Zaburzone zagadnienie Diraca–Coulomba

Zagadnienie własne dla energii stanów związanych jednoelektronowego atomu relatywistycznego z nieruchomym, punktowym, bezspinowym jądrem o ładunku +Ze oraz z elektronem o masie me i ładunku −e, umieszczonego w jednorodnym polu magnetycznym, jest opisywane za pomocą równania Diraca

"

−ic~α · ∇ + ecα · A(r) + βmec²− Ze² (4π₀)r− E

#

Ψ(r) = 0, (2.1)

uzupełnionego o następujące warunki brzegowe:

rΨ(r)^r→0−→ 0, rΨ(r)^r→∞−→ 0. (2.2)

Potencjał wektorowy dla jednorodnego, stałego pola magnetycznego B, w cechowaniu symetrycz-nym ma postać

A(r) = 1

2B × r. (2.3)

Po uwzględnieniu wyrażenia (2.3) w równaniu (2.1) i skorzystaniu z własności iloczynów mieszanych wektorów [17, 18], zagadnienie własne opisujące układ fizyczny przedstawiony w podrozdziale 2.1 sprowadza się do postaci

"

−ic~α · ∇ +1

2ecB · (r × α) + βmec²− Ze² (4π₀)r− E

#

Ψ(r) = 0, (2.4)

z warunkami brzegowymi

rΨ(r)^r→0−→ 0, rΨ(r)^r→∞−→ 0. (2.5)

Występujący w powyższym równaniu symbol Ψ(r) oznacza czteroskładnikową funkcję falową elek-tronu⁴, E określa jego energię, zaś α oraz β to standardowe macierze Diraca zdefiniowane w na-stępujący sposób [59]:

α = 0 σ

σ 0

!

, β = I 0

0 −I

!

, (2.6)

4Czasami w literaturze funkcja Ψ(r) jest nazywana bispinorem Diraca.

gdzie I oraz 0 to odpowiednio macierz jednostkowa i zerowa o wymiarach 2×2, natomiast σ jest wektorem zbudowanym z macierzy Pauliego, określonym za pomocą wzoru (A.43). W oparciu o po-czynione wcześniej założenie, iż zewnętrzne pole magnetyczne jest słabe⁵, potencjał oddziaływania elektronu z polem

V⁽¹⁾(r) = 1

2ec B · (r × α) (2.7)

będziemy traktować jako małe zaburzenie hamiltonianu Diraca–Coulomba. Konsekwencją takiego podejścia jest możliwość znalezienia przybliżonego rozwiązania zagadnienia (2.4)–(2.5) przy użyciu formalizmu rachunku zaburzeń.

Zastosowanie rachunku zaburzeń wymaga w pierwszym kroku rozwiązania zagadnienia nieza-burzonego. W naszym przypadku jest to równanie Diraca–Coulomba

"

−ic~α · ∇ + βmec²− Ze²

(4π₀)r− E⁽⁰⁾

#

Ψ⁽⁰⁾(r) = 0, (2.8)

które wspólnie z warunkami brzegowymi

rΨ⁽⁰⁾(r)−→ 0,^r→0 rΨ⁽⁰⁾(r)^r→∞−→ 0 (2.9) opisuje atom izolowany. Stan atomu w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego określają funkcja falowa elektronu Ψ⁽⁰⁾(r) oraz jego energia E⁽⁰⁾, która wynosi [60–67]:

E⁽⁰⁾ ≡ E_nκ⁽⁰⁾= m_ec² n + γκ

Nnκ

, (2.10)

przy czym n oznacza radialną liczbę kwantową, natomiast N_nκ to tzw. pozorna główna liczba kwantowa zdefiniowana w następujący sposób:

N_nκ= q

(n + γ_κ)²+ ζ² = q

n²+ 2nγ_κ+ κ², (2.11)

gdzie

ζ = αZ (2.12)

oraz

γ_κ = q

κ²− (αZ)², (2.13)

przy czym

α = e²

(4π₀)c~ (2.14)

oznacza stałą struktury subtelnej Sommerfelda (nie mylić z macierzą Diraca α!), zaś liczba kwan-towa κ przyjmuje wartości ze zbioru {±1, ±2, . . .} i została szerzej omówiona w uzupełnieniu A.3.

