Rodziny sumowalne

Niech X i I będą dowolnymi niepustymi zbiorami i niech E będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad K (E 6= {0}). Oznaczmy przez F(I) rodzinę wszystkich niepustych skończonych podzbiorów I.

Rozważmy rodzinę funkcji f = (f_i)_i∈I, f_i : X −→ E, i ∈ I. Oczywiście, jeżeli X jest zbiorem jednoelementowym, wtedy zamiast o rodzinie funkcji możemy myśleć o rodzinie elementów f = (fi)i∈I⊂ E.

Zdefiniujmy

f_A:=X

i∈A

f_i, A ∈F(I). ⁶⁵

(†)

Definicja 1.5.1. Powiemy, że rodzina funkcji f = (f_i)_i∈I jest jednostajnie sumowalna, jeżeli istnieje funkcja f_I : X −→ E taka, że

∀ε>0∃S(ε)=S(ε,I)∈F(I)∀A∈F(I):S(ε)⊂A: kf_A(x) − f_I(x)k 6 ε, x ∈ X;

funkcja f_I jest wyznaczona jednoznacznie (Ćwiczenie). Nazywamy ją sumą rodziny f i oznaczamy przez P

i∈I

f_i ⁶⁶
. Zbiór wszystkich rodzin jednostajnie sumowalnych oznaczamy roboczo przezS(I, E^X).

Dla dowolnego zbioru Z ⊂ E, niechS(I, Z^X) := {f ∈S(I, E^X) : ∀i∈I: fi(X) ⊂ Z}.

Jeżeli (kfik)i∈I∈S(I, R^X) ⁶⁷
, to mówimy, że rodzina f jest bezwzględnie jednostajnie sumowalna

68
.

Jeżeli X jest zbiorem jednoelementowym i f = (f_i)_i∈I ⊂ E, to zamiast o jednostajnej sumowalno-ści mówimy o sumowalnosumowalno-ści rodziny f . Zbiór wszystkich rodzin sumowalnych oznaczamy roboczo przez S(I, E). Analogicznie, zamiast o bezwzględnej jednostajnej sumowalności mówimy po prostu o bezwzględ-nej sumowalności.

Oczywiście, jeżeli f = (fi)i∈I∈S(I, E^X), to f (x) := (fi(x))i∈I∈S(I, E) dla dowolnego x ∈ X. Czy odwrotnie ? — Ćwiczenie.

Obserwacja 1.5.2. (a) Jeżeli f = (fi)i∈I, g = (gi)i∈I ∈ S(I, E^X), α, β ∈ K, to αf + βg := (αfⁱ+ βgi)i∈I∈S(I, E^X) oraz (αf + βg)I = αfI+ βgI. Innymi słowy,S(I, E^X) jest przestrzenią wektorową nad K oraz operacja

S(I, E^X) 3 f 7−→ fI ∈ E^X jest K–liniowa.

(b) Niech F będzie przestrzenią Banacha nad K, L ∈ L(E, F ). Jeżeli f ∈ S(I, E^X), to L◦f := (L◦f_i)_i∈I∈ S(I, F^X) ⁶⁹

oraz P

i∈I

L ◦ f_i= L ◦ f_I. Ponadto, operator

S(I, E^X) 3 f 7−→ L ◦ f ∈S(I, F^X)

jest liniowy. Jeżeli L jest izomorfizmem, to oczywiście powyższy operator jest również izomorfi-zmem. ⁷⁰

Istotnie,

kL ◦ fA(x) − L ◦ fI(x)k = kL(fA(x) − fI(x))k 6 kLkkf^A(x) − fI(x)k.

(c) Jeżeli E = E1 × · · · × Ed, fi = (f_i⁽¹⁾, . . . , f_i^(d)), i ∈ I, f^(j) := (f_i^(j))i∈I, j = 1, . . . , d, to f ∈ S(I, E^X) ⇐⇒ f^(j)∈S(I, Ej^X), j = 1, . . . , d, oraz

fI = (f⁽¹⁾_I , . . . , f^(d)_I ).

