Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej Marek Jarnicki

Uniwersytet Jagielloński

Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki

Wykłady

z Analizy Matematycznej

Marek Jarnicki

(Wersja z 10 sierpnia 2012)

Proponowany tekst to nieco rozbudowane notatki do wykładów z Analizy Matematycznej, jakie od wielu lat prowadziłem dla studentów Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Chciałbym to wyraźnie podkreślić: notatki do wykładu. Z jednej strony, w notatkach tych, jak łatwo widać, brakuje wielu ele- mentów charakterystycznych dla podręcznika, jak np. rysunki i ćwiczenia. Z drugiej strony, tekst jest zaopatrzony w rozbudowane indeksy oznaczeń, autorów i najważniejszych pojęć. Jest również, choć nie- wiele, klasycznych ćwiczeń, które są rozrzucone w tekście w pobliżu miejsc, których dotyczą. Zamiast klasycznych ćwiczeń Czytelnik znajdzie wiele miejsc oznaczonych Ćwiczenie, w których proszę o samo- dzielne rozwiązanie, czy też uzupełnienie omawianego zagadnienia. Czytelnik nie powinien lekceważyć tych sugestii.

Na przestrzeni lat wykład przechodził (i nadal przechodzi) wiele zmian i uzupełnień. Nie byłyby one możliwe, gdyby nie życzliwa krytyka moich Kolegów (zwłaszcza tych, którzy prowadzili ćwiczenia do wykładu) oraz Studentów. Chciałbym im wszystkim złożyć w tym miejscu moje najserdeczniejsze podziękowania. Wykład jest i będzie stale poprawiany i uzupełniany.

Za dobór, kolejność i sposób przedstawienia materiału ponoszę oczywiście pełną odpowiedzialność.

Dobór ten jest bardzo subiektywny i dostosowany z jednej strony do struktury studiów w naszym In- stytucie, a z drugiej, do mojego rozumienia tego, czym jest Analiza Matematyczna i jak powinna być wykładana. Przygotowując wykład korzystałem z wielu podręczników i monografii. Spis najważniejszych z nich jest umieszczony na końcu. Wiele twierdzeń umieszczonych w wykładzie jest podanych w celowo (zbyt) ogólnym kontekście. Ma to, moim zdaniem, umożliwić Czytelnikowi łatwiejsze uchwycenie tego, co w tych wynikach jest istotne.

Zdaję sobie w pełni sprawę z tego, iż nie udało mi się uniknąć błędów i usterek. Bardzo proszę, zarówno o wyrozumiałość dla autora, jak i o krytyczne informacje o zauważonych niedociągnięciach, najlepiej na adres Marek.Jarnicki@im.uj.edu.pl.

