0) 1 punktu Q, leżącego zew n ątrz paraboli (rys. 17 )

Z e śro d k a Q promieniem Q F zakreśl koto, a z punktów U i B , pro w ad ź rów nolegle do ^.1X , które przetną parabolę w E i E, . Szu- kanem i stycznem i są: Q E i Q ,E l .

c . K r z y w e c y k lic z n e (kołow e).

I. Cykloida pospolita.

1. C ykloid a je st k rzyw ą, którą opisuje punkt .1 obw odu ko la .1B, p o d czas gd y tenże to czy się (bez ślizgan ia) po prostej A C.

2.

W yk reśle n ie

(rys. ^{2 2}).

Hys. 22. Odetnij A <7= ł u k o \ v i A B p = n r , podziel o b yd w a na je d n ak o w ą ilość rów nych części, w yzn acz punkty przecięcia 1 , 2 , ³ i uczyń l a = o l , ²/⁹— f i l i i ³- > '= c I I I ; a «, ⁽⁹ i y będą punktam i c y ­ kloidy. A lbo: cyk lo id a o b w ija k o la zakreślone kolejno około punktów podziału kresy A U ja k o śro d k ó w , prom ieniam i rów - nemi kolejno cięciwom : AJ,- / I I I ,

¿ I I I .

B.

Rów nania

cyk lo id y, odniesione do A C ja k o osi x i A li jak o .osi y, s ą :

x = r (<p — sin rp) ; y = r ( l — cos <f).

X — r arc cos -- ^{— ]/(2J-} — y) y . r

4.

Normalna

w punkcie D przechodzi przez punkt styczn ości /' prostej p o dstaw o w ej A C z kołem tw orzącem . P D je s t normalną, S D '1 styczn ą; P D = 2 r sin V2 (f — J/ 2 r,y.

5.

Promień k r z y w o ś c i:

g = 4r sin % ę — 2 j/ 2 r y \

o je st w ięc dw a ra z y dłuższe niż norm alna. W w ierzchołku ó będzie zatem g = 4 r; w punkcie ^,1 zaś Q = 0.

6.

Rozwinięta

c yk lo id y jest nietylko rów nież cyklo id a, lecz nawet p rzy stając ą do pierw otnej.

7.

Pole

A E D = r 3 (3/s (p — ² sin ę 4- 1 , sin ²<p)

— y2 r x — 2 y V(2 r — y ) y; .■1 0 6 — s / 2 . t r 3 .

8.

Długość łuku

A l } - — A r

( 1 —

Icoś

'/2

q>)'=s%r

—

² J/2r (2r

—

y).

A d = - l r .

9.

Cykloida „w y d łu ż o n a “ lub „ s k r ó c o n a “

po w staje, g d y punkt tw o­

rząc y nie leży na obw odzie, lecz z e w n ą t r z , w zględ nie w e w n ą t r z , koła toczączego się, w odległości p od je g o środka. R ów nan ia ich są:

x = T i f—p s m < f\ y — r — p cos ę .

VI. Geomotrya analityczna.

113 2 . Epioykloida i Hypocykloida.

1. Punkt A obw odu ko la, o promieniu A C = r , które bez śliz g a ­ nia toczy się po drugim obw odzie kola, o promieniu A O — R , opi­

suje cpicykloidę, jeżeli o b yd w a o bw o d y s ty k a ją się zew nętrznie (rys. 23), a hypocykioidę, g d y się s ty k a ją w ew nętrznie (rys. 24). R promień kola podstaw ow ego (stałego), r prom ień k o la tw orzącego (ruchom ego).

2.

W ykreślenie

(rys. 23 i 24): Pod zielm y pólobw ód k o la A l i i kąt *'1 O D — r 180° na tę sam ą ilość rów nych c zęści; w ykreślm y

Jt

promienie 1, 2, 3, 4 przez O i luki kołow e 5, 6, 7, 8 d o k o ła O;

odcinając w reszcie r^ a = rxt a, bLb = i <:iC = 7 i7 , o trzym am y w -⁴. a, b, c, D punkty epicykloidy (rys. ²³), w zględnie h yp o cyk lo id y (rys. ²⁴). Albo: ko ła ze środkam i w punktach spo tkan ia się prom ie­

ni 1, 2, 3 z obw odem k o ła podstaw ow ego, zakreślone kolejno cięci­

wami Aa, .¹/⁹, A y , s ą obwinięte przez szu kan ą k rz y w ą .

3.

Rów nania.

