b. Powierzchnie drugiego rzędu

1.

P o sta ć ogólna ró w nania

pow ierzchni drugiego rzędu je s t:

an -+- a3Zz- - i - 2 a12x y - + - 2 a23;/z -+- 2 a 3iza: + 2 ( i i i

1 2 8 Dział pierwszy. — Matematyka.

2. Z ak ła d a ją c dla sk ró cen ia:

= r ;

■ 2 cioij -i- 2 H— u — 0.

«1 2 «2 2 «32

a 13 au o33

_ j . «22

^«32

\=d . - \ 0,1031 = a ,

I a 23 rt33 ! I rt33 ]

Cl f l j ( l o f t j

a 1 a n fr21 «3,

«2 rt12 «22 ^«32

« 3 «13 «23 «33

(przyczem aik = akt) , otrzym am y następujące w arun ki, określające głó w n e rod zaje pow ierzchni, przedstaw ionych przez rów nanie ogólne, jeżeli an > 0 :

^ > 0 , ó, > 0, F < 0 elipsoid.

, ę. ( F < 0 hyperboloid je d n o p o w łoko w y.

nihr,- \ n \ S r = 0 _stożek.

’ ( 1 I T > 0 hyperboloid dw u po w ło k o w y.

. __n / <⁵, ^{< 0} albo <⁵2 ^{< 0} paraboloid hyperbołiczny.

, \ Ó! > 0 albo <52 > - 0 , eliptyczny.

3. D la

powierzchni o środ k o w y ch

(A ^ ⁰) t. j. po siadających śro ­ dek, środek ich je s t przecięciem się trzech p łaszcz yzn :

« u «12 y « 1 3z « i = : ^ n2l x -+- a„2 y -4- <i23 z -+- a 2 = 0.

«31X "⁴“ 032 y «33 Z -¹— fij ⁰.

4. R ów nan ia pow ierzchni ośrodkow ych, odniesione do układu pro­

stokątnego spółrzędn ych z początkiem w środku powierzchni, a o sia­

mi zlew ającem i się z osiam i głów nem i pow ierzchni, brzm ią:

3*2 y2 ~1

dla e lip so id u : + =

a2 b2 c 2

3)2 7»2 ¡>2 dla

hyperboloidu j e d n o p o w ł o k o w e g o

- t - ~ r --- - = 1 ;

3*2 «2

dl a

hyperboloidu d w u p o w ło k o w e g o

: —r — --- r = l . a ‘ li- 0“

W rów nan iach p o w y ższyc h a, b, c o zn aczają półosie przekrojów głó w n yc h ; w pierw szym p rzypad ku s ą one w szystk ie trzy rzeczyw iste, w drugim przypad ku c, a w trzecim b i c o zn a cza ją urojone półosie hyperboli p rzekrojów głó w n ych .

o.

Sto żek.

K ażde rów nanie jednorodne, stopnia drugiego, z trzem a zmienncmi:

.1x~ -+- B y - -1- C z2 -ł- D x y -V - E x z - + - F y z = 0 w y o b ra ż a stożek.

Jeżeli k rz y w a w o d z ą c a je s t e l i p s ą , o półosiach a i b, a je j płaszczyzna w odległości h (od początku spółrzędnych) je st prosto­

padłą do osi z, to rów nan ie sto żk a, którego w ierzchołek zn ajdu je się w początku spółrzędn ych, b ęd zie:

x2 i y ‘ z2 _____

a2 _¿i3 h2

Jeżeli k rz y w a w o d ząc a je st k o ł e m o promieniu a , to w rów naniu powyższem w y p a d a p o dstaw ić: b = a, poczem otrzym am y rów nanie prostego sto żk a kołow ego. P o r. b . ¹., str. ^{10 1}.

6.

Kula.

Rów nanie odniesione do śro d k a : x2 -+- y2 ■+■ z- = r-.

