1. Widzieliśmy, że początki arytmetyki toną w mroku meta
fizycznych majaczeń. Widzieliśmy również, że teorja klas zro
dziła się z mętnego cantorowskiego idealizmu. To samo odnosi się do klasycznej analizy matematycznej. Możemy powiedzieć, że właśnie ci matematycy, którzy nie chcieli wyjść poza sferę ścisłych rozumowań, zatrzymali się u brzegu i nie dotarli do upragnionego celu. Natomiast ci właśnie, którzy nie wahali się zaufać swojej wizji rzeczywistości, odnieśli decydujące zwy
cięstwo.
Powiedziałem wyżej, że Greków nie możemy uważać za fi- nitystów, choćby z tego powodu, że stworzyli geometrję eukli- desową. Natomiast eleaci byli niewątpliwie finitystami i robili wszystko co mogli, żeby zahamować rozwój pojęć nieskończo- nościowych. Odnosi się to przedewszystkiem do słynnego Ze
nona z Elei, któremu jedni przypisują niezwykłą głębię, a dru
dzy wyszydzają go niemiłosiernie. Zobaczymy odrazu, że argu
menty Zenona były z gruntu fałszywe i usprawiedliwić się da
dzą jedynie panującem za jego czasów zamieszaniem pojęć.
Zenon chciał wykazać, że ruch jest niemożliwy. W tym celu wysunął następujące argumenty:
(1) Jeśli każda rzecz jest w ruchu lub w spoczynku w prze
strzeni równej samej sobie i jeśli to, co porusza się, jest zawsze w danym momencie, strzała lecąca pozostaje w spoczynku.
Argument ten jest beznadziejnie mętny.
Według Russella (Principles o f Mathematics, Cambridge 1903) i Bergsona (Essai sur les donnees immediates de la concience, Paris 1906) idzie tu o to, że podporządkowanie różnych punk
tów przestrzeni różnym momentom czasu nie chwyta zjawiska
1 6 8 Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej
zmiany, które narzuca nam się pod wpływem ruchu rzeczywi
stego.
Russell załatwia się z tym argumentem w ten sposób, że odrzuca pojęcie zmiany jako pozbawione jasnego sensu, nato
miast Bergson uważa to pojęcie za podstawowe i właśnie dla
tego odmawia głębszej wartości interpretacji ruchu przy pomocy analizy punktowej.
Otóż trzeba zaznaczyć, że analiza punktowa pozwala nam przypisać każdej punktochwili, t. zn. parze liczb charakteryzu
jących moment czasu i podporządkowany mu punkt przestrzeni, pewną liczbę zwaną szybkością, która w wypadku spoczynku jest równa 0. W tych warunkach możemy twierdzić, że przypi
sanie punktochwili szybkości jest wystarczającem zaznaczeniem tego faktu, że stan poruszającej się rzeczy ulega w danej punk
tochwili zmianie.
Trzeba tutaj dodać, że według zapatrywań współczesnych fizyków pojęcie szybkości w punkcie nie odpowiada rzeczywi
stości i nie posiada przyrodniczego znaczenia (por. E. Schrddin- ger: Uber Indeterminismus in der Physik, Leipzig 1932). Jeśli jednak zechcemy stanąć na takiem czysto wrażeniowem stano
wisku, nie będziemy mogli przypisywać przyrodniczego znacze
nia pojęciu punktochwili, ani też mówić o tem, że przestrzeń jest równa samej sobie. Cały ten aparat pojęć zaczerpnięty jest z geometrji i tam też tylko można zbudować pojęcie szybkości w punkcie. Poza tym terenem niema szybkości w punkcie, ale niema też podstawy do sformułowania argumentu Zenona.
(2) Ruch jest niemożliwy, bo to, co się porusza, zanim do
sięgnie końca drogi, musi dosięgnąć jej środka.
Innemi słowami ma to znaczyć, że ruch jest niemożliwy, bo nie może się zacząć (por. Śleszyński 1. c.).
W argumencie tym zdaje się leżeć na dnie założenie, że nie możemy mówić z sensem o momencie czasu, ale tylko o odcinku czasowym.
