Spinory sferyczne

Spinory sferyczne to funkcje pojawiające się podczas separacji równania Diraca dla pola cen-tralnego [61–65]. Opisują one część kątową funkcji falowej elektronu w relatywistycznym atomie jednoelektronowym, można je zatem traktować jako odpowiedniki harmonik sferycznych (uzupeł-nienie A.2). Definiujemy je jako dwuskładnikowe funkcje wektora jednostkowego n_r, a więc także kątów θ oraz ϕ sferycznego układu współrzędnych:

Ω_κµ(n_r) =

zaś Y_lm(n_r) to zespolona harmonika sferyczna, omówiona w poprzednim podrozdziale. Zgodnie z definicją (A.26), w niniejszej pracy spinory sferyczne będziemy indeksować przy pomocy dwóch

21Podrozdział A.3 oparto na pracach [93, 100, 101].

liczb kwantowych: κ oraz µ. Niekiedy wykorzystuje się inny, równoważny sposób oznaczania tych funkcji za pomocą trzech liczb j, l oraz µ, przy czym

j = |κ| − 1

2, (A.28)

liczba l została zdefiniowana wzorem (A.27), natomiast µ przyjmuje wartości wyszczególnione bez-pośrednio po definicji (A.26). Liczbę κ (nazywaną czasem kombinowaną liczbą kwantową operato-rów parzystości i momentu pędu) można określić jednoznacznie, posługując się liczbami j oraz l;

odpowiednia relacja ma postać:

κ = (l − j)(2j + 1). (A.29)

W rozdziale piątym niniejszej rozprawy pojawia się kwestia określenia parzystości wyrażenia lκ+ l_κ⁰ dla dwóch przypadków:

1. gdy κ⁰ = κ, 2. gdy κ⁰ = −κ ± 1.

O ile w pierwszym przypadku sprawa jest oczywista (rozpatrywane wyrażenie wynosi 2l_κ i jest liczbą parzystą), o tyle druga możliwość wymaga krótkiego komentarza. Mianowicie, korzystając z zależności (A.27), możemy zapisać

l−κ−1=    

−κ −1 2    

−1 2 =

( κ dla κ > 0

−κ − 1 dla κ < 0 (A.30)

oraz

l−κ+1 =    

−κ +3 2    

−1 2 =

( κ − 2 dla κ > 0

−κ + 1 dla κ < 0, (A.31)

przy czym uwzględniono tutaj fakt, iż liczba κ nigdy nie przyjmuje wartości zero. Biorąc pod uwagę równania (A.27), (A.30) oraz (A.31), dostajemy

lκ+ l_−κ−1=

( 2κ dla κ > 0

−2κ − 2 dla κ < 0 (A.32)

oraz

lκ+ l−κ+1=

( 2κ − 2 dla κ > 0

−2κ dla κ < 0. (A.33)

Z powyższych rozważań wynika, iż dla κ⁰ = −κ ± 1 suma l_κ+ l_κ⁰ będzie liczbą parzystą, niezależnie od tego, czy κ przyjmuje wartości całkowite dodatnie, czy ujemne.

Spinory sferyczne posiadają szereg różnych własności, spełniają ponadto wiele relacji rekuren-cyjnych i różniczkowych [100, 101]. Poniżej zaprezentujemy kilka z nich, szczególnie przydatnych w niniejszej pracy.

Pierwszą ze wspomnianych własności, a zarazem najczęściej wykorzystywaną w tej rozprawie, jest relacja ortonormalności

I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r) Ω_κ⁰_µ⁰(n_r) = δ_κκ⁰ δ_µµ⁰. (A.34) Podczas obliczania całek kątowych w tej pracy wykorzystywane są także relacje rekurencyjne i różniczkowe spełniane przez spinory sferyczne.

