PODSTAWOWE RÓWNANIA

Wykorzystując znaleziony tensor energii-pędu można otrzymad z równań Einsteina (por. np. McV it t i e 1956) nastepujące równania:

i* 2

_

3B 3

R2

k e = —c +

----A2 R2

2 R R B R k p = --- --- — + 2 cc — R R 2 R 2 R (4)

168

Z p ra c o w n i i o b se r w a to r ió w g d z i e w p r o w a d z o n o n a s t ę p u j ą c e o z n a c z e n i a : k — s t a ł a g r a w i t a c j i E i n s t e i n a , e = c 2 p , (5) P = k c 2 , 3 a = - k£ . K ł a d ą c a = 0 ( b r a k l e p k o ś c i ) o t r z y m a m y z r ó w n a ń (4) z w y k ł e r ó w n a n i a k o s m o l o g ii F r i e d m a n n a . 5 . BA D A N IE ROZ WIĄZA Ń K o l e j n y k rok w k o n s t r u k c j i m o d e lu p o l e g a , j a k w ia d o m o , n a p r z y j ę c i u p e w n e g o r d w n a n i a s t a n u p = p (pi. W n a s z y m p r z y p a d k u j e s t to n i e w y s t a r c z a j ą c e , b o w iem w y s t ę ­ p u j e t u t a j j e s z c z e j e d n a n i e w i a d o m a — w i e l k o ś ć et z w i ą z a n a z t a r c i e m w e w n ę tr z n y m . Z b ra k u k o n k r e t n y c h i n f o r m a c j i o t e j w i e l k o ś c i o r a z w c e l u u p r o s z c z e n i a d y s k u s j i p o d w z g l ę d e m m a t e m a ty c z n y m p r z y jm i e m y , ż e a j e s t p a r a m e t r e m s t a ł y m p o d c z a s e w o l u c j i m o d elu . W d a l s z y c h b a d a n i a c h , o g r a n ic z y m y s i ę do r d w n a ń s t a n u n a j p r o s t s z y c h p o d w z g l ę ­ dem m a t e m a t y c z n y m . B ę d ą to r ó w n a n i a s t a n u m a t e r i i n i e o d d z i a ł y w u j ą c e j ( p y ło w e j) o r a z m a t e r i i z n a j d u j ą c e j s i ę w s u p e r w y s o k i c h g ę s t o ś c i a c h . L MATERIA PYŁOWA R d w n a n i e m s t a n u m a t e r i i p y ł o w e j j e s t : p = 0 . (6) W y k o r z y s t u j ą c t ę r e l a c j ę m o ż n a z e z w i ą z k ó w (4) u z y s k a ć r ó w n a n i e n a f u n k c j ę R (t), k t ó r a w i s t o c i e o p i s u j e c a ł y m o d el (i k t ó r e j z e r o w a n i e s i ę p o w o d u je o s o b l i w o ś c i p r z e z n a s r o z w a ż a n e ) : 2 R R + / j 2 — 2 a R R + p = 0 . (7) R ó w n a n i e (7) j e s t r ó w n a n i e m r ó ż n ic z k o w y m z w y c z a j n y m , II r z ę d u , d o s y ć s i l n i e n i e l i n io w y m i r o z w i ą z a n i a j e g o w o g ó ln y m p r z y p a d k u n i e u d a ło s i ę z n a l e ź ć . N i e m n ie j j e d n a k p e w n e i n f o r m a c j e m o ż n a u z y s k a ć , j e ż e l i w y s p e c y f i k u j e m y k r z y w i z n ę p r z e s t r z e n i

o=

A) P r z e s t r z e l i p ł a s k a : p = 0 . W tym p r z y p a d k u w r ó w n a n i u (7) z n i k a c z ł o n p o w o d u j ą c y n i e j e d n o r o d n o ś ć i m o ż n a o t r z y m a ć e f e k t y w n e r o z w i ą z a n i e . O k a z u j e s i ę p r z y ty m, ż e i s t n i e j ą p u n k ty o s o b l i w e o k r e ś l o n e p r z e z z w i ą z k i : R R 2

Z pracowni i obserwatoriów ¹⁶⁹ A to rozwiązania: r <‘ + ‘ n >

* • c,»*f °\ o<|<4 «,(.)

(8)

* • (jf c- .»*f o * .„> > *,o>.

4

< ° " 4 > I - •«»

C , C * , tQ — s ta te .

Łatwo jest widoczne, że rozwiązanie (8) (i) jest stale dodatnie (je że li tylko C > 0), natomiast (8) (ii) może przybierać wąrtości dowolne. J e ż e li więc warunki początkowe wprowadzą model do klasy (i), to w czasie ew olucji nie w ystąpią nigdy punkty osobliwe, w których i{ = 0.

B) Przestrzeń zamknięta: |3 = c 2.

Dla tego przypadku rozw iązania nie znaleziono, można jed nak pokazać, że nie może ono posiadać rozw iązania o żądanych przez nas w łasnościach. Udowodnimy mianowicie następujący:

L e m m a t . Dla (3 > 0 równanie (7) nie posiada rozw iązania stale dodatniego i ciąg­ łego dla t e (— oo, oo),

D o w d d n i e w p r o s t .

