1. Wiemy doskonale, że bardzo łatwo jest nauczyć każde dziecko liczenia na kamykach lub jabłkach. Trudności zaczynają się dopiero, kiedy przejdziemy do wprowadzenia liczb czystych.
Zjawisko to wystąpiło jaskrawo w historji myśli ludzkiej. Arytme
tyka Egipcjan i Babilończyków nie wychodziła poza sferę prak
tycznych zastosowań i dlatego była najzupełniej jasna. Trudno
ści zaczęły się dopiero z chwilą, kiedy Grecy stworzyli pojęcie liczby naturalnej. Ten niezmiernie ważny krok dokonał się w spo
sób trudny do zbadania, niemniej jest pewne, że daleki był od prostoty i przejrzystości, z jaką łączą się dla nas sprawy aryt
metyki liczb naturalnych. Arytmetyka Greków była częścią me
tafizyki i nigdy nie wywikłała się z niepokojącego zagadnienia, jak to jest możliwe, żeby coś takiego, jak liczby naturalne, ist
niało samodzielnie.
Jest wiadome, że pitagorejczycy doszli do przekonania, że liczby naturalne są jedyną prawdziwą substancją, i że do nich sprowadzali istnienie wszechrzeczy. Wszystko inne było tylko stosunkiem liczb naturalnych i nie posiadało bytu samodziel
nego. Z tą koncepcją liczby łączył się kult mistyczny i przera
żenie tajemnicą istnienia, żyjące do dzisiaj w duszach adeptów metafizyki.
Pitagoras zauważył, że długości strun, odpowiadających czte
rem znanym mu tonom: C, F, G, c, wyrażają się pewnemi sto
sunkami liczb 1, 2, 8, 4.
Jednocześnie widząc, że w systemie dziesiętnym — pisze X. Paw
licki —- który on pierwszy wprowadził do Grecji ze Wschodu, z pierw
szych 10 liczb wszystkie inne powstają przez dodawanie, orzekł, że wszystkie zawarte są w pierwszej dekadzie. Co więcej, ponieważ 10 pierwszych liczb czyli pierwsza dekada powstaje przez dodawanie czterech pierwszych (1 + 2 + 3 + 4 = 10), tworzących podstawę mu
Rozwój pojęcia liczby 31 zycznych spółdźwięków, wydawało się jemu, że w pierwszej „boskiej czwórce11 (vevQaxtvę) mieści się pierwsza dekada, tak jak w tej wszystkie liczby następne. A nietylko wszystkie liczby możebne rodzą się z pierwszej boskiej Tstgaw óę, lecz także wszystkie harmonje. Bę
dzie ona twórczynią wszelkich praw duchowych i materjalnych, bo i te przecież harmonją być muszą.1
Umyślnie zatrzymuję się nad temi spekulacjami. Zobaczymy w dalszym ciągu, że element spekulacyjny, który zrodził się ra zem z matematyką grecką, dożył naszych czasów i jeszcze dziś jest bardzo silny, jakkolwiek został ujęty w karby. Trudno roz
strzygnąć, czy element ten wpływał w jakiś sposób na rozwój twierdzeń matematycznych; jest natomiast pewne, że hamował w najwyższym stopniu rozbudowę podstaw matematyki.
Jest dobrze wiedzieć, że żyjący w II. w. po Chr. pitagorej- czyk Nikomachos z Gerazy nie miał odwagi wyprowadzać wszyst
kich liczb naturalnych z jedynki przy pomocy kolejnego doda
wania. Był zdania, że nietylko jedynka, ale i dwójka posiadają wyjątkową pozycję w świecie liczb, gdyż prawo:
a X a >- a a
jest spełnione przez wszystkie liczby naturalne z wyjątkiem je
dynki i dwójki.3 Jest jasne, że dla Nikomachosa były liczby pewnego rodzaju fetyszami.
Kult liczb naturalnych uwidocznia się w dziele Nikomachosa p. t. Wstęp do arytm etyki na każdym kroku. Nikomachos zaj
muje się między innemi teorją liczb doskonałych, ułomnych i przepełnionych.
