STRESZCZENIE
W artykule przedstawiono próbę zastosowania rachunku prawdopodobieństwa do prognozowania głębokości przemarzania gruntu. Omówiono pokrótce czynniki wpływające na przemarzanie gruntu oraz technikę pomiarów temperatury gruntu wykonywanych przez stacje meteorologiczne Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej. Podano zasady wyznaczania położenia izotermy zerowej w gruncie stosowane przez IMGW – PIB. Na przykładach danych pomiarowych z pięciu stacji meteorologicznych, położonych w różnych regionach Polski, przedstawiono metodę i wyniki probabilistycznego ujęcia położenia izotermy zerowej w gruncie. Otrzymane wyniki porównano z postanowieniami obecnej normy [1] i zaproponowano dalszy tok postępowania.
SŁOWA KLUCZOWE: przemarzanie gruntu, izoterma zerowa, rozkład Gumbela, normy
1. WSTĘP
Przemarzanie gruntu zimą jest jednym ze zjawisk będących skutkiem oddziaływań klimatu – w tym przypadku ujemnej temperatury powietrza. Jest ono ważnym zjawiskiem, które należy brać pod uwagę w projektowaniu fundamentów budowli naziemnych oraz w projektowaniu obiektów i urządzeń podziemnych. Głębokość, do której sięga przemarzanie gruntu jest określana jako położenie izotermy zerowej. Ostatnia mapa stref przemarzania, podana w Polskiej Normie [1], jest przeniesiona z poprzedniej normy, z 1974 roku [2]. Mapy podane w normach wcześniejszych są podobne [3] [4]. Ostatnia mapa została więc opracowana ponad 35 lat temu i to jest wystarczający powód, aby uaktualnić zawarte w niej informacje. Z pracy Wierzbickiego [5] wynika, że zasób danych wykorzystanych do przygotowania normy z 1974 roku był skromny. Prawdopodobnie opracowano ją na podstawie pomiarów wykonanych podczas jednej, wyjątkowo mroźnej zimy, 1962/63, tak jak to sugerowano później [5]. Obecnie, dysponując wynikami pomiarów z około 30 do 50 lat można do opracowania danych pomiarowych zastosować rachunek prawdopodobieństwa i wyznaczyć taką wartość położenia izotermy zerowej, która będzie miała akceptowane prawdopodobieństwo przekroczenia w wybranym okresie odniesienia.
______________________
1 jzuranski@pro.onet.pl
2 a.sobolewski@itb.pl
2. CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA PRZEMARZANIE GRUNTU
Czynniki wpływające na głębokość zamarzania gruntu można podzielić na zależne od warunków klimatycznych i od warunków gruntowych. Najważniejszym czynnikiem klimatycznym jest temperatura powietrza i czas jej występowania. Im dłuższy czas trwania ujemnej temperatury powietrza tym głębsze przemarzanie gruntu. Ważnym czynnikiem jest grubość pokrywy śnieżnej lub jej brak, a także suma opadów deszczu przed i w czasie zimy, co wpływa na ilość wody w gruncie i przewodzenie ciepła. Na głębokość przemarzania wpływa również rodzaj gruntu.
Jako przykład wpływu temperatury powietrza na temperaturę gruntu przedstawiono wyniki jednoczesnych pomiarów temperatury powietrza przy gruncie i temperatury gruntu na głębokości 50 mm w czasie bardzo śnieżnej zimy 1978/79 (rys. 1).
-32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 Temperatura powietrza przy gruncie, oC -4
-2 0 2 4 6 8
Temperatura gruntu na głębokości 50 mm, oC
WARSZAWA BIELANY
Rys. 1. Temperatura gruntu na głębokości 50 mm w funkcji temperatury powietrza przy gruncie w dniach od 25 grudnia 1978 do 30 marca 1979 r.
Na temperaturę górnych warstw gruntu ma wpływ przepływ ciepła z jego głębszych, cieplejszych warstw. Jest to widoczne na przedstawionym przykładzie, gdy temperatura powietrza przy gruncie waha się wokół zera, a uwidacznia się jeszcze bardziej w miarę jej wzrostu. Przy temperaturze powietrza powyżej 4 oC temperatura gruntu jest już od niej wyższa. Takie wartości zmierzono w ostatnich dniach marca 1979 roku, bez pokrywy śnieżnej.
Maksymalną głębokość zamarznięcia gruntu utożsamia się z głębokością, na której występuje izoterma zerowa. Jest to pewnym uproszczeniem zagadnienia. Zwykle gleba zamarza przy temperaturze niższej od 0C, ponieważ w wodzie zawartej w glebie rozpuszczone są różne składniki chemiczne, obniżające temperaturę jej zamarzania. Dlatego głębokość zamarzania gruntu i położenia izotermy zerowej nie jest jednakowa – zwykle izoterma zerowa leży poniżej głębokości przemarzania.