Jeżeli c, ?), t sa spółrzędnem i śro d k a kuli, to rów nanie jej b ę d z ie :

Każde rów nanie k s z ta łtu :

x ‘ -+- y- -+- z 3 -t- A x B y -+- Oz -+- D = ⁰ przedstawia kulę, przyczem :

I = - V, A V = - 1I3B; f = - >/3 C;

,• = ■/., |/.-i2 -+- 52 -+- C3 — 4 E>.

P o w i e r z c h n i e d r u g i e g o s t o p n i a b e z ś r o d k o w e : 7.

P ara b olo id y .

N ajp ro stszy kształt ró w n an ia:

x- y- __

2j > ~ Z'

Górny znak odnosi się do parabołoidu e l i p t y c z n e g o ; p i r/ s ą parametrami parabol przekrojów głó w n ych . D la parabołoidu h y p e r b o- ł i c z n e g o p jest param etrem paraboli przekroju głów nego, a q = p tg2 (p\

przyczem q> je s t p o ło w ą k ąta p łaszcz yzn niem altycznych.

8.

W alec.

R ów nan ie w alca, sto jącego p r o s t o p a d l e n a jed nej z płaszczyzn spółrzędnych, je st rów nobrzm iące z rów naniem k rzyw ej jego przekroju z tąże płaszczyzn ą.

Jeżeli przekrój w a lc a z p łaszcz yzn ą x y je s t elipsą lub hyperbołą, o pólosiach a i 6, i jeżeli tw orzące w a lc a s ą pochylone do osi sp ó ł­

rzędnych o kąty ,a, y, to je g o rów naniem będzie:

cos a \ 2 / COS/?\2

VI. Gcometrya analityczna.

^09

~ cos y j , \ y ' c o s y y _ . a 2 ; ^ 62

Znak g ó r n y o d n o s i się do w a lc a e l i p t y c z n e g o , dolny nato­

m iast— do w a lc a h y p e r b o l i c z n e g o .

W reszcie rów nanie w a lc a p a r a b o l i c z n e g o brzm i:

c2 P ')

P o d r ę c z n ik te c h n ic z n y . T . I. 9

130 Dział pierwszy. — Matematyka.

VII. POLA POWIERZCHNI I OBJĘTOŚCI BRYŁ.

A. Pola figur płaskich.

F igu ry Oznaczenie w ym iarów P o l e F

1. T r ó jk ą t

(p o r. s t r . 64).

R y s . 31.

:

X ’- ■ ’ ’H

\

V, /

lt w y so k o ść względem bo­

ku a,

s = */s (« -+- h -+- c),

?iii, 7«; , m3 ośrodkow e,

“o — *?2 (Mll -ł- >H3)i x tV\t x iU‘i i spólrzędne w ierzch ołków względem dow olnych osi prostokąt­

nych.

F = \U ah

— Y» (s — n) (j; — b) (s — c)

— '¡■2 a b sin y a- sin sin y 2 sin a

— 2 r 2 sin a sin /3 sin y

— P2 ctg V; « ctg V,, ¡3 ctg */, y abc.

— - ~~ 4 r

— Ys 1 ’’ o («0

= ± 7 2.

= — V2

- w r)(x 0—m2)(,<0-)/i3)

» i , ?/i, 1 Í2 J 2/21 1 2'3 , ²/³, ¹

Zi2/2 — Xt y¡ \ -+- a-'=2/3 — a.'33/2 j

-fc^sü /1 — ^1

J/s

J

Początek spólrzędn ych le­

ży w w ierzchołku 3: 'j>;3 = 0, 2/3 = 0 ] .

/<■-— ± >/

1

! i *2?/s' 1

= ± 7 i ( * i 2 / 2 — x 2 ?y,).

T ró jk ą t pro ­ stokątn y,

(p o r. s t r . 65).

o, /> przyprostokątnie, c przeciw prostokątnia, a kąt przeciw legły boko­

w i a.

