_−κµ

−P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g_(−+)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_x· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω−κµ

−Q⁽⁰⁾_nκ(r)¯g⁽⁰⁾_(+−)κ0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_x· (n_r× σ)Ω_−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµ +P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g_(−−)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_x· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµⁱ,

(6.18)

σ_yz= −Re

∞

X

κ⁰=−∞

(κ⁰6=0)

|κ⁰|−¹₂

X

m=−|κ⁰|+¹

2

Z ∞ 0

dr Z ∞

0

dr⁰r⁻²r⁰

×^hQ⁽⁰⁾_nκ(r)¯g⁽⁰⁾_(++)κ0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_y· (n_r× σ)Ω_−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_−κµ

−P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g_(−+)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_y· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_−κµ

−Q⁽⁰⁾_nκ(r)¯g⁽⁰⁾_(+−)κ0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_y· (n_r× σ)Ω_−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµ +P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g_(−−)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_y· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµⁱ,

(6.19)

σzz= −

∞

X

κ⁰=−∞

(κ⁰6=0)

|κ⁰|−¹₂

X

m=−|κ⁰|+¹

2

Z ∞ 0

dr Z ∞

0

dr⁰r⁻²r⁰

×^hQ⁽⁰⁾_nκ(r)¯g_(++)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_z· (n_r× σ)Ω_−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_−κµ

−P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g⁽⁰⁾_(−+)κ0(r, r⁰)Q⁽⁰⁾_nκ(r⁰) hn_z· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_−κµ

−Q⁽⁰⁾_nκ(r)¯g_(+−)κ⁽⁰⁾ 0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_z· (n_r× σ)Ω−κµ|Ω_κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµ +P_nκ⁽⁰⁾(r)¯g⁽⁰⁾_(−−)κ0(r, r⁰)P_nκ⁽⁰⁾(r⁰) hn_z· (n_r× σ)Ω_κµ|Ω_−κ⁰_miΩ_−κ⁰_m|n_z· (n⁰_r× σ)Ω_κµⁱ.

(6.20) Obecne powyżej całki kątowe pojawiły się już przy rozpatrywaniu podatności magnetycznej atomu (patrz str. 28). Powtarzamy zatem rozumowanie przeprowadzone w rozdziale 4, czyli sto-sujemy po kolei relacje (A.12)–(A.14) oraz (A.37)–(A.38), a następnie wykonujemy całkowania po

zmiennych kątowych. Uwzględniając przy ostatniej z wymienionych operacji wzór (A.34), wykonu-jąc następnie sumowania po m, dochodzimy do następuwykonu-jących rezultatów:

σ_xz = 0, (6.21)

przy czym w równaniu (6.23) ¯G⁽⁰⁾_κ0 (r, r⁰) oznacza uogólnioną radialną funkcję Greena (3.41).

Analizując otrzymany układ równań (6.21)–(6.23) pod kątem własności fizycznych układu, bio-rąc pod uwagę również wzór (6.14), wnioskujemy, iż w miejscu położenia jądra jednoelektronowego atomu Diraca poddanego działaniu jednorodnego pola zaburzającego B, powstanie dodatkowe pole magnetyczne, o kierunku zgodnym kierunkiem przyłożonego pola, lecz o przeciwnym zwrocie:

B⁽¹⁾(0) = −σB. (6.24)

Występujący w powyższej zależności współczynnik proporcjonalności σ to tzw. stała ekranowania magnetycznego jądra atomowego. Jej definicję stanowi wzór (6.17), a jako punkt wyjścia w dalszych obliczeniach tej wielkości, przeprowadzonych w kolejnym podrozdziale, obierzemy równanie (6.23).

W dokumencie Jednoelektronowy atom Diraca w słabym polu magnetycznym (Stron 59-64)