65
Oczywiście f_{i}= fi, i ∈ I.

66
Oczywiście, jeżeli zbiór I jest skończony, to suma f_I rodziny f pokrywa się z sumą skończoną f_I rozumianą w sensie (†).

67
Przypomnijmy, że kf_ik(x) := kf_i(x)k, x ∈ X.

68
Formalnie rzecz biorąc o rodzinach bezwzględnie sumowalnych powinniśmy mówić tylko w przypadku gdy E = K, zaś w przypadku dowolnej przestrzeni Banacha powinniśmy mówić o rodzinach normalnie jednostajnie sumowalnych. Nie robimy tak bo prowadzi to do drobnej kolizji, którą zobaczymy później.

69
Zauważmy, że oczywiście (L ◦ f )_A= L ◦ fAdla dowolnego A ∈F(I).

70
Ważnym przykładem jest tu przypadek gdy d := dim E < +∞, e1, . . . , e_djest bazą E i L : E −→ K^d, L(ξ1e1+

· · · + ξ_ded) := (ξ1, . . . , ξd).

1.5. Rodziny sumowalne

Dla przykładu, jeżeli d := dim E < +∞, e₁, . . . , e_d jest bazą E oraz pj(ξ1e1+ · · · + ξded) := ξj, j = 1, . . . , d, to f ∈S(I, E^X) ⇐⇒ p₁◦ f , . . . , p_d◦ f ∈S(I, K^X) oraz

fI(x) = (p1◦ f )I(x)e1+ · · · + (pd◦ f )I(x)ed, x ∈ X.

W szczególności, jeżeli dla f = (fi)i∈I∈S(I, C^X) zdefiniujemy Re f := (Re fi)i∈I, Im f := (Im fi)i∈I, to f ∈S(I, C^X) ⇐⇒ Re f , Im f ∈S(I, R^X). Ponadto,

f_I = (Re f )_I+ i(Im f )_I.

(d) Bezpośrednio z definicji sumowalności wynika, że jeżeli f ∈S(I, E^X) oraz kfAk 6 C dla dowolnego A ∈F(I), to kfIk 6 C (Ćwiczenie).

Jeżeli f ∈ S(I, E^X) oraz wszystkie odwzorowania fi: X −→ E, i ∈ I, są ograniczone, to zbiór odwzorowań {fA: A ∈F(I)} jest jednostajnie ograniczony.

Istotnie, dla dowolnego A ∈ F(I) mamy: fA = fA∩S(1)+ fA\S(1), a więc wystarczy pokazać, że zbiór {fA: A ∈F(I \ S(1))} jest jednostajnie ograniczony. Dla A ∈ F(I \ S(1)) mamy

kfAk = kf_A∪S(1)− f_S(1)k 6 kfA∪S(1)− fIk + kf_S(1)− fIk 6 2.

(e) Jeżeli f = (fi)i∈I⊂ R+jest rodziną, dla której zbiór {fA: A ∈F(I)} jest ograniczony, to f ∈ S(I, R) oraz fI = sup{fA: A ∈F(I)}.

W szczególności, jeżeli f = (fi)i∈I ⊂ E i g = (gi)i∈I ⊂ E są rodzinami bezwzględnie sumo-walnymi, to αf + βg jest bezwzględnie sumowalna dla dowolnych α, β ∈ K (oznacza to, że zbiór rodzin bezwzględnie sumowalnych jest przestrzenią wektorową nad K). Ponadto, jeżeli L ∈ L(E, F ) i f = (fi)i∈I⊂ E jest bezwzględnie sumowalna, to L(f ) = (L(fi))i∈I jest bezwzględnie sumowalna.

(f) Jeżeli dim E < +∞, to dla f = (f_i)_i∈I ⊂ E następujące warunki są równoważne:

(i) f ∈S(I, E);

(ii) Zbiór {fA: A ∈F(I)} jest ograniczony;

(iii) (kfik)i∈I∈S(I, R) ⁷¹
.

Wiemy, że (i) =⇒ (ii) oraz (iii) =⇒ (ii) (na podstawie (d)).

(ii) =⇒ (i): Na podstawie (c) możemy założyć, że E = R. Niech f_i⁰ :=

(f_i, jeżeli f_i> 0

0, jeżeli fi< 0, f_i⁰⁰:=

(0, jeżeli f_i> 0 fi , jeżeli fi< 0.