Marek Jarnicki Kraków, 10 sierpnia 2012

iii

Rozdział Słowo wstępne . . . iii

Rozdział 1. Wstęp . . . 1

1.1. Przestrzenie topologiczne . . . 1

1.2. Przestrzenie metryczne . . . 5

1.3. Funkcje półciągłe . . . 13

1.4. Przestrzenie unormowane I . . . 15

1.5. Rodziny sumowalne . . . 24

1.6. Twierdzenie Lévy’ego–Steinitza . . . 30

1.7. Szeregi potęgowe . . . 34

1.8. Operator odwracania w algebrach Banacha . . . 34

1.9. Twierdzenie aproksymacyjne Stone’a–Weierstrassa . . . 35

1.10. Wielomiany Bernsteina . . . 38

Rozdział 2. Różniczkowanie odwzorowań . . . 41

2.1. Różniczkowanie odwzorowań zmiennej rzeczywistej . . . 41

2.2. Wzór Taylora . . . 52

2.3. Szereg Taylora . . . 54

2.4. Funkcje analityczne . . . 55

2.5. Pochodne kierunkowe . . . 58

2.6. Różniczkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni unormowanej . . . 61

2.7. Druga pochodna . . . 69

2.8. Przestrzenie unormowane II . . . 73

2.9. Pochodne wyższych rzędów . . . 78

2.10. Wzór Taylora . . . 82

2.11. Szereg Taylora . . . 84

2.12. Ekstrema lokalne . . . 86

2.13. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym . . . . 88

2.14. Odwzorowania analityczne . . . 96

2.15. Twierdzenie o rzędzie . . . 99

2.16. Twierdzenie Morse’a . . . 101

2.17. Podrozmaitości . . . 103

2.18. Ekstrema warunkowe . . . 110

2.19. Średnia uogólniona . . . 113

Rozdział 3. Całka Riemanna . . . 117

3.1. Całka Riemanna na kostce . . . 117

3.2. Całka Riemanna na zbiorze regularnym . . . 126

3.3. Własności całki Riemanna . . . 127

3.4. Całki krzywoliniowe. Wzór Greena . . . 130

Rozdział 4. Teoria miary i całki . . . 139

4.1. σ–algebry. Funkcje mierzalne. Miary . . . 139

4.2. Miary zewnętrzne. Warunek Carathéodory’ego . . . 147

4.3. Regularność . . . 151

4.4. Konstrukcja Carathéodory’ego. Miary Hausdorffa. Miara Lebesgue’a . . . 153

4.5. Ogólna teoria całki . . . 156

v

Spis treści

4.6. Zbieżność według miary . . . 163

4.7. Całka odwzorowań o wartościach w przestrzeni Banacha . . . 164

4.8. Przestrzenie L^p . . . 168

4.9. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a . . . 173

4.10. Całka Lebesgue’a . . . 174

4.11. Zasada Cavalieriego. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego . . . 176

4.12. Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Lebesgue’a . . . 180

4.13. Funkcje dane całką . . . 183

4.14. Splot . . . 185

4.15. Regularyzacja . . . 188

4.16. Rozkład jedności . . . 189

4.17. Miary produktowe . . . 191

4.18. Miara i całka Lebesgue’a na podrozmaitościach w Rⁿ . . . 199

4.19. Twierdzenie Riesza. Miary Radona . . . 201

4.20. Twierdzenie Łuzina . . . 206

4.21. Wariacja miary . . . 208

4.22. Twierdzenie Radona–Nikodyma . . . 210

4.23. Przestrzenie dualne do L^p . . . 213

4.24. Zespolone twierdzenie Riesza . . . 214

Rozdział 5. Twierdzenie Stokesa . . . 217

5.1. Orientacja . . . 217

5.2. Formy różniczkowe . . . 222

5.3. Twierdzenie Stokesa . . . 234

5.4. Twierdzenie Stokesa w wersji kohomologicznej . . . 241

Rozdział 6. Wybrane rozdziały analizy matematycznej . . . 247

6.1. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa . . . 247

6.2. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta . . . 250

6.3. Szeregi Fouriera. Kryteria zbieżności. Twierdzenie Fejéra . . . 253

6.4. Odwzorowania o wahaniu ograniczonym . . . 262

6.5. Kryterium Jordana . . . 263

6.6. Całka Riemanna–Stieltjesa . . . 265

6.7. Uogólniona całka Riemanna . . . 269

6.8. Równość miary Hausdorffa i Lebesgue’a w Rⁿ . . . 276

6.9. Różniczkowanie miar. Twierdzenie Rademachera . . . 281

6.10. Dystrybucje . . . 294

6.11. Transformacja Fouriera . . . 305

6.12. Twierdzenie Sarda . . . 310

6.13. Rachunek wariacyjny . . . 315

6.14. Twierdzenie o retrakcji . . . 325

6.15. Twierdzenie Whitneya . . . 331

Rozdział Oznaczenia . . . 335

Rozdział Literatura cytowana . . . 345

Rozdział Indeks nazwisk . . . 347

Rozdział Indeks . . . 349

Wstęp

Streszczenie. Pierwsze dwa podrozdziały będą poświęcone przypomnieniu podstawowych pojęć dotyczących prze- strzeni topologicznych i metrycznych. Nie będzie to systematyczny wykład, ale raczej spis najważniejszych definicji, ozna- czeń i twierdzeń. Wszystkie cytowane wyniki można znaleźć np. w monografii [Eng 1968]. Odnotujmy, że prawie cały dalszy wykład można ograniczyć do przestrzeni unormowanych (czy też nawet przestrzeni Banacha). Z tego punktu widzenia nie ma potrzeby specjalnego koncentrowania się na ogólnych przestrzeniach metrycznych, czy też topologicznych. Z drugiej jednak strony Czytelnik powinien wyrabiać sobie od samego początku umiejętność dostrzegania istotnych elementów poznawa- nych twierdzeń, np. istotnych założeń. W szczególności, powinien rozróżniać własności topologiczne, metryczne, własności typowe dla przestrzeni unormowanych, czy też wreszcie własności typowe dla Rⁿ. W Podrozdziale 1.3 przedstawimy krótko najważniejsze własności funkcji półciągłych. Podrozdział ten ma dać Czytelnikowi pewien dystans w spojrzeniu na funk- cje ciągłe — dystans pozwalający na rozróżnienie, które własności funkcji ciągłych są konsekwencjami ich półciągłości (z góry lub z dołu), a które wymagają istotnie ciągłości. Podrozdział 1.4 zawiera przypomnienie podstawowych własności ciągłych odwzorowań liniowych i dwuliniowych w przestrzeniach unormowanych. W szczególności, w podrozdziale tym usta- limy wiele oznaczeń istotnych dla zrozumienia dalszej części wykładu. Kolejny Podrozdział 1.5 jest poświęcony krótkiemu wprowadzeniu do teorii rodzin sumowalnych, będących naturalnym uogólnieniem pojęcia szeregu. Rozdział kończą: krót- kie Podrozdziały 1.7 i 1.8 przedstawiające odpowiednio szeregi potęgowe w przestrzeniach Banacha i własności operatora odwracania w algebrach Banacha (wyniki te zostaną wykorzystane w Podrozdziale 2.13) oraz Podrozdział 1.9, w których dowodzimy ważnego twierdzenia aproksymacyjnego Stone’a–Weierstrassa; do tematu tego powrócimy z Podrozdziale 6.1.

1.1. Przestrzenie topologiczne

Dowody znakomitej większości podanych poniżej własności można znaleźć np. w monografii [Eng 1968].

Definicja 1.1.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X,T), gdzie T ⊂ P (X) ¹
, nazywamy przestrzenią topologiczną, jeżeli:

• ∅, X ∈ T,

• ∀_{N ∈N}: U₁, . . . , U_N ∈T =⇒ U1∩ · · · ∩ UN ∈T ²
₃

,

• ∀I : (Ui)i∈I⊂T =⇒ S

i∈I

Ui ∈T.

RodzinęT nazywamy topologią na X. Elementy rodziny T nazywamy zbiorami otwartymi.

TopologięT := {∅, X} nazywamy antydyskretną.

TopologięT := P (X) nazywamy dyskretną; w topologii dyskretnej każdy zbiór jest otwarty.

Z reguły będziemy pisać X zamiast (X,T), o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką topologię chodzi;

w tej też sytuacji topologię przestrzeni X będziemy oznaczać top X.

Przykład 1.1.2. (a) Zbiór liczb rzeczywistych R, jako przestrzeń topologiczną, będziemy zawsze roz- ważać z topologią euklidesową

top R := {U ⊂ R : ∀^a∈U ∃r>0: (a − r, a + r) ⊂ U }.

(b) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R := {−∞} ∪ R ∪ {+∞} rozważamy z topologią

top R :=







U ⊂ R : ∀a∈U







a = −∞ =⇒ ∃_r∈R : [−∞, r) ⊂ U a ∈ R =⇒ ∃r>0: (a − r, a + r) ⊂ U a = +∞ =⇒ ∃_r∈R : (r, +∞] ⊂ U





 .

1
P (X) oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X.

2

N = zbiór liczb naturalnych, 0 6∈ N, N0:= N ∪ {0}, Nk:= {n ∈ N : n > k}.

3
Oczywiście, warunek ten wystarczy sprawdzić dla N = 2.

1

1. Wstęp

1.1.3 (Domkniętość). Mówimy, że zbiór F ⊂ X jest domknięty, jeżeli X \ F ∈T. Rodzina F wszystkich zbiorów domkniętych ma następujące własności:

• ∅, X ∈ F,

• ∀_{N ∈N}: F₁, . . . , F_N ∈F =⇒ F1∪ · · · ∪ FN ∈F,

• ∀I : (Fi)i∈I⊂F =⇒ T

i∈I

Fi∈F.

1.1.4 (Wnętrze, domknięcie, brzeg). Dla A ⊂ X definiujemy:

◦

A = int A = intXA := S

U ∈T, U⊂A

U = wnętrze zbioru A;

A = cl A = clXA := T

F ∈F, A⊂F

F = domknięcie zbioru A;

∂A = ∂XA := A \

◦

A = brzeg zbioru A ⁴
.

Odnotujmy, że:

• A ∈T ⇐⇒ A = int A,

• A ∈F ⇐⇒ A = A.

1.1.5 (Gęstość). Dla A ⊂ B ⊂ X, jeżeli B ⊂ A, to mówimy, że A jest gęsty w B.

1.1.6 (Otoczenie punktu). Jeżeli a ∈ int A, to A nazywamy otoczeniem punktu a ⁵
. Zbiór wszystkich otoczeń punktu a będziemy czasem oznaczać przezU(a) = UX(a).

1.1.7 (Aksjomaty oddzielania). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest:

T0, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieje zbiór otwarty, do którego należy tylko jeden z nich.

T1, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieje zbiór otwarty U taki, że a ∈ U , b /∈ U . T2(Hausdorffa ⁶
), jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a ∈ U , b ∈ V .

T2¹₂ (Urysohna ⁷
), jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b ∈ X istnieją rozłączne zbiory do- mknięte U, V takie, że a ∈ int U , b ∈ int V .

T3 (regularna), jeżeli X ∈ T¹ oraz dla dowolnego punktu a ∈ X i zbioru domkniętego B takiego, że a /∈ B, istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a ∈ U , B ⊂ V .

T3¹₂ (Tichonowa ⁸
), jeżeli X ∈ T1 oraz dla dowolnego punktu a ∈ X i zbioru domkniętego B takiego, że a /∈ B, istnieje funkcja ciągła f : X −→ [0, 1] (zob. (1.1.15)) taka, że f (a) = 0 oraz f = 1 na B.

T4 (normalna), jeżeli X ∈ T¹ oraz dla dowolnych rozłącznych zbiorów domkniętych A, B istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że A ⊂ U , B ⊂ V .

Wiadomo, że Tj Ti dla i < j.

1.1.8 (Ciąg zbieżny). Mówiąc o ciągu elementów zbioru X będziemy pisać (xν)^∞_ν=1⊂ X lub (xν)_ν∈N⊂ X.

W przestrzeni topologicznej możemy zdefiniować pojęcie ciągu zbieżnego. Powiemy, że ciąg (xν)^∞_ν=1⊂ X jest zbieżny do elementu x0∈ X (w topologiiT) (krótko: xν−→ xT 0), jeżeli:

∀_{U ∈U(x0)}∃ν₀∈N∀_ν>ν0 : xν∈ U.

Odnotujmy, że jeżeli X ∈ T², to ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę. ⁹

1.1.9 (Punkt skupienia). Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli dla dowolnego U ∈ U(a) mamy (U \ {a}) ∩ A 6= ∅, tzn. istnieje punkt b ∈ U ∩ A, b 6= a. Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A⁰. Punkty zbioru A \ A⁰= nazywamy punktami izolowanymi zbioru A. Zauważmy, że A = A ∪ A⁰.

