ZASTOSOWANIA 1 PERSPEKTYW Y
A N D R Z E J K R A S I Ń S K I
C entru m A stronom iczn e im. M ikołaja K op ern ika, PAN (W arszaw a)
M A R E K P E R K O W S K I
In sty tu t A u to m aty k i Politechniki Warszawskiej (W arszaw a)
CMMBOJ1MMECKME AJirEEPAM HECKM E nPOITAMMb] JUlfl BblMHCJlMTEJlbHblX MAllMH
M a c i b II
nPHMEHEHHE M HEPCIIEKTMBbl A. K p a C H H b C K H , M. n . 3 p K 0 B C K H
C o f l e p * a H H e
CTaTbH KpaTKO on H C biBaeT HeKOTOpbie BH flw npHMeHeHHH ajire6pamiecKHX nporpaMM
b M aieM aT H K e, (J)H3HKe h acTp0H0MHH. E o n e e noA poSno paccMiaxpHBajoTca nporpaMMbi
P /IH CHMBOJlHHeCKOrO HHTerpHpOBaHHH, o B m e ń TeOpHH OTHOCHTejlbHOCTH, KBaHTOBOH 3 Jie K -
TpOflHHaMHKH H HefjeCKOH MeXaHHKH. y nOMHHaiOTCH HeKOTOpbie A p y rw e BHflbI npHMeHeHHH.
ripHBOflHTCH TaK)Ke cc b U iK H Ha JiHTepaTypy ( s t o TOJibKO H 3 6 p a H H a H , a H e noJiHan 6h6jiho- rpa(})HH). flHCKympyioTCH B03M 0>K H bie npHMeHeHHH TaKHX nporpaMM b O y jiy iu c M . B c r a - Tbe npeflCTaBJiena o c h o b h 3 h HAea h HeKOTOpbie n e p r a o 6 i h h x c h c t c m anre6paHMecKOH Ma-
HHnyJIHUHH H oGpaCCMaTpHBaeTCH B 0 3 MO>KHOCTb 3anpO rpaM H pO B3H H H HOBOH CHCTeMbl T a-
K o ro TH na b r io n b u i e . Kpanco npeflCTaBjieHO BjiHHHHe anre6paHMecKHx nporpaMM na Maie-
M 3TH K y H H a y K y 0 6 HCKyCCTBeHHOM HHTejUieKTe. C paB H H B aiO T C H HeKOTOpbie KpHTepHH
O U eH K H n O J ie 3 HOCTH H 3(|)(J)eKTHBHOCTH pa3H bIX nporpaMM H CHCTeMOB. H aK O H en , riepe>£HC-
JiHioTCH HeKOTOpbie 6o jib iiiH e anre6paHHecKHe CHCTeMbl o 6 m e ro Ha3HaweiiH5! h paccMaipH-
BaioTCH nepcneKTHBbi h x BBeneHH H b n o n b i u e .
[
33]
3 - Postępy Astronomii t. XX VI z. 134 A. Krasiński, M. Perkowski
SYM BO LIC ALGEBRAIC COM PUTER PROGRAM S Part II
APPLICATIONS AND PERSPECTIV ES A b s t r a c t
Exam ples o f definite applications o f algebraic programs made in m athem atics, physics and astronom y are briefly described. The topics treated in more detail are: sym bolic integration, general relativity, quantum electrodynam ics and celestial mechanics. Programs dealing with some more topics are listed from the literature (this is a small selection o f references, not a bibliography). Possible future applications o f such program s are discussed. The underlying idea and some capabilities o f general purpose algebraic manipulation system s are disoussed and possibilities o f creating new ones in Poland are considered. The im pact o f algebraic programs on m atem atićs and the science o f artificial intelligence is briefly presented. A com parison o f criteria o f usefullness and efficiency o f various programs and systems is given. Finally, a few large general purpose system s for algebraic manipulation are mentioned and the perspectives o f their use in Poland are discussed.
4. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ PROGRAMÓW ALGEBRAICZNYCH
W poprzedniej części naszego artykułu podaliśmy jedno tylko uzasadnienie używania komputerów do obliczeń algebraicznych: zdjęcie z człowieka ciężkiej, bezmyślnej pracy wymagającej dużej niezawodności rachunkowej. Istnieje jednak jeszcze kilka innych typowych sytuacji, w których komputery wykonujące obliczenia algebraiczne bywają bardzo użyteczne lub nawet niezastąpione (R o s k i e s 1974):
1) Sprawdzenie długich i skomplikowanych rachunków wykonanych uprzednio przez człowieka
2) Wykonanie rachunków tak skomplikowanych, że żaden człowiek nie zechciałby robić ich ręcznie
3) Sprawdzenie wyników programu numerycznego. Program numeryczny operuje na danych liczbowych od samego początku, kumulując błędy rachunkowe, które następnie trzeba szacować rozmaitymi metodami. Program algebraiczny otrzymuje wynik w sposób analityczny i podstawia dane liczbowe dopiero w ostatnim kroku, co umożliwia znacznie pewniejszą ocenę błędu
4) Sprawdzenie nietrywialnych przypadków szczególnych twierdzeń, które zamierzamy dopiero udowodnić. Bez takiego sprawdzenia hipotetyczna teza twierdzenia jest zbyt niepewna, aby warto by ło w kładać znaczniejszy wysiłek w jej dowodzenie. Sprawdzanie „ręczne” bywa zaś bardzo pracochłonne.
Programy algebraiczne są obecnie stosowane w wielu dziedzinach nauki i techniki. Autorom wiadomo o programach zastosowanych w teorii względności ( B a r t o n i F i t c h 1971;
P a y n e 1972 i 1976; d’l n v e r n o 1 9 7 5 ; C o h e n i in. 1976), teorii cząstek elem entarnych ( C a m p b e l l 1970 i cytowane przez niego prace), elektrodynamice kwantowej ( H e a r n 1966 i 1971 ;R o s k i e s 1974), renormalizacji różnych teorii pola ( C a l m e t i P e r r o t t e t 1971), mechanice kwantowej ( B o y s i in. 1956 — jeden z pierwszych historycznie programów algebraiczny ch;F l e t c h e r i R e e v e s 1963; R e e v e s 1966), fi zyce statystycznej (M c C o r m a c k 1975), fizyce plazmy ( B e r s i in. 1976 — w pracy tej autorzy cytują kilkanaście wcześniejszych zastosowań), krystalografii (B r u g g e r 1965), geo fizyce ( N y l a n i C h a p m a n w m ateriałach wydanych przez P e t r i c k a 1971), mechani ce nieba ( J e f f r e y s 1971, przykłady omówione w osobnym paragrafie), analizie i syntezie układów elektrycznych ( G o l d b e r g 1959) i elektronicznych ( N e i d e l m a n 1967), chemii kwantowej ( W a c t l a r i B a r n e t t 1964; S c h n u p p 1968; H e l d m a n n i S c h n u p p 1968), teorii sterowania (wg T o b e y a 1966 i S a m m e t 1966 i 1968), teorii optymalizacji ( S t o u t e n m e y e r 1975), teorii gier (wg T o b e y a 1966), ekonometrii (T o b e y 1966), oraz o programach ogólnego przeznaczenia, stanowiących w zasadzie języki specjalne przystosowane do łatwego programowania obliczeń algebraicznych.
Lista wykorzystanych zastosowań jest jednak znacznie większa, na świecie (głównie w USA) pracuje się bowiem nad tą dziedziną bardzo intensywnie. Liczba prac sięga już setek. Niestety, większość najcenniejszych pozycji (zwłaszcza amerykańskich raportów zawierających opisy i listingi programów) jest niedostępna w Polsce. Przeglądy programów algebraicznych i ich zastosowań zawierają prace S a m m e t (1966), T o b e y a (1966), C a m p b e 11 a (1970), H e a r n a (1971), B a r t o n a i F i t c h a (1972a,b) oraz m ateriały konferencji wydane przez B o b r o w a (1968) i P e t r i c k a (1971).
W niniejszym artykule ograniczymy się do omówienia wybranych przykładów zastosowań „algebry kom puterow ej” , mając nadzieję, że na tej podstawie astronomowie sami dostrzegą nowe potrzeby i możliwości.
I. ZASTOSOWANIA W MATEMATYCE
Największa liczba publikowanych prac związanych z rachunkami algebraicznymi na kom puterach dotyczy obliczania całek (M o s e s 197la). Jest to problem trudny z tego powodu, iż jest z samej natury rzeczy niealgorytmiczny. Nie istnieje, jak w przypadku różnicz kowania, jednoznaczny operacyjny przepis na całkowanie. C ałka ze znanej funkcji może być nową, nieznaną dotąd funkcją, zdefiniowaną przez tę właśnie całk ę. Dlatego nie ma gwarancji, że dowolna całka da się w ogóle obliczyć symbolicznie. Poszukiwanie m etod całkow ania możliwie najszerszych klas funkcji jest głów nym przedm iotem w spółzawodnictwa progra mistów w nowej dziedzinie wiedzy, powstającej na pograniczu m atem atyki i badań nad sztuczną inteligencją. Prace te doprow adziły już do skutecznych programów całkujących, nadających się do praktycznego użytku. Stosują one dość zaawansowane m etody, jak np. analiza heurystyczna celów i środków służących do ich osiągania ( E r n s t i N e w e l l 1969), dekompozycja i planowanie procesu całkow ania ( S 1 a g 1 e 1963), rozkład na ułam ki proste i całkow anie funkcji wymiernych (M o s e s 1971a), całkowanie metodami R i s c h a * ( M o s e s 1971a), m etoda całek konturow ych i residuów ( C a m p b e l l i in. 1976).