Relacje rekurencyjne podzielimy na trzy grupy:

• relacje zawierające iloczyn skalarny jednego z wersorów bazy cyklicznej oraz wektora n_r:

e0· n_rΩ_κµ(n_r) = − 2µ

4κ²− 1Ω−κµ(n_r) + r

κ +¹₂^2− µ²

|2κ + 1| Ω_κ+1,µ(n_r)

+ r

κ −¹₂^2− µ²

|2κ − 1| Ω_κ−1,µ(n_r), (A.35)

e±1· n_rΩ_κµ(n_r) = ±√ 2

r

κ²−^µ ± ¹₂^2

4κ²− 1 Ω_−κ,µ±1(n_r)

+ r

κ ± µ +¹₂^{ }κ ± µ +³₂^

√2(2κ + 1) Ω_κ+1,µ±1(n_r)

− r

κ ∓ µ −¹₂^{ }κ ∓ µ −³₂^

√

2(2κ − 1) Ω_κ−1,µ±1(n_r), (A.36)

• relacje zawierające iloczyn skalarny jednego z wersorów bazy cyklicznej oraz wektora n_r× σ:

e₀· (n_r× σ) Ω_κµ(n_r) = i 4µκ

4κ²− 1Ω_−κµ(n_r) + i r

κ +¹₂^2− µ²

|2κ + 1| Ω_κ+1,µ(n_r)

−i r

κ −¹₂^2− µ²

|2κ − 1| Ω_κ−1,µ(n_r), (A.37)

e±1· (n_r× σ) Ω_κµ(n_r) = ∓i2

√ 2κ

r

κ²−^µ ± ¹₂^2

4κ²− 1 Ω_−κ,µ±1(n_r)

+i r

κ ± µ +¹₂^{ }κ ± µ +³₂^

√

2(2κ + 1) Ω_κ+1,µ±1(n_r)

+i r

κ ∓ µ −¹₂^{ }κ ∓ µ −³₂^

√2(2κ − 1) Ω_κ−1,µ±1(n_r), (A.38)

• relacja zawierająca iloczyn skalarny wektora n_r i wektora σ:

n_r· σΩ_κµ(n_r) = −Ω_−κµ(n_r). (A.39) Podczas separacji części kątowej i radialnej równania Diraca wykorzystuje się następujacą relację różniczkową dla spinorów sferycznych:

σ · ∇ F (r)Ω_κµ(n_r) = −

 d

dr + κ + 1 r



F (r)Ω−κµ(n_r), (A.40)

która po zastosowaniu podstawienia

F (r) = 1

rf (r) (A.41)

przyjmuje postać

σ · ∇

1

rf (r)Ωκµ(n_r)



= −1 r

 d dr +κ

r



f (r)Ω−κµ(n_r). (A.42) Wektor σ, pojawiający się w większości spośród wymienionych wyżej relacji, to wektor Pauliego, zbudowany w następujący sposób:

σ = [σx, σy, σz] , (A.43)

przy czym σ_x, σ_y oraz σ_z to macierze Pauliego, dane wzorami:

σx = 0 1 1 0

!

, σy = 0 −i i 0

!

, σz = 1 0 0 −1

!

. (A.44)

B Całki kątowe

We wszystkich zagadnieniach omawianych w niniejszej rozprawie mamy do czynienia z całkami po całej przestrzeni trójwymiarowej R³, które podlegają rozseparowaniu na część radialną i kątową.

Powstałe w wyniku tej separacji całki radialne zostaną przedstawione w uzupełnieniu C; w tym miejscu zaś omówimy całki kątowe.

Całki kątowe, pojawiające się w tej pracy, możemy sklasyfikować w następujący sposób:

• zawierające dwa spinory sferyczne i jedną harmonikę sferyczną²²: I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r) (B.1)

• zawierające dwa spinory sferyczne oraz iloczyn mieszany trzech wektorów:

I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r) n_z· (n_r× σ) Ω_−κ⁰_m(n_r). (B.2) Spełniają one szereg własności, z których najważniejsze z punktu widzenia tej pracy zostaną przed-stawione i udowodnione w niniejszym uzupełnieniu.

