Podrozmaitości

gdzie σ₁, . . . , σ_r−1 ∈ {−1, 1}, fj,k są klasy C^∞oraz f_j,k = f_k,j, j, k = r, . . . , n. Zauważmy, że przypadek r = 1, to Wniosek 2.16.2, zaś r = n+1, to teza Twierdzenia Morse’a. Przechodzimy do kroku indukcyjnego r r + 1.

Ponieważ macierz g⁰⁰(0) jest nieosobliwa, zatem macierz [fj,k(0)]j,k=r,...,nmusi być również nieosobliwa.

Po liniowej zmianie współrzędnych xr, . . . , xn możemy uzyskać sytuację, w której fr,r(0) 6= 0. Oznaczmy przez eΦr dyfeomorfizm powstały ze złożenia tej zmiany współrzędnych z dyfeomorfizmem Φr. Niech σr:= sgn(fr,r(0)) i niech U będzie otoczeniem zera takim, że sgn(fr,r(x)) = σr, x ∈ U . Niech dyfeomorfizmem V −→ Ψ (V ) w pewnym otoczeniu zera V ⊂ U . Łatwo sprawdzić (Ćwiczenie), że

(f ◦ eΦr◦ Ψ⁻¹)(x⁰) =

co kończy dowód kroku indukcyjnego. 

2.17. Podrozmaitości

Definicja 2.17.1. Niech Ω ∈ top Rⁿ, M ⊂ Ω, d ∈ Z⁺∩ [0, n], k ∈ N ∪ {∞, ω}. Mówimy, że zbiór M jest d–wymiarową podrozmaitością Ω klasy C^k jeżeli M jest zbiorem relatywnie domkniętym w Ω oraz:

• dla d = 0: M jest zbiorem dyskretnym ⁴⁹
_50
51

,

• dla 16 d 6 n: spełniony jest następujący warunek:

∀a∈M ∃_{P ∈top R}d ∃U ∈top M : a∈U ∃p:P →U :

2. Różniczkowanie odwzorowań

Zauważmy, że dla d = n, na podstawie twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, powyższe warunki oznaczają, że M jest podzbiorem otwartym Rⁿ. Ponieważ M jest jednocześnie podzbiorem domkniętym Ω, to dla d = n podrozmaitość M musi być sumą pewnej liczby składowych otwartych Ω ⁵²
.

W powyższej sytuacji mówimy, że p : P −→ U jest lokalną parametryzacją (dla U ), zaś p⁻¹: U −→ P jest mapą (na U ).

Każdą rodzinę map p⁻¹_i : U_i −→ Pi, i ∈ I, taką że S

i∈I

U_i= M nazywamy atlasem na M . Zauważmy, że na podstawie twierdzenia Lindelöfa (1.1.21), z dowolnego atlasu na M można wybrać podatlas prze-liczalny.

Zbiór M ⊂ Rⁿnazywamy lokalnie d–wymiarową podrozmaitością klasy C^kw Rⁿ, jeżeli dowolny punkt a ∈ M posiada otoczenie otwarte Ωa takie, że M ∩ Ωa jest d–wymiarową podrozmaitością Ωa klasy C^k.

Zauważmy, że dla d = 0, M jest zbiorem dyskretnym, zaś dla d = n, M jest zbiorem otwartym.

Niech Ω := S

a∈M

Ωa. Widać, że M jest zbiorem domkniętym w Ω i w takim razie, M jest d–wymiarową podrozmaitością Ω klasy C^k. Oznacza to, że każda podrozmaitość „lokalna” jest podrozmaitością stosow-nego zbioru otwartego.

W dalszym ciągu, pisząc „M jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ” będziemy mieli na myśli podrozmaitość „lokalną”.

Obserwacja 2.17.2. (a) W R nie ma nietrywialnych podrozmaitości.

(b) Jeżeli M jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ i N ∈ top M , to N jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ.

(c) Jeżeli p : P −→ U jest lokalną parametryzacją, zaś ϕ : Q −→ P — dowolnym dyfeomorfizmem klasy C^k (Q ∈ top R^d), to p ◦ ϕ : Q −→ U jest również lokalną parametryzacją.

(d) W szczególności, jeżeli M jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ i 1 6 d 6 n, to dla każdego punktu a ∈ M istnieje lokalna parametryzacja p : ∆^d −→ U ⁵³

taka, że p(0) = a. Z tych samych powodów możemy zawsze znaleźć parametryzację p : R^d−→ U taką, że p(0) = a ⁵⁴
. (e) Każda podrozmaitość klasy C^k jest klasy C<sup>`</sup> dla dowolnego 16 ` 6 k − 1.

