12b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema globalne

12b. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema globalne

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

1 Ekstrema globalne - ogólny przypadek

2 Programowanie liniowe na zbiorze ograniczonym

3 Programowanie liniowe na zbiorach nieograniczonych

Wstęp

Tak jak poszukiwaliśmy ekstremów globalnych funkcji jednej zmiennej na przedziale domkniętym, możemy też poszukiwać ekstremów

globalnych (czyli wartości największych i najmniejszych w całej dziedzinie) funkcji wielu zmiennych na domkniętym i ograniczonym podzbiorze płaszczyzny R².

Twierdzenie Weierstrassa - wersja wielowymiarowa

Jeśli zbiór K ⊂ R² jest domknięty (czyli wszystkie fragmenty brzegu tego zbioru do niego należą) i ograniczony (czyli zawiera się w jakimś kole o środku w (0, 0) i skończonym promieniu) to funkcja f osiąga wartość najmniejszą i największą w zbiorze K .

Wstęp

Tak jak poszukiwaliśmy ekstremów globalnych funkcji jednej zmiennej na przedziale domkniętym, możemy też poszukiwać ekstremów

globalnych (czyli wartości największych i najmniejszych w całej dziedzinie) funkcji wielu zmiennych na domkniętym i ograniczonym podzbiorze płaszczyzny R².

Twierdzenie Weierstrassa - wersja wielowymiarowa

Jeśli zbiór K ⊂ R² jest domknięty (czyli wszystkie fragmenty brzegu tego zbioru do niego należą) i ograniczony (czyli zawiera się w jakimś kole o środku w (0, 0) i skończonym promieniu) to funkcja f osiąga wartość najmniejszą i największą w zbiorze K .

Procedura postępowania

Jak jednak znaleźć konkretne punkty, w których znajdują się

ekstrema globalne w zbiorze K ? Należy postępować według kolejnych kroków poniższej procedury:

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych

I. Wyznaczamy punkty krytyczne (przyrównując gradient f do zera). Jeśli są w K , dopisujemy te punkty do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

II. Staramy się zapisać brzeg zbioru K jako sumę krzywych, z których każdą możemy opisać jako G = {(x , y ) ∈ R² : g (x , y ) = 0} oraz punktów będących końcami tak opisanych krzywych („wierzchołków” zbioru). Da się to zrobić np. dla zbiorów regularnych. „Wierzchołki” dopisujemy do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

Procedura postępowania

Jak jednak znaleźć konkretne punkty, w których znajdują się

ekstrema globalne w zbiorze K ? Należy postępować według kolejnych kroków poniższej procedury:

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych

I. Wyznaczamy punkty krytyczne (przyrównując gradient f do zera).

Jeśli są w K , dopisujemy te punkty do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

II. Staramy się zapisać brzeg zbioru K jako sumę krzywych, z których każdą możemy opisać jako G = {(x , y ) ∈ R² : g (x , y ) = 0} oraz punktów będących końcami tak opisanych krzywych („wierzchołków” zbioru). Da się to zrobić np. dla zbiorów regularnych. „Wierzchołki” dopisujemy do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

Procedura postępowania

Jak jednak znaleźć konkretne punkty, w których znajdują się

ekstrema globalne w zbiorze K ? Należy postępować według kolejnych kroków poniższej procedury:

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych

I. Wyznaczamy punkty krytyczne (przyrównując gradient f do zera).

Jeśli są w K , dopisujemy te punkty do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

II. Staramy się zapisać brzeg zbioru K jako sumę krzywych, z których każdą możemy opisać jako G = {(x , y ) ∈ R² : g (x , y ) = 0} oraz punktów będących końcami tak opisanych krzywych („wierzchołków”

zbioru). Da się to zrobić np. dla zbiorów regularnych. „Wierzchołki”

dopisujemy do listy „kandydatów na ekstrema globalne”.