4
Można też spotkać oznaczenia bA, czy też FrA.

5
Uwaga: Otoczenie punktu nie musi być otwarte.

6
Felix Hausdorff (1868–1942).

7
Paweł Samujłowicz Urysohn (1898–1924).

8
Andrej Nikołajewicz Tichonow (1906–1993).

9
Pojęciem ciągu zbieżnego będziemy się posługiwać wyłącznie w przestrzeniach Hausdorffa.

1.1. Przestrzenie topologiczne

1.1.10 (Topologia indukowana). Jeżeli Y ⊂ X, to rodzina T|Y := {U ∩ Y : U ∈ T} jest topologią na Y ; nazywamy ją topologią indukowaną, zaś (Y,T|Y) nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni (X,T). Odnotujmy, że:

• X ∈ T2=⇒ Y ∈ T2,

• top R|R= top R,

• zbiór A ⊂ Y jest domknięty w Y wtedy i tylko wtedy, gdy A = F ∩ Y , gdzie F jest domknięty w X.

Ćwiczenie 1.1.11. Które z aksjomatów oddzielania są dziedziczne, tzn.T ∈ Ti=⇒T|Y ∈ Ti?

1.1.12 (Topologia iloczynu kartezjańskiego). Jeżeli (X₁,T1), . . . , (X_N,TN) są przestrzeniami topologicz- nymi, to na X := X₁× · · · × X_N definiujemy topologię iloczynu kartezjańskiego

T := {U ⊂ X : ∀a∈U∃U1∈T1,...,UN∈TN : a ∈ U1× · · · × UN ⊂ U }.

W ten sposób definiujemy np. top Rⁿ. Zauważmy, że jeżeliT1, . . . ,TN ∈ T2, to T ∈ T2.

Ćwiczenie 1.1.13. Które z aksjomatów oddzielania są dziedziczne ze względu na iloczyn kartezjański, tzn.T1, . . . ,TN ∈ Ti=⇒T ∈ Ti?

1.1.14 (Ciągłość w punkcie). Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y . Mówimy, że odwzorowanie f jest ciągłe w punkcie a ∈ X (f ∈ C(X, Y ; a)), jeżeli f⁻¹(V ) ∈ U(a) dla dowolnego V ∈U(f(a)). Odnotujmy, że:

• f ∈ C(X, Y ; a), a ∈ Z ⊂ X =⇒ f |Z ∈ C(Z, Y ; a).

• Dla f : X −→ Z ⊂ Y mamy: f ∈ C(X, Y ; a) ⇐⇒ f ∈ C(X, Z; a).

• f ∈ C(X, Y ; a), g ∈ C(Y, Z; f (a)) =⇒ g ◦ f ∈ C(X, Z; a).

• Dla f = (f1, . . . , fN) : X −→ Y1× · · · × YN, przy czym Y1, . . . , YN 6= ∅, mamy:

f ∈ C(X, Y₁× · · · × Y_N; a) ⇐⇒ f_j ∈ C(X, Y_j; a), j = 1, . . . , N.

1.1.15 (Ciągłość). Odwzorowanie f : X −→ Y nazywamy ciągłym (f ∈ C(X, Y )), jeżeli f ∈ C(X, Y ; a) dla dowolnego a ∈ X. Niech C(X) := C(X, R); zauważmy, że C(X) jest R–przestrzenią wektorową.

Następujące warunki są równoważne:

• f ∈ C(X, Y );

• f⁻¹(V ) ∈ top X dla dowolnego V ∈ top Y ;

• f⁻¹(L) jest domknięty w X dla dowolnego L ⊂ Y domkniętego w Y . Odnotujmy następujące własności:

• f ∈ C(X, Y ), Z ⊂ X =⇒ f |Z ∈ C(Z, Y ).

• Dla f : X −→ Z ⊂ Y mamy: f ∈ C(X, Y ) ⇐⇒ f ∈ C(X, Z).

• f ∈ C(X, Y ), g ∈ C(Y, Z) =⇒ g ◦ f ∈ C(X, Z).

• Projekcje X1× · · · × XN −→ Xj, j = 1, . . . , N , są ciągłe.

• Dla f = (f1, . . . , f_N) : X −→ Y₁× · · · × YN, przy czym Y1, . . . , Y_N 6= ∅, mamy:

f ∈ C(X, Y1× · · · × YN) ⇐⇒ fj ∈ C(X, Yj), j = 1, . . . , N,

1.1.16. Odwzorowanie f : X −→ Y nazywamy homeomorfizmem, jeżeli jest bijektywne, ciągłe i f⁻¹ jest ciągłe ¹⁰
.

1.1.17 (Zwartość). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest zwarta (X jest kompaktem), jeżeli X ∈ T² oraz dla dowolnego pokrycia otwartego zbioru X istnieje podpokrycie skończone, tzn. dla dowolnej rodziny (Ui)i∈I⊂ top X takiej, że S

i∈I

Ui= X, istnieje N ∈ N oraz i¹, . . . , iN ∈ I, dla których Ui₁∪ · · · ∪ Ui_N = X.

Jeżeli X ∈ T², to mówimy, że zbiór K ⊂ X jest zwarty (jest kompaktem), jeżeli K z topologią indu- kowaną jest przestrzenią zwartą, tzn. dla dowolnego pokrycia otwartego K ⊂ S

i∈I

Uiistnieje podpokrycie skończone takie, że K ⊂ U_i1∪ · · · ∪ U_iN. Zbiór A ⊂ X nazywamy relatywnie zwartym (krótko: A ⊂⊂ X), jeżeli A jest zbiorem zwartym. Odnotujmy, że:

• Jeżeli X ∈ T2i K ⊂ X jest zwarty, to K jest domknięty.

• Jeżeli X jest przestrzenią zwartą i K ⊂ X jest domknięty, to K jest zwarty.

10
Bijektywność i ciągłość f nie implikują ciągłości f⁻¹ — Ćwiczenie; tu i dalej Ćwiczenie oznacza element (np. dowód/przykład) pozostawiony do samodzielnego wykonania/znalezienia i stanowiący „niezbywalny” element wykładu.

1. Wstęp

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ), X jest zwarta, Y ∈ T2, to f (X) jest zbiorem zwartym (twierdzenie o zachowaniu zwartości ).

• Jeżeli f : X −→ Y jest ciągłą bijekcją pomiędzy przestrzeniami zwartymi, to f jest homeomorfizmem.

• Dla X₁6= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X₁, . . . , X_N są przestrzeniami zwartymi ⇐⇒ X₁× · · · × XN jest przestrzenią zwartą.

1.1.18. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej Hausdorffa X niech C₀(X) oznacza zbiór tych wszystkich funkcji f ∈ C(X), dla których istnieje zbiór zwarty K = K(f ) ⊂ X taki, że f = 0 poza K ¹¹
; C0(X) jest podprzestrzenią C(X).

1.1.19 (Przestrzenie lokalnie zwarte. Rozkład jedności). Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, tzn. każdy punkt x ∈ X ma otoczenie U takie, że U jest przestrzenią zwartą. Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest T3¹₂.

(a) Dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X i dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ X takiego, że K ⊂ U istnieje f ∈ C₀(U, [0, 1]) taka, że f = 1 na K.

(b) Twierdzenie o rozkładzie jedności: Dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X i dla dowolnego jego pokrycia otwartego U1, . . . , UN istnieją funkcje fj ∈ C0(Uj, [0, 1]), j = 1, . . . , N , takie, że f1+ · · · + fN 6 1 na X oraz f¹+ · · · + fN = 1 na K.

Dowód . Dla dowolnego x ∈ K ustalmy j(x) ∈ {1, . . . , N } tak, że x ∈ U^j(x)i niech Vxbędzie relatywnie zwartym otoczeniem punktu x takim, że Vx⊂ Uj(x) 12
. Wobec zwartości K istnieje skończona liczba punktów x1, . . . , xk ∈ K takich, że K ⊂ Vx1∪ · · · ∪ Vx_k. Niech

Lj:= [

i∈{1,...,k}: j(x_i)=j

Vx_i, j = 1, . . . , N.

Na podstawie (a) istnieją funkcje gj ∈ C0(U_j, [0, 1]), g_j= 1 na L_j. j = 1, . . . , N . Zdefiniujmy f1:= g1, f2:= (1 − g1)g2, . . . , fN := (1 − g1) . . . (1 − gN −1)gN.