(f) Każdy wykres M := {(t, ϕ(t)) : t ∈ P }, gdzie 1 6 d 6 n − 1, P ∈ top R^d i ϕ ∈ C^k(P, R^n−d), jest d–wymiarową podrozmaitością P × R^n−d klasy C^k.

(g) Jeżeli M jest d–wymiarową podrozmaitością Ω klasy C^k i Φ : Ω −→ Ω⁰(Ω⁰ ∈ top Rⁿ) jest dyfeomor-fizmem klasy C^k, to M⁰:= Φ(M ) jest d–wymiarową podrozmaitością Ω⁰ klasy C^k.

Istotnie, przypadki d = 0 i d = n są trywialne. Dla 1 6 d 6 n − 1, wystarczy pokazać, że jeżeli p : P −→ U jest lokalną parametryzacją dla U ∈ top M , to Φ ◦ p : P −→ Φ(U ) jest lokalną parametryzacją dla Φ(U ). Jedyną wątpliwość może budzić ostatni warunek z rzędem. Mamy: (Φ ◦ p)⁰(t) = Φ⁰(p(t)) ◦ p⁰(t). Ponadto, Φ⁰(x) jest macierzą nieosobliwą dla dowolnego x ∈ Ω (ponieważ Φ jest dyfeomorfizmem). Teraz już widać, że rank(Φ ◦ p)⁰(t) = rank p⁰(t) = d dla dowolnego t ∈ P . (h) Każda d–wymiarowa płaszczyzna afiniczna M ⊂ Rⁿ jest d–wymiarową podrozmaitością Rⁿ klasy

C^ω.

Istotnie, przypadki d = 0 i d = n są trywialne. Dla 1 6 d 6 n − 1, jeżeli M = x0+ V , gdzie V jest d–wymiarową podprzestrzenią wektorową Rⁿ, to dla dowolnej bazy v₁, . . . , v_d przestrzeni V odwzorowanie

R^d3 (t1, . . . , td) 7−→ x0+ t1v1+ · · · + tdvd∈ M jest (globalną) parametryzacją M klasy C^ω — Ćwiczenie.

(i) (n − 1)–wymiarowa jednostkowa sfera euklidesowa Sn−1

Sn−1:= {x ∈ Rⁿ: kxk = 1} = ∂Bn

jest (n − 1)–wymiarową podrozmaitością Rⁿ klasy C^ω.

Istotnie, jeżeli np. U_n⁺:= {x ∈ Sⁿ⁻¹: xn > 0}, to odwzorowanie Bn−13 x⁰ 7−→ (x⁰,p

1 − kx⁰k²) ∈ U_n⁺

52
W szczególności, dla d = n klasa C^kjest obojętna.

53
∆ := (−1, 1).

54
Wystarczy zauważyć, że istnieje C^∞–dyfeomorfizm ϕ : R^d−→ ∆^dtaki, że ϕ(0) = 0 — Ćwiczenie.

2.17. Podrozmaitości

jest lokalną parametryzacją U_n⁺klasy C^ω— por. (f). Podobnie możemy sparametryzować każdy z 2n zbiorów U_j^±:= {x ∈ Sⁿ⁻¹: ±xj > 0}, j = 1, . . . , n ⁵⁵
.

(j) Zbiór M := {(x, y) ∈ R² : x³ = y²} nie jest jednowymiarową podrozmaitością klasy C¹ w R², ale odwzorowanie p : R −→ M , p(t) := (t², t³), jest homeomorfizmem klasy C^{∞ 56}
.

Istotnie, przypuśćmy, że q = (f, g) : ∆ −→ M jest odwzorowaniem różniczkowalnym w t = 0 takim, że q(0) = (0, 0). Wtedy f³ ≡ g². Po podzieleniu przez t² i przejściu z t do zera dostajemy (f⁰(0))²f (0) = (g⁰(0))², co daje g⁰(0) = 0. Dzieląc z kolei przez t³ mamy: (f (t)/t)³ = (g(t)/t)²(¹_t).

Przy t −→ 0 lewa strona zmierza do (f⁰(0))³, zaś prawa jest 6 0 dla t < 0 i > 0 dla t > 0. Stąd:

f⁰(0) = 0. Tak więc q⁰(0) = (0, 0), a zatem q nie może być parametryzacją.