3. ZASADY WYZNACZANIA POŁOŻENIA IZOTERMY ZEROWEJ W GRUNCIE
Pomiary temperatury gruntu wykonują stacje meteorologiczne Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej – Państwowego Instytutu Badawczego w liczbie około 60 (ich liczba zmienia się od czasu do czasu). Mierzą one temperaturę gruntu codziennie, o godzinie 6:00, 12:00 i 18:00 UTC, na kilku głębokościach. Zwykle są to głębokości 0,05, 0,10, 0,20 i 0,50 m (głębokości podane są w dziennikach obserwacji w centymetrach), a także na głębokości jednego metra. Na wielu stacjach pomiary na głębokości 1 m zaczęto wykonywać dopiero od początku lat osiemdziesiątych XX w., są one prowadzone tylko o godzinie 12:00 UTC.
Technikę pomiarową i metodykę wyznaczania położenia izotermy zerowej w gruncie podano w instrukcji [6]. Do końca XX w. pomiary wykonywano za pomocą specjalnych rtęciowych termometrów zgiętych, kolankowych, o skalach do odczytu znajdujących się nad gruntem, a na głębokości 1 m za pomocą termometrów wpuszczanych w rurkę umieszczoną w gruncie i wyciąganych do odczytu. W przypadku grubej pokrywy śnieżnej, aby dokonać odczytu temperatury trzeba było odgarniać śnieg. Mogło to mieć wpływ na zmierzone wartości temperatury gruntu.
Od pierwszej dekady XXI wieku dokonuje się wymiany termometrów rtęciowych na termopary z odczytem elektronicznym. Odgarnianie śniegu nie jest już konieczne.
Głębokość występowania izotermy 0°C w gruncie w polskiej służbie meteorologicznej wyznacza się:
jeżeli powierzchnia gruntu o godzinie 06 UTC jest zamarznięta,
jeżeli występuje w gruncie temperatura ujemna (bez względu na to czy powierzchnia gruntu jest zamarznięta czy nie).
Jeżeli powierzchnia gruntu nie jest zamarznięta, a temperatury gruntowe na wszystkich termometrach wskazują 0°C lub temperaturę dodatnią, to nie wyznacza się izotermy 0°C.
Do obliczania przybliżonej głębokości zamarzania gruntu stosowana jest metoda rachunkowa; wykorzystuje się wskazania termometrów gruntowych o godzinie 6:00 UTC. Za grunt zamarznięty uważa się warstwę, w której temperatura jest niższa od 0°C.
Zasięg izotermy 0°C w gruncie (jej położenie pod powierzchnią) oblicza się według Instrukcji [6], co można przedstawić za pomocą wzoru
T
A - głębokość najniżej położonego termometru wskazującego temperaturę ujemną, a - grubość warstwy, w której występuje temperatura 0° C; różnica między głębokością
położenia termometru wskazującego temperaturę ujemną, a głębokością termometru wskazującego temperaturę dodatnią,
Δt - różnica wartości temperatury na głębokości A i temperatury, której głębokość jest wyznaczana; w przypadku, gdy określana jest głębokość położenia 0°C, t jest równa wartości temperatury na głębokości A,
ΔT - różnica wartości temperatury na obu głębokościach, między którymi występuje 0°C.
Obserwator codziennie oblicza położenie izotermy zerowej i zapisuje w dzienniku obserwacji. Sposób wyznaczania izotermy zerowej przedstawiono na przykładzie opracowania wyników pomiarów wykonanych jednego dnia przez stację meteorologiczną w Białymstoku. W tablicy 1 zamieszczono wyniki pomiarów z trzech terminów obserwacji,
a na rys. 2 rozkład temperatury w gruncie, na głębokościach do 0,5 m o godzinie 6:00 UTC oraz jedną wartość na głębokości 1 m o 12:00.
Tablica 1. Wyniki pomiarów temperatury gruntu, oC, na stacji meteorologicznej w Białymstoku w dniu 15 marca 2005 r.