Funkcje własne zagadnienia Diraca–Coulomba (2.8)–(2.9), należące do wartości własnej E⁽⁰⁾, wybieramy w postaci

Ψ⁽⁰⁾(r) ≡ Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r) = 1 r





Pnκ⁽⁰⁾(r)Ω_κµ(n_r) iQ⁽⁰⁾nκ(r)Ω−κµ(n_r)



. (2.15)

5W niniejszej rozprawie przymiotnikiem słabe określamy pole, dla którego wartość indukcji magnetycznej jest znacznie mniejsza niż atomowa jednostka indukcji magnetycznej B0' 6.26 T, zdefiniowana wzorem (5.99).

Obecne w powyższej definicji funkcje Ω_κµ(n_r) to spinory sferyczne, omówione w uzupełnieniu A.3.

Funkcje radialne spełniają poniższy warunek normalizacyjny:

Z ∞ 0

drⁿ[P_nκ⁽⁰⁾(r)]²+ [Q⁽⁰⁾_nκ(r)]^2o= 1, (2.16) a ich jawne postacie są następujące [60–65]:

P_nκ⁽⁰⁾(r) =

przy czym Γ(z) oznacza funkcję gamma Eulera, L^(α)_n (x) to uogólniony wielomian Laguerre’a, któ-rego definicji i własnościom zostało poświęcone uzupełnienie D, a₀ to promień Bohra, dany wyra-żeniem

Przejdziemy teraz do rozwiązania zagadnienia zaburzonego, zadanego równaniem (2.4) oraz warunkami (2.5). Wykorzystamy do tego formalizm rachunku zaburzeń [6, 68, 69] pierwszego rzędu, zgodnie z którym będziemy postulować następującą przybliżoną postać rozwiązań:

Ψ(r) ' Ψ⁽⁰⁾(r) + Ψ⁽¹⁾(r) (2.21)

oraz

E ' E⁽⁰⁾+ E⁽¹⁾. (2.22)

Funkcja Ψ⁽⁰⁾(r) jest unormowana do jedności w sensie Z

R³

d³r Ψ^(0)†(r)Ψ⁽⁰⁾(r) = 1. (2.23)

Odnośnie poprawek Ψ⁽¹⁾(r) oraz E⁽¹⁾ zakładamy, iż są one małymi wielkościami pierwszego rzędu względem modułu zaburzającego pola B = |B|; spełniają one następujące niejednorodne równanie różniczkowe:

uzupełnione o warunki brzegowe

rΨ⁽¹⁾(r)^r→0−→ 0, rΨ⁽¹⁾(r)^r→∞−→ 0. (2.25) Poniższy warunek ortogonalności między pierwszą poprawką do funkcji falowej a funkcją niezabu-rzoną:

Z

R³

d³r Ψ^(0)†(r)Ψ⁽¹⁾(r) = 0 (2.26)

implikuje unormowanie funkcji (2.21) do jedności. Warunek ten gwarantuje także jednoznaczność szukanej funkcji Ψ⁽¹⁾(r).

Po określeniu wymogów, jakie powinny spełniać rozwiązania zagadnienia (2.24)–(2.25) przej-dziemy teraz do ich obliczenia. W tym celu wykorzystamy metodę funkcji Greena, zgodnie z którą mamy:

Ψ⁽¹⁾(r) = − Z

R³

d³r⁰G¯⁽⁰⁾(r, r⁰)

1

2ec B · r⁰× α
− E⁽¹⁾



Ψ⁽⁰⁾(r⁰), (2.27) gdzie ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰) ≡ ¯G⁽⁰⁾(E_nκ⁽⁰⁾, r, r⁰) to uogólniona funkcja Greena⁶ dla zagadnienia Diraca–

