1. Rachunek klas rozwinął się z badań nad porównywaniem zakresów pojęć. Pojęcia oznaczano literami A, B, C, ... i wpro
wadzano symboliczne związki pomiędzy temi literami. Posłużę się tutaj symboliką Peano’a, przyczem celem uniknięcia nawia
sów będę zgodnie z wskazówką Łukasiewicza pisał symbol na początku, a potem litery.
Równość dwu klas A, B oznaczać będziemy symbolem = AB .
Cl
Znak — oznacza równość klasową, którą należy odróżnić od
C l
identyczności semantycznej. Klasy są równe, jeśli posiadają te same elementy. Nie wynika z tego bynajmniej, że są identyczne.
Tak np. mamy = (człowiek) (bezpióry dwunóg), jakkolwiek
po-C l
jęcia człowiek i bezpióry dwunóg nie są wcale identyczne.
Sprawa identyczności dwu klas równych niepokoiła przez czas dłuższy logików. Skończyło się na tem, że przyjęto t. zw. aksjo
m at ekstensjonalności, zapewniający identyczność dwu klas rów
nych (Carnap). Aksjomat ten okazał się zbyteczny, bo możemy ograniczyć się poprostu do klas ekstensjonalnych.1
Jeśli elementy klasy A są zarazem elementami klasy B, pi
szemy i A B . Mówimy wtedy, że A jest podklasą klasy B. Jeśli A jest klasą, — A oznacza klasę przedmiotów, które nie są ele
mentami klasy B. Jeśli A, B są klasami, ^ A B jest klasą przed
miotów, które są elementami klasy A i klasy B, ^ A B jest klasą przedmiotów, które są elementami klasy A lub klasy B. Klasę
^ A B nazywamy iloczynem klas A, B, klasę wA B nazywamy sumą klas A, B.
Pierwsze badania związku c A B zawdzięczamy Leibnizowi.
1 Por. moją rozprawę: Theory of constructive Types, 1. c.
Teorja klas 111 Leibniz udowodnił m. i. następujące twierdzenie, które nazwał praeclarum theorema:
Jeśli c A B oraz c CD, to i - A C - B D .
Skromność tego wyniku, mierzona miarą wielkiego ideału Leibniza, jest uderzająca.
O tej sprawie pisze Śleszyński, co następuje:
Leibniz szuka logiki takiej, któraby była narzędziem badania, któ- raby prowadziła nietylko do dowodu prawd wykrytych, ale i do wy
najdywania prawd nowych. Tę logikę udało mu się zrealizować w po
staci bardzo dalekiej od tej, o której marzył; w ten sposób powstały zaczątki logiki matematycznej w jej najpierwotniejszej postaci, jaką jest algebra logiki czyli logika klas. Jakkolwiek logika ta może mieć zajmujące i ważne zastosowania, np. do rachunku prawdopodobień
stwa, to jednak zakres jej zastosowań jest nader szczupły. Jeśli po
równamy olbrzymie odkrycia matematyczne Leibniza z jego skąpemi zdobyczami na polu logiki, to ujawni się fakt niezmiernie charakte
rystyczny dla logiki. Okaże się mianowicie, jak skalistym i jałowym jest jej grunt i jak trudno na nim dokonać istotnego postępu. Ten sam Leibniz jednak dał swoją działalnością dowód, jak nadzwyczajnie pożyteczne ze względu na inne nauki jest przebywanie myślą w tej dziedzinie.2
Uczniowie Leibniza Segner i Lambert wprowadzili dla ozna
czenia relacji c A B znaki > i < .
Segner p isał: zwierzę > kręgowiec dla zaznaczenia, że zakres pojęcia zwierzę jest większy od zakresu pojęcia kręgowiec. Lam
bert pisał zwierzę < kręgowiec z uwagi na to, że treść pojęcia kręgowiec jest bogatsza, niż treść pojęcia zwierzę.3
Lambert wykrył prawo dystrybutywności znaku ~ ze względu na znak ^ (1781).' Odnośne twierdzenie możemy sformułować w sposób następujący:
~ H " ' C A ' " C B .
Cl
Nadto dowiódł Lambert szeregu innych twierdzeń rachunku klas, ale był to dopiero początek. Lambert i Segner nie pozo
stawili następców i nie wywarli bezpośredniego wpływu na dal
szy rozwój rachunku klas.