Twierdzenie 2.17.3 (Opisy podrozmaitości). Niech M ⊂ Rⁿ, 16 d 6 n − 1, k ∈ N ∪ {∞, ω}. Wtedy następujące warunki są równoważne:

(i) M jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ; (ii) ∀a∈M ∃d⁰>d∃_{P ∈top R}d0 ∃U ∈top M : a∈U ∃p:P →U :

p : P −→ U jest odwzorowaniem otwartym ⁵⁷
, p(P ) = U ,

p ∈ C^k(P, Rⁿ), rank p⁰(t) = d, t ∈ P ; (iii) ∀a∈M ∃_{Ω∈top R}ⁿ: a∈Ω∃Φ:Ω−→∆ⁿ:

Φ jest dyfeomorfizmem klasy C^k, Φ(M ∩ Ω) = ∆^d× {0}^{n−d 58}
;

(iv) ∀_a∈M ∃_{Ω∈top R}ⁿ: a∈Ω∃_{Q∈top R}ⁿ ∃_{V ⊂R}ⁿ ∃Φ:Ω−→Q: V jest d–wymiarową podprzestrzenią wektorową Rⁿ, Φ jest dyfeomorfizmem klasy C^k,

Φ(M ∩ Ω) = V ∩ Q;

(v) ∀a∈M ∃<sub>`>n−d</sub>∃<sub>Ω∈top R</sub><sup>n</sup>: a∈Ω∃<sub>f ∈C</sub>k(Ω,R<sup>`</sup>): M ∩ Ω = f⁻¹(0),

rank f⁰(x) = n − d, x ∈ Ω;

(vi) ∀_a∈M ∃_{Ω∈top R}n: a∈Ω∃_{f ∈C}k(Ω,R^n−d): M ∩ Ω = f⁻¹(0),

rank f⁰(x) = n − d, x ∈ Ω;

(vii) ∀a∈M ∃_{Ω∈top R}ⁿ: a∈Ω∃_{P ∈top R}d∃_ϕ∈Ck(P,R^n−d)∃σ∈Σ_n : P jest wypukły,

σ(M ∩ Ω) = {(t, ϕ(t)) : t ∈ P },

gdzie σ : Rⁿ−→ Rⁿ, σ(x1, . . . , xn) := (x_σ(1), . . . , x_σ(n));

(viii) ∀_a∈M ∃_{Ω∈top R}n: a∈Ω∃_{P ∈top R}d∃_{p:P −→M ∩Ω}∃_s:Ω−→P : P jest wypukły,

p ∈ C^k(P, Rⁿ), s ∈ C^k(Ω, R^d), M ∩ Ω = p(P ), s ◦ p = idP. ⁵⁹

Można wykazać następujące wysoce nietrywialne twierdzenie.

Twierdzenie* 2.17.4 (Zob. Twierdzenie 6.14.1). Dla dowolnej d–wymiarowej podrozmaitości M klasy C^k (k ∈ N ∪ {∞}) istnieje otoczenie otwarte Ω ⊂ Rⁿ oraz globalna retrakcja r : Ω −→ M klasy C^k. Dowód . Implikacje (i) =⇒ (ii), (iii) =⇒ (iv) są oczywiste.

(ii) =⇒ (iii): Niech a = p(t₀). Na podstawie twierdzenia o rzędzie istnieją zbiory otwarte A ∈ top P , B ∈ top Rⁿ oraz C^k–dyfeomorfizmy α : ∆^d0 −→ A, β : B −→ ∆ⁿtakie, że α(0) = t0, β(a) = 0, p(A) ⊂ B

55
Czy 2n jest minimalną liczbą lokalnych parametryzacji „pokrywających” w sumie całą sferę Sn−1?

56
Uwaga: p⁰(0) = (0, 0).

57
Tzn. p(top P ) ⊂ top U .

58
Takie odwzorowanie Φ będziemy nazywać odwzorowaniem rozpłaszczającym.

59
Zauważmy, że odwzorowanie r := p ◦ s : Ω −→ M ∩ Ω jest retrakcją klasy C^k(odwzorowanie r : A −→ B, gdzie B ⊂ A, nosi nazwę retrakcji, jeżeli r = id na B).

2. Różniczkowanie odwzorowań i β ◦ p ◦ α = (pr_Rd, 0) na ∆^d0.

A −−−−→^p Ω −−−−→ B^⊂

α

x



 ^β





y ^β



 y

∆^d0 −−−−−→ τ ∆^{(prRd,0) n} −−−−→ ∆^{⊂ n}

Niech Ω⁰∈ top B będzie taki, że p(A) = M ∩Ω⁰(korzystamy tu z otwartości p). Zauważmy, że β(M ∩Ω⁰) =

∆^d× {0}^n−d. Weźmy τ > 0 takie, że τ ∆ⁿ ⊂ β(Ω⁰). Niech Ω := β⁻¹(τ ∆ⁿ). Zdefiniujmy Φ := ¹_τβ|_Ω : Ω −→ ∆ⁿ. Odwzorowanie Φ jest oczywiście dyfeomorfizmem klasy C^k. Ponadto, widać, że ∆^d×{0}^n−d= Φ(M ∩ Ω).