Widać, że {f_A⁰ : A ∈ F(I)} ∪ {fA⁰⁰ : A ∈ F(I)} ⊂ {fA : A ∈ F(I)}. Teraz, na podstawie (e), wnioskujemy, że (f_i⁰)_i∈I∈S(I, R) i (fi⁰⁰)_i∈I∈S(I, R). Ponieważ fi= f_i⁰+ f_i⁰⁰, i ∈ I, wystarczy jeszcze skorzystać z (a).

Odnotujmy, że |fi| = f_i⁰− f_i⁰⁰, i ∈ I, a więc rodzina (|fi|)i∈I jest również sumowalna.

(i) =⇒ (iii): Niech e1, . . . , ed będzie bazą E nad R i niech p_j(ξ₁e₁+ · · · + ξ_de_d) := ξ_j, j = 1, . . . , d.

Na podstawie poprzedniej części dowodu

(|p1(fi)|)i∈I, . . . , (|pd(fi)|)i∈I∈S(I, R).

Ponieważ w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne, zatem istnieje stała C > 0 taka, że

kxk 6 C(|p1(x)| + · · · + |pd(x)|), x ∈ E.

Teraz, korzystając jeszcze raz z (e), wnioskujemy, że (kfik)i∈I jest sumowalna.

Odnotujmy również nierówność

X

i∈I

fi

6

X

i∈I

kfik.

71
Tzn. w przestrzeniach skończenie wymiarowych pojęcia sumowalności i bezwzględnej sumowalności się pokrywają.

1. Wstęp

(g) Jeżeli dim E = ∞, to implikacja (ii) =⇒ (i) w (f) nie musi być prawdziwa.

Niech np. E = B(N, R) z normą supremową I := N i fi:= (δ_i,j)^∞_j=1∈ B(N, R), i ∈ I. Zauważmy, że kfAk = 1 dla dowolnego A ∈ F(I). Z drugiej strony, gdyby rodzina (fi)i∈I była sumowalna, to dla 0 < ε < ¹₂ i A ∈F(I \ S(ε)) mielibyśmy

kfAk = kf_A∪S(ε)− f_S(ε)k 6 kfA∪S(ε)− fIk + kf_S(ε)− fIk 6 2ε < 1;

sprzeczność.

(h) Jeżeli dim E = ∞, to implikacja (i) =⇒ (iii) w (f) nie musi być prawdziwa.

Dla przykładu, niech E := B(N, R) z normą supremową, I := N, fⁱ := ¹_i(δi,j)^∞_j=1 ∈ B(I, R), i ∈ I.

Oczywiście, P

i∈N

kfik = P

i∈N 1

i, a więc rodzina (kfik)_i∈Nnie jest sumowalna. Z drugiej strony, niech s := (1,¹₂,¹₃, . . . ) ∈ B(N, R). Jeżeli A ∈ F(N) i {1, . . . , n} ⊂ A, to kfA− sk 6 ¹_n. Oznacza to, że (f_i)_i∈N∈S(I, E) i s = fI.

(i) Jeżeli (fi)i∈I ∈S(I, E^X), to #{i ∈ I : fi6≡ 0} 6 ℵ0. Istotnie, dla dowolnego ε > 0 i i ∈ I \ S(ε) mamy:

kfi(x)k = kf_{i}∪S(ε)(x) − f_S(ε)(x)k 6 kf{i}∪S(ε)(x) − fI(x)k + kf_S(ε)(x) − fI(x)k 6 2ε, x ∈ X.

Innymi słowy: {i ∈ I : ∃x∈X: kfi(x)k > 2ε} ⊂ S(ε) dla dowolnego ε > 0. W takim razie {i ∈ I : f_i6≡ 0} ⊂

∞

[

n=1

S1 n

 .

(j) Jeżeli X jest przestrzenią topologiczną, x0∈ X, (fi)_i∈I ∈S(I, E^X) oraz każda funkcja f_ijest ciągła w x0, to suma fI jest ciągła w x0 (Ćwiczenie).