Procedura postępowania - ciąg dalszy

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych - ciąg dalszy

III. Na każdej z krzywych wyznaczonych w podpunkcie II, szukamy

„kandydatów na ekstrema warunkowe” rozwiązując układ równań powstający w metodzie mnożników Lagrange’a. Jeśli punkty w których ekstrema warunkowe mogą istnieć są w zbiorze K - dopisujemy je do naszej listy.

W punkcie I i III nie musimy sprawdzać, czy faktycznie nasi kandydaci są ekstremami lokalnymi, bądź warunkowymi.

D. Obliczamy wartość f w każdym punkcie na liście „kandydatów”. Znajdujemy najmniejszą i największą wartość spośród nich. Jest to najmniejsza i największa wartość funkcji f na zbiorze K .

Procedura postępowania - ciąg dalszy

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych - ciąg dalszy

III. Na każdej z krzywych wyznaczonych w podpunkcie II, szukamy

„kandydatów na ekstrema warunkowe” rozwiązując układ równań powstający w metodzie mnożników Lagrange’a. Jeśli punkty w których ekstrema warunkowe mogą istnieć są w zbiorze K - dopisujemy je do naszej listy.

W punkcie I i III nie musimy sprawdzać, czy faktycznie nasi kandydaci są ekstremami lokalnymi, bądź warunkowymi.

D. Obliczamy wartość f w każdym punkcie na liście „kandydatów”. Znajdujemy najmniejszą i największą wartość spośród nich. Jest to najmniejsza i największa wartość funkcji f na zbiorze K .

Procedura postępowania - ciąg dalszy

Procedura wyznaczania ekstremów globalnych - ciąg dalszy

III. Na każdej z krzywych wyznaczonych w podpunkcie II, szukamy

„kandydatów na ekstrema warunkowe” rozwiązując układ równań powstający w metodzie mnożników Lagrange’a. Jeśli punkty w których ekstrema warunkowe mogą istnieć są w zbiorze K - dopisujemy je do naszej listy.

W punkcie I i III nie musimy sprawdzać, czy faktycznie nasi kandydaci są ekstremami lokalnymi, bądź warunkowymi.

D. Obliczamy wartość f w każdym punkcie na liście „kandydatów”.

Znajdujemy najmniejszą i największą wartość spośród nich. Jest to najmniejsza i największa wartość funkcji f na zbiorze K .

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zbiór K wygląda tak:

Jak widać, jest domknięty i ograniczony, więc f osiąga na nim wartość największą i najmniejszą.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zbiór K wygląda tak:

Jak widać, jest domknięty i ograniczony, więc f osiąga na nim wartość największą i najmniejszą.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zbiór K wygląda tak:

Jak widać, jest domknięty i ograniczony, więc f osiąga na nim wartość największą i najmniejszą.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zaczynamy, wyznaczając punkty stacjonarne:

f_x⁰(x , y ) =

2x , f_y⁰ = 2y − 8,

czyli ∇_f = 0 ⇔ (2x = 0 ∧ 2y − 8 = 0) ⇔ (x , y ) = (0, 4). Jako, że 4 · 0²+ 4² = 16 ¬ 36 i 4 ­ 0, to (0, 4) ∈ K , czyli dopisujemy (0, 4) do listy kandydatów na ekstremum globalne.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zaczynamy, wyznaczając punkty stacjonarne:

f_x⁰(x , y ) = 2x , f_y⁰ =

2y − 8,

czyli ∇_f = 0 ⇔ (2x = 0 ∧ 2y − 8 = 0) ⇔ (x , y ) = (0, 4). Jako, że 4 · 0²+ 4² = 16 ¬ 36 i 4 ­ 0, to (0, 4) ∈ K , czyli dopisujemy (0, 4) do listy kandydatów na ekstremum globalne.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zaczynamy, wyznaczając punkty stacjonarne:

f_x⁰(x , y ) = 2x , f_y⁰ = 2y − 8,

czyli ∇_f = 0 ⇔ (2x = 0 ∧ 2y − 8 = 0) ⇔

(x , y ) = (0, 4). Jako, że 4 · 0²+ 4² = 16 ¬ 36 i 4 ­ 0, to (0, 4) ∈ K , czyli dopisujemy (0, 4) do listy kandydatów na ekstremum globalne.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zaczynamy, wyznaczając punkty stacjonarne:

f_x⁰(x , y ) = 2x , f_y⁰ = 2y − 8,

czyli ∇_f = 0 ⇔ (2x = 0 ∧ 2y − 8 = 0) ⇔ (x , y ) = (0, 4).