Założenie: Istnieje R (t) > 0 i ciągłe dla t e (— oo , oo), będące rozwiązaniem (7) dla (3 > 0. R ozw iązanie takie musi przybierać je d n ą z trzech alternatywnych postaci:

a) od wartości stałej dodatniej dla t = — oo monotoniczny wzrost,

b) monotoniczne malenie do wartości stałej (dodatniej) dla t-» oo,

c) funkcja R (t) będąc stale dodatnia osiąga kilka ekstremów (co najmniej jedno minimum).

Ad a), b) Zarówno w przypadku a), jak i b) przynajmniej jeden ze swobodnych końców rozw iązania dąży do wartości stałej. Dlatego lim R (t) = lim R (t) = 0. gdzie N

t - * N t-*N

oznacza odpowiednio ± oo. Natomiast lim R (t) < oo. Podstaw iając te zw iązki do równania

t -» N

(7) dostajemy sprzeczność (3 = 0.

Ad c) J e ż e li dla momentu t R ('d = 0, to z równania (7) wynika, że dla (3 > 0, R (-i) < 0.

W takim razie w chw ili t = t funkcja R (t) osiąga maksimum (i tylko wtedy). Funkcja stale dodatnia, z jednym maksimum, musi przy zmierzchu do i oo dążyć do wartości stałej, co w świetle punktów a), b) jest sprzeczne z równaniem wyjściowym.

c. b. d. o. * 2

C) Przestrzeń hiperboliczna: (3= — c ,

Dla przestrzeni o krzywi żnie ujemnej nie rozwiązano równania podstawowego, ani też nie udało się pokazać istnienia lub nieistnienia rozw iązania o interesujących cechach.

n.

MATERIA ULTRARELATYWBTYCZNA

Do opisu materii supergfstej przyjmiemy równanie stanu:

Na promień Wszechświata R otrzymujemy równanie:

170 _{Z pracowni i obserwatoriów}

R R + R 2 - a R R + p = 0 . (10)

Równanie to na szczęście jest łatwe do rozw iązania. Je że li p 4 0, to rozwiązanie będzie miało postać:

R 2 (t) = - eat + t + K , (11)

a 2 '

K — stała,

przy czym początek liczenia czasu je st tak dobrany, aby ekstremum R 2 ( t) przypadało, dla t = 0.

Z rozw iązania (11) wynika, że dla p < 0 funkcja R(t) posiada minimum, a na krań­ cach przedziału [— o°] osiąga wartości -H», Odpowiedni dobór stałych (tak, aby za­ chodziło /J(0) > 0) pozwala otrzymać stale dodatni promień Wszechświata.

Natomiast przy p > 0, R (t) posiada maksimum i dla t -» ±oo dąży do Wtedy, oczywiście, nie udaje s ię uniknąć osobliw ości.

Dla p = 0 nie można pisać rozw iązania w postaci (11), ponieważ RU) nie osiąga wtedy żadnego ekstremum i je st funkcją monotoniczną, co widać z rozwiązania:

R 2(t) = ~ eat + C* , (12)

a a

C , C* - stałe.

I w tym wypadku odpowiedni dobór stałych pozwala otrzymać stale dodatnie RU).

6. PODSUMOWANIE

Wnioski z przedstawionej wyżej dyskusji pokażemy w formie tabeli dobrze ilustru­ jącej jakościowe cechy rozw iązań.

C ry m ożna usunąć osobliw ość w R it)?

Równanie stanu

Krzyw izna k

1 0 -1

p - 0 nie tak ^?

1

P - - £ nie tak tak

Z tabeli widać wyraźną różnicę między modelami otwartymi i zamkniętymi. Wszystkie rozwiązane modele przestrzeni otwartych dopuszczają usunięcie punktów osobliwych z rozw iązania RU), natomiast dla modeli sferycznych m ożliwość taka nie zachodzi.

Jest do dosyć silna sugestia do twierdzenia, że proponowany sposób uniknięcia osobliwości Friedmannowskich modeli kosmologicznych jest skuteczny dla przestrzeni otwartych.

Z pracowni i obserwatoriów 171

Na zakończenie należy zaznaczyć, że otrzymane wyniki nie s to ją w sprzeczności z pewnymi twierdzeniami o występowaniu osobliw ości w kosmologii, jakie zostały opublikowane w ostatnich latach ( G e r o c h 1967). U podstaw tych twierdzeń (zresztą bardzo ogólnych i nie precyzujących istoty osobliwości) le ż ą pewne założenia fi- zyczno-geometryczne. W szczególności można pokazać, że jedno z założeń (tzw, warunek energetyczny na tensor energii-pędu) ulega przełamaniu w rozw iązaniach nieosobliwych, przytoczonych powyżej. Poniew aż załamanie tego warunku może sugerować naruszenie praw fizyki (na ogół uważa się , że •warunek energetyczny jest spełniony niejako auto­ matycznie), więc tym bardziej należy podkreślić raczej matematyczny charakter po­ wyższej próby usunięcia osobliwości (co związane je st również z upraszczającym założeniem stałości współczynnika II lepkości £ , czyli stałości a, który to parametr generuje wszystkie noyfo uzyskane efekty).