Otóż, rzeczywiście, niema najmniejszego odcinka czasowego, w którym ruch mógłby się zacząć, ale pod warunkiem, że do
puszczamy dzielenie odcinków czasowych w nieskończoność.
Jeśli jednak uważamy, że operacja taka jest dozwolona, to sta
jemy na ściśle geometrycznem stanowisku, gdzie nie potrafimy uchylić się od konieczności przyjęcia momentów czasu jako od
powiedników punktów.
Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej 1 6 9
Z chwilą, kiedy przyjmiemy pojęcie momentu, odpowiedź na pytanie Zenona jest prosta. Ruch zaczyna się w momencie, gdy ciało znajduje się w początku drogi, przyczem w każdym mo
mencie następnym już się w nim nie znajduje. Innemi słowami, ruch zaczyna się w najwcześniejszym momencie kresowym wszystkich odcinków czasu, w których ruch się odbywa.
Wbrew temu wyjaśnieniu pisze Śleszyński:
W argumentach Zenona tkwi fakt następujący: Nie istnieje punkt najbliższy do punktu danego. Tak samo nie istnieje moment czasu najbliższy do momentu danego. Ta okoliczność robi wszelką zmianę niezrozumiałą. Myślenie nasze składa się z aktów, które zajmują skoń
czone przedziały czasu, niemniej sze od pewnej wielkości. Ilość ich jest więc dla każdego z nas skończona. Nie możemy więc objąć świadomością nieskończonej ilość chwil.1
Trudno sobie wyobrazić argumentację bardziej mętną. Na
przód ruch obserwowany składać się musi właśnie z tylu ele
mentów, ile jest aktów naszej myśli. Potem: nieskończonej ilo
ści chwil nie możemy sobie wyobrazić, to jest pewna, ale to nie ma nic wspólnego z tem, że ilość aktów naszej myśli jest skończona, bo nikt nigdy nie przeliczył aktów swojej myśli i niema mowy o tem, żeby to ktoś kiedy uczynił.
Trudno twierdzić, że rozumiemy, co to jest ruch, ale niema powodu do mniemania, że rozumiemy to w mniejszym stopniu, niż np. pytanie: co to jest stół, lub: co to jest krow a? Nato
miast argumenty Zenona są w znacznie wyższym stopniu nie
zrozumiałe, jeśli chce się je wziąć serjo. Idąc tą właśnie drogą popadł Bergson w rozpaczliwy zamęt metafizyki irracjonalnej.
(8) Warto jeszcze poświęcić słów parę słynnemu paradoksowi Achillesa i żółwia. Posłużę się sformułowaniem podanem przez Richarda.2
Achilles biegnie 10 razy szybciej niż żółw. Pierwotna odle
głość jest 1. Z chwilą kiedy Achilles zrobi drogę 1, odległość między nim a żółwiem będzie 0,1, bo taką drogę zrobi żółw.
Kiedy Achilles przebiegnie ten odcinek, żółw zrobi drogę 0,01, zatem odległość Achillesa od żółwia będzie 0,01. W następnych momentach odległość Achillesa od żółwia będzie 0,001, 0,0001,
0 , 0 0 0 0 1 i t. d., będzie więc coraz mniejsza, ale nigdy nie będzie 0.
1 Śleszyński: O pierwszych stadjach rozwoju pojęć nieskończonościowych (Poradnik dla Samouków T. III), p. 57.
2 Richard, 1. c., p. 118.
Paradoks ten nazywa Richard ordynarnym i ma rację. Jeśli Achilles na przebycie drogi 1 potrzebował czasu t, to na prze
bycie następnego odcinka 0,1 potrzebuje czasu 0 ,1 1 i t. d. Za
tem odległościom Achillesa od żółwia
1, 0,1, 0,0 1, 0,0 0 1, 0,0 0 0 1, 0 , 0 0 0 0 1 i t. d.
odpowiadają na stoperze czasy:
t, 1,1 1, 1,1 11, 1,1 1 11, 1,1 1 1 11, 1,1 1 1 1 11 i t. d.