Coulomba, przy energii E_nκ⁽⁰⁾ danej wzorem (2.10). Spełnia ona następujące niejednorodne równanie różniczkowe (dla ustalonego r⁰):

"

−ic~α · ∇ + βmec²− Ze²

(4π₀)r − E_nκ⁽⁰⁾

#

G¯⁽⁰⁾(r, r⁰) = Iδ³(r − r⁰) −^X

κ⁰µ (|κ⁰|=|κ|)

Ψ⁽⁰⁾_nκ0µ(r)Ψ^(0)†_nκ0µ(r⁰), (2.28)

uzupełnione o warunki brzegowe

r ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰)^r→0−→ 0, r ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰)^r→∞−→ 0. (2.29) W równaniu (2.28) pojawiły się dwa nowe symbole: I to macierz jednostkowa o wymiarach 4 × 4, zaś δ³(r − r⁰) oznacza trójwymiarową funkcję delta Diraca.

Podamy teraz dwa istotne fakty dotyczące omawianej uogólnionej funkcji Greena:

• jest hermitowska w sensie

G¯⁽⁰⁾(r, r⁰) = ¯G^(0)†(r⁰, r), (2.30)

• spełnia następujący warunek ortogonalności:

Z

R³

d³r Ψ^(0)†_nκ0µ(r) ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰) = 0 dla κ⁰ = ±κ. (2.31)

Wykorzystanie wyżej wymienionych własności funkcji ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰) w równaniu (2.27) pozwala prze-pisać wzór na zaburzoną funkcję falową w postaci

Ψ⁽¹⁾(r) ≡ Ψ⁽¹⁾_nκµ(r) = −1 2ecB ·

Z

R³

d³r⁰G¯⁽⁰⁾(r, r⁰) r⁰× α
Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r⁰). (2.32) Zbudujmy macierz zaburzenia V_nκµ,nκ⁽¹⁾ 0µ⁰:

V_nκµ,nκ⁽¹⁾ 0µ⁰ = 1 2ec B ·

Z

R³

d³r Ψ^(0)†_nκµ(r) (r × α) Ψ⁽⁰⁾_nκ0µ⁰(r). (2.33)

6Dla przejrzystości prezentowanych w rozprawie wzorów, rezygnujemy z wypisywania E⁽⁰⁾nκ jako argumentu uogól-nionej funkcji Greena, pamiętając oczywiście, iż taka zależność ma miejsce.

Aby wyznaczyć elementy tej macierzy, w pierwszej kolejności poczynimy założenie, które będzie obowiązywało przy omawianiu wszystkich zagadnień w niniejszej rozprawie. Mianowicie, przyjmu-jemy, iż zewnętrzne pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi z kartezjańskiego układu współ-rzędnych. Wykorzystując to założenie, jak również postać niezaburzonej funkcji falowej (2.15), występującą w powyższym wzorze całkę po R³ zapiszemy we współrzędnych sferycznych:

V_nκµ,nκ⁽¹⁾ 0µ⁰ = i 2ecB

"

Z ∞ 0

dr r P_nκ⁽⁰⁾(r)Q⁽⁰⁾_nκ0(r) I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)n_z· (n_r× σ) Ω_−κ⁰_µ⁰(n_r)

− Z ∞

0

dr r Q⁽⁰⁾_nκ(r)P_nκ⁽⁰⁾0(r) I

4π

d²nrΩ^†_−κµ(n_r)n_z· (n_r× σ) Ω_κ⁰_µ⁰(n_r)

#

. (2.34)

W kolejnym kroku zastosujemy własność (B.5), skorzystamy relacji rekurencyjnej (A.37), po czym dokonamy całkowania po zmiennych kątowych, wykorzystując przy tym własność ortonormalności dla spinorów sferycznych (A.34). Uwzględniając następnie fakt, iż dla stanów zdegenerowanych zachodzi równość |κ| = |κ⁰|, otrzymujemy

