4.15. PORÓWNANIE PLANU ROTALNEGO I ORTOGONALNEGO
4.15.1. Porównanie macierzy kowariancji i macierzy obciążeń
Statystyczne plany eksperymentów zostały opracowane głównie do budowy uproszczonych modeli drugiego stopnia, które zawierają tylko współczynniki rzędu pierwszego bij i współczynniki wyrazów kwadratowych bii. Wynika to z maksymalnego ograniczenia ilości układów planów doświadczeń, które pozwalają na estymację z góry narzuconej liczby współczynników w funkcji regresji. Zwykle w takich planach pomija się układy, które umożliwiłyby estymację współczynników rzędu drugiego bijk. Pominięcie w równaniu regresji współczynników drugorzędowych, przy założeniu, że są mniej znaczące, powoduje obciążenie pozostałych współczynników. Takie podejście jest ogólnie przyjęte, ponieważ zakłada się, że wiele zjawisk wystarczająco dobrze opisuje wielomian drugiego stopnia ze współdziałaniami rzędu pierwszego. Dotyczy to również planu rotalnego i ortogonalnego, które ze względu na efektywność nie są najlepsze. W planie ortogonalnym znajduje się 15 układów, a w planie rotalnym jest aż o 5 układów więcej. W odniesieniu do wymaganych minimum 10 doświadczeń koniecznych do estymacji 10 współczynników b nadmiar pięciu i dziesięciu układów w tych planach stanowi w rzeczywistości 50 i 100%
więcej doświadczeń, które trzeba przeprowadzić. Z drugiej strony większa liczba układów to także często mniejsza wariancja przewidywana. Oba plany różnią się też innym sposobem rozmieszczenia punktów doświadczalnych w obszarze badań, co decyduje o obciążeniu współczynników b. Z tego powodu dokonano oceny niedokładności współczynników b i oceniono jakie obciążenia powoduje brak współczynników wyższego rzędu w planie ortogonalnym i rotalnym. Wyniki dotyczące precyzji współczynników b przedstawiono w Tab. 39 i 40 (macierze kowariancji współczynników regresji).
Porównanie macierzy kowariancji obu planów pokazuje, że elementy diagonalne w Tabeli 39, które charakteryzują wariancje współczynników regresji szacowanych z planu rotalnego, mają mniejsze wartości od wyznaczonych w macierzy otrzymanej z planu ortogonalnego (Tab. 40). Wyjątkiem są jednakowe wariancje współczynników interakcji w obu planach.
Brak obciążeń wariancji współczynników efektów głównych i interakcji oznacza, że można je estymować niezależnie od siebie. Wynika to stąd, że jądra w obu planach stanowią całkowite
głównych b1, b2, b3 i dla współdziałań pierwszego rzędu (interakcje) nie są obciążone przez inne efekty (rozdzielczość planu jest maksymalna).
Tabela 39. Macierz kowariancji współczynników regresji planu rotalnego b0 b1 b2 b3 b11 b22 b33 b12 b13 b23
b0 0,17 -0,06 -0,06 -0,06 b1 0,073
b2 0,073
b3 0,073
b11 -0,06 0,069 0,01 0,01 b22 -0,06 0,01 0,069 0,01 b33 -0,06 0,01 0,01 0,069
b12 0,125
b13 0,125
b23 0,125
Tabela 40. Macierz kowariancji współczynników regresji planu ortogonalnego b0 b1 b2 b3 b11 b22 b33 b12 b13 b23
b0 0,51 -0,19 -0,19 -0,19
b1 0,091
b2 0,091
b3 0,091
b11 -0,19 0,229 0,02 0,02
b22 -0,19 0,02 0,229 0,02
b33 -0,19 0,02 0,02 0,229
b12 0,125
b13 0,125
b23 0,125
Współczynniki wyrazu wolnego b0 i wyrazów kwadratowych b11, b22 i b33 mają niższe wartości w planie rotalnym, przy czym trzeba zauważyć, że w obu planach są one wzajemnie uwikłane (tzn. że wariancja każdego z tych estymatorów jest skorelowana z innymi estymatorami np. wariancja wyrazu b0 zależy także od współczynników b11, b22 i b33).
Powoduje to, że nie można ich oszacować osobno. Inne spojrzenie na dokładność współczynników daje analiza macierzy obciążeń A.
