K rzyw a Spółrzędne prostokątne Spółrzędne biegunowe
1. Cysoida.
2. Lem niskata.
3. Konchoida.
4. L iść K artezyu- sza.
5. Czw oroliść.
y-(a — x) = x 3 (x2 - 1 z/2)2 — « 2 ( i 2 — y~) (x2 0- y*) (y — 6)2 = a h f
x 3 -+- y1 = 3a x y (x‘- - h i/2)3 — 4a i x'l
y-a sin 2 cp cos cp r = a \/ cos 2 cp.
r = « H --- -h cos cp 3a sin cp cos cp sin 3 cp-h- c o s3 cp r -— a sin 2 cp.
1. C y s o id a (bluszczowa). Dane koło o średnicy a; w końcu stałej średnicy (osi x) da
na styczna tegoż koła. Przez drugi koniec tej średnicy (pqczątek spółrzędnych) prowa
dzimy dowolna ilość siecznych, aż do spotkania się z tą styczną. Jeżeli odetniemy dłu
gości cięciw, wyznaczono przez koło na każdej siecznej, lecz począwszy od jej punktu spotkania się ze styczną, ku początkowi spółrzędnych, to końce tych kres będą punkta
mi cysoidy.
2. L e m n i s ś a t a jest miejscem geometrycznem punktów, dla których iloczyn ich od
ległości od dwóch stałych punktów F i F t jest stałym, a mianowicie = ij 3 ai. Odle
głość F Ą = a ) 2 ,
Obie gałęzie krzywej, przechodzące przez środek kresy a Y 2 (początek spółrzędnych), spotykają się w nim pod kątom prostym.
Półosią krzywej jest a. Kąt pomiędzy promieniem wodzącym ,a normalną = 2 ę.
Dla ymax jest rp = 30", a r = a \^f2. Całkowite polo lomniskaty = a 2.
3. K o n c h o id a (krzywa muszlowata) jest miejscem geometrycznem punktów,' otrzy
manych na wszystkich promieniach, zbiegających się w jednym biegunie P, przez- odcię
cie na każdym z nich pewnej stałej kresy a, poczynając zawsze od punktu przecięcia się promienia z pewną stałą prostą, przeprowadzoną w odległości b od bieguna.
C. Pnnkt, prosta i płaszczyzna w przestrzeni.
W w y w o d a c h p o n i ż s z y c h p r z y j m u j e n v y t r z y o s i e s p ó ł r z ę d n y c h w p r z e s t r z e n i , w z a j e m n i e d o s i e b i e p r o s t o p a d ł e .
1. Je ż e li a', y, z i x 0, y0, 20 Sił spółrzędnem i dw óch punktów , których odległość w zajem n a w y n o si l\ a o., f}, y o zn a cza ją k ąty, któ
re l tw o rzy z dodatnym i kierunkam i osi spółrzędn ych, to : l — V(x — x
0
)2
H- {y — i/o)2
-+- (z — z0)-.X — n
V
Vo Z •— Zqc o s a = — j— ; cos /? — L— — ■ ; cos — - • co s2 a -i- cos2 /? -f- cos2 7 = 1 .
2. Jeżeli kresę l, w ziętą w kierunku od x0, y0 z0 ku x, y, z, po
dzielim y w stosunku 1 : n, to, o zn a cza jąc przez x u y lt s t spółrzędne punktu podziału, o trzym am y:
___
y - 4n xo _Z/-+-»;/o _ _ z - i - » 2o
1 — l-t~« ’ Jl~ 1-hn ’ ~1— l-i- 7 i '
3.
Kąt
q> pom iędzy dw om a kierunkam i, w yzn aczon ym i przez k ąty“ j f t 7 i « i , P i , 7 i , określa się z ró w n an ia:
cos ip = cos a cós o, H- cos /9 cos /?! -+• cos 7 'cos 7 ,.
Jeżeli o b a kierunki s ą do siebie prostopadłe (<p —90°), to musi b y ć : cos o. cos a j -h cos ¡9 cos ¡3, cos 7 cos 7 , = O.