Głębokość pomiaru, m Godzina
pomiaru 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00
06 -0,2 -0,2 -0,4 0,4 -
12 -0,3 -0,3 -0,4 0,4 1,9
18 -0,2 -0,3 -0,4 0,4 -
W dniu pomiarów grubość pokrywy śnieżnej wynosiła 0,48 m o godzinie 06:00 oraz 0,43 m o godzinie 18 UTC, a temperatura powietrza przy gruncie wynosiła w tym czasie odpowiednio -7,6 i 2,5 oC.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Głębokość w gruncie, m -1.0
0.0 1.0 2.0
Temperatura gruntu, oC
BIAŁYSTOK
Rys. 2. Temperatura gruntu na stacji meteorologicznej w Białymstoku o godzinie 06:00 UTC (na głębokości 1,0 m o godzinie 12:00 UTC)
Wielkości wchodzące do wzoru (1) są następujące: A = 0,20 m, a = 0,50 – 0,20 = 0,30 m, t = - 0,4, T = - 0,4 - 0,4 = - 0,8. Z wzoru (1) otrzymuje się Et = 0,35 m. Tę samą wartość, odpowiadającą temperaturze gruntu 0 oC, można odczytać z wykresu (rys 2). Warto zauważyć, że na głębokości 0,20 m i głębiej temperatura nie zmieniała się. Na tej podstawie na wykresie danych z godziny 06:00 można dodać wynik z pomiaru wykonanego o godzinie 12:00. Przykładowe wyniki obliczeń położenia izotermy 0°C pokazano na rys. 3. Brak wartości oznacza, że grunt nie był zamarznięty.
20 40 60 80 100 120
Dni od 1 listopada 2005 0.00
0.05 0.10 0.15
Głębokość przemarzania, m 15.12.2005 05.01.2006 15.01.2006 26.01.2006
26.12.2005 19.02.2006
Rys. 3. Położenie izotermy zerowej w gruncie w czasie zimy 2005/2006 na stacji meteorologicznej Katowice Muchowiec
Jeżeli położenie izotermy zerowej występowało poniżej głębokości zasięgu termometrów gruntowych to wyznaczenie jej położenia nie było możliwe. W dzienniku obserwacji zapisywano wówczas np. „poniżej 50 cm”. W przypadku niektórych stacji meteorologicznych przed 1982 r. zdarzało się to dość często. Wynikają stąd ograniczenia liczby danych przydatnych do obliczeń.
4. PROBABILISTYCZNA METODA PROGNOZOWANIA POŁOŻENIA IZOTERMY ZEROWEJ W GRUNCIE
Z punktu widzenia rachunku prawdopodobieństwa poziom położenia izotermy zerowej w gruncie wyznacza wartość prognozowana, przekraczana z arbitralnie przyjętym prawdopodobieństwem p. Wartość ta, określona zostaje w wyniku aproksymacji rozkładu empirycznego utworzonego z danych pomiarowych, którymi są skrajne wartości maksymalne poziomów położenia izotermy zero w gruncie, wybrane z wielu jednostkowych okresów obserwacji. W przypadku zjawisk klimatycznych ze względu na ich sezonową zmienność takim jednostkowym okresem obserwacji jest to=1 rok, rozpoczynający się 1 października.
W odniesieniu do oddziaływań klimatycznych przyjmuje się zwykle, że w dowolnym, poszczególnym roku prawdopodobieństwo jednokrotnego przewyższenia wartości, zwanej charakterystyczną, wynosi p = 0,02, co odpowiada okresowi powrotu 50 lat [8, 9, 10].
Przyjęto zatem również, że w przypadku przemarzania gruntu okres powrotu wartości charakterystycznej położenia izotermy zerowej powinien być taki sam.
Prognozowane wartości położenia izotermy zerowej w gruncie obliczono aproksymując rozkłady empiryczne rozkładem prawdopodobieństwa Gumbela [7-10] (dane IMGW przeliczono z centymetrów na metry). Według tego rozkładu wartość charakterystyczną, Et,k, o okresie powrotu Tr, oblicza się z wzoru w którym α i U są parametrami rozkładu Gumbela.
Wyniki obliczeń podano w tablicy 2, w tym wartości charakterystyczne Et,k o okresie powrotu 50 lat. Stosując podane parametry rozkładu można obliczyć położenie izotermy zerowej dla innych okresów powrotu.
Tablica 2. Parametry statystyczne i rozkładu Gumbela głębokości przemarzanie gruntu na pięciu stacjach meteorologicznych i wartości charakterystyczne; wartości normowe wg [1].
Parametr statystyczny Gorzów
Wlkp. Legnica Rzeszów Suwałki Warszawa Bielany
Liczba danych (z 50 lat pomiarów) 50 46 45 34 50
Wartość minimalna, m 0,13 0,05 0,16 0,19 0,10
Wartość maksymalna, m 1,00 1,00 0,66 0,91 1,04
Wartość średnia, m 0,406 0,407 0,392 0,513 0,505
Średnie odchylenie standardowe, m 0,205 0,220 0,128 0,186 0,201
Współczynnik zmienności 0,50 0,54 0,33 0,36 0,40
α, 1/m 6,38 5,81 8,38 6,23 5,86
U, m 0,314 0,307 0,328 0,426 0,411
Wartość charakterystyczna Et,k, m 0,93 0,98 0,79 1,05 1,08
Wartość normowa Et,, m 0,80 0,80 1,00 1,40 1,00
Przykłady aproksymacji wartości empirycznych Et rozkładem Gumbela przedstawiono na rys. 4. Parametry rozkładu Gumbela oszacowano metodą największej wiarogodności.