- = - u : ■ - £»;•

/•’ = >/, rtfc

= k ctg a

= Vs; tg

a

= V* c2 sin 2 ot:

a 2 - + - S = c 2.

2. C zw o ro k ąt.

(D i prze­

k ątn ie, (p kąt z a w a rty mię­

dzy niemi).

K y s . 32.

m prosta, łą cz ą c a środki przekątni.

7(, H - *2 „ 2)'D | sin 'q>

2 2

a 2 -i- fr2 -+- c- -+- d2

— D - -+- D t- -i- 4 w 2.

VIL Poła powierzchni i objętości brył. 131

Figury Oznaczenie w ym iarów P o l e F

Czworokąt, w p isan y w kolo.

a, b, c, d 4-ry bolii,

S '/■_* (M“ ł~ b -+- C H— d). F — ]/ (s—a) (s—b) (.<—c) (s— </).

DJDL = a .o -i- b d : T rapez. a, b boki rów noległe,

li w ysok o ść.

, , a4- b ( D D, sin <p

2 2

Równoległo-bok.

a, b boki,

li odległość bo k ów b, y kąt rów noległoboku.

F = b li = a b sin y

— '/•> 1)1\ sin cp.

2{aT- + //-) = D -4- 1Ą -.

Prostokąt. a, b boki. F = a b = V²D'1 _sin q . Ukośnik

(rhombus). U 1 ukośnika.

T kąt \

F = a- sin y

= li , D D , . 3. W ielokąt. x ii/i > x2ii2, x m — x J / „

spółrzędne n w ierzchoł­

ków , w zględem dow ol­

nych osi prostokątnych.

[Sum a k ątów w ew nętrz­

nych w y n o si:

" (n — ²) • ¹⁸⁰°].

/,r____. 1/ / (X2Ul ~ XlVi)

.

, /2 \ -ł- (»32/2 — ar27/3) -¹- (a-’ i ^?/3 — ?/,)

-ł---(£ „» /„_ ] x „ —l ?/„)

■+-ix i ’j n~ x „ y i ) } ' M ożna też określić F , rozkłada­

ją c w iełobok, za pom ocą prze­

kątni, na trójkąty.

Wielokąt fo­

remny (pra­

widłowy).

(por. tabl. str. ³⁵).

R promień koła o pisa­

nego, r promień koła w p isan ego,

a —2y R ‘ — r- bok, n ilość boków , r p =180° : n, U obw ód.

F = '/, n a- ctg cp

— ‘/ 2 » R3 sin ²(p

= n r - tg cp.

U = n a = 2 u R sin ą

— 2n r tg rp.

K ąt w ielokata

= 180« - 2cp.

4. Koło.

(por. tablicę dla FiU, str. 1 Uo 21)

r promień, d średnica, U obw ód.

F - n r - = •/.i n d2 — '/, U d

= 0,78539 8 1 6 34d-.

! U — .-T»/.

Pierścień ko­

łow y.

(Dla oznaczenia pola F można po­

siłkować się tabli­

cy str. ¹ do 21).

R promień zew nętrzny, r promień w ew nętrzny, D średnica zew nętrzna, (i średnica w ew nętrzna, q średni promień, ó szerok o ść pierścienia.

F = x { R ? — r!)

= ' U a C D * - d * )

= ‘ /4 .t D - — V 4 . t (P

= 2 ;r p ó .

1 3 2 Dział pierwszy. — Matematyka.

F ig u ry Oznaczenie w ym iarów P o l e

Odcinek koła.

(Tab], str. 36 i 37).

r promień,

cf,° kat środkowy w sto­

pniach.