Natomiast metoda Eulera, polegająca na porównywaniu za
kresów pojęć przy pomocy kół, zyskała wielką popularność i fi
2 Śleszyński: Teorja dowodu, 1. c. T. II, p. 4.
3 Enriąues 1. c., p. 146.
* Padoa: La logiąue deductive. Paris 1912, p.-70.
112 Teorja klas
guruje do dzisiaj w podręcznikach, jakkolwiek jest daleka od ścisłości. Żeby się o tem przekonać, spróbujmy porównać po
jęcia nie-Polak i nie-Niemiec. Jest to przecież pytanie, które łatwo mógł zadać jakiś sprytny uczeń swojemu profesorowi w gimnazjum. Oka
zuje się, że ani rusz. Nie potrafimy wyrysować dwu kół, któreby spełniały żądane warunki.
Jeśli nie-Polacy są objęci kołem, to nie-Niemcy obejmują całą płaszczyznę poza kołem Niemców, znajdującem się wewnątrz koła nie-Polaków.
Fig- 4- Musimy więc koniecznie uwzględniać obok kół obszary znajdujące się poza kołami. Trzeba jed
nak pamiętać, że nawet w tym wypadku nie wystarczy nam poję
cie koła, ale musimy odwołać się do pojęcia obszaru zamkniętego.
Zwróćmy uwagę na pojęcia (4) człowiek, który ma przynaj
mniej jednego syna, (B) człowiek, który ma przynajmniej jedną córkę, (C) człowiek, który ma jedno dziecko. Pojęć tych nie mo
żemy porównać przy pomocy kół i obszarów znajdujących się poza kołami. Możemy to uczynić natomiast przy pomocy wie
loboków. Na naszej figurze wielobok H N P Q S L obejmuje zakres 04), wielo
bok 1 M 0 Q S K zakres (B), czworobok O P T R zakres (C). Czworobok MN OP , wspólny zakresom (4) i (fi), obejmuje ludzi, którzy mają przynajmniej jednego syna oraz przynajmniej jedną córkę. Ale i te uzupełnienia nie wystarczają do u ra
towania metody Eulera, bo nie chwyta
ona klas pustych, wyrabiając w ten sposób Fis B-fałszywy obraz klas, oparty na przypu
szczeniu, jakoby to było coś podobnego do materjalnego zbioru.
W połowie wieku XIX. występuje nowa fala wysiłków nad zbudowaniem rachunku klas.
De Morgan dowodzi twierdzeń:
= — " A B '' — A — B
— - A B ' — A — B,
noszących do dnia dzisiejszego jego imię (1858).5 Zrozumienie tych twierdzeń sprawia laikom pewną trudność. Objaśnię je na- stępującemi przykładam i:
5 Padoa, 1. c., p. 80.
Ariep.olacy
Teorja klas 1 1 3
Powiedzieć: nie jest prawdą, że ten człowiek jest albo głupi albo zły, wychodzi na jedno z powiedzeniem: ten człowiek jest niegłupi i niezły. Powiedzieć: nie jest prawdą, że ten człowiek jest głupi i zły, wychodzi na jedno z powiedzeniem: ten czło
wiek jest albo niegłupi albo niezły.
Zasadę kojarzenia znaku ~ odkrył G. Boole w r. 1854. Zasada kojarzenia znaku ^ została odkryta dopiero w r. 1877 przez Schrodera.8
Boole’owi zawdzięczamy wprowadzenie pojęcia klasy pełnej i klasy pustej. Pierwszą oznaczał cyfrą 1, drugą cyfrą 0. Klasa pełna obejmuje wszystkie przedmioty, o których mówimy. Tak np. w arytmetyce klasa liczb jest klasą pełną. Klasę pełną ozna
czać będziemy za przykładem Peano’a znakiem V. Klasa pusta jest to klasa — V. Oznaczać ją będziemy symbolem A. Przykła
dem klasy pustej jest w arytmetyce klasa pierwiastków równa
nia : x -f- 1 = x.
Prof. Leśniewskiemu nie podoba się pojęcie klasy pustej.