Jako, że 4 · 0²+ 4² = 16 ¬ 36 i 4 ­ 0, to (0, 4) ∈ K , czyli dopisujemy (0, 4) do listy kandydatów na ekstremum globalne.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Zaczynamy, wyznaczając punkty stacjonarne:

f_x⁰(x , y ) = 2x , f_y⁰ = 2y − 8,

czyli ∇_f = 0 ⇔ (2x = 0 ∧ 2y − 8 = 0) ⇔ (x , y ) = (0, 4).

Jako, że 4 · 0²+ 4² = 16 ¬ 36 i 4 ­ 0, to (0, 4) ∈ K , czyli dopisujemy (0, 4) do listy kandydatów na ekstremum globalne.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

W drugim kroku, zapisujemy brzeg K jako sumę dwu krzywych: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Dla każdej z tych krzywych stosujemy metodę mnożników Lagrange’a.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

W drugim kroku, zapisujemy brzeg K jako sumę dwu krzywych: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Dla każdej z tych krzywych stosujemy metodę mnożników Lagrange’a.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

W drugim kroku, zapisujemy brzeg K jako sumę dwu krzywych:

4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Dla każdej z tych krzywych stosujemy metodę mnożników Lagrange’a.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

W drugim kroku, zapisujemy brzeg K jako sumę dwu krzywych:

4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej 4x²+ y² = 36 postaci ekstremów warunkowych funkcji f poszukiwaliśmy już wcześniej (w części 12a slajdów). Potencjalne ekstrema warunkowe to (

√ 17

3 ,¹⁶₃), (−

√ 17

3 ,¹⁶₃), (0, 6) i (0, −6), przy czym ostatni z tych punktów nie należy do zbioru K (bo musi być y ­ 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) =

2x = 0

F_y⁰(x , y , λ) = 2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) = y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) = (0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) = 2x = 0 F_y⁰(x , y , λ) =

2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) = y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) = (0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) = 2x = 0

F_y⁰(x , y , λ) = 2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) =

y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) = (0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) = 2x = 0

F_y⁰(x , y , λ) = 2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) = y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) = (0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) = 2x = 0

F_y⁰(x , y , λ) = 2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) = y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) =

(0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Dla krzywej y = 0 mamy funkcję Lagrange’a postaci:

F_λ(x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 + λy . Rozwiązujemy układ równań:











F_x⁰(x , y , λ) = 2x = 0

F_y⁰(x , y , λ) = 2y − 8 + λ = 0 F_λ⁰(x , y , λ) = y = 0

.

Oczywiście, ten jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest (x , y ) = (0, 0) dla λ = 8.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Do zbioru „kandydatów na ekstrema globalne” musimy dodać jeszcze

„wierzchołki” zbioru K , czyli końce krzywych ograniczających ten zbiór: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)). Naturalnie są to punkty (−3, 0) i (3, 0).

Ostatecznie, kandydatami na ekstrema globalne są: (0, 4), (

√ 17 3 ,¹⁶₃ ), (−

√ 17

3 ,¹⁶₃) (0, 6), (0, 0), (3, 0) i (−3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Do zbioru „kandydatów na ekstrema globalne” musimy dodać jeszcze

„wierzchołki” zbioru K , czyli końce krzywych ograniczających ten zbiór: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Naturalnie są to punkty (−3, 0) i (3, 0).