Propozycja 1.5.3 (Kryterium Cauchy’ego). Rodzina f należy do S(I, E^X) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący jednostajny warunek Cauchy’ego:

∀ε>0∃C(ε)=C(ε,I)∈F(I)∀A∈F(I\C(ε))∀x∈X : kf_A(x)k 6 ε.

Dowód . Implikacja (=⇒) jest elementarna — wystarczy przyjąć C(ε) := S(ε/2). Istotnie, jeżeli A ∈ F(I \ S(ε/2)), to dla x ∈ X mamy:

kfA(x)k = kf_A∪S(ε/2)(x) − f_S(ε/2)(x)k 6 kfA∪S(ε/2)(x) − f_I(x)k + kf_S(ε/2)(x) − f_I(x)k 6 ε.

Dla dowodu (⇐=) niech B(n) := C(1/n), sn:= fB(n), n ∈ N. Mamy ksn+k(x) − s_n(x)k = kfB(n+k)\B(n)(x) − fB(n)\B(n+k)(x)k 6 1

n+ 1

n + k, n, k ∈ N, x ∈ X.

Oznacza to, że ciąg funkcji (sn)^∞_n=1 spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego na X. Ponieważ E jest przestrzenią Banacha, zatem sn −→ s jednostajnie na X (dla pewnej funkcji s : X −→ E). Pokażemy, że rodzina f jest jednostajnie sumowalna do s.

Z poprzedniej nierówności wynika, że

ksn(x) − s(x)k 6 1

n, n ∈ N, x ∈ X.

Jeżeli teraz A ∈F(I) i B(n) ⊂ A, to

kfA(x) − s(x)k 6 kf^A(x) − f_B(n)(x)k + kf_B(n)(x) − s(x)k 6 kfA\B(n)(x)k +1 n 6 1

n+ 1 n = 2

n, x ∈ X.  Wniosek 1.5.4. Jeżeli (fi)i∈I ∈S(I, E^X), to dla dowolnego niepustego zbioru J ⊂ I mamy (fi)i∈J ∈ S(J, E^X).

Wniosek 1.5.5. Jeżeli (kfik)i∈I∈S(I, R^X), to (f_i)_i∈I∈S(I, E^X) oraz

X

i∈I

fi

6

X

i∈I

kfik.

Dowód . Sumowalność rodziny (fⁱ)i∈Iwynika z kryterium Cauchy’ego. Oszacowanie wynika z Obserwacji

1.5.2(d). 

1.5. Rodziny sumowalne

Propozycja 1.5.6 (Twierdzenie o grupowaniu wyrazów). Niech I = S

j∈J

I(j), gdzie I(j) 6= ∅ i I(j) ∩ I(k) = ∅ dla j 6= k. Jeżeli (fⁱ)i∈I∈S(I, E^X), to (fI(j))j∈J ∈S(J, E^X) ⁷²
. Ponadto,

X

j∈J

f_I(j)= f_I, czyli X

j∈J

 X

i∈I(j)

f_i

=X

i∈I

f_i.

Odnotujmy, że oczywiście twierdzenie odwrotne nie zachodzi, np. E := R, I = J := N, I(j) :=

{2j − 1, 2j}, f_i:= (−1)ⁱ. Wtedy f_I(j)= 0 dla dowolnego j ∈ N, ale rodzina (fi)_i∈N nie jest sumowalna.

Dowód . Ustalmy ε > 0 i niech

B(ε) := {j ∈ J : I(j) ∩ S(ε) 6= ∅},

gdzie S(ε) ∈F(I) jest takie, jak w Definicji 1.5.1. Zauważmy, że B(ε) ∈ F(J) ⁷³
. Weźmy dowolny zbiór B ∈F(J) taki, że B(ε) ⊂ B. Pokażemy, że kfI(x) − P

j∈B

f_I(j)(x)k 6 2ε, x ∈ X.

Niech N := #B. Dla dowolnego j ∈ J niech D(j) ∈F(I(j)) będzie takie, że A ∈F(I(j)), D(j) ⊂ A =⇒ kfA(x) − f_I(j)(x)k 6 ε/N, x ∈ X.