Powołuje się na zdanie Fregego, który pisał, że jeśli klasa składa się z przedmiotów, jest kolektywnem połączeniem tychże, to musi zniknąć, jeśli te przedmioty znikają. Jeśli spalimy wszystkie drzewa lasu, to tem samem spalimy las. Nie może więc być pu stej klasy.1 Leśniewski chlubi się, że w życiu jego nie było wo- góle okresu, w którymby nie pozostawał w zgodzie z ową lapi
darną uwagą. Wynika stąd, że w życiu Leśniewskiego nie było wogóle okresu, w którymby rozumiał pojęcie klasy. Las nie jest klasą, a klasa nie jest kolektywnem połączeniem przedmiotów i wcale nie musi zniknąć, jeśli te przedmioty znikną.
Zwróćmy uwagę na pojęcie:
pierwiastek równania: x -[ 1 — x.
Jest jasne, że pojęcie to nie składa się z liczb, tem samem więc nie składa się z pierwiastków rów nania: x -j- 1 = x. Rów
nanie to nie posiada pierwiastków. Pojęcie nasze jest klasą pustą.
Gdybyśmy odrzucili klasy puste, nie moglibyśmy wprowa
dzić nauki o równaniach. Przypuśćmy, że nie wiemy, czy funk
cja f ( x ) zeruje się w jakimś punkcie. Żeby się o tem przeko
nać, badamy równanie: / ( x ) = 0. Gdybyśmy odrzucili klasy puste,, nie moglibyśmy tego uczynić.
6 L. c., p. 70.
7 Por. S. Leśniewski: O podstawach matematyki. Warszawa 1930, p. 196.
Chwistek. G ranice n a u k i g
1 1 4 T eorja klas
Również nie moglibyśmy posługiwać się w geometrji t. zw.
reductio ad absurdum. W tych warunkach teorja Leśniewskiego musi być uważana za bezużyteczny balast.
Krytyka założeń, na jakich opiera się rozwój nauki, jest ko
niecznie potrzebna i ona właśnie jest jednym z głównych środ
ków do walki o pogląd na świat oparty na zdrowym rozsądku.
Ale krytyka zrodzona z pospolitych nieporozumień, a narzucana czytelnikowi przy pomocy silnych środków dialektycznych, pro
wadzić musi do zamieszania pojęć.
Prof. Leśniewski przyjmuje taki ton, jakgdyby posługiwanie się klasami pustemi było pospolitym błędem. W rzeczywistości można zarzucić matematykom jedynie to, że interpretują klasy jako coś podobnego do zbiorów materjalnych. W tych warun
kach jest rzeczywiście trudno zrozumieć, co to ma być zbiór pusty. Ale z tego nie wynika, że niema klas pustych, podobnie jak z tego, że różniczki Newtona i Leibniza nie były pojęciowo ściśle określone, nie wynika, że niema liczb nieskończenie małych.
Ani logika, ani matematyka nie może mieć do czynienia z niczem innem, prócz pewnych wyrażeń. W tych warunkach klasy są oczywiście pewnemi wyrażeniami. Klasy puste są równie dobremi wyrażeniami, jak klasy pełne. Na tem koniec.
Argument Leśniewskiego, jakobyśmy w życiu codziennem nie mieli do czynienia z klasami pustemi, nie da się utrzymać.
Raz po raz mamy sposobność stwierdzić, że pewne klasy, które uważamy za pełne, są w rzeczywistości puste. Gdybyśmy chcieli ograniczyć się do klas niepustych, nie moglibyśmy ruszyć z brzegu, nie moglibyśmy mówić o nieznanych nam gwiazdach, o nieznanych pierwiastkach i t. d. Bylibyśmy skazani na język sztuczny i zawiły, taki właśnie, jakim posługuje się Leśniewski.
Dzieło Boole’a i de Morgana kontynuow ali: Peirce, Mac Coli, Jevons, Venn i Schróder.
Peirce (1867) odkrył prawo dystrybutywności znaku w ze względu na znak Odnośne twierdzenie opiewa w naszej sym bolice:
= - C d A B ^ ^ C A ^ CB*
C i
Mac Coli (1878) odkrył praw a następujące:
1) = cA ~ B Ca cA BcAC.
8 Por. Padoa, 1. c., p. 70.
Jest to prawo dystrybutywności znaku c ze względu na znak
2) = ę ~ B C A ac B A (.CA.
Badania te zostały doprowadzone do ostatecznego wykoń
czenia przez Huntingtona. Huntington ujął rachunek klas w ta belę aksjomatów, którą tu podaję z tą zmianą, że oddzielam reguły konstrukcji od zwykłych aksjomatów.