Ostatecznie, kandydatami na ekstrema globalne są: (0, 4), (

√ 17 3 ,¹⁶₃ ), (−

√ 17

3 ,¹⁶₃) (0, 6), (0, 0), (3, 0) i (−3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Do zbioru „kandydatów na ekstrema globalne” musimy dodać jeszcze

„wierzchołki” zbioru K , czyli końce krzywych ograniczających ten zbiór: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Naturalnie są to punkty (−3, 0) i (3, 0).

Ostatecznie, kandydatami na ekstrema globalne są: (0, 4), (

√ 17 3 ,¹⁶₃ ), (−

√ 17

3 ,¹⁶₃) (0, 6), (0, 0), (3, 0) i (−3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Do zbioru „kandydatów na ekstrema globalne” musimy dodać jeszcze

„wierzchołki” zbioru K , czyli końce krzywych ograniczających ten zbiór: 4x²+ y² = 36 (dla y > 0) i y = 0 (dla x ∈ (−3, 3)).

Naturalnie są to punkty (−3, 0) i (3, 0).

Ostatecznie, kandydatami na ekstrema globalne są: (0, 4), (

√ 17 3 ,¹⁶₃ ), (−

√ 17

3 ,¹⁶₃) (0, 6), (0, 0), (3, 0) i (−3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) =

− 13; f (

√17 3 ,16

3) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) =

− 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) =

− 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) =

− 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) =

3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) =

12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) =

12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

Wystarczy teraz obliczyć:

f (0, 4) = − 13; f (

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = − 84 9 ;

f (0, 6) = − 9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

f (0, 4) = −13; f (

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; f (0, 6) = −9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Wybierając najmniejsze i największe wartości spośród powyższej listy uzyskujemy odpowiedź: globalne minimum f na zbiorze K (o wartości

−13) znajduje się w punkcie (0, 4), zaś globalne maksima (o wartości 12) w punktach (−3, 0) i (3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

f (0, 4) = −13; f (

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; f (0, 6) = −9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Wybierając najmniejsze i największe wartości spośród powyższej listy uzyskujemy odpowiedź: globalne minimum f na zbiorze K

(o wartości

−13) znajduje się w punkcie (0, 4), zaś globalne maksima (o wartości 12) w punktach (−3, 0) i (3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

f (0, 4) = −13; f (

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; f (0, 6) = −9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Wybierając najmniejsze i największe wartości spośród powyższej listy uzyskujemy odpowiedź: globalne minimum f na zbiorze K (o wartości

−13) znajduje się w punkcie (0, 4), zaś globalne maksima

(o wartości 12) w punktach (−3, 0) i (3, 0).

Ekstrema globalne - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x , y ) = x²+ y²− 8y + 3 na zbiorze K = {(x , y ) : 4x²+ y² ¬ 36, y ­ 0}.

f (0, 4) = −13; f (

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; (−

√17 3 ,16

3 ) = −84 9 ; f (0, 6) = −9; f (0, 0) = 3; f (−3, 0) = 12; f (3, 0) = 12.

Wybierając najmniejsze i największe wartości spośród powyższej listy uzyskujemy odpowiedź: globalne minimum f na zbiorze K (o wartości

−13) znajduje się w punkcie (0, 4), zaś globalne maksima (o wartości 12) w punktach (−3, 0) i (3, 0).

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe

Programowaniem liniowym nazywa się zagadnienie, w którym należy znaleźć rozwiązanie układu nierówności liniowych (tj. w przypadku dwuwymiarowym nierówności postaci ax + by ¬ c) dla których funkcja „liniowa”(afiniczna) (w wypadku dwuwymiarowym

f (x , y ) = αx + βy + γ) osiąga najmniejszą lub największą wartość.

W definicji podkreślam przypadek dwuwymiarowy, gdyż praktycznie tylko nim będziemy się zajmować w ramach tego wykładu. Łatwo jednak to postępowanie uogólnić na przypadek z większą liczbą wymiarów.

W wypadku dwuwymiarowym, jeśli zbiór opisany układem nierówności liniowych jest ograniczony, to jest po prostu wielokątem.