(Zn aki górn e odn oszą się do ep icyk lo id y, dolne zaś do hypocykloidy):

Zależnie od tego, c z y r £ R , h ypo cykloid a R , r zlew a się bądźto z hypocykloidą R , R — r, bądź też z epicy kio idą R, r — R.

4;.

Normalna

jak ieg o k o lw iek punktu przechodzi z aw sze przez od­

powiedni punkt zetknięcia się koła tw orzącego z kołem podstaw ow em .

Byś. 23. lij- s . 24.

P

P o d r ę c z n ik t e c h n ic z n y . T . I.

8

114

Dziai pierwszy. — Matematyka.

4 r (Ji= h r) 5.

Promień k r z y w o ś c i :

o

==

— -¿ j sin '/a r

-D la .4:

0

^{= 0 ;}

dla ¿>: o — 4r

-i -i d fc 2r

6.

Rozwinięta

je s t epicykloidą, w zględnie h ypo cykloidą, podobną do danej.

7.

Pole

pom iędzy 0.4, k rz y w ą i promieniem w o d zącym je s t:

r

(i?

z t z r ) ( R =ir 2 r)

2 ./i

(rp

— sin

<p).

8. Długość łu k u : jf = 4 'r —

⁽¹

— c° s 72 9>);

łuk

9. R ów nan ia k rzyw yc h s ta ją się algebraicznem i (przez w y ru g o w a ­ nie ilości <p), jeżeli stosunek 11 _do r je s t w ym ierny.

Jeżeli r = ' / . , ! { , to h ypo cykloid ą staje się p r o s t ą , z le w ają cą się ze średnicą .4O. K a ż d y punkt, nie leżący na obw odzie kola tw o rzą­

cego, opisuje przy tern e l i p s ę .

Jeżeli r = </, h ypo cykloidą staje się

a stro id ą

(k rzy w ą , g w ia ź ­ d z istą“ ), której rów nanie brzm i:

x v , + s ' u = Ą i

Jeże li r = R , to epicykloidą przechodzi w

kardioidę

(k rz y w ą ser- cow atą). Rów nanie kardioidy brzm i, je ż e li .4 (rys. 23) o zn acza po­

czątek spólrzędnych, a. A O część dodatną osi x : (i/2 - h a ;2 — 2I ij-)2 = ⁴l ł ‘ (x- -+- y-), albo też w odpow iednich spólrzędn ych biegunow ych o i tj>\

o = 2 R(1 -+- cos %>).

D la r = oo, kolo toczące się staje się l i n i ą p r o s t ą , a odpo­

w iednia k rz y w a staje sie r o z w i j a j ą c ą k o l a (patrz poniżej pod ³ .)-1 0.

E p icyk loidą i hypocykloidą w ydłu żona lub sk ró c o n a

p o w staje, je żeli punkt tw o rzą cy leży z e w n ą t r z , w zględnie w e w n ą t r z , kota tw orzącego, w odległości j i od je g o śro d k a. R ó w n an ia ich b rzm ią:

r \ ( H =b }• \ x — (R ± r) cos <pJ = r ]> cos h qs j ,

y = (V? d= r) sin ( —■ — jp sin ~ - <p

3 . R o z w ija ją c a koła.

1. K aż d y punkt prostej, która bez ślizg an ia to czy się po o b w o ­ dzie kola, opisuje ro z w ija ją c ą koła. (W ykreślenie za pom ocą nitki).

VI. Geometrya analityczna.

2.

W yk reślenie

(rys. ²⁵) : B D równo p ó lob w od ow i k o ia A B , jako też sam pótobw ód, podziel na je d n ak o w ą ilość rów nych części (w rys. na 4): a a je st styczn ą w u, o długości a D — J/4 B D \ fib je st styczną w p, o długości ¡3 D = 2/-ł B D i t. d. W ó w czas A , a , b , c , D będą punktami ro z w ijając ej.

3.

Rów nan ia:

x = r0 (cos v -+• V sin 1p) ; s' 2 j' y — r0 (sin ip — yi cos y>).

R ó w n a n i e b i e g u n o w e :

JO

4.

Promieniem k rz y w o śc i

£> w punk­

cie C' jest styczn a C E z punktu C do koła podstaw ow ego, a w ięc je s t on równy długości łuku ko ła A E .

5.

Długość łuku

A C, o dpo w iad a­

jącego kątow i y , w y n o s i:

Q2 _ >o V 2

6. ^{P o le:} ACO= '/¿r^ip3.

(¹. S p i r a l o (krzyw e „ z w o jo w e “ ).