Zachodzą następujące relacje:

I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r) = (−)^L+lκ+lκ0 I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r), (B.3)

I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r) = I

4π

d²nrΩ^†_−κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_−κ⁰_m(n_r), (B.4)

I

4π

d²n_rΩ^†_−κµ(n_r) n_z·(n_r× σ) Ω_κ⁰_m(n_r) = − I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r) n_z·(n_r× σ) Ω_−κ⁰_m(n_r). (B.5) Dowód własności (B.3) opiera się na wykorzystaniu parzystości harmonik i spinorów sferycz-nych, tj.:

I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r) = I

4π

d²nrΩ^†_κµ(−n_r)Y_LM(−n_r)Ω_κ⁰_m(−n_r)

= I

4π

d²nr

h

(−)^lκΩ_κµ(n_r)^i† (−)^LYLM(n_r) (−)^lκ0Ω_κ⁰_m(n_r)

= (−)^L+lκ+lκ0 I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r). (B.6) Udowodnienie relacji (B.4) oraz (B.5) opiera się na wykorzystaniu relacji (A.39) oraz na ele-mentarnej algebrze macierzy Pauliego.

22Całki tego typu zostały obliczone przez autorkę tej pracy dwoma różnymi sposobami: Obok przedstawionej w rozprawie metody wykorzystującej jawne postaci harmonik sferycznych oraz relacje rekurencyjne dla spinorów sferycznych, alternatywnym sposobem wyznaczenia tego typu całek jest metoda oparta na teorii współczynników 3-j Wignera [93, 94].

Prawdziwość wzoru (B.4) pokażemy w następujący sposób:

I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r)(n_r· σ)²Y_LM(n_r)Ω_κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_r [(n_r· σ)Ω_κµ(n_r)]^†Y_LM(n_r)(n_r· σ)Ω_κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_r(−)Ω^†_−κµ(n_r)Y_LM(n_r)(−)Ω_−κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_rΩ^†_−κµ(n_r)Y_LM(n_r)Ω_−κ⁰_m(n_r).  (B.7) Dowód ostatniej z trzech wymienionych własności, czyli wzoru (B.5), przeprowadzimy w trzech etapach. Zapiszmy najpierw:

I

4π

d²nrΩ^†_−κµ(n_r) n_z· (n_r× σ) Ω_κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_r [−(n_r· σ)Ω_κµ(n_r)]^† n_z· (n_r× σ) [−(n_r· σ)Ω_−κ⁰_m(n_r)]

= I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r)(n_r· σ)^†n_z· (n_r× σ) (n_r· σ)Ω_−κ⁰_m(n_r)

= I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r)^h(n_r· σ) n_z· (n_r× σ) (n_r· σ)ⁱΩ_−κ⁰_m(n_r). (B.8) Rozważmy teraz część wyrażenia występującego w nawiasie kwadratowym w ostatnim wierszu powyższego wzoru. W oparciu o kilka elementarnych operacji wektorowych oraz trywialne własności macierzy Pauliego, mamy

[n_z· (n_r× σ)] (n_r· σ) = [σ · (n_z× n_r)] (σ · n_r) = [(n_z× n_r) · n_r] I + iσ · [(n_z× n_r) × n_r]

= −iσ · [n_r× (n_z× n_r)] = −iσ · [n_z(n_r· n_r) − n_r(n_r· n_z)]

= −iσ · [n_z− n_r(n_z· n_r)] . (B.9)

W związku z powyższym możemy napisać

(n_r· σ) [n_z· (n_r× σ)] (n_r· σ) = (n_r· σ)ⁿ− iσ · [n_z− n_r(n_z· n_r)]^o

= −i (n_r· σ) (σ · n_z) + i (n_r· σ) (σ · n_r) (n_z· n_r)

= −i [(n_r· n_z) I + iσ · (n_r× n_z)] + i (n_z· n_r) I

= −i (n_r· n_z) I + σ · (n_r× n_z) + i (n_r· n_z) I

= σ · (n_r× n_z) = n_z· (σ × n_r) . (B.10) Uwzględniając ostatnią równość we wzorze (B.8), dostajemy ostatecznie

I

4π

d²n_rΩ^†_−κµ(n_r) n_z· (n_r× σ) Ω_κ⁰_m(n_r) = I

4π

d²n_rΩ^†_κµ(n_r) n_z· (σ × n_r) Ω_−κ⁰_m(n_r)

= − I

4π

d²nrΩ^†_κµ(n_r) n_z· (n_r× σ) Ω_−κ⁰_m(n_r), (B.11) co kończy dowód własności (B.5).