V_nκµ,nκ⁽¹⁾ 0µ⁰ = V_nκµ,nκµ⁽¹⁾ δ_κκ⁰δ_µµ⁰, (2.35) gdzie

V_nκµ,nκµ⁽¹⁾ = 4κµ

4κ²− 1ecαa0B Z ∞

0

dr r P_nκ⁽⁰⁾(r)Q⁽⁰⁾_nκ(r). (2.36) Z zależności (2.33) oraz (2.35) wynika, iż funkcje Ψ⁽⁰⁾_nκµ są dopasowane do zaburzenia [69], skąd – w oparciu o wzór (2.24) i standardowe procedury rachunku zaburzeń – otrzymujemy natychmiast, iż pierwsza poprawka do energii wyraża się poprzez wartości własne (2.36) macierzy zaburzenia (2.33), tj.:

E⁽¹⁾≡ E_nκµ⁽¹⁾ = V_nκµ,nκµ⁽¹⁾ . (2.37) Wykorzystując wartość całki radialnej obecnej we wzorze (2.36), danej wzorem (C.26), na podsta-wie powyższej zależności możemy napisać, że pierwsza poprawka do energii stanu niezaburzonego atomu, wynikająca z umieszczenia go w zewnętrznym jednorodnym, słabym polu magnetycznym B, wynosi

E_nκµ⁽¹⁾ = 2κµ 4κ²− 1

2κ(n + γ_κ) − N_nκ

N_nκ µBB (2.38)

(por. wzór (1) w [70]), gdzie µ_B= e~/2me to magneton Bohra.

Gdyby do rozwiązania zagadnienia (2.4)–(2.5) zastosować rachunek zaburzeń drugiego rzędu, czyli gdyby założyć, że jego rozwiązania są postaci:

Ψ(r) ' Ψ⁽⁰⁾(r) + Ψ⁽¹⁾(r) + Ψ⁽²⁾(r) (2.39) oraz

E ' E⁽⁰⁾+ E⁽¹⁾+ E⁽²⁾, (2.40)

uwzględniając jednocześnie fakt, iż słabe, jednorodne pole magnetyczne już w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń usuwa degenerację stanów, można wówczas zapisać, iż poprawka drugiego rzędu do energii atomu wynosi

E⁽²⁾≡ E_nκµ⁽²⁾ = ec 2

Z

R³

d³rΨ^(0)†_nκµ(r)B · (r × α) Ψ⁽¹⁾_nκµ(r). (2.41)

Powyższe wyrażenie otrzymuje się w standardowy sposób, przy dodatkowym założeniu, że druga poprawka do funkcji falowej jest ortogonalna do funkcji niezaburzonej, tj.:

Z

R³

d³r Ψ^(0)†(r)Ψ⁽²⁾(r) = 0, (2.42)

który gwarantuje nam jednoznaczność funkcji Ψ⁽²⁾(r). Wstawiając do równania (2.41) wyrażenie (2.32), otrzymujemy:

E_nκµ⁽²⁾ = −e²c² 4

Z

R³

d³r Z

R³

d³r^0hB · (r × α) Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r)^i†G¯⁽⁰⁾(r, r⁰)^hB · r⁰× α
Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r⁰)ⁱ. (2.43) Po uwzględnieniu założenia odnośnie kierunku przyłożonego pola, tj. B = Bn_z, wyrażenie na drugą poprawkę do energii atomu przyjmuje postać

E_nκµ⁽²⁾ = −e²c²B² 4

Z

R³

d³r Z

R³

d³r^0hnz·(n_r× α)Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r)^i†r ¯G⁽⁰⁾(r, r⁰) r^0hnz· n⁰_r× α
Ψ⁽⁰⁾_nκµ(r⁰)ⁱ. (2.44) Wybiegając nieco w przyszłość, tzn. biorąc pod uwagę wzory (4.17), (4.24) oraz (4.25), a także następujące po nich uwagi, powyższy wynik można zapisać za pomocą następującej zależności [54, 71, 72]:

E_nκµ⁽²⁾ = −1

W dokumencie Jednoelektronowy atom Diraca w słabym polu magnetycznym (Stron 12-17)