Możemy oczywiście założyć, że S(ε) ∩ I(j) ⊂ D(j). Niech A := S

j∈B

D(j). Zauważmy, S(ε) ⊂ A, a więc kfA(x) − f_I(x)k 6 ε, x ∈ X. Mamy:

fI(x) −X

j∈B

f_I(j)(x) 6

fI(x) −X

j∈B

f_D(j)(x) +X

j∈B

kf_D(j)(x) − f_I(j)(x)k

6 kfI(x) − f_A(x)k + ε 6 2ε, x ∈ X. 

Propozycja 1.5.7. Niech E, F, G będą przestrzeniami Banacha. Załóżmy, że B : E × F −→ G jest operatorem dwuliniowym ciągłym. Jeżeli (fi)i∈I∈S(I, E^X), (kgjk)j∈J ∈S(J, R^X) oraz wszystkie odwzo-rowania fi: X −→ E, i ∈ I, gj : X −→ F , j ∈ J , są ograniczone, to

(B(fi, gj))_(i,j)∈I×J ∈S(I × J, G^X) oraz X

(i,j)∈I×J

B(fi, gj) = B(fI, gJ). ⁷⁴

Jeżeli ponadto (kfik)i∈I ∈S(I, R^X), to (kB(fi, gj)k)_(i,j)∈I×J∈S(I × J, R^X).

Dowód . Jedynym problemem jest jednostajna sumowalność rodziny (B(fi, gj))_(i,j)∈I×J;

jeżeli bowiem jest ona jednostajnie sumowalna, to na mocy Propozycji 1.5.6 (z I(j) := I × {j}) oraz Obserwacji 1.5.2(b), dostajemy

X

(i,j)∈I×J

B(fi, gj) =X

j∈J

 X

i∈I

B(fi, gj)_L:=B(·,gj)

= X

j∈J

B(fI, gj)^L:=B(f=^I,·)B(fI, gJ).

Na podstawie Obserwacji 1.5.2(d), istnieje stała M > 0 taka, że dla dowolnych A ∈F(I), B ∈ F(J) mamy: kfA(x)k 6 M , P

j∈B

kgj(x)k 6 M , x ∈ X. W szczególności, kf^I(x)k 6 M oraz P

j∈J

kgj(x)k 6 M , x ∈ X.

Weźmy ε > 0 i niech zbiory S(ε) ∈F(I), C(ε) ∈ F(J) będą takie, że kfA(x) − f_I(x)k 6 ε, x ∈ X, dla dowolnego A ∈F(I) takiego, że S(ε) ⊂ A oraz P

j∈B

kg_j(x)k 6 ε, x ∈ X, dla dowolnego B ∈ F(J \ C(ε)).

72
Na podstawie Wniosku 1.5.4, f_I(j)= P

i∈I(j)

fijest poprawnie określone dla dowolnego j ∈ J .

73
Ponieważ zbiory I(j), j ∈ J, są parami rozłączne.

74
W szczególności, jeżeli (f_i)i∈I ∈S(I, E) i (gj)j∈J∈S(J, K), to (figj)_(i,j)∈I×J∈S(I × J, E) oraz P

(i,j)∈I×J

figj= fIgJ.

1. Wstęp twierdzenia (zastosowanej do mnożenia) wnioskujemy, że rodzina (kfikkgjk)_(i,j)∈I×J jest jednostajnie sumowalna. W szczególności, spełnia ona warunek Cauchy’ego. Pozostaje jeszcze tylko zauważyć, że dla dowolnego A ∈F(I × J) mamy

Definicja 1.5.9. Powiemy, że rodzina f = (fi)i∈I odwzorowań ograniczonych fi : X −→ E

jest normalnie sumowalna, jeżeli rodzina

(sup{kf_i(x)k : x ∈ X})_i∈I jest sumowalna.

Obserwacja 1.5.10. Każda rodzina normalnie sumowalna jest jednostajnie sumowalna.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Istotnie, niech E := R, I := N, X := [0, 1], g^k: [0, 1] −→ R,

f_σ(ν) jest zbieżny jednostajnie na X ⁷⁶
₇₇

.