1. Reguły konstrukcji:
a) Jeśli A jest klasą, to — A jest klasą, b) Jeśli A, B są klasy, to ^ A B jest klasą, c) Jeśli A, B są klasy, to *•?A B jest klasą.
2. Aksjomaty:
l a = A A A , Cl
Ib = ~ A V A ,
C l
II a - - A B - HA,
Cl
II b = ~ A B ^ B A ,
Cl
III a A B ~ A C ^ A ^ B C , ci
III b — ^ ^ A B ^ A C ^ A ^ B C , ci
IV a = '%A — A A , ci
IV b = ^ A — A V , ci
Y ^ = 4 7 . '“
Gl
2. Istotną trudność rachunku klas stanowił brak ściśle okre
ślonego unwers du discours, t. j. to, że nie było wiadome, o ja kich przedmiotach wolno nam mówić. Z tej niejasności zrodziły się paradoksy z chwilą, kiedy Cantor przeszedł od rachunku klas do ogólnej teorji.
Pojęcia semantyki elementarnej i rachunku zdań pozwalają nam oprzeć rachunek klas na silnych podstawach.
Klasami będą dla nas wszystkie sądy semantyki elem entar
T eorja klas 115
9 L. c., p. 71.
10 Por. W hitehead i Russell, 1. c., Nr 22.
nej, objęte schematem I I I F, a więc zaczynające się od kwan- tyfikatora ogólnego. W szczególności mamy klasy następujące:
I I x = x x , I I x = x 0, I I x ~ = xx, I I x { * * 0 0 0 x } , I I x ( * x x * 0 0 0 x ) .
Pierwsza z naszych klas jest klasą pełną, gdyż mamy stale:
—- /./.. Jedynym elementem klasy I l x = x 0 jest 0, gdyż tylko 0 czyni zadość warunkowi = A0. Klasa TIx — = jest pusta, bo żadne wyrażenie nie czyni zadość warunkowi ~ = AźL. Klasa n x { * *00Qx } posiada trzy elementy, a mianowicie wyrażenia:
0, =i=00, * =:= 0 0 0 , bo tylko te wyrażenia czynią zadość w arun
kowi: { * * 0 0 0 A}, wreszcie klasa I I x ( * x x * 0 0 0 x ) jest klasą nieskończenie wielu wyrażeń, czyniących zadość warunkowi (*A 2*000A ). Są to te właśnie wyrażenia, które nazwaliśmy liczbami calkowitemi.
Jeśli / jest elementem klasy F, piszemy: rd F. Mamy więc twierdzenia następujące:
£ A n x = x x, 6 0 .ZI x = x 0,
~ 6 A I I x — = x x,
a ę 0I I x{ * *000x} Ag * 0 0 U x {* * 0 0 0 x } ’6 **000lZx{=i=*000x}, ) £ XIT x ( * x x* 00 0 x ) £ * XXII x ( * x x * 0 00x ) .
Jeśli oprzemy się na schemacie £ A B , możemy rachunek klas sprowadzić do rachunku zdań.
Trzeba tylko przyjąć jeszcze regułę następującą, którą na
zwiemy regułą transformacji:
Jeśli w funkcji zdaniowej F podstawię na miejsce zmiennej rzeczywistej I zmienną pozorną K, niezawartą w F, i jeśli wynik podstawienia jest G, to = F g I I I K G jest twierdzeniem.
Tak więc mamy np. następujące twierdzenia:
= (=1= 0 a * 0 0 0 a ) 6 a U x (* 0 x * 0 0 0 x ),
== { * 0 * 0 0 a } € a 17 x {.* 0 * 0 0 x } i t. p.
Przy pomocy schematu cp {x } możemy napisać:
== cp{a} £allx<p {x}.
Poza naszą regułą potrzebne są tylko następujące skróty:
1 1 6 T eorja klas
Teorja klas 11 7
Skrót Wyrażenie
— A II L ~ £ L A - A B I l L A e L A e L B - A B n L \ € L A e L B
= A B
n
L =e
L A6
L BCl
< A B II L $ L A (- L B V n x = x x
A - V
Z uwagi na przyjęcie symbolu e A B oraz reguły transfor
macji, redukcja nasza nie może być uważana za zupełną. Re
dukcję zupełną pozwala nam uzyskać metamatematyka racjo
nalna, z którą zapoznamy się w dalszym ciągu.