(iv) =⇒ (v): Niech L : Rⁿ −→ Rⁿ będzie izomorfizmem liniowym takim, że L(V ) = {0}^n−d× R^d. Zdefiniujmy g := L ◦ Φ, f := (g1, . . . , gn−d) (` := n − d).

(v) =⇒ (vi): Na podstawie twierdzenia o rzędzie istnieją zbiory otwarte A ⊂ Rⁿ, B ⊂ R^{`</sup> oraz dyfeomorfizmy klasy C<sup>k</sup> α : ∆<sup>n</sup>−→ A, β : B −→ ∆<sup>`}takie, że a ∈ A ⊂ Ω, α(0) = a, f (A) ⊂ B, β(0) = 0, β ◦ f ◦ α = (pr_Rn−d, 0) na ∆ⁿ.

A −−−−→^f B

α

x







 y^β

∆ⁿ −−−−−−−→ ∆^{(prRn−d,0) `}

Niech g := α⁻¹, h := (g₁, . . . , g_n−d). Oczywiście rank h⁰(x) = n − d, x ∈ ∆ⁿ, oraz M ∩ A = h⁻¹(0).

(vi) =⇒ (vii): Po permutacji zmiennych, można założyć, że deth ∂f_i

∂xd+j

(a)i

i,j=1,...,n−d 6= 0.

Teraz wystarczy tylko skorzystać z twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym ⁶⁰
. (vii) =⇒ (viii): Niech

p(t) := σ⁻¹(t, ϕ(t)), t ∈ P, s(x) := pr_Rd(σ(x)), x ∈ Rⁿ.

Oczywiście, M ∩ Ω = p(P ) oraz s ◦ p = id_P. Pozostaje tylko zmodyfikować zbiór Ω i zastąpić go przez s⁻¹(P ).

(viii) =⇒ (i): Niech U := M ∩ Ω. Oczywiście p : P −→ U jest homeomorfizmem (p⁻¹ = s|U).

Pozostaje zauważyć, że ze związku s⁰(p(t)) ◦ p⁰(t) = id_Rd, t ∈ P , wynika łatwo, że rank p⁰(t) = d dla

t ∈ P . 

Obserwacja 2.17.5. Niech Ω := (Rⁿ)_∗, f (x) := kxk²− 1, x ∈ Ω.

Wtedy rank f⁰(x) = 1, x ∈ Ω, oraz f⁻¹(0) = Sn−1, a zatem na podstawie Twierdzenia 2.17.3(vi), Sn−1 jest (n − 1)–wymiarową podrozmaitością klasy C^∞ (por. Obserwacja 2.17.2(i)).

Propozycja 2.17.6. Niech Ω ⊂ Rⁿ będzie zbiorem otwartym i niech f : Ω −→ R^m będzie odwzorowa-niem klasy C^k (k ∈ N ∪ {∞, ω}) o stałym rzędzie d. Wtedy dowolny punkt a ∈ Ω ma otoczenie otwarte U ⊂ Ω takie, że f (U ) jest d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w R^m.

Dowód . Przypadek d = 0 jest trywialny, bowiem wtedy f jest stałe na każdej składowej zbioru Ω. Niech 1 6 d 6 min{m, n}. Ustalmy a ∈ Ω. Na podstawie twierdzenia o rzędzie istnieją:

• zbiory otwarte U ⊂ Ω, V ⊂ R^m,

• dyfeomorfizmy klasy C^k α : ∆ⁿ−→ U , β : V −→ ∆^m takie, że

• α(0) = a, β(f (a)) = 0, f (U ) ⊂ V ,

• β ◦ f ◦ α(t1, . . . , tn) = (t1, . . . , td, 0, . . . , 0

| {z }

(m−d)×

), t = (t1, . . . , tn) ∈ ∆ⁿ.

W tej sytuacji f (U ) = β⁻¹(∆^d × {0}^m−d), skąd oczywiście wynika, że f (U ) jest d–wymiarową

podrozmaitością klasy C^k w R^m. 

60
Trzeba zauważyć, że zbiór U1w twierdzeniu o odwzorowaniu uwikłanym (a więc P w (vii)) można zawsze wybrać w klasie obszarów wypukłych.

2.17. Podrozmaitości

Propozycja 2.17.7. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k (1 6 d 6 n) i niech p : P −→ U , q : Q −→ V będą dwiema lokalnymi parametryzacjami takimi, że U ∩ V 6= ∅. Wtedy odwzorowanie

ϕ := p⁻¹◦ q : q⁻¹(U ∩ V ) −→ p⁻¹(U ∩ V ) jest dyfeomorfizmem klasy C^{k 61}
.