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe

Programowaniem liniowym nazywa się zagadnienie, w którym należy znaleźć rozwiązanie układu nierówności liniowych (tj. w przypadku dwuwymiarowym nierówności postaci ax + by ¬ c) dla których funkcja „liniowa”(afiniczna) (w wypadku dwuwymiarowym

f (x , y ) = αx + βy + γ) osiąga najmniejszą lub największą wartość.

W definicji podkreślam przypadek dwuwymiarowy, gdyż praktycznie tylko nim będziemy się zajmować w ramach tego wykładu. Łatwo jednak to postępowanie uogólnić na przypadek z większą liczbą wymiarów. W wypadku dwuwymiarowym, jeśli zbiór opisany układem nierówności liniowych jest ograniczony, to jest po prostu wielokątem.

Przykłady zbiorów opisanych układem nierówności

Figura opisana nierównościami x + y ¬ 2, x − y ­ −1, x + 3y ­ −1.

Figura opisana nierównościami x + y ¬ 2, x − y ­ −1, x + 3y ­ −1, y ¬ 1,

Programowanie liniowe - znaczenie ekonomiczne

Programowanie liniowe ma wiele zastosowań w zagadnieniach ekonomicznych.

Często spotykanym problemem jest optymalizacja jakiejś korzyści (zysku, produktywności lub ogólnie użyteczności), danej funkcją afiniczną na zbiorze opisanym właśnie nierównościami liniowymi. Na przykład, jeśli jakaś konsument pozyskuje dobra I i II w ilości x i y po cenach a i b, posiadając kapitał c, to x i y muszą spełniać nierówność ax + by ¬ c. Dodatkowo możemy założyć, że spełnione są nierówności x ­ 0, y ­ 0 i już otrzymujemy zbiór opisany w definicji zbioru budżetowego (a tych ograniczeń może być więcej np. ilość dóbr na rynku). Jeśli dodatkowo funkcja użyteczności konsumenta jest afiniczna, to mamy zagadnienie z zakresu

programowania liniowego.

Programowanie liniowe - znaczenie ekonomiczne

Programowanie liniowe ma wiele zastosowań w zagadnieniach ekonomicznych. Często spotykanym problemem jest optymalizacja jakiejś korzyści (zysku, produktywności lub ogólnie użyteczności), danej funkcją afiniczną na zbiorze opisanym właśnie nierównościami liniowymi.

Na przykład, jeśli jakaś konsument pozyskuje dobra I i II w ilości x i y po cenach a i b, posiadając kapitał c, to x i y muszą spełniać nierówność ax + by ¬ c. Dodatkowo możemy założyć, że spełnione są nierówności x ­ 0, y ­ 0 i już otrzymujemy zbiór opisany w definicji zbioru budżetowego (a tych ograniczeń może być więcej np. ilość dóbr na rynku). Jeśli dodatkowo funkcja użyteczności konsumenta jest afiniczna, to mamy zagadnienie z zakresu

programowania liniowego.

Programowanie liniowe - znaczenie ekonomiczne

Programowanie liniowe ma wiele zastosowań w zagadnieniach ekonomicznych. Często spotykanym problemem jest optymalizacja jakiejś korzyści (zysku, produktywności lub ogólnie użyteczności), danej funkcją afiniczną na zbiorze opisanym właśnie nierównościami liniowymi. Na przykład, jeśli jakaś konsument pozyskuje dobra I i II w ilości x i y po cenach a i b, posiadając kapitał c, to x i y muszą spełniać nierówność ax + by ¬ c.

Dodatkowo możemy założyć, że spełnione są nierówności x ­ 0, y ­ 0 i już otrzymujemy zbiór opisany w definicji zbioru budżetowego (a tych ograniczeń może być więcej np. ilość dóbr na rynku). Jeśli dodatkowo funkcja użyteczności konsumenta jest afiniczna, to mamy zagadnienie z zakresu

programowania liniowego.