F

--\ 180 — sin <p ; •

W ycin ek k o la .1 r promień, (Dla oznaczenia ! b długość łuku, pola F można po-; gj,o jjat środkowy, przy-

s iłk o w a d s ie t a b li- < . « , . .

ca str. 1 do

21

^). należny lukowi 6 w sto ' pniach,

F = ‘/ ¡.Ł r

— ³⁶⁰ rT r'

= '¡2

| <p luk, o d p o w iad ający te- <P —(p°a• j muż kątow i i promie-

j niow i 1 .

i <P°n „

= 180

W ycinek pierścienia ko-!

ło w ego. I Rys. 33.

1 360

<f-°rc

= ^{1 8 0} '

= CPQÓ.

■ r*)

Rys. 34.

5.

Sto żk ow e.

E lip sa i je j odcinki p. str. ^{1 0 6}; odcinki hyperboli str. ^{1 0 6}; odcinki paraboli p. str. 1 1 0 .

P o la innych k rzyw yc h p. str. ¹¹² do ¹¹⁹.

6. Pole dowolnego kształtu.

a. N iechaj pole będzie ograniczone z trzech stron prostemi, z któ­

rych A l i = y0 i D g = y 2n (rys. 34) s ą prostopadle do B C . D zielim y B C na

p a r z y s t ą

ilość (2n ) ró w ­ nych części h, w punktach podziału kreślim y rzędne y u y2 ---a o zn ---a cz---a jąc n---adto średnie w y s o ­ kości tak otrzym anych p a sk ó w po­

la przez % , ł?2 • • r • ??2„> określam y w przybliżeniu pole A B C D z jed n e­

go z po n iższych , kolejno coraz to dokład niejszych w z o ró w :

1 -

F = h( ‘ / 2

y0 •+■

U l ■+■ ■+-

• • • • "I"

n —

2 y-2

n —

1 V* Jfe*)•

2

.

F =

•

5- F — V * * -„ —i+ J/ ż »

)-4. i'1 = 3/s A (ji0 -4- 3 7/j -t- 3y2 ■+■ 2 -1- 3y x -ł- 3yb -+- 2y6 -+- 3 + 2 ym_ 3 -+■ ³ y,H_ 2 -+- ³ym_ x -+■ y j .

A

^!/an

c

VII. Pola powierzchni i objętości brył. 13 3

5. F = kS [)) -h '/ ij {y0 — Vi) -+- 7

12

(y2« — ^

2

«)]- *)

6. F = li2 _{[»;—t—Vr}2 (⁸y0-\-i]z— 9 9)1 )-f-V rs (⁸j^/2 ,i^_t~,?2 «—i ⁹ % «)]•**) W e w zorze 4. ilość rzędnych pow in na b yć 1 = 3; i -+ -1, a więc ilość m rów nych części h podzielna przez 3.

W zór 3., t. zw .

w zór Sim psona,

daje tylko w tenczas d o k ł a d n e wyniki, g d y y je st fu n kcyą całk o w itą n a jw y żej t r z e c i e g o stopnia swej odległości od dow olnego punktu. W ów czas starczy w ym ierzyć lub w yrach o w ać ym, średnią rzędną m iędzy y0 _i y2 n , a jeżeli H ozna­

cza całkow itą w y so k o ść B 0, t o :

F = % H t y0 + 4ym + y 2n).

(9. Z m ierzyw szy lub w y ra c h o w a w sz y 5 o dległych od siebie o h, rzędnych y0, y lt y 2 , y 3 , y ( , o trzym am y:

F = 7« h [7(y0 -+- y4) -t- 32 (y, h - y3) ■+- 1 2y J .

W zór ten je st zupełnie d o k ł a d n y , jeże li y je st fu n kcyą całko­

witą n ajw yżej c z w a r t e g o stopn ia sw ej odległości od dow olnego punktu.

y. Dalsze w z o ry przyb liżon e zestaw iono na str. ^{8 2} i ^{8 3}, g d y ż całk a

W dokumencie Technik : podręcznik opracowany według niemieckiego pierwowzoru, wydawanego przez Stowarzyszenie "Hütte". T. 1, Dział 1. Matematyka (Stron 128-133)