Liczby doskonałe są równe sumie liczb, które są ich czynni
kami. Liczby większe od takiej sumy nazwano ułomnemi, liczby mniejsze przepełnionemi.8
Tak np. liczba 6 jest liczbą doskonałą, bo mamy:
1 _|_ 2 - f 3 = 6, liczba 8 jest liczbą ułomną, bo mamy:
1 + 2 + 4 < 8,
liczba 12 jest liczbą przepełnioną, bo mamy:
l + 2 + 3 + 4 - | ' 6 > 12.
1 Pawlicki, 1. c. p. 200.
2 C. Robbins and Karpiński: Nicomacłnis of Gerasa, New York 1926 p. 117.
3 Dickson: History of Theory of Numbers, Washington 1919, p. 4.
32 Rozwój pojęcia liczby
Uderzającem jest tutaj, że banalny czynnik 1 doliczany jest stale do każdej sumy czynników. Gdybyśmy zechcieli go opuścić, to wtedy natychmiast liczba 6 stałaby się z doskonałej ułomną.
Nie bacząc na te niebezpieczeństwa, zapuszczał się Nikomachos w metafizyczne argumenty, aby tylko uzasadnić doniosłość tej klasyfikacji. O liczbach ułomnych pisze:
To jest tak, jakgdyby jakiemuś zwierzęciu brakowało naturalnej liczby członków lub części, albo jakgdyby jakiś człowiek miał tylko jedno oko, jak w poemacie „I jedno okrągłe oko było umocowane pod jego brwią“ ; albo tak, jakgdyby ktoś był jednoręki, albo miał mniej niż pięć palców u jednej ręki, albo gdyby brakło mu języka lub jakiegoś innego członka.4
A potem wypowiada słowa następujące:
Wychodzi na to, że tak, jak piękne i doskonałe rzeczy są nieliczne i łatwe do zliczenia, podczas gdy brzydkie i złe są rozprzestrzenione daleko, tak też i przepełnione i ułomne liczby znajdujemy w wielkiej ilości i nieregularnie rozmieszczone, bo metoda odkrywania ich jest nieregularna, ale doskonałe liczby są łatwe do wyliczenia i uporząd
kowane w ciąg należyty.5
Umyślnie cytuję te powiedzenia, bo jakkolwiek nic podobnego nie znajdujemy już w traktatach matematycznych, to jednak spotykamy się z bardzo pokrewnemi metodami wartościowania w rozmowach z bardzo wybitnymi matematykami, którzy baczą na to, żeby ile możności nie wychodzić poza pojęcia odziedzi
czone.
Koncepcja liczb doskonałych, ułomnych i przepełnionych w y
warła kolosalny wpływ na średniowiecze, a jeszcze do dziś dnia nie przestała być aktualna. Żyjący w wieku IX. Alcuin przypi
sywał wszystkie nieszczęścia ludzkości temu, że w arce Noego znalazło się 8 osób, a 8 jest przecież liczbą ułomną.6
Prócz liczb ułomnych, doskonałych i przepełnionych były także liczby zaprzyjaźnione, t. j. takie, że suma czynników jed
nej daje drugą. Takie np. są liczby 284 i 220.
Jamblichos pisze, że jest nieprawdą, jakoby liczby doskonałe były miłością. Miłością są liczby zaprzyjaźnione.7
Liczby zaprzyjaźnione są jeszcze do dzisiaj aktualne, zwła
* Robbins a. Karpiński, I. c. p. 208.
5 L. c. p. 209.
6 Dickson, 1. c. p. 3.
1 Dickson, 1. c.
Rozwój pojęcia liczby 33 szcza w Ameryce, gdzie zajmuje się niemi Dickson i Carmichael.
Dickson wynalazł naw et nowy gatunek liczb zaprzyjaźnionych, zaprzyjaźnione trójki.
