Zadanie
Pewna firma produkuje wyroby X i Y. Do produkcji wykorzystuje surowce I i II. By wyprodukować jednostkę wyrobu X potrzebne są: 1 jednostka surowca I i 2 jednostki surowca II. By wyprodukować jednostkę surowca Y potrzebne są: 2 jednostki surowca I i 1 jednostka surowca II. Jaki plan produkcji zapewni maksymalny zysk, jeśli firma dysponuje 6 jednostkami surowca I i 9 jednostkami surowca II i wiemy, że:
a) zysk z wytworzenia jednostki wyrobu X wynosi 4, a z wytworzenia jednostki wyrobu Y – 3?
b) zysk z wytworzenia jednostki wyrobu X wynosi 1, a z wytworzenia jednostki wyrobu Y – 2?
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y .
Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a)
f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b)
f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y . Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ?
Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu).
Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i
2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ).
Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .
Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x 0, y 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych
ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka. Nietrudno policzyć, że są to (92, 0), (0, 0), (0, 3) i (4, 1).
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych
ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka.
Nietrudno policzyć, że są to (92, 0), (0, 0), (0, 3) i (4, 1).
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych
ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) =
18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) =
0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) =
9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) =
19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19.
Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)).
Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu a) obliczamy: f (92, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) =
9
2, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) =
0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) = 0, f (0, 3) =
6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) =
6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6.
W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)).
Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.
Programowanie liniowe na wielokącie - przykład
Zadanie
Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)
f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x 0, y 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.
Dla podpunktu b) obliczamy: f (92, 0) = 92, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze
{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 −x2 jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.