C Całki radialne

Oprócz całek kątowych, omówionych w poprzednim uzupełnieniu, w niniejszej pracy wystąpiły również całki radialne, zawierające radialne funkcje falowe atomu (2.17)–(2.18) oraz radialne funkcje Sturma–Diraca–Coulomba (3.48)–(3.49). Wyznaczenie ich wartości stanowiło znaczną część wszyst-kich rachunków przeprowadzonych w ramach tej rozprawy. Dlatego też, aby zapewnić przejrzystość głównej części pracy, poszczególne etapy tychże rachunków zostały przedstawione w niniejszym uzupełnieniu.

Przypomnijmy tutaj postacie radialnych funkcji atomowych oraz radialnych sturmianów:

• radialne funkcje falowe relatywistycznego atomu jednoelektronowego:

P_nκ⁽⁰⁾(r) =

• radialne funkcje Sturma–Diraca–Coulomba dla E = Enκ⁽⁰⁾:

S_n⁽⁰⁾0κ⁰(2λr) =

C.1 Kilka typów całek radialnych

W zależności od relacji pomiędzy liczbami κ oraz κ⁰, jak również od sposobu zestawienia wyżej wymienionych funkcji w wyrażeniach podcałkowych, całki radialne podzielimy na kilka charakte-rystycznych grup.

Pierwszą grupę stanowią całki pojawiające się przy rozpatrywaniu symetrii κ⁰= −κ ± 1 układu, posiadające następujące struktury:

przy czym L przyjmuje wartości całkowite, zaś C oznacza dowolną stałą, niezależną od zmiennej całkowania. Mimo iż w rozprawie zostały wykorzystane tylko całki, dla których C = 1 lub C = µ⁽⁰⁾_n0κ⁰, zaś L przyjmuje wartości ze zbioru {+1, ±2}, postaramy się uzyskać jak najogólniejsze wyrażenie.

W tym celu do wzorów (C.5) i (C.6) wstawiamy wyrażenia (C.1)–(C.4), a następnie atomowe wielomiany Laguerre’a²³rozwijamy w bazie jednomianów (D.5). Otrzymane w ten sposób wyrażenia całkujemy według przepisu (D.18) i dostajemy:

I₁(L, C) = A₀ sαZ

Nnκ

 1 2λ

L+1 Γ(n + 2γ_κ) (|n⁰| − 1)!(N_n⁰_κ⁰+ κ⁰)

×

n

X

k=0

(−)^k k!

Γ(γ_κ+ γ_κ⁰+ L + k + 1)Γ(|n⁰| + γ_κ⁰− γ_κ− L − k − 1) Γ(n − k + 1)Γ(k + 2γ_κ+ 1)Γ(γ_κ⁰− γ_κ− L − k)

× (

(C + 1)^h(n − k)(N_n⁰_κ⁰+ κ⁰) + (κ − N_nκ)(|n⁰| + γ_κ⁰− γ_κ− L − k − 1)ⁱ

−(C − 1)^h(κ − N_nκ)(N_n⁰_κ⁰+ κ⁰) + (n − k)(|n⁰| + γ_κ⁰ − γ_κ− L − k − 1)ⁱ )

(C.7) oraz

I₂(L, C) = A₀ s

N_nκ αZ

 1 2λ

L+1 Γ(n + 2γ_κ) (|n⁰| − 1)!(N_n⁰_κ⁰ + κ⁰)

×

n

X

k=0

(−)^k k!

Γ(γ_κ+ γ_κ⁰ + L + k + 1)Γ(|n⁰| + γ_κ⁰ − γ_κ− L − k − 1) Γ(n − k + 1)Γ(k + 2γ_κ+ 1)Γ(γ_κ⁰ − γ_κ− L − k)

× (

(C + 1)^h(N_n⁰_κ⁰+ κ⁰)^(n − k) + (κ − N_nκ)^

−(|n⁰| + γ_κ⁰ − γ_κ− L − k − 1)^(κ − N_nκ) + (n − k)^i +(C − 1)^h(N_n⁰_κ⁰ + κ⁰)^(κ − N_nκ) + (n − k)^

−(|n⁰| + γ_κ⁰ − γ_κ− L − k − 1)^(n − k) + (κ − N_nκ)^i )

, (C.8)

gdzie wprowadzono oznaczenie

A₀=

s αλ(n + 2γκ)n!(|n⁰| + 2γ_κ⁰)|n⁰|!