Dowód . Przypadek d = n jest oczywisty. Załóżmy, że d 6 n − 1. Oczywiście, ϕ jest homeomorfizmem.

Wystarczy więc sprawdzić, że jest klasy C^k (a następnie zamienić rolami p i q). Problem ma teraz charakter lokalny. Ustalmy a ∈ U ∩ V i niech p(t0) = a = q(u0). Na podstawie twierdzenia o rzędzie istnieją otoczenie A1 punktu t0 w P , otoczenie A2 punktu u0 w Q, otoczenia B1, B2 punktu a w Rⁿ, dyfeomorfizmy klasy C^k αj : ∆^d −→ Aj, βj : Bj −→ ∆ⁿ, j = 1, 2, takie, że: p(A1) ⊂ B1, q(A2) ⊂ B2, α1(0) = t0, α2(0) = u0, βj(a) = 0, j = 1, 2, β1◦ p ◦ α1(ξ) = (ξ, 0), ξ ∈ ∆^d, β2◦ q ◦ α2(η) = (η, 0), η ∈ ∆^d.

A1

−−−−→ Bp 1 B2

←−−−− Aq 2 α1

x









y^{β1 β2}



 y

x



^α2

∆^d −−−−→ ∆^{(id,0) n} ∆ⁿ ←−−−− ∆^{(id,0) d} Stąd wynika, że na zbiorze q⁻¹(p(A1) ∩ B2) zachodzi równość

ϕ = p⁻¹◦ q = α1◦ pr_Rd◦β1◦ β₂⁻¹◦ (α⁻¹₂ , 0),

która dowodzi, że ϕ jest klasy C^k w otoczeniu u0. 

Definicja 2.17.8. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k (16 d 6 n) i niech F będzie dowolną przestrzenią unormowaną. Powiemy, że odwzorowanie f : M −→ F jest k–krotnie różniczkowalne w punkcie a ∈ M (f ∈D^k(M, F ; a)) jeżeli dla dowolnej parametryzacji lokalnej p : P −→ U takiej, że a ∈ U , f ◦ p ∈D^k(P, F ; p⁻¹(a)).

Podobnie, powiemy, że odwzorowanie f : M −→ F jest klasy C^k na M (f ∈ C^k(M, F )), jeżeli dla dowolnej parametryzacji lokalnej p : P −→ U odwzorowanie f ◦ p jest klasy C^k(P, F ).

Zauważmy, że dla d = n wprowadzone powyżej pojęcia są zgodne ze standardowymi definicjami.

Obserwacja 2.17.9. (a) D^k(M, F ; a) i C^k(M, F ) są przestrzeniami wektorowymi.

(b) Jeżeli f ∈ D^k(M, F ; a) i ψ ∈ D^k(Ω, G; f (a)) (gdzie Ω jest zbiorem otwartym w F , zaś G jest przestrzenią unormowaną i f (M ) ⊂ Ω), to ψ ◦ f ∈D^k(M, G; a).

(c) Jeżeli f ∈ C^k(M, F ), f (M ) ⊂ Ω i ψ ∈ C^k(Ω, G), to ψ ◦ f ∈ C^k(M, G).

Propozycja 2.17.10. Dla dowolnego odwzorowania f : M −→ F i punktu a ∈ M następujące warunki są równoważne:

(i) f ∈D^k(M, F ; a);

(ii) istnieje lokalna parametryzacja p : P −→ U taka, że a ∈ U i f ◦ p ∈D^k(P, F ; p⁻¹(a)).

(iii) istnieje otoczenie Ω ⊂ Rⁿ punktu a oraz ef : Ω −→ F takie, że ef ∈ D^k(Ω, F ; a) oraz ef = f na M ∩ Ω.

Dowód . To, że (i) ⇐⇒ (ii) wynika wprost z Propozycji 2.17.7.

(i) =⇒ (iii): Niech Ω, P , p, s będą takie, jak w Twierdzeniu 2.17.3(viii). Przypomnijmy, że p : P −→ M ∩ Ω jest lokalną parametryzacją (por. dowód implikacji (viii) =⇒ (i) w Twierdzeniu 2.17.3).

Zdefiniujmy ef := (f ◦ p) ◦ s. Oczywiście, ef = f na M ∩ Ω oraz ef ∈D^k(Ω, F ; a).

(iii) =⇒ (i): Rozważmy dowolną parametryzację lokalną p : P −→ U (a ∈ U ) i niech p(t0) = a. Niech Ω, ef będą jak w (iii). Możemy założyć, że U ⊂ Ω. Wtedy f ◦ p = ef ◦ p, a stąd oczywiście wynika, że

f ◦ p ∈D^k(P, F ; t₀). 