2. Zagłębianie się w istotę liczb naturalnych czyniło sprawę symboliki liczbowej zupełnie nieaktualną. Grecy nie posiadali prostych znaków liczbowych. Liczby 1, 2 ... 9, 10, 2 0 ... 100 oraz 100, 200... 1000 oznaczali literami starego alfabetu grec
kiego.
Dodawanie wykonywali, pisząc liczby obok siebie, przyczem na końcu u góry umieszczano przecinek. Mnożenie charakteryzo
wano przy pomocy znaku X> wykonywano je jednak, podpisu
jąc jeden czynnik pod drugim i podkreślając, tak jak to dziś robi się z dodawaniem. Ułamki przedstawiano w sposób dość za
wiły: Ułamek pisano: i£,'xe"-Ks”, gdzie tC' oznacza 17, xe" ozna
cza 25. Niekiedy umieszczano mianownik na miejscu dzisiejszego wykładnika.
Działania na ułamkach były znane już Babilończykom. Można przypuszczać, że dostały się do Grecji z Babilonu, gdyż są do
wody wpływu metod babilońskich na naukę grecką.8
Niemniej metafizyczna różnica pomiędzy liczbą naturalną a ułamkiem, polegająca na tem, że liczby naturalne można było uważać za samodzielne byty, podczas gdy ułamki zarysowywały się jako fikcje, sprawiła, że nie spostrzeżono ścisłej analogji po
między arytmetyką liczb naturalnych i arytmetyką liczb wymier
nych. Karpiński twierdzi,9 że przewaga względów metafizycz
nych wystąpiła u Greków właśnie dlatego, że nie posiadali po
rządnie opracowanego systemu znakowania.
Cała sprawa sprowadza się do faktu, że pojęcia ułamka nie można na żaden sposób wyprowadzić z pojęcia liczby natural
nej. Żeby zdefinjować ułamek, trzeba odwołać się do pojęcia odcinka, klasy, relacji albo wyrażenia. Ale w każdym z tych wypadków wyjątkowa rola liczb naturalnych rozpływa się w ni
cość, a tej konsekwencji Grecy chcieli uniknąć za wszelką cenę.
W zajmującej rozprawie p. t. Warum haben die Griechen die Irrationalzahlen nicht aufgebaut ? 10 zwrócił Heinrich Scholz uwagę na fakt, że istotną przyczyną, dla której Grecy nie zdobyli się
8 Por. O. Neugebauer: Zur vorgriechischen Mathematik. Erkenntnis 1930.
a L. c.
10 P. Hassę u. Scholz: Die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik, Charlottenburg 1928.
Chwistek. G ranice n a u k i 3
34 Rozwój pojęcia liczby
na stworzenie pojęcia liczby niewymiernej, było to, że nie po
siadali pojęcia liczby wymiernej. Na poparcie tej tezy przytacza Scholz słowa Platona wypowiedziane w Republice, z których wynika, że Grecy uważali ułamki za utwory paradoksalne. Byli zdania, że jednostki nie można dzielić na części, nie wierzyli więc w istnienie ułamków. Działania na ułamkach tolerowali jako czynność czysto praktyczną, pozbawioną naukowej wartości.
W tych warunkach nie można się dziwić, że ułamki zaliczane były do świata złudy i z lekceważeniem pozostawione na boku.
Było to tem łatwiejsze, że teorja stosunków geometrycznych stworzona przez współczesnego Platonowi Eudoxosa, umożliwiała operowanie ułamkami przez omówienie, bez wprowadzania osob
nych znaków. Wiadomo, że zamiast p isać: a — § b, możemy po
służyć się odcinkiem pomocniczym k i powołać się na rów ności:
a = 3 k , b = 5 k. Metoda ta wystarcza dla celów geometrycz
nych najzupełniej.