Oczywiście fj ∈ C0(Uj, [0, 1]), j = 1, . . . , N . Ponadto, f1+ · · · + fN = 1 − (1 − g1) . . . (1 − gN). Ponieważ

K ⊂ L1∪ · · · ∪ LN, zatem f1+ · · · + fN = 1 na K. 

1.1.20 (Spójność). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest spójna, jeżeli nie istnieją zbiory otwarte U, V ⊂ X takie, że

U 6= ∅, V 6= ∅, X = U ∪ V, U ∩ V = ∅. ¹³

Mówimy, że zbiór A ⊂ X jest spójny, jeżeli jest spójny w topologii indukowanej, tzn. nie istnieją zbiory otwarte U, V ⊂ X takie, że

U ∩ A 6= ∅, V ∩ A 6= ∅, A ⊂ U ∪ V, U ∩ V ∩ A = ∅.

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ) i X jest przestrzenią spójną, to f (X) jest zbiorem spójnym (twierdzenie o zacho- waniu spójności ).

• Zbiór A ⊂ R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.

• Jeżeli f ∈ C(X, R) i X jest przestrzenią spójną, to f(X) jest przedziałem (własność Darboux ¹⁴
).

• Dla X₁6= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X₁, . . . , X_N są przestrzeniami spójnymi ⇐⇒ X1× · · · × XN jest przestrzenią spójną.

1.1.21 (Przestrzenie Lindelöfa ¹⁵
). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Linde- löfa, jeżeli X ∈ T³ oraz z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie przeliczalne.

Dla nas będzie wyłącznie istotny fakt, iż każdy podzbiór Rⁿ jest przestrzenią Lindelöfa.

11
Czasami używa się też symbolu Cc(X).

12
Ponieważ X ∈ T3, zatem istnieją rozłączne zbiory otwarte Vx, Q takie, że x ∈ Vx, X \ Uj(x)⊂ Q. Wobec lokalnej zwartości, możemy założyć, że Vx jest zbiorem zwartym. Oczywiście, Vx⊂ X \ Q = X \ Q ⊂ U_j(x).

13
Takie zbiory, o ile istnieją, nazywamy rozspojeniem X. Odnotujmy, że są one równocześnie otwarte i domknięte w X.

14
Jean Darboux (1842–1917).

15
Ernst Lindelöf (1870–1946).

1.2. Przestrzenie metryczne

1.1.22 (Krzywe). Każde odwzorowanie ciągłe γ : [a, b] −→ X nazywamy krzywą. Zbiór γ^∗ := γ([a, b]) nazywamy obrazem geometrycznym krzywej γ.

• γ^∗jest zbiorem spójnym.

• Jeżeli X ∈ T2, to γ^∗ jest zbiorem zwartym.

W przyszłości będziemy zawsze utożsamiać krzywą γ : [a, b] −→ X z dowolną krzywą γ ◦ σ : [c, d] −→ X,

gdzie σ : [c, d] −→ [a, b] jest bijekcją rosnącą (zwaną zmianą parametryzacji ). Oczywiście, zmiana para- metryzacji nie zmienia obrazu geometrycznego krzywej. W szczególności, można się zawsze ograniczyć do krzywych sparametryzowanych w przedziale [0, 1].

Jeżeli γ : [a, b] −→ X jest krzywą, to:

• γ(a) nazywamy początkiem krzywej,

• γ(b) nazywamy końcem krzywej,

• jeżeli γ(a) = γ(b), to mówimy, że γ jest zamknięta,

• jeżeli γ jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest łukiem Jordana ¹⁶

(wtedy, jeżeli X ∈ T2, to γ : [a, b] −→ γ^∗ jest homeomorfizmem),

• jeżeli γ jest zamknięta oraz γ|_[a,b) jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest krzywą Jordana,

• jeżeli γ : [0, 1] −→ X jest krzywą Jordana, to funkcja σ : T −→ X, gdzie T oznacza okrąg jednostkowy na płaszczyżnie, dana wzorem σ(cos 2πt, sin 2πt) := γ(t), t ∈ [0, 1], jest ciągłą bijekcją T na γ^∗ (jeżeli ponadto X ∈ T², to σ : T −→ γ^∗ jest homeomorfizmem).

Dla krzywej γ : [a, b] −→ X definiujemy krzywą przeciwną

γ : [a, b] −→ X, γ(t) := γ(a + b − t).

Widać, że ( γ)^∗= γ^∗.

Dla krzywych γj : [0, 1] −→ X, j = 1, 2, takich, że γ₁(1) = γ₂(0) definiujemy ich sumę γ1⊕ γ2: [0, 1] −→ X, (γ1⊕ γ2)(t) :=

(γ₁(2t) dla 06 t 6 ¹2

γ2(2t − 1) dla ¹₂ 6 t 6 1; jest to oczywiście krzywa i (γ1⊕ γ2)^∗= γ₁^∗∪ γ₂^∗. ¹⁷

1.1.23 (Łukowa spójność). Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeżeli dla dowol- nych x, y ∈ X istnieje krzywa γ : [a, b] −→ X taka, że γ(a) = x, γ(b) = y. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna (ale nie odwrotnie — Ćwiczenie).

Dla X16= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X1, . . . , XN są przestrzeniami łukowo spójnymi ⇐⇒ X1× · · · × XN jest przestrzenią łukowo spójną.

1.2. Przestrzenie metryczne Większość dowodów można znaleźć w [Eng 1968].

Definicja 1.2.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X, %), gdzie % jest funkcją X × X −→ R+ 18
, nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli spełnione są następujące trzy warunki:

• ∀_x,y∈X : %(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

• ∀x,y∈X : %(x, y) = %(y, x) (symetria),

• ∀x,y,z∈X : %(x, y) 6 %(x, z) + %(z, y) (nierówność trójkąta).

Funkcję % nazywamy metryką.

Zwykle będziemy pisać X zamiast (X, %) (o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką metrykę chodzi).

Przykład 1.2.2. (a) X = R, %(x, y) := |x − y|.

(b) X = R, %(x, y) := | arctg x − arctg y| ¹⁹
.

16
Camille Jordan (1838–1922).

17
Oznaczenia i ⊕ mają charakter roboczy i nie musimy się do nich zbyt przywiązywać.

18
Dla A ⊂ R definiujemy A+:= {x ∈ A : x > 0}, A>0:= {x ∈ A : x > 0}, np. R+= [0, +∞).

19
arctg(±∞) = ±^π₂.

1. Wstęp (c) X — dowolny zbiór, %(x, y) :=

(1 gdy x 6= y

0 gdy x = y = metryka dyskretna.

1.2.3 (Kule). W przestrzeniach metrycznych możemy zdefiniować pojęcia kuli otwartej i kuli domkniętej:

B(a, r) = B%(a, r) := {x ∈ X : %(x, a) < r} = kula otwarta o środku w punkcie a ∈ X i promieniu r ∈ (0, +∞] ²⁰
.

B(a, r) = B_%(a, r) := {x ∈ X : %(x, a) 6 r} = kula domknięta o środku w punkcie a ∈ X i promieniu r > 0 ²¹
.

1.2.4 (Topologia generowana przez metrykę). Niech (X, %) będzie przestrzenią metryczną. Topologia generowana przez metrykę %, to topologia dana przepisem:

top % := {U ⊂ X : ∀a∈U ∃r>0: B(a, r) ⊂ U }.

Odnotujmy, że:

• Metryka dyskretna generuje topologię dyskretną.

• Topologia generowana przez metrykę jest Hausdorffa.

• Kule otwarte są otwarte.

• Kule domknięte są domknięte.

• Na ogół mamy B(a, r) B(a, r) — Ćwiczenie.

• Kule nie muszą być spójne — Ćwiczenie.

1.2.5. Jeżeli X 3 x_ν ^{top %}−→ x₀ ∈ X, to dla uproszczenia będziemy pisać x_ν −→ x^% ₀ lub jeszcze krócej xν−→ x0. Zauważmy, że xν

top %

−→ x0⇐⇒ %(xν, x0) −→ 0.

Zbiór F ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=1 ⊂ F , jeżeli xν−→ x0, to x0∈ F .