Macierze obciążeń Aort i Arot (Tab. 41 i 42) uzyskane z macierzy kowariancji umożliwiają ocenę wielkości obciążeń generowanych w szacowanych współczynnikach wielomianu przez wyrazy, które zostały celowo pominięte w obu modelach (współczynniki drugorzędowe i wyrazy biii):
Tabela 41. Macierz obciążeń współczynników regresji efektami pochodzącymi od wyrazów biii i wyrazów drugiego rzędu w planie rotalnym (Arot)
b111 b222 b333 b112 b113 b122 b133 b223 b233
b0
b1 1,76 0,59 0,59
b2 1,76 0,59 0,59
b3 1,76 0,59 0,59
b11
b22
b33
b12
b13
b23
Tabela 42. Macierz obciążeń współczynników regresji efektami pochodzącymi od wyrazów biii i wyrazów drugiego rzędu dla planu ortogonalnego (Aort)
b111 b222 b333 b112 b113 b122 b133 b223 b233
b0
b1 1,19 0,71 0,71
b2 1,19 0,71 0,71
b3 1,19 0,71 0,71
b11
b22
b33
b12
b13
b23
Na podstawie macierzy obciążeń Arot i Aort wykonano oceny współczynników w równaniach planu rotalnego:
b0=b0
b1=1,76b111+0,59b122+0,59b133
b2=1,76b222+0,59b112+0,59b233
b3=1,76b333+0,59b113+0,59b223
b11=b11
b22=b22
b33=b33
b12=b12
b13=b13
b23=b23
i dla planu ortogonalnego
b0=b0
b1=1,19b111+0,71b122+0,71b133
b2=1,19b222+0,71b112+0,71b233
b3=1,19b333+0,71b113+0,71b223
b11=b11
b22=b22
b33=b33
b12=b12
b13=b13
b23=b23
Z powyższych równań wynika, że tylko estymatory współczynników efektów głównych b1, b2
i b3 w obu planach są obciążone współdziałaniami drugiego rzędu. Takich macierzy nie można jednak porównywać wprost ze względu na skalę. Box i Wilson zaznaczają, że porównanie pomiędzy planami, jeżeli ma być sensowne to powinno brać pod uwagę ten sam
„rozmiar” czyli skalę [67]. Aby uzyskać porównywalność obu modeli przeskalowano plan ortogonalny do wymiaru planu rotalnego. Macierz kowariancji współczynników regresji w planie ortogonalnym pomnożono przez 15, a macierz kowariancji planu rotalnego przez 20 (według procedury przedstawionej w rozdziale 4.5 b) i otrzymano nowe macierze (Tab. 43 i Tab. 44):
Tabela 43. Przeskalowana macierz kowariancji współczynników regresji planu rotalnego
b0 b1 b2 b3 b11 b22 b33 b12 b13 b23
b0 3,33 -1,14 -1,14 -1,14
b1 1,46
b2 1,46
b3 1,46
b11 -1,14 1,39 0,14 0,14
b22 -1,14 0,14 1,39 0,14
b33 -1,14 0,14 0,14 1,39
b12 2,5
b13 2,5
b23 2,5
Tabela 44. Przeskalowana macierz kowariancji współczynników regresji planu ortogonalnego
b0 b1 b2 b3 b11 b22 b33 b12 b13 b23
b0 7,58 -3,5 -3,5 -3,5
b1 1,62
b2 1,62
b3 1,62
b11 -3,5 4,6 0,6 0,6
b22 -3,5 0,6 4,6 0,6
b33 -3,5 0,6 0,6 4,6
b12 2,79
b13 2,79
b23 2,79
Po skalowaniu widać, że różnice w wariancjach współczynników regresji planu rotalnego i ortogonalnego są większe. Przede wszystkim obciążenie współczynnika b0 w modelu ortogonalnym jest ponad dwukrotnie wyższe i wynosi 7,58 wobec 3,33 w modelu rotalnym.
Kowariancje współczynników bii wyrazów kwadratowych obciążające wyraz wolny wzrosły trzykrotnie z -1,14 do -3,5. Różnice pomiędzy wariancjami wyrazów liniowych oraz kwadratowych pozostały zachowane z korzyścią dla współczynników rotalnych. Poza wyrazami wolnymi największy przyrost i różnice w wartościach porównywanych wariancji współczynników obserwuje się dla wyrazów kwadratowych (b11, b22 i b33). Wariancje tych współczynników w planie rotalnym są dużo mniejsze od wariancji współczynników w planie ortogonalnym i wynoszą odpowiednio 1,39 dla modelu rotalnego i aż 4,6 dla modelu ortogonalnego.
Tabela 45. Macierz obciążeń współczynników regresji planu ortogonalnego po przeskalowaniu z efektami pochodzącymi od wyrazów drugiego rzędu dla planu ortogonalnego (Aort)
b111 b222 b333 b112 b113 b122 b133 b223 b233
b0
b1 17,89 10,61 10,61
b2 17,89 10,61 10,61
b3 17,89 10,61 10,61
b11
b22
b33
b12
b13
b23
b123
Tabela 46. Macierz obciążeń współczynników regresji planu rotalnego (Arot) efektami pochodzącymi od wyrazów drugiego rzędu (macierz obciążeń planu rotalnego pozostaje bez zmian)
b111 b222 b333 b112 b113 b122 b133 b223 b233
b0
b1 1,76 0,59 0,59
b2 1,76 0,59 0,59
b3 1,76 0,59 0,59
b11
b22
b33
b12
b13
b23
b123
Po wyrównaniu rozmiarów obu planów obciążenia efektów głównych w planie ortogonalnym zwiększyły się znacznie w stosunku do pierwotnych wartości w planie przed skalowaniem (Tab. 42 i 45). Obciążenie spowodowane przez każdy z wyrazów b13
, b23
i b33
wzrosło ponad 15.- krotnie, a pozostałych wyrazów prawie 18 razy. Widać stąd, że konstrukcja planu ortogonalnego nie jest najlepsza i powoduje, że efekty główne w tym planie są dużo bardziej obciążone przez efekty drugiego rzędu niż w planie rotalnym.
Z przedstawionych danych wynika, że estymowane współczynniki liniowe bi i kwadratowe bi2 (=bii) dla modelu otrzymanego na podstawie planu ortogonalnego charakteryzują się mniejszą dokładnością wyrażoną przez większą wariancję. Ponadto współczynniki liniowe bi są bardziej obciążone przez usunięcie z modelu wyrazów dla których byłaby możliwa estymacja współczynników drugiego rzędu. Ma to praktyczne znaczenie przy estymacji błędów standardowych współczynników regresji, które wyznacza się przy współudziale macierzy kowariancji według wzoru s(b)=(MSR(XTX)-1)½.