*R i s c h (1970) opracow ał silne algorytmy całkowania wyrażeń należących do pewnych klas funkcji zespolonych.
36 A. Krasiński, M. Perkowski
Wiele publikacji dotyczy też działań na wielomianach (A b r a m o v 1974) oraz uprasz czania algebraicznego wyrażeń i sprowadzania do postaci normalnych ( M o s e s 1971 b; H e a r n 1976). Część zagadnień z tych grup (a mianowicie operacje algorytmiczne) można by uznać za rozwiązane, ponieważ istnieją już programy wykonujące szereg operacji na wielo mianach oraz bardzo skuteczne programy upraszczające. Ich agorytmy mogą być jednak konstruowane na wiele sposobów — trwają więc poszukiwania najefektywniejszych algorytmów, zapewniających minimalny czas działania programu i minimalne obciążenie pamięci maszyny. Ponadto z zagadnieniami tymi łączą się ściśle zagadnienia matematycznie nierozstrzygalne, dla których trzeba poszukiwać metod heurystycznych (patrz M o s e s 197lb), lub zagadnienia jeszcze nie rozwiązane. Należą do nich problemy istnienia postaci normalnej i sprowadzania do niej dla pewnych klas funkcji ( M o s e s 197l*b), fakto- ryzacji i upraszczania wielomianów wielu zmiennych ( J o r d a n i in. 1966; C o l l i n s 1971) i inne.
Do problemów w pełni rozwiązanych teoretycznie i efektywnie zaprogramowanych można zaliczyć np.: różniczkowanie, rozwinięcia na szeregi Taylora, działania algebraiczne na liczbach zespolonych, macierzach i tensorach, obliczanie kolejnych wyrazów szeregów danych wzorami rekurencyjnymi, podstawianie. Wszystkie te metody zostały zaprogramowane w systemie MACSYMA ( M a r t i n i F a t e m a n 1971; B e r s i in. 1976).
W toku są prace nad szeregami Fouriera, transformatami Laplace’a, Fouriera i Z * (cytowane za S a m m e t 1968), a także obliczaniem granic ( L a u r e n t 1973) i rozwiązywaniem układów równań algebraicznych wyższych stopni ( M o s e s 1966).
Osobną grupę zagadnień stanowi rozwiązywanie równań różniczkowych. Istnieją programy do rozwiązywania równań określonych typów (T o b e y 1966; M o s e s 1971 a), programy wykorzystujące ogólne metody asymptotyczne (R i n k i G u r u 1976) i metody stosujące rozwinięcia na szeregi Taylora ( B a l i i B e r n s 1966), a także programy konwersacyjne (F a r 1 o w 1976).
Kilka innych zastosowań w matematyce omawia artykuł T o b e y a (1966).
11. Z A ST O SO W A N IA W F IZ Y C E
W fizyce programy algebraiczne są najbardziej intensywnie wykorzystywane w teorii względności i elektrodynamice kwantowej. W teorii względności stosuje się je głównie do obliczania tensorów krzywizny (tzn. współczynników koneksji oraz tensorów Riemanna, Ricciego, Einsteina i Weyla). Jest to praca nadzwyczaj ciężka i nudna, której wykonanie, wraz ze sprawdzeniem wyników, w trudnych przypadkach zajmuje kilka miesięcy nawet wprawnemu rachmistrzowi. Komputer potrafi wykonać ten sam rachunek w kilka minut, i to bez błędów (jeśli nie było błędu w programie...). Zatem nawet jeśli ktoś musi najpierw samodzielnie napisać program, włożony w to czas zwraca się już po dwukrotnym jego użyciu. Polecamy to uwadze wszystkich zainteresowanych nowymi zastosowaniami.
Z technicznego punktu widzenia liczenie tensorów krzywizny wymaga użycia algorytmów działań algebraicznych i różniczkowania w zastosowaniu do szerokiej klasy skomplikowanych wyrażeń funkcyjnych oraz obliczania wyznaczników i macierzy odwrotnych do danych, wszystko to z równoczesnym bardzo skutecznym upraszczaniem wyników. Programy te wy magają też niekiedy wykonywania działań algebraicznych i różniczkowych na wielomianach i