Z rozważań, jakie znajdujemy w Metafizyce Arystotelesa, zdaje się wynikać, że filozof ten był na drodze do wyzwolenia się od przesądu o prymacie liczb naturalnych. Arystoteles nie uważał liczb naturalnych za byty samodzielne i poszukiwał jed
nostek samodzielnych w sferze życia codziennego. Tutaj jednak natrafił na płynność pojęć popularnych i zgubił się w dialek
tycznych dociekaniach na ten temat. I tak zajął się Arystoteles tą sprawą, że cechę jedności posiada w wyższym stopniu to, co jest z natury zwarte, niż to, co jest zwarte w sposób sztuczny.
Zwarte jest to, czego ruch jest jeden i inny być nie może.11 Mamy tu jakgdyby powołanie się na pojęcie ciała sztywnego, od którego już nie było daleko do oparcia się na geometrycz
nym odcinku. Niemniej Arystoteles poprzestał na dociekaniach ontologicznych i nie wyciągnął z nich narzucających się kon- sekwencyj.
Jest dobrze wiedzieć, że przesąd o prymacie liczb natural
nych utrudniał niezmiernie pogodzenie się z coraz to nowemi gatunkami liczb, jakie nasuwały się w rozwoju matematyki.
O odkryciu liczb ujemnych pisze Young co następuje:
Pierwszym, jak się zdaje, który spostrzegł istnienie ujemnych pier
wiastków równania kwadratowego, był Indus Bhaskara. W dziele, pi- sanem około r. 1150 po Chr., podaje on 50 i — 5 jako pierwiastki równania x* — 45 x = 250; „lecz drugiej wartości14 — powiada on —
11 M etaph. V. 6.
Rozwój pojęcia liczby 35
„nie należy brać w tym przypadku, gdyż jest niewłaściwą; ludzie nie uznają pierwiastków ujemnych14. Istotnie przez całe jeszcze stulecia po nim ludzie nie uznawali pierwiastków ujemnych. Matematyk nie
miecki Michael Stifel mówi w r. 1544 o liczbach absurdycznych lub fikcyjnych niżej zera, które powstają, gdy liczby rzeczywiste nad ze
rem odejmujemy od zera.12
Liczby zespolone były jeszcze w XIX w. uważane za utwory fikcyjne, a psycholog niemiecki Teodor Lipps umieścił je na jednej liście z przedmiotami sprzecznemi takiemi, jak kw adra
towe koła.
3. Filozofja pitagorejska głosiła, że właściwą substancję sta
nowią czyste liczby, a zjawiska rzeczywiste są stosunkami licz- bowemi. Jeszcze Nikomachos z Gerazy, który pod wpływem Platona i Arystotelesa przyjmował prócz ilości inne kategorje, uważał liczby za „najwyższy gatunek form, z którego inne formy są zrobione i któremu są podporządkowane".13
Modyfikacje te były spowodowane wielką katastrofą, jaką pitagoreizm przeżył jeszcze pod wpływem prac swojego mistrza.
Źródłem tej katastrofy było zagadnienie stosunku liczbowego pomiędzy bokiem, a przekątnią kwadratu. Zagadnienie to, na- pozór proste i elementarne, doprowadziło do zjawisk zupełnie nowych i zupełnie nieoczekiwanych.
Badania przeprowadzone w tym kierunku przez Pitagorasa doprowadziły do odkrycia odcinków niewspółmiernych. W szcze
gólności przekonał się Pitagoras, że bok kwadratu nie jest współ
mierny z przekątnią. Twierdzenie to jest dziś powszechnie znane.
Podam tu jego dowód, który wydaje mi się osobliwie prosty.
W danym kwadracie odcinam na przekątni c bok a. Pozostały odcinek oznaczam przez at . W punkcie M, dzie
lącym przekątnię w stosunku a : ax, bu
duję prostopadłą do przekątni. W ten a sposób powstaje trójkąt prostokątny, rów
noramienny A M N . Przekonujemy się z łatwością, że punkt N, w którym nasza prostopadła spotyka bok A C, dzieli ten
bok w stosunku a — a1 : at . Fls-
1-12 Dwanaście wykładów o zasadniczych pojęciach algebry i geometrji, tłum.
