metodą najmniejszych kwadratów (T o b e y 1966). Program, napisany w języku FORMAC,
przyjmował jako dane: wartości zmiennej niezależnej x jt wartości zmiennej zależnej y . (x.) wraz
z przypisanymi im wagami oraz rodzinę funkcji /(*, { a . \ ) numerowaną parametrami aj z
ustalonymi przez programistę wartościami początkowymi a.. Obliczenia tego typu są w zasadzie
numeryczne (chodzi o znalezienie numerycznych wartości a .), lecz aby program numeryczny
mógł rozpocząć pracę, należy najpierw wyliczyć wartości funkcji f(x, ) dla zadanych
38
A. Krasiński, M. Perkow ski7\f
wartości x . oraz wartości pochodnych Zwykle ten rachunek przygotowawczy b y ł robiony „ręcznie” lub kodowany w programie num erycznym , co w ym agało wiele czasu i w ysiłku człowieka. Omawiany program wykonuje cały symboliczny rachunek przygoto wawczy, znakomicie ułatw iając pracę programisty — numeryka.
2) Obliczanie elementów macierzowych w metodzie wariacyjnej rozwiązywania równania Schrodingera dla układów wieloelektronowych ( R e e v e s 1966 i prace tam cytowane). Program ten b y ł wielokrotnie wykorzystywany przez chemików do liczenia funkcji falowych elektronów w m olekułach.
3) Znajdowanie postaci równań ruchu Newtona w dowolnych w spółrzędnych krzywolinio wych (H o w a r d 1967). Problem ten jest tak prosty, że właściwie nikt nie zechce tracić czasu na pisanie danych dla kom putera, tym bardziej że w ydruk z programu b y ł w dość egzotycznej notacji ty p u FORTRANu. A utor programu napisał go nie z myślą o użytkow nikach, lecz 0 postępie sztuki programowania. Program posługiw ał się rachunkiem tensorowym . Niestety, autor nie w iedział, że w tym czasie istniały już programy wykonujące rachunki tego samego typu na znacznie trudniejszych przykładach, dla potrzeb teorii względności (np. F l e t c h e r
1 in., 1967). Niepotrzebne dublowanie cudzej pracy jest jednym z typow ych zjawisk w nowo powstających dziedzinach wiedzy. Przykłady innych podam y w par. 5.
4) Obliczanie w spółczynników elastyczności w kryształach (B r u g g e r 1965).
Zainteresowanych dalszymi zastosowaniami w fizyce odsyłam y do bibliografii S a m m e t (1968) oraz arty k u łu B a r t o n a i F i t c h a (1972a).
III. ZASTOSOWANIA W ASTRONOM II
Spośród zastosowań astronom icznych najczęściej cytowane w literaturze jest znajdowanie wzorów na kolejne wyrazy szeregów / i g w problemie dwu ciał (np. B a r t o n i F i t c h
1972a). Są to szeregi przedstawiające fu n k c je /(r) i g(r) dane wzorem:
x(t) = f ( r ) x a + g ( r ) x Q,
gdzie: r = t - t Q, x (t) oznacza aktualne położenie badanego obiektu, x Q = x ( t = t Q) , x o = -jj- x (t) |f = f . Posługując się rozwinięciami funkcji / ( r ) , g i r ) i x (t) w szeregi Taylora oraz równaniami ruchu Newtona zapisanymi w postaci:
°" _y
* ( r ) = -M O)
x (t),a także związkami /i = — 3 /jlo , ó = e - 2 o 2 , e = - o Gu + 2 e),
gdzie: a = r/r, £ = ( x 2 + y 2 + ż 2)/r2 - fi, można pokazać, że wyrazy szeregów / i g w y rażają się następującym i wzorami rekurencyjnymi ( S t u m p f f 1959):
f 0 = 1’ 8
o = 0+ 1
+
gdzie: n Q = n ( t Q), ( f i gn są funkcjami tQ, kropka oznacza różniczkowanie po fQ).