4. O zn aczając przez /{., v kąty, ja k ie prostopadła do podanych po w yżej pod 3. kierunków , t. j. prostopadła do p łaszcz yzn y k ąta q>, tw o rz y z kierunkam i dodatnym i osi spółrzędn ych, otrzym am y z w ią zk i:
cos ,ć? cos 7, — cos /?, cos 7 cos 7 cos a , — cos 7 , cos a cos / . = --- :--- -i--- ; cos a = - --- --- —--- •
sin rp . sin (p
cos a cos B, — cos o. cos 8, cos v —--- - —
---sin <p
1 2 0 Dział pierwszy. — Matematyka.
N a j k r ó t s z a o d l e g ł o ś ć m iędzy prostą o kierunku (a, /?, ■/) przez punkt (x, y, z) a prostą o kierunku ( a, , f t , y,) przez punkt yi z,), równa się bezw zględnej w artości w y ra ż e n ia :
p = ( i , — x) cos /. -j- (>ji — ;/) cos -i- {z, — z) cos v.
5.
P r o s t a
w przestrzeni w y z n a c z a się przez dw a ró w n an ia:y == m x -+- b, z — m , x - \ - b i .
Prosta, przechodząca przez punkt (xu j/ ,j z,) i tw o rząca z o sia
mi kąty et, ft, 7, w y ra ż a się ró w n an iam i:
x — ^ _ y — ?/i z — Z| _
cos a cos ¿9 cos 7
W poprzednich zatem rów naniach je s t:
cos B cos 7
Ht = --- : uf, = --- ■
cos et cos «
Ró w n an ia p ro stej, przechodzącej przez punkty y , , z ^
> f e , 2/2, *2), s ą :
a — «i _ y — y» _ _ s — s i . . . x 2 — y , — 2/1 z2 — z,
6. Jeżeli dw ie proste w przestrzeni m ają się przecinać, to w a ru n kiem nieodzow nym jest, a b y w yzn aczn ik czterech rów nań obu pro stych, sprow adzon ych do postaci: m x - + - n y ~ \ - p z - ł - q =0, tożsam ościo- wo był ró w n y zeru.
7. Rów nania p ła sz c z y z n y .
Ogólnie biorąc, p łaszcz yzn ę w y zn acz a rów nanie pierw szego stopnia:
A x -h B y -1- O z - h D = 0.
W szystkie zatem punkty, których spółrzędne czyn ią zadość temu s a memu rów naniu pierw szego sto pn ia pom iędzy t r z e m a zmiennemi, leżą w jed n ej płaszczyźn ie.
B y - \ - Cz-+- D = 0, rów nan ie p łaszcz yzn y, rów noległej do osi x.
A x4r C z - r - D = 0 , n n
V-A x B y - h D = 0 „ „ , „ „ „ z.
Ax-+- B y -+ - C z =0 „ „ , przechodzącej przez po
czątek spółrzędnych.
8. Jeżeli p łaszcz yzn a przecina osie w odległościach a, h, o od po
czątku spółrzędn ych, to rów naniem je j b ędzie:
± + Ł + Ł = i .
a o c
x = . a , rów nanie p łaszcz yzn y, rów noległej do p łaszcz yzn y yz.
y = w > » » . » » x z
-2 = r C, „ ji j v n n
9. Je że li kresa p ro sta l, z a c z y n a ją ca się w początku spółrzędn ych, tw orzy z osiam i k ąty a, /?, y, to płaszczyzn ę, przechodzącą przez drugi koniec kresy l, a do niej prostopadłą, przed staw ia rów n an ie:
x cos a -+- y cos 0 -+- z cos 7 — ¿ = 0.
(P o sta ć normalna).
VI. Geometry a analityczna. * 121
122
Dziat pierwszy. — Matematyka.J e ż e li zam iast długości l danym je st punkt (xIt y ls zy) płaszczyzn y, to je j rów nanie będzie:
(x — x ,) cos a -Ą- (i/ — !/,) cos -t- (z — z ^ cos y = 0, s. je ż e li zam iast długości i kierunku kresy d an y je s t je j punkt koń
c o w y (xl} yu Z[), to rów nanie p łaszcz yzn y, przechodzącej przez ten punkt, będzie:
(x — x ,) Xl -H (y — yt) »/, -+- (z — z,) z, — 0.