Jeżeli (X, %) jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru Y ⊂ X, para (Y, %|Y ×Y) jest przestrzenią metryczną (%|Y ×Y nazywamy metryką indukowaną) oraz top(%|Y ×Y) = (top %)|_Y.

1.2.6. Jeżeli ϕ : R+ −→ R+ jest funkcją niemalejącą, wklęsłą (zob. Definicja 2.1.15) i taką, że ϕ(ξ) = 0 ⇐⇒ ξ = 0, to ϕ ◦ % jest metryką dla dowolnej metryki % — Ćwiczenie ²²
. Dla przykładu, jeżeli % jest metryką, to min{%, 1} jest metryką.

1.2.7 (Równoważność metryk). Mówimy, że dwie metryki %1, %2 : X × X −→ R⁺ są równoważne (%1∼ %2), jeżeli top %1= top %2. Jest to relacja równoważności. ²³

Łatwo widać, że:

%₁∼ %₂⇐⇒ ∀_(xν)^∞

ν=0⊂X : (x_ν −→ x^%1 ₀⇐⇒ x_ν−→ x^%2 ₀).

Własności niezmiennicze względem metryk równoważnych (np. zbieżność, ciągłość) nazywamy wła- snościami topologicznymi przestrzeni metrycznej (X, %).

1.2.8 (Porównywalność metryk). Mówimy, że dwie metryki

%1, %2: X × X −→ R⁺

są porównywalne, jeżeli %₁6 c1%^α₂¹ i %₂6 c2%^α₁² dla pewnych stałych c₁, c₂, α₁, α₂> 0. Porównywalność metryk jest również relacją równoważnościową. Metryki porównywalne są równoważne (ale nie odwrotnie

— np. % ∼ min{%, 1}, ale metryki te nie muszą być porównywalne — Ćwiczenie).

Własności niezmiennicze względem metryk porównywalnych nazywamy własnościami metrycznymi przestrzeni (X, %).

1.2.9 (Ograniczoność). Zbiór A ⊂ X jest ograniczony, jeżeli sup %(A × A) < +∞. Jest to własność metryczna, ale nie topologiczna ²⁴
. Łatwo widać, że:

A jest ograniczony ⇐⇒ ∀a∈X ∃r>0 : A ⊂ B(a, r) ⇐⇒ ∃a∈X ∃r>0: A ⊂ B(a, r).

Liczbę diam A := sup %(A × A) nazywamy średnicą zbioru A (w metryce %).

20
B(a, +∞) = X.

21
B(a, 0) = {a}.

22
Cała trudność leży w zauważeniu, że ϕ(ξ + η) 6 ϕ(ξ) + ϕ(η) dla dowolnych ξ, η ∈ R+.

23
Czy metryki % i ϕ ◦ % z punktu 1.2.6 muszą być równoważne? — Ćwiczenie.

24
Przypomnijmy sobie, że metryka min{%, 1} jest globalnie ograniczona.

1.2. Przestrzenie metryczne

1.2.10 (Ciągłość). Jeżeli (X, %), (Y, d) są przestrzeniami metrycznymi, to dla f : X −→ Y i a ∈ X następujące warunki są równoważne:

(i) f ∈ C(X, Y ; a);

(ii) (Definicja „ciągowa” Heinego ²⁵
)

∀(x_ν)^∞_ν=1⊂X : (x_ν−→ a) =⇒ (f (x^% ν)−→ f (a));^d (iii) (Definicja „ε − δ” Cauchy’ego ²⁶
)

∀ε>0∃δ>0: f (B_%(a, δ)) ⊂ B_d(f (a), ε). ²⁷

1.2.11 (Jednostajna ciągłość). Mówimy, że odwzorowanie f : X −→ Y jest jednostajnie ciągłe, jeżeli

∀ε>0∃δ>0∀a∈X : f (B%(a, δ)) ⊂ Bd(f (a), ε). ²⁸

Jednostajna ciągłość jest własnością metryczną ²⁹
. Odwzorowania jednostajnie ciągłe są ciągłe, ale nie odwrotnie — Ćwiczenie. Złożenie odwzorowań jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągłe.

1.2.12 (Warunki Höldera i Lipschitza). Mówimy, że f : X −→ Y spełnia warunek Höldera z wykładni- kiem α > 0 ³⁰
, jeżeli istnieje stała C > 0 (stała Höldera) taka, że

d(f (x⁰), f (x⁰⁰)) 6 C%^α(x⁰, x⁰⁰), x⁰, x⁰⁰∈ X.

Dla α = 1 warunek Höldera nosi nazwę warunku Lipschitza ³¹
, a stała — stałej Lipschitza.

Odwzorowania spełniające warunek Höldera są jednostajnie ciągłe, ale nie odwrotnie — Ćwiczenie.

Złożenie odwzorowań spełniających warunek Höldera (Lipschitza) spełnia warunek Höldera (Lipschitza).

Czy jeżeli f : X −→ Y jest homeomorfizmem spełniającym warunek Höldera, to f⁻¹ spełnia również warunek Höldera (być może z innym wykładnikiem) ? — Ćwiczenie.

1.2.13. Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=1⊂ X można wybrać podciąg zbieżny.

• Podzbiór K przestrzeń metrycznej X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=1⊂ K można wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu zbioru K.

• Zbiór K ⊂ Rⁿ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

• R jest przestrzenią zwartą.

• Jeżeli f ∈ C(X, R) i X jest przestrzenią topologiczną zwartą, to f osiąga kresy na X (twierdzenie Weierstrassa ³²
).

• Jeżeli f ∈ C(X, Y ), gdzie (Y, d) jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X spełniony jest następujący warunek:

∀ε>0∃δ>0∀a∈K: f (B%(a, δ)) ⊂ Bd(f (a), ε).

W szczególności, jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to f jest jednostajnie ciągłe.

Dowód . Ponieważ f jest ciągła, zatem dla dowolnego a ∈ K istnieje r(a) > 0 takie, że f (B%(a, r(a))) ⊂ B_d(f (a),¹₂ε). Wobec zwartości zbioru K, istnieje skończona liczba punktów a₁, . . . , a_N ∈ K takich, że K ⊂ SN

i=1B%(ai,¹₂r(ai)). Niech δ := ¹₂min{r(a1), . . . , r(aN)}. Weźmy dowolny punkt a ∈ K, a ∈ B_%(a_i0,¹₂r(a_i0)), i niech x ∈ B_%(a, δ). Mamy %(x, a_i0) 6 %(x, a) + %(a, ai0) 6 δ +¹₂r(a_i0) 6 r(ai0). Wynika stąd, że d(f (x), f (ai₀)) 6 ¹2ε i ostatecznie d(f (x), f (a)) 6 d(f (x), f (aⁱ0)) + d(f (a), f (ai₀)) 6 ε. 

25
Eduard Heine (1821–1881).

26
Augustin Cauchy (1789–1857).

27
Czyli: ∀_x∈X: %(x, a) 6 δ =⇒ d(f (x), f (a)) 6 ε.

28
Czyli: ∀_x0,x⁰⁰∈X : %(x⁰, x⁰⁰) 6 δ =⇒ d(f (x⁰), f (x⁰⁰)) 6 ε.

29
Czy jest to własność topologiczna — Ćwiczenie.

30
Otto Hölder (1859–1937).

31
Rudolf Lipschitz (1832–1903).

32
Karl Weierstrass (1815–1897).

1. Wstęp

1.2.14. Niech (X₁, %₁), . . . , (X_N, %_N) będą przestrzeniami metrycznymi i niech funkcja ϕ : R^N+ −→ R+ 33

będzie taka, że:

ϕ(ξ) = 0 ⇐⇒ ξ = 0,

ξ 6 η =⇒ ϕ(ξ) 6 ϕ(η), ³⁴
ϕ(ξ + η) 6 ϕ(ξ) + ϕ(η), ξ, η ∈ R^N+. Zdefiniujmy

d(x, y) := ϕ(%1(x1, y1), . . . , %N(xN, yN)), x = (x1, . . . , xN), y = (y1, . . . , yN) ∈ X1× · · · × XN. Wtedy d jest metryką — Ćwiczenie (por. (1.2.6)).