Silbersteina.
13 Robbins i Karpiński 1. c.
A
3*
36 Rozwój pojęcia liczby
Przypuśćmy teraz, że istnieje pewien odcinek j, który w od
cinku c mieści się bez reszty y razy, a w odcinku a mieści się bez reszty a razy. Mamy tedy: a = aj, c = yj. Oznaczmy teraz różnicę y — a przez ax, różnicę a — % przez yt , a odcinek a — przez c1. Widzimy, że:
Ci = Yij, a, = a j .
Okazuje się tedy, że jeśli bok kwadratu i jego przekątnia mają wspólną miarę, to musi istnieć kw adrat mniejszy, którego bok i przekątnia mają tę samą wspólną miarę. W ten sposób otrzymujemy nieskończony ciąg kwadratów coraz to mniejszych, których bok i przekątnia posiadają stale tę samą miarę. Otóż, jest jasne, że odcinków mniejszych od c, mierzalnych przy po
mocy tej samej miary /, może być co najwyżej y — 1, nie mo
żemy więc mieć nieskończenie wielu różnych od siebie kw adra
tów o przekątni mniejszej od c, w których odcinek j mieściłby się bez reszty. Przypuszczenie nasze okazuje się tedy fałszywe i musimy się zgodzić z tem, że niema takiego odcinka, któryby zarówno w boku jak i w przekątni kw adratu mieścił się bez reszty.
Odkrycie tego twierdzenia zrobiło na Pitagorasie niezmierne wrażenie. Było to pierwsze zetknięcie się z tem, co nazywa się ciągiem nieskończonym. Było to pierwsze przekroczenie granic arytmetyki finitystycznej.
Śleszyński pisze o tem odkryciu co następuje:
Podanie głosi, że Pitagoras, chociaż złożył za nie bogom ofiarę ze 100 byków, nakazał jednak uczniom swoim zachować to odkrycie w największej tajemnicy. Uważał je bowiem za niebezpieczne dla na
uki swojej, podług której wszystko miało być liczbą.14
To zjawisko, połączone z innemi objawami zahamowania w stosunku do procesów nieskończonościowycb, dało podstawę do przesądu o finityzmie Greków.
Przeciwko temu przesądowi wystąpił z całą stanowczością Śleszyński. Ostatnio poruszył tę sprawę Scholz w dyskusji ze Spenglerem.16
Cała ta dyskusja jest niezmiernie ważna i dlatego chciałbym zatrzymać się przy niej nieco dłużej.
Przesąd o finityzmie Greków jest wynikiem prostego niepo
14 Jan Śleszyński: O pierwszych stadjach rozwoju pojęć nieskończono- ściowych.
15 L. c.
Rozwój pojęcia liczby B7 rozumienia. Idzie on tak daleko, że nawet geometrię Euklidesa, która jest oparta na pojęciu nieskończenie długiej linji prostej, uważa się za produkt myśli finitystycznej. W jednym z popu
larnych swoich wykładów wygłosił takie twierdzenie słynny twórca mechaniki falowej prof. Schrodinger, zestawiając geome- trję Euklidesa z świątynią grecką.
Otóż, trzeba zaznaczyć, że w świecie greckim, który był skoń
czonym i w którym ruch po kole uważany był za najdoskonal
szy,1® odkrycie nieskończenie długiej linji prostej było trudne i wymagało osobliwego wysiłku wyobraźni twórczej. Umysły przyzwyczajone od dzieciństwa do operowania pojęciem linij równoległych, które nigdy się nie przecinają, potrzebują pewnego wysiłku, żeby zrozumieć, że idzie tu o coś, co nietylko nie rozumie się samo przez się, ale jest nawet bardzo trudne do intuicyjnego opanowania. Jest dobrze przypomnieć, że wszystkie przykłady linij równoległych, jakie podaje się w szkole, a mia
nowicie linje pionowe i promienie słońca, są właśnie przykła
dami linij, których punkt przecięcia się jest wprawdzie bardzo odległy, ale niemniej istnieje. Przykładów linij równoległych po
dać nie możemy i skutkiem tego musimy uważać je za fikcję.