Widzimy, że miary czasu nie mogą przekroczyć -1/, t, że więc cały bieg nietylko nie trw a nieskończenie długo, ale jest bardzo krótki. Nieskończenie długo trwałoby wyliczanie poszczególnych, coraz krótszych dystansów Achillesa i żółwia, ale z tego nie wynika nic zajmującego.
Jeśli spytamy się jaka będzie odległość między Achillesem a żółwiem, w momencie 1, odpowiedź musi opiew ać: 0. Gdyby odległość w tym momencie była większa od 0 i wynosiła np. x, to moglibyśmy wyznaczyć na tyle dużą liczbę naturalną n, żeby
1 0" była większa od w takim razie ułamek byłby mniejszy od x. Ale ułamek można napisać w postaci 0,00... 1, przyczem po kropce dziesiętnej następuje n — 1 zer. Otóż odle
głości takiej odpowiada czas 1,1 1... 1, przyczem po kropce dziesiętnej mamy n jedynek. Ale liczba ta jest napewno mniej
sza niż -1/ .
2. Widzimy, że podane tutaj wyjaśnienia sofizmatu Zenona z Elei sprowadza się do wyznaczenia kresów danych postępów.
Mieliśmy tu do czynienia z następującemi postępami liczb:
1, 1,1, 1,1 1, 1,1 1 1, 1 , 1 1 1 1 i t. d.
1, 0,1, 0,0 1, 0,0 0 1, 0 , 0 0 0 1 i t. d.
Górnym kresem pierwszego postępu jest liczba To zna
czy, że wyrazy tego postępu są stale mniejsze od oraz że niema liczby dodatniej na tyle małej, żeby różnica między \°- a pewnym wyrazem postępu nie była od niej mniejsza.
Dolnym kresem drugiego postępu jest 0. To znaczy, że wy
razy tego postępu są stale większe od 0 oraz że niema liczby dodatniej na tyle małej, żeby pewien wyraz postępu nie był od niej mniejszy.
1 7 0 Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej
Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej 1 7 1
Widzimy, że wyznaczanie kresów górnych i dolnych jest pew- nem nowem działaniem matematycznem, nie gorszem od innych działań i naogół wcale nietrudnem.
Widzimy np. odrazu, że liczby naturalne nie posiadają kresu górnego, a kresem dolnym tych liczb jest 1, bo niema liczby dodatniej na tyle małej, żeby różnica pomiędzy pierwszym wy
razem naszego postępu (t. zn. liczbą 1) a liczbą 1 nie była od niej mniejsza.
Dalej widzimy, że t. zw. suma szeregu geometrycznego 1 + Q + <73 + <?3 + Qi + ■ • •. Sdzie 1 > <7 > °>
która, jak wiemy, wynosi:
1
1 - ą
' jest kresem górnym liczb: 1, 1 + g , l - j - g 2, . . .
Pojęcie kresu jest bez porównania prostsze, niż pojęcie gra
nicy, ale nie różni się od niego istotnie.
Kto zrozumiał, że wyznaczanie kresów jest pewnem działa
niem matematycznem, zupełnie niezależnem od posuwania się w nieskończoność, i że może być dolconanem na różne sposoby, choćby przy pomocy zgadywania, ten przezwyciężył jedyną istotną trudność tkwiącą u podstaw analizy nieskończonościowej.
Wszystko inne jest tylko rozbudowaniem tej podstawowej myśli.
Nauka o kresach kryje w sobie ciekawe niespodzianki. Tak np. szereg:
1 + i + 3r,+ i + • • •
nie posiada kresu górnego, t. zn. przekracza każdą liczbę natu
ralną, jeśli tylko weźmiemy dostateczną ilość wyrazów. Nato
miast szereg
1 4 - — 4 - — 4 - — 4- 22 32 42
posiada kres górny, o czem można się przekonać bez zbyt wiel
kiej trudności.
Można przypuszczać, że te niespodzianki, związane z poję
ciem kresu, utrudniały Grekom odnalezienie tego pojęcia. Z spo
sobów rozumowania, jakiemi posługiwali się Grecy, mamy prawo wnosić, że działanie, które można wykonać w pewnych wypad
kach, a w innych nie, nie odpowiadało ich smakowi.