W szczególności, jeżeli (X₁, %₁), . . . , (X_N, %_N) są przestrzeniami metrycznymi, to każda z poniższych funkcji (X₁× · · · × XN)²−→ R+ jest metryką (Ćwiczenie):

dp(x, y) : =X^N

j=1

%^p_j(xj, yj)1/p

= metryka l^p, p > 1, ³⁵
d_∞(x, y) : = max{%₁(x₁, y₁), . . . , %_N(x_N, y_N)} = metryka maksimum.

W szczególności, metrykami są funkcje:

d1(x, y) =

N

X

j=1

%j(xj, yj) = metryka suma,

d2(x, y) =X^N

j=1

%²_j(xj, yj)1/2

= metryka euklidesowa.

Są to metryki porównywalne zadające topologię iloczynu kartezjańskiego ³⁶
; dla dowolnego ciągu (xν)^∞_ν=0⊂ X1× · · · × XN, xν= (xν,1, . . . , xν,N), ν ∈ Z⁺,

mamy: xν−→ x0⇐⇒ xν,j−→ x0,j, j = 1, . . . , N .

1.2.15. Dla dowolnej metryki % : X × X −→ R⁺ zachodzi:

|%(x⁰, y⁰) − %(x⁰⁰, y⁰⁰)| 6 %(x⁰, x⁰⁰) + %(y⁰, y⁰⁰) = d1((x⁰, y⁰), (x⁰⁰, y⁰⁰)), (x⁰, y⁰), (x⁰⁰, y⁰⁰) ∈ X × X.

W szczególności, % : X × X −→ R⁺ jest funkcją ciągłą.

Dla dowolnego zbioru ∅ 6= A ⊂ X definiujemy

%(x, A) := inf{%(x, a) : a ∈ A}, x ∈ X.

Wtedy

|%(x, A) − %(y, A)| 6 %(x, y), x, y ∈ X.

Ponadto, x ∈ A ⇐⇒ %(x, A) = 0.

1.2.16 (Ciągi Cauchy’ego). Ciąg (xν)^∞_ν=1⊂ X nazywamy ciągiem Cauchy’ego w X, jeżeli

∀ε>0∃ν₀∈N∀_ν,µ>ν0 : %(xν, xµ) 6 ε.

• To, że dany ciąg jest ciągiem Cauchy’ego jest własnością metryczną, ale nie topologiczną.

33

R^N+ := (R+)^N.

34
(ξ₁, . . . , ξN) 6 (η1, . . . , ηN) :⇐⇒ ξj6 ηj, j = 1, . . . , N .

35
Cała trudność w sprawdzeniu, że d_pjest metryką leży w wykazaniu nierówności ϕ(ξ + η)6 ϕ(ξ) + ϕ(η), gdzie ϕ(ξ) := (|ξ1|^p+ · · · + |ξN|^p)^1/p, ξ = (ξ1, . . . , ξN) ∈ R^N+, tzn. w wykazaniu nierówności Minkowskiego

X^N

j=1

(ξj+ ηj)^p

1/p

6

X^N

j=1

ξ_j^p

1/p

+

X^N

j=1

η_j^p

1/p

, ξ, η ∈ R^N+, p > 1.

Dowód tej nierówności opiera się na nierówności Höldera

N

X

j=1

ξjηj6X^N

j=1

ξ_j^p1/pX^N

j=1

η^q_j1/q

, ξ, η ∈ R^N₊, p, q > 1, 1 p+1

q = 1.

36
d∞6 dp6 N^1/pd∞— Ćwiczenie.

1.2. Przestrzenie metryczne

• Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego. Jeżeli ciąg Cauchy’ego zawiera podciąg zbieżny, to cały jest zbieżny.

• Ciąg (xν)^∞_ν=1⊂ X1× · · · × XN jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy (xν,j)^∞_ν=1jest ciągiem Cauchy’ego w Xj, j = 1, . . . , N .

1.2.17 (Zupełność). Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny nazywamy przestrzenią zupełną.

Zbiór F ⊂ X nazywamy zupełnym, jeżeli jest przestrzenią zupełną w metryce indukowanej.

• Rⁿ jest przestrzenią zupełną.

• Jeżeli X jest przestrzenią metryczną i F ⊂ X jest zbiorem zupełnym, to F jest domknięty.

• Jeżeli X jest przestrzenią zupełną i F ⊂ X jest zbiorem domkniętym, to F jest zbiorem zupełnym.

• Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna.

• Jeżeli f : X −→ Y jest homeomorfizmem dwóch przestrzeni metrycznych (X, %) i (Y, d), który spełnia warunek Höldera, to z zupełności przestrzeni (Y, d) wynika zupełność przestrzeni (X, %) (Ćwiczenie).

W szczególności, wynika stąd, że zupełność jest własnością metryczną.

• Dla X16= ∅, . . . , XN 6= ∅ mamy:

X₁, . . . , X_N są przestrzeniami zupełnymi ⇐⇒ X₁× · · · × X_N jest przestrzenią zupełną.

1.2.18 (Twierdzenie Baire’a). Zbiór A ⊂ X nazywamy nigdziegęstym, jeżeli int A = ∅ (równoważnie:

zbiór X \A jest gęsty). Zbiory postaci

∞

S

n=1

An, gdzie każdy zbiór Anjest nigdziegęsty, nazywamy zbiorami I kategorii Baire’a ³⁷
. Zbiory nie będące zbiorami I kategorii Baire’a noszą nazwę zbiorów II kategorii Baire’a.

(Twierdzenie Baire’a) Niech X 6= ∅ będzie przestrzenią zupełną i niech Ωⁿ ⊂ X będzie zbiorem otwartym i gęstym, n ∈ N. Wtedy zbiór B := T

n∈N

Ω_njest gęsty. Równoważnie: jeżeli A ⊂ X jest zbiorem I kategorii Baire’a, to int A = ∅, w szczególności, A X (niepusta przestrzeń zupełna nie jest I kategorii Baire’a).

1.2.19 (Granica w punkcie). Niech (X, %), (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi, A ⊂ X, a ∈ A⁰, f : A \ {a} −→ Y , b ∈ Y .

Powiemy, że lim

x→a x6=a

f (x) = b (granica odwzorowania w punkcie), jeżeli odwzorowanie

f : A ∪ {a} −→ Y,e f (x) :=e

(f (x) gdy x ∈ A \ {a}

b gdy x = a ,

jest ciągłe w punkcie a, tzn., jeżeli A \ {a} 3 xν −→ a, to f (xν) −→ b. W przyszłości dla uproszczenia zapisu, będziemy pisać lim

x→af (x) zamiast lim

x→a x6=a

f (x); będziemy również pisać lim

A3x→af (x) dla podkreślenia roli zbioru A.

• Jeżeli a ∈ A, to: f ∈ C(A, Y ; a) ⇐⇒ lim

x→a x6=a

f (x) = f (a).

• Jeżeli lim

x→ax6=a

f (x) = b i g ∈ C(Y, Z; b) (Z jest przestrzenią metryczną), to lim

x→ax6=a

g ◦ f (x) = g(b).

• Uwaga: Nie jest prawdą, że jeżeli ϕ ∈ C(Z, X; t0) (Z jest przestrzenią metryczną), ϕ(t0) = a, t0 jest punktem skupienia zbioru ϕ⁻¹(A) oraz lim

x→a x6=a

f (x) = b, to lim

t→t₀ t6=t₀

f ◦ ϕ(t) = b — Ćwiczenie.

1.2.20 (Granice górne i dolne). Dla A ⊂ X, a ∈ A⁰, f : A −→ R, przyjmujemy:

lim sup

x→a

f (x) := sup{lim sup

ν→+∞

f (xν) : (xν)^∞_ν=1⊂ A, xν−→ a} ∈ R, lim inf

x→a f (x) := inf{lim inf

ν→+∞f (xν) : (xν)^∞_ν=1⊂ A, xν −→ a} ∈ R.