Ponadto, jeżeli dim E < +∞, to każdy z powyższych warunków jest równoważny następującemu warunkowi ⁷⁸
₇₉

:

75
Odnotujmy, że S(ε) ⊂ D(j) dla j ∈ C(ε).

76
Tzn. ciąg sum częściowych jest zbieżny jednostajnie na X.

77
Mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny bezwarunkowo jednostajnie.

78
Wynik ten dla E = R został udowodniony przez W. Sierpińskiego w roku 1910.

79
Wacław Sierpiński (1882–1969).

1.5. Rodziny sumowalne (iii) (kf_ik)i∈I∈S(I, R^X) ⁸⁰
.

Dowód . (i) =⇒ (ii): Ustalmy bijekcję σ : N −→ I oraz ε > 0. Niech N⁰ ∈ N będzie takie, że S(ε) ⊂ {σ(1), . . . , σ(N0)} ⁸¹
. Wtedy dla dowolnego N > N0mamy S(ε) ⊂ {σ(1), . . . , σ(N )} =: A, a stąd

k

N

X

ν=1

f_σ(ν)(x) − f_I(x)k = kf_A(x) − f_I(x)k 6 ε, x ∈ X.

(ii) =⇒ (i): Przypuśćmy, że dla pewnego ε > 0 jednostajny warunek Cauchy’ego z Propozycji 1.5.3 nie zachodzi.

Ustalmy i0 ∈ I. Zbiór C(ε) := {i0} nie może być dobry. W takim razie istnieje zbiór F (1) ∈ F(I \ {i0}) taki, że sup_x∈Xkf_{F (1)}(x)k > ε. Zbiór C(ε) := F (1) też nie może być dobry. Znajdziemy więc F (2) ∈F(I \ F (1)) taki, że supx∈Xkf_{F (2)}(x)k > ε. Teraz bierzemy C(ε) := F (1) ∪ F (2) i znajdujemy F (3) ∈F(I \ (F (1) ∪ F (2))) taki, że supx∈Xkf_{F (3)}(x)k > ε. Rozumując dalej znajdziemy ciąg (F (k))^∞_k=1 parami rozłącznych skończonych podzbiorów I taki, że sup_x∈Xkf_{F (k)}(x)k > ε, k ∈ N.

Teraz skonstruujemy pewną bijekcję σ : N −→ I, którą będziemy utożsamiać z permutacją zbioru I.

Jeżeli zbiór F (0) := I \

∞

S

k=1

F (k) jest skończony, to na początku ustawimy elementy zbioru F (0) w dowolnej kolejności, potem elementy zbioru F (1) (też w dowolnej kolejności), potem F (2) itd.

Niech N (k) := #F (k), k = 0, 1, 2, . . . . Zdefiniujmy S_N :=

N

X

ν=1

f_σ(ν).

Wtedy SN (0)+···+N (k) − SN (0)+···+N (k−1) = f_{F (k)}, k ∈ N, a więc ciąg (S^N)^∞_{N =1} nie spełnia warunku Cauchy’ego; sprzeczność.

W przypadku gdy zbiór F (0) jest nieskończony, ustawiamy jego elementy w ciąg b1, b2, . . . , a następ-nie budujemy permutację σ następująco: stawiamy b1, potem elementy zbioru F (1), potem b2, potem F (2), itd. Podobnie jak poprzednio, bez trudu widzimy, że (SN)^∞_{N =1} nie może spełniać warunku Cau-chy’ego bowiem SN (1)+···+N (k)+k− SN (1)+···+N (k−1)+k= fF (k), k ∈ N, a więc (S^N)^∞_{N =1}nie może spełniać warunku Cauchy’ego; sprzeczność.

(iii) =⇒ (i): Implikacja ta jest elementarna i nie wymaga założenia, że dim E < +∞.

(ii) =⇒ (iii): W standardowy sposób możemy zredukować dowód do przypadku E = R.

Przypuśćmy, że dla pewnego ε > 0 rodzina (|f_i|)i∈I nie spełnia jednostajnego warunku Cauchy’ego.