Z tym faktem liczy się współczesna fizyka, która wraz z ogólną teorją względności Einsteina przejęła geometrję riemannowską, nie dopuszczającą istnienia linij nieskończonych. Jeśli zwrócimy uwagę na ten fakt, to nasunie nam się twierdzenie, że właśnie umysł dzisiejszego człowieka jest finitystyczny w przeciwień
stwie do greckiego. Rzeczywiście, Grecy, których świat był stale zamknięty, stworzyli pojęcie linji nieskończonej, natomiast fizycy dzisiejsi, którzy muszą liczyć się m. i. ze zjawiskiem nieskoń
czenie rozszerzającego się świata, oparli się na koncepcji linji prostej skończonej.
4. Arytmetyka grecka zamarła w ekstatycznym podziwie dla tajemniczych właściwości liczb naturalnych. Odrodzenie doko
nało się na gruncie rachunków formalnych dzięki wielkiemu, zbiorowemu wysiłkowi Arabów (Al Battani, Al Biruni, Nasir Eddin i i.). Arabowie zabrali się do studjowania matematyki greckiej już w w. IX. i zapalili się do zadań, jakie w niej na
potkali. Sprawy metafizyczne pozostawili na boku. Nie zastana
wiali się nad istotą liczb naturalnych, ułamków, ani liczb nie
16 Arist. Metaph. V 6.
3 8 Rozwój pojęcia liczby
wymiernych, ale zato stworzyli dzisiejszy system liczb dziesięt
nych i operowali sinusami i cosinusami. Dzięki tym rezultatom czysto formalnym stali się właściwymi twórcami algebry i try gonometrii. Badania ich wywarły wpływ na słynnego Leonarda Fibonacci (XII.—XIII.), a potem na Levi ben Gersona (XIV.), który według słów Gino Lorii17 uzupełnił je ważnemi i oryginalnemi przyczynkami. Ale dopiero w końcu XV. w. wyzwoliła się Europa z kultu liczb naturalnych przekazanego jej przez Greków za po
średnictwem Boecjusza. Rozwój interesów handlowych sprawił, że zagadnienia teorji liczb doskonałych, ułomnych, przepełnio
nych i zaprzyjaźnionych zeszły na plan drugi. Pierwsza arytm e
tyka, w której zagadnienia te zostały pominięte, wyszła w We
necji w r. 1484. Była to arytm etyka handlowa, napisana przez Pietra . Borgo.18 Pierwszy podręcznik trygonometrii wyszedł w r. 1533. (Johann Muller, zwany Regiomontano).19
Wiek XVI. poszedł drogą formalną, wskazaną przez Arabów.
Rozwiązanie równania stopnia 3-go, dokonane przez Scipio Fer- reo, było wynikiem czysto rachunkowym, można powiedzieć pa- zygraficznym, gdyż, jak wiadomo, nie posiadało wartości prak
tycznej.
Ale dopiero w w. XVII. rozpoczęła się systematyczna praca nad ustaleniem znaków liczbowych. Historycy wymieniają nazwiska trzech badaczy: Oughtreda, Herigone’a i Leibniza.
Wiadomo, że Leibniz przez ustalenie doskonałej, do dziś dnia utrzymującej się symboliki rachunku nieskończonościowego stał się jego współtwórcą. Leibniz był entuzjastą symboliki i spo
dziewał się po niej wielkiego przewrotu w nauce.