Oczywiście lim inf

x→a f (x) = − lim sup

x→a

(−f )(x). Mamy:

37
René-Louis Baire (1874–1932).

1. Wstęp lim sup

x→a

f (x) = inf_r>0sup{f (x) : x ∈ A ∩ B(a, r)}, lim inf

x→a f (x) = sup_r>0inf{f (x) : x ∈ A ∩ B(a, r)}.

Jeżeli a /∈ A, to granica lim

x→af (x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf

x→a f (x) = lim sup

x→a

f (x) (i wtedy, lim inf

x→a f (x) = lim sup

x→a

f (x) = lim

x→af (x)).

1.2.21. Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d) — przestrzenią metryczną. Dla ciągu odwzo- rowań fν : X −→ Y (ν ∈ Z+) i zbioru A ⊂ X wprowadzamy pojęcia:

• zbieżności punktowej na A: f_ν −→ f₀ punktowo na A, jeżeli dla dowolnego x ∈ A mamy f_ν(x) −→

f₀(x),

• zbieżności jednostajnej na A: fν −→ f0 jednostajnie na A, jeżeli

∀_ε>0∃_ν0 ∀_ν>ν0 ∀_x∈A: d(f_ν(x), f₀(x)) 6 ε.

Jeżeli Y jest przestrzenią zupełną, to fν−→ f0jednostajnie na A wtedy i tylko wtedy, gdy (fν)^∞_ν=1 spełnia na A jednostajny warunek Cauchy’ego:

∀ε>0∃ν0 ∀_ν,µ>ν0∀x∈A: d(f_ν(x), f_µ(x)) 6 ε.

Jeżeli X ma strukturę przestrzeni topologicznej to wprowadzamy dodatkowo pojęcia:

• zbieżności lokalnie jednostajnej na X: fν −→ f0 lokalnie jednostajnie na X, jeżeli dowolny punkt a ∈ X ma otoczenie U takie, że fν −→ f0 jednostajnie na U ,

• zbieżności niemal jednostajnej na X: f_ν −→ f₀ niemal jednostajnie na X, jeżeli dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ X, fν −→ f0 jednostajnie na K.

Pojęcia zbieżności „lokalnie jednostajnej na X” i „niemal jednostajnej na X” są równoważne w prze- strzeniach lokalnie zwartych (np. gdy X jest podprzestrzenią Rⁿ).

• Jeżeli fν −→ f0 lokalnie jednostajnie na X oraz fν ∈ C(X, Y ; a), ν ∈ N, to f0∈ C(X, Y ; a).

• W szczególności, jeżeli X jest przestrzenią metryczną, – fν−→ f0jednostajnie na A,

– a ∈ A⁰\ A, – lim

A3x→afν(x) = bν, ν ∈ N, – oraz bν −→ b0,

to lim

A3x→af0(x) = b0; innymi słowy:

lim

A3x→a( lim

ν→+∞fν(x)) = lim

ν→+∞( lim

A3x→afν(x)).

• Jeżeli fν −→ f0 jednostajnie na X oraz każde odwzorowanie f_ν jest jednostajnie ciągłe, to f₀ jest jednostajnie ciągłe.

1.2.22. Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d) — przestrzenią metryczną. Zdefiniujmy B(X, Y ) := {f : X −→ Y : zbiór f (X) jest ograniczony}.

W zbiorze B(X, Y ) wprowadzamy metrykę Czebyszewa ³⁸
δ(f, g) := sup{d(f (x), g(x)) : x ∈ X}.

Zauważmy, że:

• fν

−→ fδ 0⇐⇒ fν −→ f0 jednostajnie na X.

• Przestrzeń B(X, Y ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Y jest zupełna.

Jeżeli X ma ponadto strukturę przestrzeni topologicznej, to definiujemy CB(X, Y ) := C(X, Y ) ∩ B(X, Y ).

Zauważmy, że:

• CB(X, Y ) = C(X, Y ), gdy X jest przestrzenią zwartą.

• CB(X, Y ) jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni B(X, Y ).

• Przestrzeń CB(X, Y ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zupełna.

38
Pafnutij Czebyszew (1821–1894).

1.2. Przestrzenie metryczne

1.2.23 (Funkcje oddzielnie ciągłe). Niech (X, %) będzie przestrzenią zupełną.

• Niech (f_ν)^∞_ν=1⊂ C(X) i niech fν −→ f (punktowo), tzn. f jest funkcją I klasy Baire’a. Oznaczmy przez N (f ) zbiór punktów nieciągłości f . Wtedy N (f ) jest zbiorem I kategorii Baire’a.

Dowód . Niech

A_{k,`</sub>:= {x ∈ X : ∀<sub>n>`}: |f_n(x) − f<sub>`</sub>(x)| 6 1/k}, k, ` ∈ N.

Zbiór Ak,` jest domknięty, zbiór Fk,` := Ak,`\ int Ak,` jest domknięty i nigdziegęsty. Wystarczy więc pokazać, że N (f ) ⊂ S

k,`∈N

Fk,`. Ustalmy punkt x0∈ N (f ). Ponieważ (fν(x0))<sup>∞</sup><sub>ν=1</sub>jest ciągiem Cauchy’ego, zatem dla dowolnego k ∈ N istnieje `(k) takie, że x⁰ ∈ Ak,`(k). Gdyby x0 ∈ int Ak,`(k) dla dowolnego k ∈ N, wtedy, dla dowolnego k ∈ N, istniałoby rk > 0 takie, że B(x₀, r_k) ⊂ A_k,`(k). Oznacza to, że

|fn(x) − f<sub>`(k)</sub>(x)| 6 1/k dla x ∈ B(x0, r<sub>k</sub>) i n > `(k). W szczególności, |f (x) − f`(k)(x)| 6 1/k dla x ∈ B(x0, rk). Dla x ∈ B(x0, rk) mamy więc

|f (x) − f (x0)| 6 |f (x) − f<sup>`(k)</sup>(x)| + |f`(k)(x) − f`(k)(x0)| + |f`(k)(x0) − f (x0)|

6 2/k + |f`(k)(x) − f<sub>`(k)</sub>(x0)|, co, wobec ciągłości f_{`(k)</sub>, dawałoby ciągłość funkcji f w punkcie x0. Tak więc x0∈ F<sub>k,`(k)} dla pewnego

k ∈ N. 

• Dla dowolnej oddzielnie ciągłej funkcji f : R×Rⁿ⁻¹−→ R (tzn. f(x, ·) ∈ C(Rⁿ⁻¹) i f (·, y) ∈ C(R) dla dowolnego (x, y) ∈ R × Rⁿ⁻¹) istnieje ciąg (f_ν)^∞_ν=1⊂ C(Rⁿ) taki, że f_ν−→ f ³⁹
.

Dowód .

fν(x, y) :=^k+1

ν − x

1 ν



f (^k_ν, y) +x −_ν^k

1 ν



f (^k+1_ν , y), ^k_ν 6 x 6 ^k+1ν , y ∈ Rⁿ⁻¹, k ∈ Z (1.2.1) (dla dowolnego y ∈ Rⁿ⁻¹, fν(·, y) jest funkcją afiniczną na każdym przedziale [^k_ν,^k+1_ν ]). Jest rzeczą widoczną, że funkcja fν jest ciągła (bo jest ciągła na każdym „pasie” [^k_ν,^k+1_ν ] × Rⁿ⁻¹). Ponadto,

|fν(x, y) − f (x, y)| =  

^k+1

ν − x

1 ν

f (^k_ν, y) − f (x, y)

+x − ^k_ν

1 ν

f (^k+1_ν , y) − f (x, y)  

6 max{|f (^kν, y) − f (x, y)|, |f (^k+1_ν , y) − f (x, y)|}, ^k_ν 6 x 6 ^k+1ν , y ∈ Rⁿ⁻¹, k ∈ Z.