Celem zorjentowania się w roli naszych skrótów, zwróćmy się do następujących przykładów.
Mamy twierdzenia:
II x (* 0 x * 0 0 0 x) II x {* * O O O x } H x a (* O x * 0 0 0 x) {* * 0 0 0 x}
C l
— ^ l l x ( * 0 x * 0 0 0 x ) II x {* * 0 0 0 x) II x { * 0 0 x }
Cl
= w II x { * * 0 0 0 x } U x { * 0 * 0 0 x ) I I x v { * * 0 0 0 x } { * 0 * 0 0 x }
C l
— ^IIx{**00()x}ITx{*0*()()x}IZxv==xOv=x*0()v=x*0*()()=x**()0().
ci
Przekonamy się teraz, że mamy:
c A A, gdzie A jest dowolną klasą.
Podstawiamy za A klasę I T x ^ = x x , za A schemat klasowy IIx<p{x}. Rachunek zdań daje:
) - ■ / . / , ( / { / . ) , bo sąd fałszywy pociąga sąd dowolny.
Stosując regułę transformacji, dostajemy twierdzenie:
: - XI I x ~ — x x c X II x (f [ .v j .
Po wprowadzeniu symbolu A za U x -^ = x x, litery A za schemat I I x ę {x }, otrzym ujem y:
) 6 X A € X A . Reguła uogólnienia daje:
11 z: Ć: z A € z A ,
co po zastosowaniu skrótu daje nasze twierdzenie.
Trzeba zaznaczyć, że środki nasze podane wyżej nie pozwa
lają nam udowodnić tego ogólnego twierdzenia. Natomiast prze
konaliśmy się, że potrafimy udowodnić je dla każdej poszcze
gólnej klasy.
Zwróćmy uwagę na następujący przykład:
Wyrażenie I I x { * 0 * 0 0 x } możemy uważać za klasę wyrażeń zawartych w * 0 * 0 0 . Z drugiej strony wyrażenie
I I x v = x 0 v = x * 0 0 = x * Q* 0 0
przedstawia klasę, której elementami są wyrażenia: 0, *00,
*0*00. Możemy udowodnić, że obiedwie klasy zawierają te same elementy, t. j. że są sobie równe.
Naprzód dowodzimy twierdzenia:
= { * 0 * 0 0 a } v = a 0 v = a * 0 0 = a * 0 * 0 0 .
Dowód polega na kolejnem rozbijaniu wyrażenia * 0 * 0 0 na wyrażenia składowe według schematu = * a1a2a.
Stosując teraz do naszego twierdzenia podaną wyżej regułę transformacji, otrzymujemy twierdzenie:
= £ a l l x { * 0 * 0 0 x } ^ a I I x v = x 0 v = x * 0 0 = x * 0 * 0 0.
Do tego twierdzenia stosujemy regułę uogólnienia, co daje:
I I z = € z I I x { * 0 * 0 0 x } £ z l l x v = x 0 v = x * 0 0 == x * 0 * 0 0.
To ostatnie twierdzenie możemy przedstawić w następującej, postaci:
= I I x { * 0 * 0 0 x } I I x v = x 0 v = x * 0 0 = x * 0 * 0 Q.
C l
Twierdzenie tak otrzymane możemy odczytać w następujący sposób: Klasa II x { * 0 * 0 0 x ) zawiera te same elementy, co klasa I l x v = x 0 v = x * 0 0 = x * 0 * 0 0 .
Rachunek relacyj rozwinął się równolegle do rachunku klas.
Doniedawna uważany był za samodzielną dyscyplinę. Dopiero prof. Kuratowski wykazał, że da się sprowadzić do rachunku klas.11
Jest jasne, że zamiast mówić o relacji R, możemy mówić o klasie par elementów, pomiędzy któremi zachodzi nasza rela
cja. Tak np. zamiast mówić o relacji zachodzącej pomiędzy oj
118 T eorja klas
11 Por. Sur la notion de l’ordre, Fundamenta Mathematicae 2.
Teorja klas 11 9
cem a synem, możemy mówić o klasie par mężczyzn, w których pierwszym elementem jest ojciec, a drugim syn.
