Rozważmy teraz transformację przesunięcia w czasie,t → t + τ , przy której wektor stanu przekształca się następująco
|α′(t + τ ) = |α(t)i . Definiujemy unitarny operator translacji w czasie
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α′(t) .
Łącząc to równanie z pierwszym dla t − τ otrzymamy Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i .
Rozważmy teraz transformację przesunięcia w czasie,t → t + τ , przy której wektor stanu przekształca się następująco
|α′(t + τ ) = |α(t)i . Definiujemy unitarny operator translacji w czasie
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α′(t) .
Łącząc to równanie z pierwszym dla t − τ otrzymamy Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i .
Przesunięcie w czasie
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i .
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i . Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
Przesunięcie w czasie
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
otrzymujemy następującą postać operatora ewolucji czasowej Ut(τ ) = e−τddt.
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
otrzymujemy następującą postać operatora ewolucji czasowej Ut(τ ) = e−τddt.
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i .
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0 ⇒ dH dt = 0.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0 ⇒ dH dt = 0.
Przesunięcie w czasie
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
=
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
= 1 i ~H d
dt |α(t)i =
Przesunięcie w czasie
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
= 1 i ~H d
dt |α(t)i = 1
(i~)2 H2 |α(t)i .
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie Ut(τ ) |α(t)i=
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i=e−τddt |α(t)i =
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i =e−τi ~1H |α(t)i =
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i i unitarny operator przesunięcia w czasie ma postać
Ut(τ ) = e~iτ H.
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i i unitarny operator przesunięcia w czasie ma postać
Ut(τ ) = e~iτ H.
Przesunięcie w czasie
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Jeśli operator H zależy jawnie od czasu, to dla translacji infinitezymalnej możemy zapisać
e~iτ H(t)≈ 1 + i
~τ H(t).
Przesunięcie w czasie
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Jeśli operator H zależy jawnie od czasu, to dla translacji infinitezymalnej możemy zapisać
e~iτ H(t)≈ 1 + i
~τ H(t).
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
dt |α′(t) ≈ i ~ d dt
1 + i
~τ H(t)
|α(t)i
=
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi gdzie po prawej stronie uwzględniliśmy część kolejnego wyrazu
rozwinięcia eksponenty.
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d gdzie po prawej stronie uwzględniliśmy część kolejnego wyrazu
rozwinięcia eksponenty.
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈
Przesunięcie w czasie
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
=
Przesunięcie w czasie
i ~d
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Przesunięcie w czasie
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Wynik ten jest oczywisty, gdyż na skutek ewolucji czasowej hamiltonianu, stan przesunięty w czasie znajduje się w innych warunkach niż stan wyjściowy.
i ~d
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Wynik ten jest oczywisty, gdyż na skutek ewolucji czasowej hamiltonianu, stan przesunięty w czasie znajduje się w innych warunkach niż stan wyjściowy.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Rozważmy obrót infinitezymalny o kątyφ~ = [φx, φy, φz], dla którego
~
r → ~rR = ~r + ~φ× ~r.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Rozważmy obrót infinitezymalny o kątyφ~ = [φx, φy, φz], dla którego
~
r → ~rR = ~r + ~φ× ~r.
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Obroty
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
R=
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Definiujemy unitarny operator obrotu infinitezymalnego UR(~φ):
UR(~φ)ψα(~r) = ψα′(~r).
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Definiujemy unitarny operator obrotu infinitezymalnego UR(~φ):
UR(~φ)ψα(~r) = ψα′(~r).
Obroty
Obliczmy
UR(~φ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~φ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~φ× ~r.
Obliczmy
UR(~φ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~φ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~φ× ~r.
W takim razie
UR(~φ)ψα(~r)= ψα
~r− ~φ× ~r.
Obroty
Obliczmy
UR(~φ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~φ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~φ× ~r.
W takim razie
UR(~φ)ψα(~r)= ψα
~r− ~φ× ~r.
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
=
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~φ× ~r) · ~p ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~φ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~φ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~φ× ~r) · ~p
ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~φ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~φ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~φ× ~r) · ~p = (~φ× ~r)ipi =
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~φ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~φ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~φ× ~r) · ~p = (~φ× ~r)ipi = εijkφjxkpi =φjεjkixkpi
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~φ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~φ× ~r) · ~∇ψα(~r)
gdzie~L= ~r × ~p jest operatorem orbitalnego momentu pędu.
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
gdzie~L= ~r × ~p jest operatorem orbitalnego momentu pędu.
Obroty
Zatem
UR(~φ)ψα(~r) = ψα
~r− ~φ× ~r=
1 − i
~(~φ× ~r) · ~p
ψα(~r)
=
Zatem
Obroty
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~φ) = 1 − i
~(~φ· ~L)
Zatem
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~φ) = 1 − i
~(~φ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),
Obroty
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~φ) = 1 − i
~(~φ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),prawo transformacyjne przy obrotach jest inne
ψ~α′(R ~r) = R ~ψα(~r).
Zatem
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~φ) = 1 − i
~(~φ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),prawo transformacyjne przy obrotach jest inne
ψ~α′(R ~r) = R ~ψα(~r).
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy UR(~φ) ~ψα(~r)
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy
UR(~φ) ~ψα(~r) =
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy
UR(~φ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy
UR(~φ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ψ~α
R−1~r+ ~φ× ~ψα
R−1~r
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy
UR(~φ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ ~ψα
R−1~r+ ~φ× ~ψα
R−1~r
≈
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~φ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Obliczmy
UR(~φ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ ~ψα
R−1~r+ ~φ× ~ψα
R−1~r
≈ ψ~α
~r− ~φ× ~r+ ~φ× ~ψα
~r− ~φ× ~r
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej Ostatni wyraz po prawej stronie możemy zaniedbać,
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku Ostatni wyraz po prawej stronie możemy zaniedbać,
Obroty
gdyż jest drugiego rzędu w ~φ, więc UR(~φ) ~ψα(~r)≈ ~ψα(~r) − i
~(~φ· ~L) ~ψα(~r) + ~φ× ~ψα(~r).
gdyż jest drugiego rzędu w ~φ, więc UR(~φ) ~ψα(~r)≈ ~ψα(~r) − i
~(~φ· ~L) ~ψα(~r) + ~φ× ~ψα(~r).
Zadanie. Pokazać, że ostatni wyraz możemy zapisać w formie φ~× ~ψα(~r) = −i
Obroty
gdyż jest drugiego rzędu w ~φ, więc UR(~φ) ~ψα(~r)≈ ~ψα(~r) − i
~(~φ· ~L) ~ψα(~r) + ~φ× ~ψα(~r).
Zadanie. Pokazać, że ostatni wyraz możemy zapisać w formie φ~× ~ψα(~r) = −i
Sz = i~
0 −1 0
1 0 0
0 0 0
.
Zauważmy, żemacierze Sx, Sy i Sz są hermitowskie.
Obroty
Zadanie. Pokazać, że macierz Sz można sprowadzić do postaci diagonalnej
Sz = i~
Zadanie. Pokazać, że macierz Sz można sprowadzić do postaci diagonalnej
Obroty
W takim razie
UR(~φ) ~ψα(~r) ≈ ψ~α(~r) − i
~(~φ· ~L) ~ψα(~r) + ~φ× ~ψα(~r)
=