I. S p i r a l a A rch lm edesa.

1 . Zakreśla ją punkt C (rys. 26), p o ru sz a ją cy się z prędkością jednostajną po promieniu O (', g d y tenże rów nież z prędkością je d n o ­ stajną obraca się dokoła stałego punktu (bieguna) O. Je ż e li jednem u obrotowi promienia

O C

(36 0°) o d ­

powiada przebieżona przez C po Evs. 20.

0 C droga r 0, to długość pro­

mienia w odzącego, o d p o w iad ająca

— obrotu, będzie w y n o s iła — , skąd1

wprost w yn ik a w ykreślen ie tej s p i­

rali.

2. Równanie biegunowe:

■

(!([- ^>o

w którem >• o zn acza promień w o ­ dzący, a (p kąt b iegu now y, licząc od O A.

O ³. Jeżeli dla dow olnego punktu C poprow adzim y styczn ą C T, dalej T prostopadle do O C i GJS prostopadle do Ó T, to:

po po dstyczn a

biegunowa

^{0 7} — — , zaś

Podnorm alna biegunowa

O N = a = sta ­ łej. Stąd w y n ik a sposób

w y k r e ś la n ia

s t y c z n e j do spirali (por. niżej spiralę hyperboliczną).

Dział pierwszy. — Matematyka.

V“

4. Promień k r z y w o ś c i :

_{2 a2}

-4-W y k r e ś l e n i e (rys. ²⁶): Prostopadle do C N w N i do O C w C przecin ają się w Q; prosta O Q przetnie norm alną C N w środku k rz y ­ w o ści 3/.

rn

_rp}/1 -+- <pa -t- ln (<p ■+- K i -+- rp-)

9? J / l —l— igp* -+- arc sinh rp w przybliżeniu (dla wielu z w o jó w ) : * == m*.

4rr

2. S p i r a l a h yperboliczną.

1. Z ak reślając około bieguna O dow olne ko ła (w spólśrodkow e) i odcin ając na każdem z nich rów ne długości łu ków «, w jednę stronę, licząc od osi biegunow ej O B, , otrzym am y w końcach tych łu k ó w szereg punktów , których miejscem gcom ctrycznem je s t w łaśnie s p i­

rala hyperboliczn ą (rys. ^{2 7}).

Równanie

je j brzmi: rep— a.

Po n iew aż dla cp = cc, r staje się = 0 , to biegun 0 je st

p u n k t e m n i e d o b i e ż n y m (a s y m p to ty c z n y m ),

dokoła którego sp irala opisuje nie­

skoń czon ą ilość zw o jó w , nie d o sięg ając g o jed nakże.

D la (p—0 staje się r'— 00, to zn. prosta C C i , po pro w a­

dzon a w oddaleniu a, rów- . i ą nolegle do o si biegunow ej

O B it je st niem altyczną s p i­

rali.

2. Je ż e li dla dow olnego punktu P (rys. ^{2 7}) popro- _Cf w adzim y styczn ą /’ T, oraz

0 T prostopadle do OP, a P N prostopadle do P I , to :

P o d styc zn a biegunowa

O T = — a = stałej;

)

,.2 ' l por. spiralę

Podnorm alna biegunowa 0

N = --- ;

I

Archim edesa.

n >

Stąd w y n ik a sposób w y k r e ś l e n i a s t y c z n e j do spirali.

3.

Promień k r z y w o ś c i :

g =

. , 1 — V •

sm J O l i cosJ u

W y k r e ś l e n i e : P ro sto p ad ła do P N w N (rys. 27) przecina pro­

mień 0 w Q, prostopadła zaś do tegoż prom ienia, w y p ro w ad zo n a z Q, przetnie norm alną P i\ T w środku k rzyw o ści J f .

3. S p i r a l a logarytm iczna.

1 . R ów n an ie:

r — a e m(p.

Dla cp = 0 będzie r — O A — a (rys. ²⁸). Pon iew aż dalej dla ( p = — w , r — 0, w ięc biegun O je s t

punktem niedobieżnym,

do którego spirala, dla odjem nych w a r­

tości ip, coraz to bardziej się zbliża, nie do sięgając go jed n ak że.

2.

S ty c z n a

C T w punkcie dow ol­

nym C tw o rzy z promieniem w o d z ą ­ cym 0 C k ą t u = a = stałej, tak, że ctg a = i)i.

3.

Podnorm alna biegunowa:

O JV = r ctg a = )■»«.

W dokumencie Technik : podręcznik opracowany według niemieckiego pierwowzoru, wydawanego przez Stowarzyszenie "Hütte". T. 1, Dział 1. Matematyka (Stron 112-117)