-2 -1 0 1 2 3 4
-ln(-ln(F))
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E , m
RZESZÓW Jasionka
okres powrotu, lata 5 10 20 50
t
-2 -1 0 1 2 3 4
-ln(-ln(F)) 0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
E , m
SUWAŁKI
okres powrotu, lata 5 10 20 50
t
-2 -1 0 1 2 3 4
-ln(-ln(F)) 0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
E , m
WARSZAWA Bielany
okres powrotu, lata 5 10 20 50
t
Rys. 4. Rozkłady empiryczne wartości maksymalnych rocznych położenia izotermy zerowej na siatce probabilistycznej rozkładu Gumbela oraz rozkłady teoretyczne
5. PODSUMOWANIE I UWAGI KOŃCOWE
W artykule przedstawiono zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa do oceny głębokości przemarzania gruntu, a ściślej, położenia izotermy zerowej. Maksymalne roczne (z roku rozpoczynającego się 1 października) głębokości położenia izotermy zerowej w gruncie aproksymowano rozkładem prawdopodobieństwa Gumbela. W przypadku niektórych stacji, jak na przykład w Rzeszowie – Jasionce, właściwszy byłby trójparametryczny rozkład Weibulla [9]. Obliczone wartości charakterystyczne, o okresie powrotu 50 lat zawierają się w zakresie od ok. 0,8 m w Rzeszowie do ok. 1,1 m w Warszawie.
Zwraca uwagę niewielka różnica wartości otrzymanych na podstawie danych z Legnicy, Warszawy i Suwałk, miejscowości znajdujących się w dość różnych warunkach klimatycznych. Otrzymane wartości są inne niż podane w normie [1] (tabl. 2). Na przykład, w Legnicy otrzymano 0,98 m wobec normowej wartości 0,8 m, a w Suwałkach 1,05 m, podczas gdy w normie podano 1,4 m. Niezbędna jest zatem analiza danych ze wszystkich stacji meteorologicznych, które mierzą temperaturę gruntu. W wyniku takiej analizy możliwe będzie opracowanie nowej mapy przemarzania gruntu w Polsce.
W artykule wykorzystano wyniki pracy wykonanej w ramach tematu NG-63/2011, sfinansowanego ze środków na działalność statutową Instytutu Techniki Budowlanej w roku 2011, realizowanego przez Zakład Geotechniki i Fundamentowania ITB, a w zakresie przedstawionym w artykule przez Zakład Konstrukcji i Elementów Budowlanych ITB.
Piśmiennictwo
[1] PN-81/B-03020 Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie budowli. Obliczenia statyczne i projektowanie
[2] PN-74/B-03020 Grunty budowlane. Projektowanie i obliczenia statyczne posadowień bezpośrednich
[3] PN-55/B-03020 Grunty budowlane. Wytyczne wyznaczania dopuszczalnych obciążeń jednostkowych
[4] PN-59/B-03020 Grunty budowlane. Wytyczne wyznaczania dopuszczalnych obciążeń jednostkowych
[5] Wierzbicki Z.: O głębokości przemarzania gruntu i czasie jego trwania w Polsce.- Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej, Materiały Badawcze, Seria: Meteorologia, Warszawa 1978
[6] Janiszewski F.: Instrukcja dla stacji meteorologicznych.- Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej. Wydawnictwa Geologiczne, Warszawa 1988
[7] Gumbel E.J.: Statistics of extremes.- Columbia University Press, New York 1958
[8] Żurański J.A.: Sobolewski A.: Obciążenie śniegiem w Polsce. Prace Naukowe Instytutu Techniki Budowlanej, Warszawa, Instytut Techniki Budowlanej, Warszawa 2009
[9] Sobolewski, A.: Probabilistyczny model obciążenia śniegiem gruntu jako wielkości odniesienia w prognozowaniu obciążenia śniegiem dachów - Praca doktorska, Instytut Techniki Budowlanej, Warszawa 2010
[10] Żurański J.A.: Oddziaływania klimatyczne w normach projektowania konstrukcji.- 57. Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Rzeszów – Krynica 2011
AN ATTEMPT AT PROBABILISTIC ASSESSMENT OF SOIL FREEZING DEPTH
Summary
The paper deals with the probabilistic method of soil freezing depth assessment.
Yearly (winter) maxima of zero centigrade isotherm position were approximated by Gumbel probability distribution. Its parameters were estimated using the maximum likelihood method.
The results obtained on the basis of data from five meteorological stations and 30 to 50 years of observations, called characteristic values of 50-year return period, are not the same as given in the Polish Standard. The need of recalculation the data from all meteorological stations in Poland is pointed out.