W ten sam sposób można wykazać następujący wynik (Ćwiczenie).

Propozycja 2.17.11. Dla dowolnego odwzorowania f : M −→ F następujące warunki są równoważne:

61
Odwzorowanie ϕ nosi nazwę funkcji przejścia.

2. Różniczkowanie odwzorowań (i) f ∈ C^k(M, F );

(ii) dla dowolnego punktu a ∈ M istnieje lokalna parametryzacja p : P −→ U taka, że a ∈ U i f ◦ p ∈ C^k(P, F );

(iii) dla dowolnego punktu a ∈ M istnieje otoczenie Ω ⊂ Rⁿ oraz ef ∈ C^k(Ω, F ) takie, że ef = f na M ∩ Ω.

Obserwacja 2.17.12. (a) Jeżeli p : P −→ U jest lokalną parametryzacją klasy C^k, to p⁻¹∈ C^k(U, R^d).

(b) Jeżeli ϕ ∈ D^k(Ω, Rⁿ; u0) (Ω ∈ top E, zaś E jest przestrzenią unormowaną), ϕ(Ω) ⊂ M i f ∈ D^k(M, F ; ϕ(u0)), to f ◦ ϕ ∈D^k(Ω, F ; u0).

Istotnie, wystarczy wykorzystać Propozycję 2.17.10(iii) i zauważyć, że w otoczeniu punktu u0

mamy f ◦ ϕ = ef ◦ ϕ.

(c) Jeżeli ϕ ∈ C^k(Ω, Rⁿ), ϕ(Ω) ⊂ M i f ∈ C^k(M, F ), to f ◦ ϕ ∈ C^k(Ω, F ).

Istotnie, wystarczy wykorzystać lokalnie Propozycję 2.17.11(iii).

Definicja 2.17.13. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C¹ w Rⁿ (16 d 6 n). Niech a ∈ M i niech p : P −→ U będzie dowolną lokalną parametryzacją taką, że a ∈ U . Przyjmijmy, że a = p(t0). Przestrzeń

TaM := p⁰(t0)(R^d) nazywamy przestrzenią styczną do M w punkcie a.

Oczywiście, jeżeli d = n, to TaM = Rⁿ.

Zauważmy, że definicja jest poprawna, bowiem na podstawie Propozycji 2.17.7, jeżeli q : Q −→ V jest jakąś inną parametryzacją taką, że q(u0) = a, to q = p◦ϕ, gdzie ϕ jest dyfeomorfizmem klasy C¹, ϕ(u0) = t0. W szczególności, ponieważ ϕ⁰(u0) jest izomorfizmem, zatem q⁰(u0)(R^d) = p⁰(t0)(ϕ⁰(u0)(R^d)) = p⁰(t0)(R^d).

Przyjmujemy ponadto, że TaM := {0}, jeżeli d = 0.

Oczywiście dim TaM = d.

Propozycja 2.17.14. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C¹ w Rⁿ (16 d 6 n − 1), a ∈ M i niech Ω ∈ top Rⁿ, f ∈ C¹(Ω, R^`) będzie takie, że a ∈ Ω, M ∩ Ω = f⁻¹(0) i rank f⁰(x) = n − d, x ∈ Ω ⁶²
. Wtedy TaM = Ker f⁰(a).

Dowód . Niech V := Ker f⁰(a). Odnotujmy, że dim V = d. Niech p : P −→ U , U ⊂ Ω, będzie dowolną lokalną parametryzacją, p(t0) = a. Ponieważ f ◦ p ≡ 0, zatem f⁰(a) ◦ p⁰(t0) = 0, a stąd TaM ⊂ V , co

wobec równości wymiarów, daje żądaną równość. 

Propozycja 2.17.15 (Równoważne opisy przestrzeni stycznej). Niech M będzie d–wymiarową podroz-maitością klasy C^k w Rⁿ (16 d 6 n − 1), a ∈ M , X ∈ Rⁿ. Następujące warunki są równoważne:

(i) X ∈ TaM ;

(ii) istnieje ε > 0 oraz odwzorowanie γ : (−ε, ε) −→ M klasy C^{k 63}

takie, że γ(0) = a, γ⁰(0) = X;

(iii) istnieją ciągi (aν)^∞_ν=1⊂ M , (rν)^∞_ν=1⊂ (0, +∞) takie, że

a_ν −→ a, r_ν(a_ν− a) −→ X. ⁶⁴

Dowód . Dla X = 0 równoważność warunków jest oczywista. Przyjmujemy dalej, że X 6= 0.