10. A b y rów naniu ogólnem u p ła s z c z y z n y : . l x —I— 7? y —i— ( J z - t - D = 0 n a d ać postać norm alną, należy w sta w ić :
cos ¡3 =
-± v a2 -t- li2 -h C2 ± ]/ .1-’ -+- /T2 -+- C2
C / = _ — D
=b |/^42 -H 7>’2 -+- C2 ± {/.414- li'3 •+■ O2 Z n ak pierw iastka taki, b y l stało się dodatnem.
11.
Odległość
p punktu (xJ ;y , ,
z,) od p łaszcz yzn y, w yrażonej rów nan iem w postaci norm alnej, w y n o si:p = ± (xj c cs « -1- )/, cos /J -t- z, cos y — Z),
przyczem należy uw zględn ić zn ak dodatny albo odjem ny, zależnie od teg o, czy punkt (X j, y ,, z,) i początek spółrzędnych leżą po różnych stron ach , czy też po tej sam ej stronie p łaszcz yzn y.
12. Jeżeli A x - + - B y - Ę Cz -{- D = 0 jest rów naniem p łaszcz yzn y, to prostopadła do niej, w punkcie je j , tji, z,), w y ra ż a się ró w n an iem :
C C
z — — z — Z i = £ - ( 2 / — 2/i).
13. Je ż e li dw a kierunki (a, {3, y i a , , , f t ) przechodzą przez pu n kt (X[, i j i, z j , to rów nanie p łaszcz yzn y, w yzn aczon ej przez te kie
runki i ten punkt, je s t:
(x— x ,) (cos ¡3 cos •/,— cos jS, cos y) -t- (y—yi) (cos y cos a , — cos y, cos a) -ł- (z — zt) (cos a cos i?,— cos er, cos /?) = 0.
14. Je ż e li: / l x -+■ l i y -t- G’ z -t- Z) = 0 i
d i x -i— Hi y ^ :— o
s ą rów naniam i dw óch płaszczyzn , a przez k o zn aczym y liczbę do
w o ln ą, to p łaszczyzn ę, przechodzącą przez prostą przecięcia się obu p łaszcz yzn danych, w y zn acz am y rów nan iem :
(.4x - ł - B y -+ - C z - f- D) -i- k (^4j x -4-11^ y Ci z -4- Di) = 0, a lb o : (.4.-H fc -4i) x -4- (fi~ ł-k lii) y -+• (G-\- lcGri) z -\-1)- r - k Dy= 0. Rów nan ie rzutu na p łaszczyzn ę x y prostej przecięcia się dwóch p łasz
c z y z n otrzym am y, ru gu jąc z ich rów nań zm ienną z ; w sposób podobny otrzym ujem y rów n an ia je j rzutu na p łaszczyzn ę x z , w zględ nie t/z.
VI. Geomctrya analityczna.
123
15. Kąt <p pochylenia w zajem n ego dw óch p łaszcz yzn (określonych równaniami jak pod 14.) w y rażam y w zorem :
.4.-1, - H l i j S i - t - W ,
CO S W — ... ... 1 .... • :
± }/ (A2 -4- J P -4- C 2) (A t* - H C l 2)
P ła sz cz y z n y s ą r ó w n o l e g ł e (<p — 0), je ż e li: *4- = - •
Ai J>i Oi
P łaszcz yzn y są do siebie p r o s t o p a d ł e (17 7 = 9 0 °), je ż e li:
A Ai -H D lii -+- 0 Ci = 0.
16. Dwie
p ła s z c z y z n y rów noległe
w y r a ż a ją się zatem rów naniam i:A x - \ r By~*r Gz-y- D^=^0 i A x - ł - B y C z - y - D i ^ ^ O . 1 7. P ła sz cz y z n y , p rzep oław iające k ąty m iędzy dw iem a innemi (określonemi rów naniam i ja k pod 1 4.), w y r a ż a ją się w zorem :
A x -+- B y - Cz -h 1) Ai x -+- B i y -l- Ci z -f- D i__
0.
]/A>-+- B 2-¥- C2 J/.-l, 2 -H Bi 2 -+- Ci*