Problem dwu ciał został po raz pierwszy postawiony w ten sposób przez L a g r a n g e’a, który podał jawne wzory na pierwsze pięć wyrazów obu szeregów. Mimo prostej postaci wzoru rekurencyjnego obliczenia te komplikują się gwałtownie z każdym krokiem rachunku i od czasów Lagrange’a aż do lat sześćdziesiątych XX w. nie posunięto się poza rząd n = 7. Jest to więc dobre pole do działania dla kom puterów. Wzory n a / i gn do n = 27 zostały otrzymane w roku 1965 ( S c o n z o , L e S c h a c k i T o b e y 1965) za pomocą języka kom putero wego FORMAC ( S a m m e t i B o n d 1964).
Obliczanie szeregów / i g nie jest jednak najszczęśliwszym przykładem zastosowania pro gramów algebraicznych, ponieważ rachunek ten sprowadza się do wyliczania całkow itych współczynników szeregu, a to może być wykonane również przez program numeryczny (V e 11 m a n 1972). Klasycznym polem do zastosowania programów algebraicznych w astronom ii są rozmaite schematy rachunkowe mechaniki nieba do obliczania rzeczywistych torów planet, księżyców i kom et, zwyczajowo zwane teoriami. Tu również istnieje efektow ny przykład pożytku z programów algebraicznych. Jeden ze schematów, zwany teorią Delaunaya ruchu Księżyca, w swoim oryginalnym sform ułow aniu ( D e l a u n a y 1860) zawierał obok członów wiekowych również człony periodyczne w funkcji Hamiltona dla równania ruchu Księżyca. Należało te drugie wyeliminować przez rozwiązywanie równań Hamiltona m etodą kolejnych przybliżeń. D e l a u n a y w ybierał jeden człon periodyczny, zaniedbując po zostałe, rozwiązywał równania Hamiltona, a następnie przez odpowiednio dobraną transformację kanoniczną otrzym yw ał nowy hamiltonian - już bez pierwszego członu perio dycznego. Powtarzając ten rachunek dla kolejnych członów periodycznych dochodziło się w końcu do hamiltonianu stałego (w danym rzędzie przybliżenia), dla którego rozwiązanie jest trywialne. Następnie należało odtw orzyć szereg opisujący aktualne położenie Księżyca, będący rozwinięciem względem 4 m ałych parametrów: mimośrodów orbit Księżyca i Ziemi, stosunku promieni orbit Księżyca i Ziemi oraz sinusa kąta m iędzy płaszczynam i tych orbit. Z powodu powolnej zbieżności szeregu, dla celów praktycznych rachunek musiał b yć ciągnięty do wysokich rzędów przybliżeń. Był on tak skomplikowany, że wyliczenie pierwszych 9 rzędów przybliżeń zajęło D e 1 a u n a y o w i 20 lat pracy, a więc niemal całe aktywne życie naukowe dostępne człowiekowi, zaś opublikowane wyniki zajmują 2 tom y po 400 stron. Przy użyciu kom putera ten sam wynik został uzyskany w ciągu p ó ł roku, wliczając w to czas pisania programu. Przy okazji autorzy ( D e p r i t i in. 1970a,b) wykryli w rachunkach D e l a u n a y a kilka pom yłek (sygnalizowanych wcześniej w literaturze, lecz bez wskazania źródeł b łę d u , D e p r i t i in. 1970bj oraz zauważyli możliwość znacznego ulepszenia metody i poprawienia zbieżności szeregu (możliwość tę zrealizowali w innej pracy, dotyczącej ruchu sztucznych satelitów, D e p r i t , i in. 1970c). W konkluzji stwierdzili, że poświęciwszy temu problemowi p ó ł roku zamiast 20 lat nie czują się do niego przykuci na całe życie, co daje im „cudowną wszechstronność” .
Dwa różne szeregi opisujące tę samą funkcję (w przypadku mechaniki nieba - to r planety) muszą być oczywiście równoważne, tzn. musi istnieć algorytm pozwalający na wyliczenie każdego wyrazu drugiego szeregu na podstawie pewnej (skończonej lub nieskończonej) liczby wyrazów pierwszego. W tym sensie każde dwie „teorie” mechaniki nieba muszą by ć sobie równoważne. Zdarzały się jednak sytuacje, że istniały na ten tem at wątpliwości. Na przykład