(i) =⇒ (ii): Niech p : P −→ U będzie lokalną parametryzacją, p(t0) = a. Niech Y ∈ R^d będzie taki, że X = p⁰(t0)(Y ). Wtedy X = γ⁰(0), gdzie γ(τ ) := p(t0+ τ Y ), |τ | < ε (ε małe).

(ii) =⇒ (iii): Wystarczy przyjąć aν := γ(_ν¹), rν := ν, ν  1.

(iii) =⇒ (i): Niech p : P −→ U będzie lokalną parametryzacją, p(t0) = a. Możemy założyć, że aν = p(tν), tν ∈ P , ν > 1. Oczywiście tν −→ t0 65
. Możemy również założyć, że tν 6= t0, ν > 1, oraz (przechodząc do podciągu), że

Yν := t_ν− t0

ktν− t0k −→ Y

62
Por. Twierdzenie 2.17.3(v).

63
Jako odwzorowanie (−ε, ε) −→ Rⁿ.

64
Odnotujmy czysto geometryczny charakter warunku (iii).

65
Ponieważ p jest homeomorfizmem.

2.17. Podrozmaitości dla pewnego Y ∈ R^d.

Zauważmy, że r_νkaν− ak −→ kXk, a zatem aν− a

kaν− ak −→ X kXk.

Niech p(t) = p(t₀) + p⁰(t₀)(t − t₀) + α(t)kt − t₀k, gdzie α(t) −→ 0 przy t −→ t₀. Ostatecznie mamy:

X

kXk = lim

ν→+∞

p⁰(t0)(Yν) + α(tν)

kp⁰(t₀)(Y_ν) + α(t_ν)k = p⁰(t0)(Y ) kp⁰(t₀)(Y )k,

co kończy dowód (bo TaM jest przestrzenią wektorową). 

Propozycja 2.17.16. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C¹ w Rⁿ (1 6 d 6 n − 1), a ∈ M i niech f ∈ D(M, F ; a). Wtedy ef⁰(a)|T_aM nie zależy od wyboru lokalnego przedłużenia ef różniczkowalnego w punkcie a ⁶⁶
.

Dowód . Wystarczy pokazać, że jeżeli g : Ω −→ F jest odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie a i takim, że g = 0 na M ∩ Ω, to g⁰(a)|T_aM ≡ 0.

Istotnie, niech p : P −→ U będzie dowolną parametryzacją lokalną, a = p(t0) ∈ U ⊂ Ω. Mamy g ◦ p ≡ 0. Zatem g⁰(a) ◦ p⁰(t0) = 0, co daje żądaną równość.  Definicja 2.17.17. W powyższej sytuacji kładziemy

f⁰(a) : T_aM −→ F, f⁰(a) := ef⁰(a)|_TaM.

Odnotujmy, że f⁰(a) ∈ L(T_aM, F ). Odwzorowanie f⁰(a) nazywamy różniczką odwzorowania f w punkcie a.

Propozycja 2.17.18. Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C¹ w Rⁿ i niech M⁰ będzie d⁰–wymiarową podrozmaitością klasy C¹ w Rⁿ⁰. Niech

f : M −→ M⁰

będzie różniczkowalne w punkcie a ∈ M . Wtedy f⁰(a)(TaM ) ⊂ Tf (a)M⁰. ⁶⁷

Dowód . Załóżmy, że M⁰∩ Ω⁰ = g⁻¹(0), gdzie Ω⁰ ∈ top Rⁿ⁰, g ∈ C¹(Ω⁰, R^n0−d0), rank g⁰(y) = n⁰− d⁰, y ∈ Ω⁰, f (a) ∈ Ω^{0 68}
. Niechf będzie lokalnym przedłużeniem odwzorowania f na otoczenie Ω punktu a.e Możemy założyć, że ef (Ω) ⊂ Ω⁰. Wtedy g◦ ef = 0 na M ∩Ω, zatem (g◦ ef )⁰(a) = 0 na T_aM (por. Propozycja 2.17.16). Oznacza to, że g⁰(f (a)) ◦ ef⁰(a) = 0 na T_aM , co wobec Propozycji 2.17.14, daje żądany wynik.

 Uwaga 2.17.19. Dla rozmaitości klasy C² i odwzorowań f : M −→ F mających drugą pochodną w punkcie a należy oprzeć się pokusie zdefiniowania drugiej różniczki w punkcie a jako odwzorowania f⁰⁰(a) : TaM ×TaM −→ F danego wzorem f⁰⁰(a) = ef⁰⁰(a)|T_aM ×T_aM, gdzie ef jest lokalnym przedłużeniem f takim, że ef⁰⁰(a) istnieje.