4N_nκ(N_nκ− κ)N_n⁰_κ⁰(N_n⁰_κ⁰ − κ⁰)Γ(n + 2γ_κ)Γ(|n⁰| + 2γ_κ⁰). (C.9) Przy wyprowadzaniu wzorów (C.7)–(C.8) skorzystano z zależności (4.41).

Podczas rozważania symetrii κ⁰ = κ pojawia się znacznie więcej rodzajów całek radialnych.

Wyróżnijmy najpierw następującą klasę całek:

J₁(L, C) = Z ∞

0

dr r^LhCQ⁽⁰⁾_nκ(r)S_n⁽⁰⁾0κ(2λr) + P_nκ⁽⁰⁾(r)T_n⁽⁰⁾0κ(2λr)ⁱ, (C.10)

23Określenie atomowe odnosi się do tych uogólnionych wielomianów Laguerre’a, które występują w definicjach (C.1)–(C.2).

J₂(L, C) = Z ∞

0

dr r^LhCP_nκ⁽⁰⁾(r)S_n⁽⁰⁾0κ(2λr) + Q⁽⁰⁾_nκ(r)T_n⁽⁰⁾0κ(2λr)ⁱ, (C.11) gdzie L jest liczbą całkowitą, natomiast C to pewna stała, niezależna od zmiennej całkowania.

Z punktu widzenia niniejszej rozprawy interesują nas przypadki, dla których C = µ⁽⁰⁾_n0κ lub C = 1, natomiast L przyjmuje wartości ze zbioru {1, 2}. Wyprowadzenie wzorów dla tych szczególnych całek wiąże się ze żmudnymi rachunkami, zatem ograniczymy się tutaj do podania ostatecznych wyrażeń, wspominając po drodze o sposobie ich liczenia. I tak: w równaniach (C.10)–(C.11) wy-korzystujemy wzory (C.1)–(C.2) oraz (C.3)–(C.4), pamiętając, by w tych drugich dokonać podsta-wienia κ⁰ = κ. W kolejnym kroku stosujemy relacje (D.10) i (D.19) dla wielomianów Laguerre’a i dochodzimy do następujących wyników:

J₁(1, 1) = 2A₁ sαZ

Nnκ

 1 2λ

2 Γ(n + 2γ_κ) n!(|n⁰| + 2γ_κ)

× (

− n^h(n − 1)(n + 2γ_κ− 1) − (κ − N_nκ)(κ − N_n⁰_κ)ⁱδ|n⁰|,n−1

+^hn(n + 2γκ)(2n + 2γ_κ− 1) − (κ−N_nκ)(κ−N_n⁰_κ)(2n + 2γ_κ+ 1)ⁱδ_|n⁰_|,n

−(n + 2γ_κ+ 1)^hn(n + 2γ_κ) − (κ − N_nκ)(κ − N_n⁰_κ)ⁱδ_|n⁰_|,n+1 )

, (C.12)

J₂(2, 1) = 2A₁ s

N_nκ αZ

 1 2λ

3 Γ(n + 2γ_κ) n!(|n⁰| + 2γ_κ)

(

_nκn(n − 1)(n − 2)(κ − N_n⁰_κ)δ_|n0|,n−3

+n(n−1) (n−2)(n + 2γ_κ− 2) + (κ−N_n⁰_κ)[κ−N_nκ− 4_nκ(n + γ_κ− 1)]

!

δ_|n⁰_|,n−2

−n 2(κ − N_n⁰_κ)[(n + γ_κ)(3_nκ+ 2κ − 2N_n⁰_κ) − _nκ(3n²+ 6nγ_κ+ 2γ_κ²+ 1)]

+(n − 1)(n + 2γ_κ− 1)[4(n + γ_κ− 1) + _nκ(κ − N_nκ)]

!