Na koniec chciałbym podziękować Dr Andrzejowi S t a r u s z k i e w i c z o w i za pomysł powyższego tematu, jak również za pomoc w czasie pracy nad tym zagadnie­ niem.

L I T E R A T U R A

G e r o c h , R .P ., 1967, Singularities in the Spacetime o f General R e la tiv ity , Princeton. H o p f , E ., 1950, Comm. Pure and A ppl. Math.. 3. 201.

L a n d a u , L .D . L i f s z i c , E .M ., 1958, Mechanika ośrodków ciąg łych, W arszawa. L a n d a u L .D ., L i f s z i c , E .M ., 1967, Teorija p ola, Moskva.

M c V i t t i e , G .C ., 1956, General R e la tiv ity and Cosmology, London. O l e j n i k , O .A ., 1957, Usp. Mat. Nauk. 12, 3.

R o ż d e n s t w i e n s k i , B .L ., Y a n i e n k o , N .N ., Sistem a kw asilinejnych u rau nien ij i ich p rilo ie -

'

. .

lin

■ ■

___________ ______

POSTĘPY ASTRONOMII Tom XIX (1971), Zeszyt 2

USTAWIENIE KAMERY SATELITARN EJ

0 MONTAŻU PA R A L A K T YCZ N Y M NA STACJI OBSERW ACYJNEJ S. O S Z C Z A K , J. O L Ę D Z K I

Katedra G eodezji WSR, O lsztyn (Otrzym ano 17 p a id zie rn ik a 1970)

S t r e s z c z e n i e — W pracy opisuje się analityczno-graficzny sposób doprowadze­ nia osi kamery do równoległości z o s ią świata. Sposób polega na wyznaczeniu na negatywie pozycji bieguna instrumentu i bieguna świata, W pracy podano również wzór na określenie wymaganej dokładności ustawienia kamery:

v ,_[ji]

d\ I = 0 ,2 1 f =—

ImmJ t [m i n]

gdzie d — dopuszczalna odległość biegunów: świata i instrumentu, ^ „ p — dopuszczal­ ne przesunięcie krążka rozmycia gwiazdy, t — czas śledzenia kamery za gwiazdami. yCTAHOBKA HA HABJIlO/tyVTEJlbHOM CTAHUMW CnyTHMKOBOfi KA- MEPbl, MMEIOmEfi riAPAJIJlAKTMHECKMfi MOHTAH. C. O m a n h fl. O jienfl- 3 k h . C o f l e p * a H « e - B pa6oTe npencTaBJieH anajiHTimecKo-rpatfMmecKHM cnoco6 AOBetteHHH och KaMepbi no napaJuiejibnocTH och MMpa. Cnoco6 3a- KJiK)4aeTCH b oneflejieHHM Ha HeraTMBe iio3miimm nojuoca hhctpyMeHTa h nojnoca MMpa. B paóoTe npuBeneiia TaK)Ke <t>opMyjia ajih onpejjejieHMH TpeóyeMoK TomiocTH ycTaHOBKM KaMepbi:

dr i = 0,21

* i [min]

rye d -AouycTMMoe paccTOSHwe noJiiocoB: MMpa w MHcTpyMeHTa^vdop-AonycTMMoe uepeABM)KeHMe KypiKKa pa3Mbiaa 3Be3A&i. t —BpeMa CJieweiwH 3Be3A KaMepoR.

THE ADJUSTMENT ON AN OBSERVATIONAL STATION OF THE PA RA LA CT IC MOUNTING OF A SA T ELLIT E CAMERA. S u m m a r y — An analytic and graphic method of setting the camera axis parallel to the axis of the world is presented. The method consists in the determination on the negative of the positions of the poles of the instrument and world. In the paper a formula determining the required accuracy of camera setting is also given:

" d o p [m3

d\ 1 = 0 ,2 1 -- r — T-’ t [min]

174 2 pracowni i obserwatoriów

where d denotes the adm issible distance of the two poles: of the world and of the instrument, vdop is the adm issible shift of the disc of the star and C is the time the camera follows the stars.

Kamera satelitarna o montażu paralaktycznym wymaga odpowiedniego ustawienia na słupie obserwacyjnym. Dla zapewnienia precyzyjnego śledzenia kamery za gwiazdami należy oś główną kamery doprowadzić do równoległości względem osi świata. Poda­ wane w podręcznikach astronomii praktycznej sposoby ustawienia instrumentu o mon­ tażu paralaktycznym s ą mało ekonomiczne w zastosowaniu do kamery satelitarnej ( B ł a ż k o 1951, D i k 1966). Poniżej opisuje się analityczno-graficzny sposób orienta­ cji kamery względem bieguna św iata. Sposób ten um ożliwia, w stosunkowo krótkim czasie, wykonanie powyższej orientacji.

W dokumencie Postępy Astronomii nr 2/1971 (Stron 81-88)