Chodzi tylko o sprowadzenie pojęcia uporządkowanej pary elementów do pojęcia klasy.
Otóż, Kuratowski postąpił w sposób następujący: Z dwu ele
mentów x, y, z których x ma być na pierwszem, a y na dru
giem miejscu, tworzy klasy a, fi takie, że a zawiera jeden tylko element x, a /? jest klasą elementów x, y. Klasa, której elemen
tami są klasy a, /9, reprezentuje parę elementów x, y. Rzeczy
wiście, widzimy, że element x jest tu wyróżniony, bo należy do obu klas a, (?, podczas gdy element y należy tylko do klasy /?.
W wypadku, kiedy x jest identyczne z y, klasy a, f} redukują się do jednej, ale wtedy mamy do czynienia z parą elementów (x, x), którą charakteryzuje w zupełności jeden tylko element x.
Rachunek relacyj możemy sprowadzić do rachunku funkcyj zdaniowych w sposób analogiczny do tego, który zastosowali
śmy do rachunku klas.
Relację, jaka zachodzi pomiędzy dwoma wyrażeniami, z któ
rych pierwsze zawiera drugie, przedstawiamy symbolem:
n x n y { x y } .
Relację odwrotną przedstawiamy symbolem:
I I x II y {y x } . Sąd ( E 1)11 U I I K czytamy:
E pozostaje do / w relacji I I I I U K.
Reguła transformacji opiewa jak następuje:
Jeśli w funkcji zdaniowej F podstawię na miejsce zmiennej rzeczywistej I zmienną pozorną K, a na miejsce zmiennej rze
czywistej E zmienną pozorną H, przyczem ani H ani K nie jest zawarte w F, i jeśli wynik tego podstawienia jest G, to
= F ( E I) I I I I I I K G jest twierdzeniem.
W szczególności mamy:
= ( * 0 0 0 ) U x II y {x y } {*000},
= ( 0 * 0 0 ) I I x I I y { x y } { 0*00}.
Podobnie jak poprzednio przyjmujemy tabelę skrótów. Tabela ta jest następująca:
1 2 0 T eorja klas
Skrót Wyrażenie
— A
n m
( L M) A• ^ A B I I L I I Ma( L M ) A ( L M ) B A B 11 L I I M v ( L M) A ( L M) B
= A B
Ttel
II L I I M = ( L M) A ( L M) B
■ c A B II L I I My ( L M) A ( L M) B
vRel
I I x I I y a = x x = y y A Rel ■- vRel
Jeśli x, y spełniają warunek ( x y ) R , to x nazywa się po
przednikiem, y następnikiem należącym do relacji R. Klasa łączna poprzedników i następników należących do relacji R nazywa się polem relacji R.
3. Żeby zdać sobie sprawę z płodności rachunku klas, wy
starczy zobaczyć, w jaki sposób rachunek ten pozwala nam wy
eliminować pojęcie odcinka z arytmetyki liczb rzeczywistych.
Posługując się metodą Dedekinda, będziemy uważali za liczby rzeczywiste dowolne klasy liczb wymiernych, mniejszych od pewnej liczby całkowitej.
Pomiędzy tak pojętemi liczbami rzeczywistemi a liczbami wymiernemi ustanowimy następująće związki:
a) Klasa pusta jest arytmetycznie równa 0.
b) Klasa, która zawiera elementy większe od każdej liczby wymiernej mniejszej od liczby wymiernej X, a nie zawiera elementów większych od X, jest arytmetycznie równa.A..
c) Klasa, której wszystkie elementy są mniejsze od pewnej liczby wymiernej mniejszej od liczby wymiernej X, jest arytmetycznie mniejsza od X.
d) Klasa, która nie jest ani mniejsza ani równa arytmetycz
nie X, a jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetycznie większa od X.
Widzimy, że np. klasa liczb wymiernych mniejszych od klasa, której jedynym elementem jest i klasa, której elementy otrzymuje się z schematu * > gdzie n = 2 , 3 . . . , są to liczby rzeczywiste, równe arytmetycznie
Porównywanie liczb rzeczywistych odbywa się na podstawie następujących reguł:
Teorja klas 121 Liczba E jest większa od liczby F, jeśli jeden z elementów liczby E jest większy od liczby F.
Liczba E jest równa liczbie F, jeśli ani E nie jest większa od F, ani F nie jest większa od E.