Jest faktem, że Archimedes umiał wyznaczać kresy szeregów w poszczególnych wypadkach, ale nie zdobył się na zbudowanie
172 Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej
pojęcia kresu. Jest faktem, że wyznaczył górny kres szeregu geometrycznego i w ten sposób podał wzór na powierzchnię od
cinka paraboli.3
Śleszyński p isze:
Widzimy więc, iż nauka grecka zdołała opanować nieskończoność, ale tylko, że tak powiem, w sposób niejawny. Potężny umysł Archi- medesa widział metodę ogólną, opartą w sposób jawny na nieskoń
czoności, ale, mając doskonałe poczucie ścisłości naukowej, rozumiał, że metoda ta logicznie nie jest uzasadniona, że jest ona metodą heu
rystyczną, której wyniki i zastosowania muszą być na innej drodze sprawdzone.4
Czy było tak, czy inaczej, jest faktem, że nauka nowożytna mu
siała rachunek nieskończonościowy wynaleźć na swój sposób.4 Dzieło to zostało dokonane przy pomocy obrazów zgoła męt
nych i niepewnych.
Śleszyński cytuje następujące słowa K eplera:5
Archimedes posługuje się dowodem niewprost, o którym są różne zdania. Mnie się zdaje, że sens jest taki. Obwód koła B G ma tyle części, ile punktów, t. j. nieskończoność; każdą z nich można uważać za podstawę pewnego trójkąta równoramiennego o ramionach A B ,
tak iż pole koła składa się z nie
skończoności trójkątów scho
dzących się z wierzchołkami w środku koła. Wyprostujmy teraz obwód koła B G i niech B C równa się tej długości, a A B niech będzie prostopadłą do niej. Wyobraźmy sobie te- Fig- 6. raz wszystkie podstawy owych
trójkątów, czyli sektorów, umie
szczone zkolei na prostej BC. Niech jedną z takich podstaw będzie BF, jakkolwiek mała równa jej część niech będzie CE. Niech będą dalej połączone punkty F, E, C z A. Ponieważ trójkątów A B F , A E C jest tyle na prostej BC, ile sektorów w polu koła, i podstawy ich BF, E C równe są podstawom tamtych, a wysokością wszystkich wspólną jest B A , ta sama, co u sektorów, to trójkąty E A C, B A F będą równe między sobą i każdy równa się jednemu sektorowi, więc wszystkie trójkąty mające podstawy na linji BC, t. j. trójkąt B A C z nich wszyst
kich złożony będzie się równał wszystkim sektorom koła, t. j. polu koła, z nich wszystkich złożonemu. Tyle znaczy reductio ad absurdum archimedesowa.
3 Por.: Śleszyński, 1. e,, p. 65.
4 L. e., p. 66.
5 L. c., p. 67.
Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej 17 3
Mamy tu przykład błędnego rozumowania prowadzącego do poprawnego wyniku. Dość powiedzieć, że Kepler mówi o trój
kątach o nieskończenie małej podstawie i liczy je tak, jakgdyby miał do czynienia z ilością skończoną. O paradoksy nieskończo
ności nie dba. Mimo to uzyskuje wynik poprawny i staje się wielkim pionierem nowej matematyki.
Fakt ten można wytłumaczyć w sposób następujący: Kepler odwołuje się wprawdzie do pojęć niejasnych, ale posługuje się niemi w ciasnych granicach, nie wychodząc poza sferę, w któ
rej one funkcjonują poprawnie. Poprostu postępuje tak właśnie, jak postępować należy, dopóki pojęcia nie dadzą się ująć w for
muły. Czytelnik zauważy z łatwością, że tą metodą posługiwa
liśmy się w rozdziałach poświęconych zagadnieniom filozo
ficznym.
Śladami Keplera poszli Cavalieri, Wallis, Pascal, Gregorius a Sancto Vincentio, Fermat, Barrow i inni. Cytuję na podstawie Śleszyńskiego.
Właściwym twórcą rachunku nieskończonościowego jest nie
wątpliwie Newton.
Leibnizowi zawdzięczamy wprowadzenie dogodnej symboliki, które zadecydowało o jego dalszym rozwoju.