Programowanie liniowe - znaczenie ekonomiczne

Programowanie liniowe ma wiele zastosowań w zagadnieniach ekonomicznych. Często spotykanym problemem jest optymalizacja jakiejś korzyści (zysku, produktywności lub ogólnie użyteczności), danej funkcją afiniczną na zbiorze opisanym właśnie nierównościami liniowymi. Na przykład, jeśli jakaś konsument pozyskuje dobra I i II w ilości x i y po cenach a i b, posiadając kapitał c, to x i y muszą spełniać nierówność ax + by ¬ c. Dodatkowo możemy założyć, że spełnione są nierówności x ­ 0, y ­ 0 i już otrzymujemy zbiór opisany w definicji zbioru budżetowego (a tych ograniczeń może być więcej np. ilość dóbr na rynku).

Jeśli dodatkowo funkcja użyteczności konsumenta jest afiniczna, to mamy zagadnienie z zakresu

programowania liniowego.

Programowanie liniowe - znaczenie ekonomiczne

Programowanie liniowe ma wiele zastosowań w zagadnieniach ekonomicznych. Często spotykanym problemem jest optymalizacja jakiejś korzyści (zysku, produktywności lub ogólnie użyteczności), danej funkcją afiniczną na zbiorze opisanym właśnie nierównościami liniowymi. Na przykład, jeśli jakaś konsument pozyskuje dobra I i II w ilości x i y po cenach a i b, posiadając kapitał c, to x i y muszą spełniać nierówność ax + by ¬ c. Dodatkowo możemy założyć, że spełnione są nierówności x ­ 0, y ­ 0 i już otrzymujemy zbiór opisany w definicji zbioru budżetowego (a tych ograniczeń może być więcej np. ilość dóbr na rynku). Jeśli dodatkowo funkcja użyteczności konsumenta jest afiniczna, to mamy zagadnienie z zakresu

programowania liniowego.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Oczywiście, zagadnienia programowania liniowego są szczególnym przypadkiem ogólnego zagadnienia poszukiwania ekstremów globalnych - więc zawsze można użyć metody przedstawionej wcześniej.

Jednak przy dużej liczbie nierówności, poszukiwanie ekstremów warunkowych na krawędziach może być pracochłonne, więc wartoznać prostszą metodę, którą za chwilę przedstawię. Warto podkreślić, że poniższa metoda działaTYLKO dla zbiorów opisanych nierównościami liniowymi iTYLKO dla afiniczych funkcji, których ekstremów szukamy. NIE WOLNO używać jej w innych

okolicznościach.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Oczywiście, zagadnienia programowania liniowego są szczególnym przypadkiem ogólnego zagadnienia poszukiwania ekstremów globalnych - więc zawsze można użyć metody przedstawionej wcześniej. Jednak przy dużej liczbie nierówności, poszukiwanie ekstremów warunkowych na krawędziach może być pracochłonne, więc wartoznać prostszą metodę, którą za chwilę przedstawię.

Warto podkreślić, że poniższa metoda działaTYLKO dla zbiorów opisanych nierównościami liniowymi iTYLKO dla afiniczych funkcji, których ekstremów szukamy. NIE WOLNO używać jej w innych

okolicznościach.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Oczywiście, zagadnienia programowania liniowego są szczególnym przypadkiem ogólnego zagadnienia poszukiwania ekstremów globalnych - więc zawsze można użyć metody przedstawionej wcześniej. Jednak przy dużej liczbie nierówności, poszukiwanie ekstremów warunkowych na krawędziach może być pracochłonne, więc wartoznać prostszą metodę, którą za chwilę przedstawię. Warto podkreślić, że poniższa metoda działaTYLKO dla zbiorów opisanych nierównościami liniowymi iTYLKO dla afiniczych funkcji, których ekstremów szukamy.