δ_|n⁰_|,n−1

−2(N_nκ− κ) 2_nκ(n + γ_κ)(N_nκ+ κ)(2κ − N_nκ− N_n⁰_κ)

+3(n + γ_κ)(2κ+N_nκ−N_n⁰_κ) − (N_nκ+N_n⁰_κ)(3n²+ 6nγ_κ+ 2γ_κ²+ 1)

! δ_|n⁰_|,n

+(n + 2γ_κ+ 1)(κ − N_nκ) 2(n + γ_κ)(3_nκ+ N_nκ+ N_n⁰_κ)

+2_nκ(3n²+ 6nγ_κ+ 2γ_κ²+ 1) − (κ − N_n⁰_κ)[_nκ(N_nκ+ κ) + 4]

!

δ|n⁰|,n+1

−(n + 2γ_κ+ 1)(n + 2γ_κ+ 2)(κ−N_nκ) [4_nκ(n + γ_κ+ 1)+N_nκ+N_n⁰_κ] δ_|n0|,n+2

+_nκ(n + 2γ_κ+ 1)(n + 2γ_κ+ 2)(n + 2γ_κ+ 3)(κ−N_nκ)δ_|n0|,n+3

)

, (C.13)

J₁(1, µ⁽⁰⁾_n0κ) = A₁

przy czym parametr _nκ został zdefiniowany poprzez (2.20), wartość własną µ⁽⁰⁾_n0κ określa wzór (4.33), natomiast stałą A₁ otrzymujemy, kładąc w wyrażeniu (C.9) κ⁰= κ:

A1=

s αλ(n + 2γ_κ)n!(|n⁰| + 2γ_κ)|n⁰|!

4N_nκ(N_nκ− κ)N_n⁰_κ(N_n⁰_κ− κ)Γ(n + 2γ_κ)Γ(|n⁰| + 2γ_κ). (C.15) Kolejną rozpatrywaną grupę stanowią całki zawierające radialne funkcje falowe (C.1)–(C.2) oraz wyraz r^k, gdzie k ∈ {+1, ±2}. Naszym najbliższym zadaniem będzie wyznaczenie wartości następujących wyrażeń: Aby obliczyć wartości powyższych całek, do wzorów (C.16)–(C.19) wstawiamy wyrażenia (C.1)–

(C.2), po czym dokonujemy transformacji zmiennej całkowania: x = 2λr. Na tym etapie otrzymu-jemy wyrażenia

R−=− (n + 2γ_κ)n! Dalszy tok rozumowania będzie uzależniony od tego, czy parametr δ (obecny w podcałkowych czynnikach x^2γκ+δ) jest dodatni, czy ujemny. W związku z tym, całki R₊, R₋ oraz ˜R₊₁ będziemy obliczać “zbiorowo”, zaś ˜R−2 wyznaczymy dalej innym sposobem.

A zatem, we wzorach (C.20)–(C.22) podnosimy rząd wielomianów Laguerre’a, korzystając przy tym z relacji (D.10) jedno- lub dwukrotnie, po czym wykonujemy całkowanie, uwzględniając jed-nocześnie relację ortogonalności (D.19). Na koniec wstawiamy wyrażenia na parametry _nκ oraz λ, czyli wzory (3.45) i (2.20), i po dość żmudnym porządkowaniu dostajemy ostatecznie

R+= a²₀ W celu wyznaczenia całki ˜R−2 przepiszemy ją w postaci:

R˜−2 = αZ³ gdzie I(n − 1, n − 1) oraz I(n, n) to całki zdefiniowane za pomocą (D.26). Wykorzystując następnie ich wartości określone wzorem (D.27), otrzymujemy w rezultacie:

R˜−2= αZ³ a²₀

2κ(n + γ_κ) − N_nκ

N_nκ⁴ γ_κ(4γ_κ²− 1) . (C.28)

W dokumencie Jednoelektronowy atom Diraca w słabym polu magnetycznym (Stron 117-128)