3. Z odkryciem rachunku nieskończonościowego łączy się osobliwa historja, która budzić musi niepokojące wątpliwości.
Rachunek całkowy odkrył Isaac Newton w r. 1666. Wyniki swoje zestawił w pracy p. t. Analysis per aeąuationes, której jednak nie ogłosił drukiem. W r. 1673 bawił w Londynie Leib
niz, gdzie zakupił książkę Barrowa, ucznia Newtona i jego współ
pracownika, p. t. Lectiones tum opticae tum geometricae, na po
lecenie Oldenburga, z którym nawiązał bardzo przyjazne sto
sunki. Zaraz po powrocie zabrał się Leibniz do studjów nad ra chunkiem całkowym. W r. 1675 wynalazł znak całki \ ydx. Ten rezultat napozór czysto formalny, był w rzeczywistości decydu
jącym momentem w rozwoju rachunku nieskończonościowego.
W r. 1684 ogłosił Leibniz wyniki swoich badań, nie powołał się jednak ani na Newtona, ani na Barrowa, co wywołało niesły
chane oburzenie w Londynie. Leibniz wymawiał się, że o pracy Newtona nic nie wiedział, a z Barrowa nie korzystał. Niemniej posługiwał się literami e, a, używanemi przez Barrowa dla ozna
czenia przyrostów nieskończenie małych, a prócz tego posłużył
1 7 4 Podstaw ow e pojęcia analizy m atem atycznej
się wyrażeniem momentum, stworzonem przez Newtona, jak
kolwiek w innem znaczeniu. Nadto jest pewne, że czytał książkę Barrowa, bo zachował się egzemplarz z jego dopiskami. Moritz Cantor chciałby narzucić nam przekonanie, że notatki były ro
bione później, bo nie chce przypuścić, żeby Leibniz kłamał. Zo
baczymy jednak, że typ psychiczny Leibniza upoważnia nas do tego przypuszczenia. Moritz Cantor chce za wszelką cenę oczy
ścić Leibniza z zarzutu plagjatu i w tym celu dokonuje istnych sztuczek dialektycznych.
Chcąc wykazać, że Leibniz nie poznał w Londynie Collinsa, który znał wyniki Newtona, powołuje się Cantor na list Olden
burga do Leibniza, w którym tenże donosi mu, że jego pracę oddał Collinsowi.
To — pisze Cantor — musiałby Leibniz wiedzieć od Collinsa, o ile z nim się zetknął, a zetknięcie ich obu bez wiedzy Oldenburga nie da się zgoła pomyśleć wobec ścisłych stosunków członków londyń
skiego towarzystwa.®
Wszystko to pięknie, ale Oldenburg mógł nawet wiedzieć o spotkaniu się Leibniza z Collinsem i mógł wiedzieć, że Col
lins zawiadomił Leibniza o otrzymaniu skryptu, a i tak mógł uważać za stosowne donieść o tem Collinsowi. Zresztą, w ów
czesnych stosunkach nie było trudno posiąść tajemnicę Collinsa nawet bez poznania go, jeśli się było zręcznym dyplomatą, a do tych Leibniz niewątpliwie należał.
Dla mnie jest decydujące, że Leibniz zabrał się do rachunku nieskończonościowego pod wrażeniem pobytu w Anglji, i to, że nie przyznał się do znajomości podręcznika Barrowa.
. Skutkiem tego nie przekonują mnie argumenty Cantora i dzi
wię się, że Śleszyński uznał je za decydujące.7 Natomiast prze
konuje mnie następujący argument Duhringa:
Pozatem nie należy przeoczyć tego, że newtonowska metoda fluksyj powstała w służbie wielkiego przyrodniczego celu w sposób dla znawcy bardzo naturalny i łatwo zrozumiały, podczas gdy metoda różniczkowa Leibniza okazuje się z tego punktu widzenia zupełnie nieumotywowana, i pozostała też w rękach rzekomego odkrywcy bez odpowiednich zastosowań do systemu Przyrody.8
6 M. Cantor: Vorlesungen iiber die Geschichte der Mathematik, Leipzig 1898. T. III, p. 28.
7 L. c., p. 53-54.
8 Por. E. Dtihring: Kritische Geschichte der Philosophie. Berlin 1869, p. 331.