NIE WOLNO używać jej w innych okolicznościach.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Oczywiście, zagadnienia programowania liniowego są szczególnym przypadkiem ogólnego zagadnienia poszukiwania ekstremów globalnych - więc zawsze można użyć metody przedstawionej wcześniej. Jednak przy dużej liczbie nierówności, poszukiwanie ekstremów warunkowych na krawędziach może być pracochłonne, więc wartoznać prostszą metodę, którą za chwilę przedstawię. Warto podkreślić, że poniższa metoda działaTYLKO dla zbiorów opisanych nierównościami liniowymi iTYLKO dla afiniczych funkcji, których ekstremów szukamy. NIE WOLNO używać jej w innych

okolicznościach.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Rozważamy W - wielokąt na płaszczyźnie, czyli zbiór domknięty i ograniczony, zadany układem nierówności liniowych. Mamy szukać na nim wartości najmniejszych i największych funkcji f . Najczęściej w podręcznikach przedstawiana jest „geometryczna” metoda

poszukiwania tych wartości ekstremalnych, ale wydaje mi się, że prostsza jest metoda algebraiczna, którą przedstawimy poniżej.

Zauważmy, ze funkcja „liniowa” nie posiada ekstremów lokalnych, więc podpunkt I wcześniejszej procedury odpada. Z podobnej analizy wynika, że nie znajdziemy ekstremów warunkowych (silnych) na krawędziach. Dlatego istotne są tylko wierzchołki naszego wielokąta.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Rozważamy W - wielokąt na płaszczyźnie, czyli zbiór domknięty i ograniczony, zadany układem nierówności liniowych. Mamy szukać na nim wartości najmniejszych i największych funkcji f . Najczęściej w podręcznikach przedstawiana jest „geometryczna” metoda

poszukiwania tych wartości ekstremalnych, ale wydaje mi się, że prostsza jest metoda algebraiczna, którą przedstawimy poniżej.

Zauważmy, ze funkcja „liniowa” nie posiada ekstremów lokalnych, więc podpunkt I wcześniejszej procedury odpada.

Z podobnej analizy wynika, że nie znajdziemy ekstremów warunkowych (silnych) na krawędziach. Dlatego istotne są tylko wierzchołki naszego wielokąta.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Rozważamy W - wielokąt na płaszczyźnie, czyli zbiór domknięty i ograniczony, zadany układem nierówności liniowych. Mamy szukać na nim wartości najmniejszych i największych funkcji f . Najczęściej w podręcznikach przedstawiana jest „geometryczna” metoda

poszukiwania tych wartości ekstremalnych, ale wydaje mi się, że prostsza jest metoda algebraiczna, którą przedstawimy poniżej.

Zauważmy, ze funkcja „liniowa” nie posiada ekstremów lokalnych, więc podpunkt I wcześniejszej procedury odpada. Z podobnej analizy wynika, że nie znajdziemy ekstremów warunkowych (silnych) na krawędziach.

Dlatego istotne są tylko wierzchołki naszego wielokąta.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Rozważamy W - wielokąt na płaszczyźnie, czyli zbiór domknięty i ograniczony, zadany układem nierówności liniowych. Mamy szukać na nim wartości najmniejszych i największych funkcji f . Najczęściej w podręcznikach przedstawiana jest „geometryczna” metoda

poszukiwania tych wartości ekstremalnych, ale wydaje mi się, że prostsza jest metoda algebraiczna, którą przedstawimy poniżej.

Zauważmy, ze funkcja „liniowa” nie posiada ekstremów lokalnych, więc podpunkt I wcześniejszej procedury odpada. Z podobnej analizy wynika, że nie znajdziemy ekstremów warunkowych (silnych) na krawędziach. Dlatego istotne są tylko wierzchołki naszego wielokąta.

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W . IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała. IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W . IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała. IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W . IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała. IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W .

IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała. IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W . IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała.

IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe - sposób rozwiązywania

Procedura programowania liniowego dla wielokątów przebiega następująco:

Procedura programowania liniowego dla wielokątów

I. Wyznaczyć wierzchołki wielokąta W .

II. Obliczyć wartości funkcji f w wierzchołkach wielokąta i uporządkować od największej do najmniejszej.

IIIa. Jeśli jedna z tych wartości jest największa, a inna najmniejsza - problem jest rozwiązany. Są to ekstrema globalne funkcji f na W . IIIb. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i

największe/najmniejsze wartości w W są przyjmowane na krawędzi łączącej te wierzchołki. Wzdłuż tej krawędzi funkcja jest stała.