Działania na liczbach rzeczywistych E, F wykonujemy, w y
konując je na parach elementów tych liczb.
Tak np. {E- Ą-F) jest to klasa sum otrzymanych przez do
danie dowolnego elementu klasy E do dowolnego elementu klasy F.
Oczywiście, systematyczna konstrukcja arytmetyki liczb rze
czywistych wymaga sporo pracy, ale zasadnicza koncepcja jest, jak widzimy, niezmiernie prosta.
Zauważę jeszcze, że ]/2 jest to poprostu klasa liczb wymier
nych, których kw adrat jest mniejszy od 2.
W podobny sposób możemy konstruować liczby rzeczywiste takie jak n, zasada logarytmów naturalnych e i t. p.
Jeśli zważymy, że metoda semantyczna pozwala nam uważać klasy za pewne wyrażenia, to będzie nam łatwo zrozumieć, że tym przedmiotem konkretnym, który na miejsce pseudokonkret- nych odcinków podsunął się w arytmetyce, są wyrażenia. Z tą chwilą arytm etyka przestaje być nauką o idealnych przedmiotach.
Zobaczymy, że utworzenie pełnej klasy liczb rzeczywistych jest niemożliwe, a to z uwagi na paradoks Richarda. Możemy jednak budować poszczególne klasy liczb rzeczywistych tak, jak budowaliśmy klasy odcinków, i możemy mówić o górnym kresie takich klas.
Otóż, metoda nasza pozwala na bardzo proste określenie gór
nego kresu klasy liczb rzeczywistych.
Jest to poprostu klasa liczb wymiernych, które są elemen
tami przynajmniej jednej z liczb rzeczywistych naszej klasy.
Jeśli klasa ta zawiera elementy większe od dowolnej liczby całkowitej, możemy mówić, że górny kres naszej klasy jest nieskończony. W przeciwnym razie jest to liczba rzeczywista.
Widzimy, że jeśli dany przedział liczb rzeczywistych (a0, /?0) dzielić będziemy kolejno na części, wprowadzając przedziały liczb («:„ A) w ten sposób, że « ,,< « „ . 1? an+1< P n + 1, Pn+i<.Pn, dla n = 0, 1, 2, 3 . . . , to istnienie górnego kresu liczb
«„ jest sprawą trywjalną. Górny kres liczb an jest to klasa liczb wymiernych, które są elementami przynajmniej jednej z liczb an.
Górny kres liczb a„ jest liczbą rzeczywistą, bo wszystkie jego
122 Teorja H as
elementy są mniejsze od każdej liczby wymiernej, większej aryt
metycznie od /?„.
Metoda ta daje niesłychane uproszczenie dowodów twierdzeń geometrji elementarnej, odnoszących się do proporcjonalności odcinków, pomiaru powierzchni, objętości i t. d.
4. Klasyczna teorja klas zrodziła się z skrajnie idealistycz
nego, platońskiego poglądu na świat. Jest to jedyny wypadek zapładniającego oddziaływania platońskiego idealizmu w historji nauki nowożytnej.
Twórcą teorji klas jest Jerzy Cantor. Jedynym prekursorem Cantora jest Bernard Bolzano (1781—1848), duchowny austrjacki.
Bolzano wierzył w aktualną nieskończoność. Całe życie poświę
cił wykazaniu, że paradoksy nieskończoności są iluzją.13 Jego wynalazkiem jest idea wzajemnie-jednoznacznego13 odwzoro
wania dwu klas nieskończonych. Klasę liczb parzystych mo
żemy odwzorować w sposób wzajemnie-jednoznaczny klasie liczb całkowitych zapomocą równości
k = 2 • /.
Widzimy, że dowolnej liczbie całkowitej i odpowiada liczba parzysta 2 • i. Naodwrót, dowolnej liczbie parzystej k odpowiada liczba całkowita ( k : 2). Z tego wynika, że klasy nasze są rów- noliczne, jakkolwiek jedna jest częścią drugiej. Bolzano stwier
dza, że paradoks, jakiego można się tutaj dopatrywać, jest po
zorny, bo istotną cechą nieskończoności jest właśnie to, że część klasy nieskończonej może być równoznaczna z całością.14
Badania nad równolicznością klas posunął Cantor bardzo da
Badania nad równolicznością klas posunął Cantor bardzo da