Ustalmy i₀∈ I. Zbiór C(ε) := {i₀} nie może być dobry. W takim razie istnieje zbiór G(1) ∈F(I\{i0}) taki, że sup_x∈X P

i∈G(1)

|f_i(x)| > ε. Ustalmy, x₁ ∈ X taki, że P

i∈G(1)

|f_i(x₁)| > ε. Zbiór G(1) możemy podzielić na dwie rozłączne części F⁰(1) := {i ∈ G(1) : fi(x1) > 0}, F⁰⁰(1) := G(1) \ F⁰(1). Jest oczywiste, że |f_F0(1)(x1)| > ^ε₂ lub |f_F00(1)(x1)| >^ε₂. Niech F (1) oznacza ten ze zbiorów F⁰(1), F⁰⁰(1), dla którego zachodzi powyższa nierówność (jeżeli zachodzi ona dla obu zbiorów, to bierzemy którykolwiek z nich).

Zbiór C(ε) := F (1) też nie może być dobry. Powtarzając powyższe rozumowanie, znajdziemy zbiór F (2) ∈ F(I \ F (1)) taki, że supx∈X|f_{F (2)}(x)| > ^ε₂. Teraz bierzemy C(ε) := F (1) ∪ F (2) i znajdujemy F (3) ∈F(I \ (F (1) ∪ F (2))) taki, że supx∈X|f_{F (3)}(x)| > ^ε₂. Rozumując dalej znajdziemy ciąg (F (k))^∞_k=1 parami rozłącznych skończonych podzbiorów I taki, że sup_x∈X|f_{F (k)}(x)| > ^ε₂, k ∈ N.

Dalej postępujemy tak, jak w dowodzie implikacji (ii) =⇒ (i). 

80

Prawdziwe jest następujące ogólne twierdzenie (zob. [Dvo-Rog 1950]).

Twierdzenie. Niech (E, k k) będzie przestrzenią Banacha. Wtedy następujące warunki są równoważne:

(i) dla dowolnego ciągu (fk)^∞_k=1⊂ E następujące warunki są równoważne:

• (kf_kk)_k∈N∈S(N, R),

• szeregP∞

k=1fkjest zbieżny bezwarunkowo;

(ii) dim E < +∞.

81
S(ε) jest takie, jak w Definicji 1.5.1.

1. Wstęp Przykład* 1.5.12. (a) Szereg

∞

P

n=1

(1 − x)xⁿ nie jest zbieżny jednostajnie na (0, 1).

Istotnie, niech Sn oznacza n-tą sumę częściową szeregu (Sn(x) = x(1 − xⁿ)) i niech S(x) := x.

(1 − x)(−x)ⁿ jest zbieżny jednostajnie na (0, 1).

Istotnie,

Zauważmy, że jest to szereg powstały przez potasowanie i pogrupowanie (po trzy wyrazy) szeregu (b); jeżeli nie jest on jednostajnie zbieżny, to oczywiście szereg potasowany (przed pogrupowaniem) nie może być jednostajnie zbieżny.

Mamy: Ćwiczenie 1.5.13. Sprawdzić, które z twierdzeń przedstawionych w Podrozdziale 1.5 pozostają praw-dziwe dla dowolnych przestrzeni unormowanych (a nie tylko dla przestrzeni Banacha).

1.6. Twierdzenie Lévy’ego–Steinitza

Twierdzenie 1.6.2 (Lévy-Steinitz ⁸²
₈₃

). Jeśli S(a) 6= ∅, to S(a) jest rzeczywistą podprzestrzenią afiniczną Rⁿ.

Na początek ustalmy oznaczenia użyte w dowodzie. W Rⁿ rozważać będziemy normę euklidesową.

Dla elementu x ∈ Rⁿ= Rⁿ⁻¹× R będziemy pisać x = (x⁰, x_n). Rzutowanie na poszczególne współrzędne oznaczymy odpowiednio

Rⁿ3 x7−→ x^{π0 0}∈ Rⁿ⁻¹, Rⁿ3 x7−→ x^πn _n∈ R.

Dowód Twierdzenia 1.6.2 opierać się będzie na następujących dwóch lematach, które udowodnimy później.

82
Paul Pierre Lévy (1886–1971).

83
Ernst Steinitz (1871–1928).

W dokumencie Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej Marek Jarnicki (Stron 30-36)