Istotnie, ef⁰⁰(a)|T_aM ×T_aM może zależeć od wyboru przedłużenia.

Niech np. M := {(t, t²) ∈ R² : t ∈ R}, F := R, f := 0, a := (0, 0). Zauważmy, że T^aM = R × {0}.

Niech ef (x, y) := x²−y. Oczywiście ef jest przedłużeniem f , ale ef⁰⁰(a)((h1, 0), (h2, 0)) = 2h1h2, h1, h2∈ R.

Lemat 2.17.20 (Lemat o jednoczesnej parametryzacji). Niech M będzie d–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ i niech M⁰ będzie d⁰–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w Rⁿ taką, że M⁰⊂ M . Wtedy (a) d⁰ 6 d;

(b) jeżeli d⁰= d, to M⁰ jest podzbiorem otwartym w M ;

(c) jeżeli d⁰ < d 6 n, to dla dowolnego punktu a ∈ M⁰ istnieje lokalna parametryzacja p : ∆^d −→ U podrozmaitości M , a ∈ U , taka, że p(0) = a i p(∆^d0× {0}^d−d0) = M⁰∩ U ⁶⁹
.

W szczególności, jeżeli d⁰> 1, to odwzorowanie ep : ∆^d0 −→ M⁰∩ U ,p(v) := p(v, 0), jest lokalnąe parametryzacją dla M^{0 70}
.

66
Przedłużenie takie istnieje na mocy Propozycji 2.17.10(iii).

67
W szczególności, f⁰(a) ∈ L(TaM, Tf (a)M⁰).

68
Por. Twierdzenie 2.17.3(vi).

69
Dla d⁰= 0 warunek ten oznacza, że p(0) = M⁰∩ U .

70
Uwaga na warunek: rankep⁰(v) = d⁰, v ∈ ∆^d0.

2. Różniczkowanie odwzorowań

Dowód . Dla d⁰= 0 twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy, że d⁰> 1. W szczególności, d > 1.

(a) Wobec Propozycji 2.17.15(ii) mamy: T_aM⁰⊂ TaM , a ∈ M⁰. Stąd d⁰= dim T_aM⁰ 6 dim TaM = d.

(b) Weźmy dowolny punkt a ∈ M⁰ i niech p : P −→ U , q : Q −→ V będą parametryzacjami lokalnymi dla M i M⁰takimi, że a ∈ U ∩ V (P, Q ∈ top R^d). Możemy założyć, że V = U ∩ M⁰. Rozważmy homeomorfizm ϕ := p⁻¹◦ q : Q −→ p⁻¹(V ). Na podstawie Obserwacji 2.17.12 jest to odwzorowanie klasy C^k. Mamy p ◦ ϕ = q. W szczególności, p⁰(ϕ(u)) ◦ ϕ⁰(u) = q⁰(u), skąd wynika, że rank ϕ⁰(u) = d, u ∈ Q.

Teraz, na podstawie np. twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, p⁻¹(V ) jest podzbiorem otwartym w P , a więc U ∩ M⁰ jest zbiorem otwartym w M .

(c) Weźmy dowolną parametryzację lokalną p : P −→ U podrozmaitości M taką, że a = p(t0) ∈ U . Niech N := p⁻¹(M⁰∩ U ). Zauważmy, że N jest d⁰–wymiarową podrozmaitością klasy C^k w R^d. Istotnie, dla dowolnego u0 ∈ N , niech q : Q −→ V będzie lokalną parametryzacją klasy C^k podrozmaitości M⁰ i p(u0) ∈ V ⊂ M⁰ ∩ U . Niech ϕ := p⁻¹◦ q : Q −→ p⁻¹(V ). Oczywiście, tak jak w (b), ϕ jest homeomorfizmem klasy C^k i p⁰(ϕ(u)) ◦ ϕ⁰(u) = q⁰(u), u ∈ Q. Stąd rank ϕ⁰(u) = d⁰, u ∈ Q. Tak więc ϕ jest lokalną parametryzacją podrozmaitości N w otoczeniu u0.

Teraz, na podstawie Twierdzenia 2.17.3(iii) (zastosowanego do podrozmaitości N ) istnieją zbiór otwarty Ω ∈ top P , t0∈ Ω, oraz C^k–dyfeomorfizm Φ : Ω −→ ∆^d takie, że Φ(N ∩ Ω) = ∆^d0× {0}^d−d0.

Poszukiwaną parametryzacją będzie: p ◦ Φ⁻¹: ∆^d−→ p(Ω). 

W dokumencie Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej Marek Jarnicki (Stron 109-116)