IIIc. Jeśli największe/najmniejsze wartości znajdują sie jednocześnie w więcej niż dwóch wierzchołkach wielokąta, to f jest stała na całym wielokącie W .

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Pewna firma produkuje wyroby X i Y. Do produkcji wykorzystuje surowce I i II. By wyprodukować jednostkę wyrobu X potrzebne są: 1 jednostka surowca I i 2 jednostki surowca II. By wyprodukować jednostkę surowca Y potrzebne są: 2 jednostki surowca I i 1 jednostka surowca II. Jaki plan produkcji zapewni maksymalny zysk, jeśli firma dysponuje 6 jednostkami surowca I i 9 jednostkami surowca II i wiemy, że:

a) zysk z wytworzenia jednostki wyrobu X wynosi 4, a z wytworzenia jednostki wyrobu Y – 3?

b) zysk z wytworzenia jednostki wyrobu X wynosi 1, a z wytworzenia jednostki wyrobu Y – 2?

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y .

Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a)

f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b)

f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y . Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ?

Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu).

Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i

2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ).

Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x - ilość wytworzonych wyrobów X , y - ilość wytworzonych wyrobów Y . Funkcja zysku, którą mamy zmaksymalizować ma postać: w podpunkcie a) f (x , y ) = 4x + 3y , a w podpunkcie b) f (x , y ) = x + 2y .

Jakie ograniczenia musimy nałożyć na x i y ? Naturalnie zakładamy, że x ­ 0, y ­ 0 (bo ujemna produkcja w kontekście tego zadania nie ma sensu). Ponadto x + 2y ¬ 6 (gdyż jest tylko 6 jednostek surowca I) i 2x + y ¬ 9 (bo jest tylko 9 jednostek surowca II ). Zatem, po przetłumaczeniu na język matematyczny, zadanie przyjmuje nową postać:

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych

ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka. Nietrudno policzyć, że są to (⁹₂, 0), (0, 0), (0, 3) i (4, 1).

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych

ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka.

Nietrudno policzyć, że są to (⁹₂, 0), (0, 0), (0, 3) i (4, 1).

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Zaczynamy od obliczenia punktów przecięcia krzywych

ograniczających nasz zbiór - czyli wierzchołków wielokąta z obrazka.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) =

18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) =

0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) =

9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) =

19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19.

Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)).

Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu a) obliczamy: f (⁹₂, 0) = 18, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 9 i f (4, 1) = 19. Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną w punkcie (4, 1) (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalna wielkość produkcji to 4 jednostki wyrobu X i 1 jednostka wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 19.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu b) obliczamy: f (⁹₂, 0) =

9

2, f (0, 0) = 0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze

{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − ^x₂ jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.

Programowanie liniowe na wielokącie - przykład

Zadanie

Znaleźć ekstrema globalne funkcji a) f (x , y ) = 4x + 3y , b)

f (x , y ) = x + 2y na zbiorze opisanym nierównościami: x ­ 0, y ­ 0, x + 2y ¬ 6, 2x + y ¬ 9.

Dla podpunktu b) obliczamy: f (⁹₂, 0) = ⁹₂, f (0, 0) =

0, f (0, 3) = 6 i f (4, 1) = 6. W dwóch wierzchołkach wartość jest taka sama (i największa). Zatem funkcja zysku osiąga wartość maksymalną na całym odcinku łączącym (0, 3) i (4, 1), czyli na zbiorze

{(x, y ) : x + 2y = 6, x ∈ [0, 4]} (a minimalną w (0, 0)). Zatem optymalną wielkością produkcji jest każde x ∈ [0, 4] jednostek wyrobu X i 3 − ^x₂ jednostek wyrobu Y, co przynosi zysk w wysokości 6.