Teraz dla ustalonego punktu (x₀, y₀) ∈ R × Rⁿ⁻¹ oraz ε > 0, dobierzmy δ > 0 takie, że |f (x, y₀) − f (x0, y0)| 6 ε dla |x − x⁰| 6 δ. Niech ν > 1/δ i niech ^k_ν 6 x⁰6^k+1ν . Wtedy z poprzedniego oszacowania dostajemy |fν(x0, y0) − f (x0, y0)| 6 ε, co dowodzi, że f^ν−→ f punktowo. 

Jako natychmiastowy wniosek, dostajemy stąd:

• Jeżeli f : R × Rⁿ⁻¹−→ R jest oddzielnie ciągła, to N(f) jest zbiorem I kategorii Baire’a.

• Pojawia się naturalne pytanie czy dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : Rⁿ¹× · · · × R^nk −→ R

(tzn. f (x1, . . . , x_j−1, ·, x_j+1, . . . , x_k) ∈ C(R^nj) dla dowolnych x₁ ∈ Rⁿ¹, . . . , xk ∈ R^nk i j ∈ {1, . . . , k}) jest I klasy Baire’a ?

Prawdziwy jest następujący wynik:

Niech f : R × · · · × R

| {z }

`×

× R<sup>n−`</sup> −→ R będzie funkcją oddzielnie ciągłą (` > 2). Wtedy f jest `–tej klasy Baire’a, tzn. istnieje ciąg funkcji (` − 1)–szej klasy Baire’a (fν)^∞_ν=1 taki, że fν−→ f punktowo.

Dowód . Dla dowolnej funkcji g : R×Rⁿ⁻¹−→ R, zdefiniujmy ciąg (gν)^∞_ν=1tak, jak w (1.2.1) i zauważmy, że:

(a) jeżeli funkcja g(·, y) jest ciągła dla dowolnego y ∈ Rⁿ⁻¹, to gν −→ g punktowo,

(b) jeżeli Rⁿ⁻¹= R^p× R^q× R^r (p, q, r ∈ Z⁺), y = (u, v, w), oraz funkcja g(x, u, ·, w) jest ciągła dla dowolnych (x, u, w) ∈ R × R^p× R^r, to każda z funkcji gν(·, u, ·, w) jest ciągła dla dowolnych (u, w) ∈ R^p× R^r.

39
Tzn. dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : R × Rⁿ⁻¹−→ R jest I klasy Baire’a.

1. Wstęp Teraz postępujemy następująco:

— Stosujemy powyższą konstrukcję do g := f . Wobec (a), do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że każda z funkcji f_ν¹:= g_ν jest (` − 1)–szej klasy Baire’a. Na podstawie (b), wiemy, że każda funkcja

f_ν¹(·, x₂, . . . , x_j−1, ·, x_j+1, . . . , x_{`</sub>, x<sub>`+1}) jest ciągła dla dowolnych (x2, . . . , x`, x`+1) ∈ R × · · · × R

| {z }

(`−1)×

× R<sup>n−`</sup>, j = 2, . . . , ` + 1.

— Powtarzamy konstrukcję dla g := f_ν¹ względem zmiennej x2. Dostajemy kolejny ciąg aproksy- mujący (f_ν²)^∞_ν=1taki, że każda funkcja f_ν²(·, ·, x3, . . . , xj−1, ·, xj+1, . . . , x`, x`+1) jest ciągła dla dowolnych (x₃, . . . , x_{`</sub>, x<sub>`+1}) ∈ R × · · · × R

| {z }

(`−2)×

× R<sup>n−`</sup>, j = 3, . . . , ` + 1.

— Powtarzamy powyższe rozumowanie ` razy. 

Okazuje się, że dla ` > 2 wynik ten nie może być poprawiony, tzn. istnieją przykłady oddzielnie ciągłych funkcji f , które nie są (` − 1)–szej klasy Baire’a — zob. np. [Leb 1905].

1.2.24 (Metryka Hausdorffa). Dla przestrzeni metrycznej (X, %), niechF(X) oznacza rodzinę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów X. Zdefiniujmy

h(A, B) := maxn

sup{dist(x, B) : x ∈ A}, sup{dist(y, A) : y ∈ B}o

, A, B ∈F(X).

• Jest rzeczą oczywistą, iż 06 h(A, B) = h(B, A) < +∞ oraz h(A, A) = 0. Widać również, iż jeżeli h(A, B) = 0, to A ⊂ B oraz B ⊂ A, to oznacza, że A = B.

• h(A, B) 6 r ⇐⇒ A ⊂ B^(r) oraz B ⊂ A^(r), gdzie C^(r):= {z ∈ X : dist(z, C) 6 r}. Zauważmy, że C^(r)∈F(X) dla C ∈ F(X).

• h jest metryką w zbiorzeF(X). Jest to tzw. metryka Hausdorffa.

Dowód . Pozostaje do wykazania nierówność trójkąta. Ustalmy zbiory A, B, C ∈ F(X) oraz ε > 0.

Wiemy, że A ⊂ C^(h(A,C)+ε) oraz C ⊂ B^(h(C,B)+ε). Stąd A ⊂ B(h(A,C)+h(C,B)+2ε). Analogicznie, B ⊂

A(h(B,C)+h(C,A)+2ε). Stąd h(A, B)6 h(A, C) + h(C, B) + 2ε. 

NiechK(X) oznacza rodzinę wszystkich niepustych zwartych podzbiorów X. Dla dowolnego zbioru A ∈K(X), niech

K(A) := {K ∈K(X) : K ⊂ A}.

• (K(A), h) jest przestrzenią zwartą dla dowolnego A ∈K(X).

Dowód . Krok 1^o. Na wstępie udowodnimy, że (K(A), h) jest przestrzenią zupełną.

Istotnie, niech (Lk)^∞_k=1⊂ K(A) będzie dowolnym ciągiem Cauchy’ego. Możemy założyć (Ćwiczenie), że h(Lk, Lk+1) 6 2^−k, k = 1, 2, . . . . Zdefiniujmy

L0:= {x0∈ A : ∃_(xk)^∞

k=1: xk ∈ Lk, k = 1, 2, . . . , xk−→ x0}.

Wprost z definicji wynika, że L0 jest zbiorem zwartym. Dla dowolnego ε > 0 i x0∈ L0, istnieje k0(x0) takie, że x0∈ L^(ε)_k dla k> k⁰(x0). Stąd B(x0, ε) ⊂ L^(2ε)_k dla k> k⁰(x0). Teraz, korzystając ze zwartości L₀, wnioskujemy, że istnieje k₀ takie, że L₀⊂ L^(2ε)_k dla k> k0.

Niech teraz x0∈ Lk₀ dla pewnego ustalonego k0. Korzystając z tego, że h(Lk, Lk+1) 6 2^−k, wnio- skujemy, że istnieje ciąg x1, x2, . . . , taki, że xi ∈ Lk0+i oraz %(xi+1, xi) 6 2^−(k0+i), i = 0, 1, 2, . . . . Jest to oczywiście ciąg Cauchy’ego. Niech x∗:= lim_i→+∞x_i. Wprost z definicji wynika, że x∗∈ L0. Ponadto,

%(x_i, x₀) 6 ₂¹k0 + · · · + _2k0+i−1¹ 6₂k0−1¹ , a stąd %(x_∗, x0) 6 2^−k0+1. Tak więc Lk₀ ⊂ L⁽²₀^−k0+1).

Krok 2^o. Jeżeli już wiemy, że (K(A), h) jest przestrzenią zupełną, to wystarczy pokazać że dla dowol- nego ε > 0 istnieje skończona liczba zbiorów K1, . . . , Kp ∈ K(A) taka, że K(A) ⊂Sp

j=1Bh(Kj, ε), gdzie B_h oznacza kulę w sensie metryki Hausdorffa.

Istotnie, korzystamy z następującego ogólnego faktu. Niech (Y, d) będzie przestrzenią zupełną taką, że dla dowolnego ε > 0 istnieją punkty a^ε₁, . . . , a^ε_n(ε) ∈ Y takie, że Y = Sn(ε)

i=1 B(a^ε_i, ε). Wtedy Y jest przestrzenią zwartą.