Śmiem powiedzieć — pisał do L’HopitaIa — że to jest ostatni wysiłek umysłu ludzkiego (Characteristica generalis) i że z chwilą, kiedy ten projekt będzie przeprowadzony, pozostanie ludziom tylko pragnienie szczęścia, bo będą mieli przyrząd, który służyć będzie do upojenia umysłu w niemniejszym stopniu, jak teleskop służy do do
skonałego widzenia.20
Swoją charakterystykę ogólną określa Leibniz w sposób na
stępujący w tym samym liście:
Jeden z sekretów analizy polega na charakterystyce, t. j. na sztuce zręcznego użycia użytecznych znaków.20
17 G. Loria: Storia delle Matematiche, Torino 1929, p. 422.
18 V. artykuł G. E. Smitha, Isis, Vol. VIII (1).
19 Loria 1. c.
20 Cytowane w artykule Florjana Cajori, Isis, Vol. VII (3), p. 417.
Rozwój pojęcia liczby 39 O poglądzie Leibniza na liczby naturalne pisze Hólder:
Leibniz nie mówi całkiem wyraźnie, jak pojmuje liczbę; ponieważ
jednak formuły: _ .
u* _L I X 8 = 2 + 1 4 = 3 + 1
oznacza jako definicje liczb 2, 3, 4 . . . , możemy przyjąć, że chce uwa
żać liczbę za znak miejscowy [systemu dziesiętnego liczb] 21. .. i posu
wanie się w szeregu o jeden człon oznacza jako dodawanie liczby l . 22 Koncepcja Leibniza była genjalna, zawierała jednak jedną ujemną stronę. Znak różniczki d x wprowadzony przez Leibniza pokrywał absurdalne pojęcie nieskończenie małej liczby, które groziło uwikłaniem się w sprzeczności. W ciągu w. XVIII. za
częła się krytyka tego pojęcia (d’Alembert), w początkach w. XIX.
zabrano się do systematycznej pracy nad wyeliminowaniem go z matematyki (Cauchy, Abel). Do tych spraw powrócę w dal
szym ciągu.
Tutaj zaznaczę tylko, że z całej tej dyskusji zrodziła się świa
domość, że znaków nie możemy tworzyć dowolnie, bo grozi nam uwikłanie się w sprzeczności. Na tem tle zrodził się w ciągu w. XIX. nawrót do realistycznego pojmowania liczb naturalnych, o którym wspomniałem poprzednio.
Niemniej badania przyrodnicze i psychologiczne z jednej strony, a z drugiej niepowodzenia prac nad sprowadzeniem liczb rzeczywistych do liczb naturalnych, spowodowały w drugiej po
łowie XIX. w. nawrót do koncepcji znakowej, przyczem jako gwarancja przeciw sprzeczności miało figurować doświadczenie przyrodnicze.
Helmholtz pisał:
Uważam arytmetykę czyli naukę o czystych liczbach za metodę, zbudowaną na czysto psychologicznych faktach, która uczy prawidło
wego posługiwania się systemem znaków (mianowicie liczb) o nieo
graniczonym zakresie i nieograniczonej możliwości wydoskonalenia.
Arytmetyka bada mianowicie, jakie rozmaite sposoby łączenia tych znaków (działania rachunkowe) prowadzą do tego samego wyniku.25
Myślę, że Helmholtz odkrył istotę arytmetyki.
Frege, krytykując to zdanie, powiada, że tutaj znaki uzy
skały siłę magiczną. Frege sądzi, że Helmholtz pomieszał teorję
21 Uwaga autora.
22 Die m athematische Methode, p. 163.
23 Pliilosoph. Aufsatze, cytowane przez Fregego.
40 Rozwój pojęcia liczby
z praktyką, i dodaje, że nigdy nie spotkał pomysłu mniej filo
zoficznego.24
Argument Fregego jest zajmujący z tego powodu, że poru
sza wątpliwość, jakoby odwoływanie się do automatyzmu psy
chicznego było rodzajem magji. Trzeba jednak pamiętać, że w ta kim razie wszystko byłoby magją, bo bez takiego automatyzmu nie możemy ruszyć z brzegu. Zarzut, jakoby tu była pomieszana
chicznego było rodzajem magji. Trzeba jednak pamiętać, że w ta kim razie wszystko byłoby magją, bo bez takiego automatyzmu nie możemy ruszyć z brzegu. Zarzut, jakoby tu była pomieszana